2021-2022學(xué)年浙江省溫州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年浙江省溫州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個選項是正確的，不選、

多選、錯選，均不給分）

1.（3分）下列四個交通標(biāo)志中，屬于中心對稱圖形的是（）

2.(3分)拋物線丫=蔣(X+4)2-5的頂點坐標(biāo)為()

A.(-4,-5)B.(-4,5)C.(4,-5)D.(4,5)

3.（3分）如圖是一個游戲轉(zhuǎn)盤.自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，指針落在數(shù)字1,2,

3,4所示區(qū)域內(nèi)可能性最大的是（)

C.3號D.4號

4.（3分）若三用則下列等式成立的是（）

y4

A.3x=4yB.史上上C.D

y4y+15>1

5.（3分）如圖，h,h,/3是一組平行線，直線AC,。尸分別與這組平行線依次相交于點A,

B,C和點。，E,F.若坐上，則旦E的值為（）

BC3DF

3

5

6.（3分）如圖，在o。中，半徑0c_LAB于點D已知。C=5,0D=4,則弦AB的長為

（）

7.（3分）如圖，4,B,C是。。上的點，滿足C4平分N0C8.若/OAC=25°,貝！J/AOB

的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.55°D.60°

8.（3分）如圖，在nABCD中，點E在邊上，連結(jié)。E并延長交AB的延長線于點?若

生二，則△班萬與△AD尸的周長之比為（）

BE3

DK---------------------獷

A.1：3B.3：7C.4：7D.3：4

9.（3分）二次函數(shù)y=o?+灰+c的部分圖象如圖所示，當(dāng)尤＞0時，函數(shù)值y的取值范圍是

()

c.y<2D.yW3

10.（3分）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽利用圓內(nèi)接正多邊形創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，現(xiàn)將半徑為2的圓

十二等分構(gòu)造出2個矩形和1個正方形（如圖），則陰影部分的面積是（）

A.1B.8-4V3c.16-8近D.20-1073

二、填空題（本題有8小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）拋物線y=-7+2X+3與y軸的交點坐標(biāo)是.

12.（3分）若線段。=4,b=L則a,6的比例中項線段為.

13.（3分）如圖，點A在半圓。上，是直徑，AB=AC.若AB=2,則BC的長為

14.（3分）若圓的半徑為3cM1,圓周角為25°,則這個圓周角所對的弧長為cm.

15.（3分）明明家過年時包了50個餃子，其中有5個餃子包有幸運果.明明一家人連續(xù)吃

了10個餃子都沒有吃到幸運果，那么明明在剩余的餃子中任意挑選一個餃子，正好是包

有幸運果餃子的概率是.

16.（3分）如圖，在△ABC中，點。在AC上，ZABD=ZC.若AB=2AZ）=4,則CO的

長是.

A

D

17.（3分）二次函數(shù)y=o?+bx+c的部分對應(yīng)值列表如下:

X…-30135…

y…7-8-9-57…

則一元二次方程a(2x+l)2+b(2x+l)+c=-5的解為

18.（3分）某戶外遮陽棚如圖1,其截面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示.支撐柱地面，AB=

120遙cm,尸是支撐柱A8上一動點，傘桿CP可繞著中點E旋轉(zhuǎn)，CD=CP=40JT^C〃Z,

斜拉桿AE可繞點A旋轉(zhuǎn)，AE^XCP.若/APE=30°,貝U2尸=cm；傘展開長

2

PD=300cm,若A,C,。在同一條直線上，某時太陽光線恰好與地面垂直，則尸。落到

地面的陰影長為,

圖1圖2

三、解答題（本題有6小題，共46分）

19.（6分）小聰參加一個幸運挑戰(zhàn)活動，規(guī)則是：在一個箱子里有3個白球和1個紅球，

它們除顏色外其余都相同，現(xiàn)從箱子里摸出1個球，不放回，記下顏色，再摸出1個球,

若兩次摸出球的顏色相同，則挑戰(zhàn)成功.

（1）請用列表法或樹狀圖法，表示出所有可能的結(jié)果.

（2）求小聰挑戰(zhàn)成功的概率.

20.（6分）如圖，在6義6的正方形網(wǎng)格中，點A,B,C均在格點上，請按要求作圖.

（1）在圖1中畫一個格點△ADE,使△AOES/XABC.

（2）在圖2中畫一條格點線段BP,交AC于點Q,使CQ=2AQ.

21.（6分）己知二次函數(shù)》=成+法（<7#0）的圖象經(jīng)過點A（2,4）,B（4,0）.

（1）求這個二次函數(shù)的表達式.

（2）將x軸上的點尸先向上平移3〃（〃>0）個單位得點尸1,再向左平移2"個單位得點

P2,若點尸1,P2均在該二次函數(shù)圖象上，求力的值.

22.（8分）如圖，四邊形A8CO內(nèi)接于半圓。，是直徑，C是面的中點，延長AO,BC

交于點E.

（1）求證：CE=CD.

（2）若AB=5,BC=V5.求的長.

23.（8分）某校需要訂購中考專用的某某款跳繩。條和排球2a個，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該款跳繩、

排球各商家均標(biāo)價為50元/條，40元/個，現(xiàn)有3家商店在做促銷活動如下表：

商店促銷活動

甲庫存充裕，全場9折.

乙?guī)齑娉湓＃刺讛?shù)（含1條跳繩和1個排球）

優(yōu)惠:30套及以內(nèi)，每套85元；超過30套，

每增加1套，所有套數(shù)套優(yōu)惠0.5元，但降

幅不超過15元.

丙僅庫存排球55個，排球每滿5個送1個

（1）若僅在一家商店購買，請用含。的代數(shù)式分別表示甲、乙兩店的費用，填寫下表.

a0<aW3030<aW60a>60

商店

甲_______

乙_____________________

（2）當(dāng)。=60時，請你通過計算設(shè)計一種購買方案，使得總費用不超過6220元.

24.（12分）如圖，在RtZXABC中，ZCAB=90°,AC=3,AB=4,AZ）_L8C于點。，射

線CE平行48交的延長線于點E,P是射線CE上一點（在點￡的右側(cè)），連結(jié)AP

交BC于點F.

（1）求證：

（2）若出二3,求里的值.

EP5AF

（3）以PF為直徑的圓經(jīng)過中的某一個頂點時，求所有滿足條件的“的長.

（備用圖）

2021-2022學(xué)年浙江省溫州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個選項是正確的，不選、

多選、錯選，均不給分）

1.【考點】中心對稱圖形.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，結(jié)合選項所給圖形進行判斷即可.把一個圖形繞某

一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對

稱圖形，這個點叫做對稱中心.

【解答】解：A.不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

B.不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D.是中心對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的知識，判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形

旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合.

2.【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】已知解析式為拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標(biāo).

【解答】解：???丫=-^鼠+4）2-5是拋物線解析式的頂點式，

...根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，頂點坐標(biāo)為（-4,-5）.

故選：A.

【點評】此題主要考查了求拋物線的頂點坐標(biāo)的方法.利用解析式化為y=a2+k,

頂點坐標(biāo)是Gi,k）,對稱軸是直線x=/z得出是解題關(guān)鍵.

3.【考點】可能性的大小.

【分析】先求出數(shù)字1對應(yīng)扇形圓心角度數(shù)，再比較圓心角度數(shù)大小即可.

【解答】解：由圖形知，1對應(yīng)扇形圓心角度數(shù)為360°-（50°+125°+65°）=120°,

所以數(shù)字3對應(yīng)扇形圓心角度數(shù)最大，

所以指針落在數(shù)字1,2,3,4所示區(qū)域內(nèi)可能性最大的是3號，

故選：C.

【點評】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件發(fā)生的可能性（概率）

的計算方法.

4.【考點】比例的性質(zhì).

【分析】利用比例的性質(zhì)逐一判斷即可.

【解答】解：A.因為三=2，所以3y=4無，故A不符合題意；

y4

B.因為三=3,所以史上=工，故B符合題意；

y4y4

C.因為三=旦，所以上力3,故C不符合題意；

y4y+15

D.因為工=3,所以9旦，故。不符合題意；

y4y+14

故選：B.

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.【考點】平行線分線段成比例；平行線.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和題目中的條件解答即可.

【解答】解:'：h//h//h,

?-?D-E=AB,=—2,

EFBC3

?EF=3=3

DF3+25

故選：c.

【點評】本題考查平行線分線段成比例，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需

要的條件，利用平行線分線段成比例解答.

6.【考點】垂徑定理；勾股定理.

【分析】連接如圖，先利用勾股定理計算出AD,再根據(jù)垂徑定理得到

所以

【解答】解：'：OC±AB,

；./ODB=90°,AB=2BD,

在中，0B=0C=5,?！?gt;=4,

:，BD=VQB2-OD2=752-42=3'

：.AB=2BD=6.

故選：D.

【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

7.【考點】點與圓的位置關(guān)系；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.

【分析】根據(jù)OA=OC,ZOAC=25°,所以/OCA=/OAC=25°,因為CA平分/

OCB,推出/BCA=/OCA=25°,則NAO8=2/BCA=2><25°=50°.

【解答】解：：OA=OC,ZOAC=25°,

.?./OCA=NOAC=25°,

平分/OC8,

：.ZBCA=ZOCA=25°,

.?.NAOB=2N8C4=2X25°=50°,

故選：B.

【點評】此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角

等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

8.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得可知△CDEs^BFE,再根據(jù)BC〃AD得

△BEFSAADF,可知與△ADF的周長之比為變萼，

FD7

【解答】解：：四邊形A8C。是平行四邊形，

J.CD//AB,BC//AD,

:ACDEs^BFE,

?CEDE4

"BE"EF"3"

???EF=-,3

FD7

'JBC//AD,

:.ABEFsAADF,

：.ABEF與AADF的周長之比為空屈，

FD7

故選：B.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似

三角形的基本模型是解題的關(guān)鍵.

9.【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，求得頂點坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象可以得到

當(dāng)尤＞0時，函數(shù)值y的取值范圍.

【解答】解：：二次函數(shù)y=o?+bx+c圖象過（2,0）,（0,2）,對稱軸為直線x=0.5,

4a+2b+c=0

.c=2

b1

云而

'a=-l

,?"b=l，

,c=2

.,.二次函數(shù)為＞=-X2+X+2,

''y=-7+x+2=-（x-A）2+_r,,

'24

頂點為（工，2）

24

由函數(shù)圖象可得，當(dāng)x＞0時，

4

故選：A.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)

的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.【考點】正多邊形和圓；扇形面積的計算；數(shù)學(xué)常識；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)正多邊形與圓的對稱性、垂徑定理以及正多邊形與圓的計算，可求出/A。。

=120°,NBOC=90°,由直角三角形的邊角關(guān)系求出OM、AM.BM,根據(jù)三角形的

面積公式進行計算即可.

【解答】解：如圖，連接。4、OB、OC,OD,過點。作OM_LA。，垂足為

由圓的對稱性可知，點A、點。是O。的三等分點，四邊形8CFE是正方形，

AZAOD=Ax360°=120°,ZBOC=Ax360°=90°,

34

在RtZ\AOM中，OA=2,ZAOM=60°,

：.OM=1OA=1,AM=^-OA=M，

22

在RtZYBOM中，ZBOM^45°,OM=1,

：.BM=OM=\,

：.AB^AM-BM=6-1,

...8個陰影三角形的面積和為：lx（V3-1）（V3-1）X8=16-8遍，

2

故選：c.

【點評】本題考查正多邊形和圓，理解正多邊形和圓的對稱性，掌握正多邊形和圓的相

關(guān)計算的方法是正確解答的前提.

二、填空題（本題有8小題，每小題3分，共24分）

11.【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【分析】根據(jù)y軸上點的坐標(biāo)特征，求自變量為0時的函數(shù)值即可.

【解答】解：把尤=0代入y=-/+2X+3得y=3,

所以拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0,3）.

故答案為（0,3）.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，若求與坐標(biāo)軸的交點，只需令x=0

或y=0即可.

12.【考點】比例線段.

【分析】設(shè)線段a,b的比例中項為c,根據(jù)比例中項的定義可得。2=仍，代入數(shù)據(jù)可直

接求出c的值，注意兩條線段的比例中項為正數(shù).

【解答】解：設(shè)線段。，b的比例中項為c,

是長度分別為4、1的兩條線段的比例中項，

.'.c2=aZ?=4X1,

.c—4,

.?.c=±2（負數(shù)舍去），

；.a、6的比例中項線段為2.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了比例線段.解題的關(guān)鍵是掌握比例中項的定義，如果a：c=c：

b,即。2=漏，那么c叫做。與6的比例中項.

13.【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【分析】連接04,由圓心角，弦，弧的關(guān)系可得結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)

可求解OB的長，進而可求解BC的長.

【解答】解：連接。4,

VAB=AG是直徑,

C.OALBC,

?：OA=OB,AB=2,

???OA=O8=WAB咚X2=?

.?.BC=20A=2A/2.

故答案為：K巧.

【點評】本題主要考查圓周角，弦，弧的關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，求解OA,OB

的長是解題的關(guān)鍵.

14.【考點】弧長的計算；圓周角定理.

【分析】首先根據(jù)圓周角定理求得弧所對的圓心角的度數(shù)，再進一步根據(jù)弧長的公式計

算即可.

【解答】解：根據(jù)圓周角定理，得弧所對的圓心角是50°,

根據(jù)弧長的公式/=5Q，KX3

1806

故答案為：S兀.

6

【點評】此題綜合考查了圓周角定理和弧長公式，解題的關(guān)鍵是熟記定理和弧長公式.

15.【考點】概率公式.

【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二

者的比值就是其發(fā)生的概率.

【解答】解：任意挑選一個餃子共有50種等可能結(jié)果，其中正好是包有幸運果餃子的有

5種結(jié)果，

所以正好是包有幸運果餃子的概率是區(qū)=工，

408

故答案為：1.

8

【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有“種可能，而且這些事件的可能性相同,

其中事件A出現(xiàn)機種結(jié)果，那么事件A的概率PG4)=旦.

n

16.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)/ABO=NC,NA=/A,得Z\ABDs^ACB,可得AC=8,從而得出答案.

【解答】解：:/ABD=NC,ZA^ZA,

：.AABD^AACB,

???AD22---AB,

ABAC

：AB=2A￡)=4,

?ADAB1

"AB"AC"2"

：.AC=2AB=8,

：.CD=AC-AD=8-2=6,

故答案為：6.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的基本模型是

解題的關(guān)鍵.

17.【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

【分析】由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)x=3時，y=-5.所以由題意知：當(dāng)2尤+1=3時，y=

-5.

【解答】解：由拋物線的對稱性質(zhì)知，對稱軸是直線》=昱3=1.

2

根據(jù)題意知，一元二次方程ax2+bx+c=-5的解為x=3或x=-1.

所以2x+l=3或2x+l=-1.

解得x=1或x=-1.

所以一元二次方程a(2尤+1)~+b(2x+l)+c=-5的解為：x=±l.

故答案是：x=±l.

【點評】本題主要考查了拋物線與無軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的

技巧性在于得到2尤+1=3.

18.【考點】含30度角的直角三角形；勾股定理的應(yīng)用；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)先過點E作斯，AP構(gòu)造出含30度角的直角三角形，利用其性質(zhì)得到線段

長度，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到AP,最后根據(jù)圖象利用A8-AP即可求解；

(2)首先根據(jù)題意畫圖，明確求出即所得，設(shè)出AC長度，利用兩個直角形的公共

邊，結(jié)合勾股定理列出方程求解，最后利用線段相加即可解決.

【解答】解（1）如圖，過點E作垂足為R

YE是PC的中點，

：.PE=EC=1PC=2O-/I5cm,

2

XVA￡=Apc,

2

：.AE=PE=CE=204l5cm,

在RtzXPE/中，ZAP￡=30°,產(chǎn)￡=20百^7九，

：.PF=PE-cosZAPE

=2(h/I^X返

2

=3oV5(cm),

VAE=PE,EFLAB,

：.AP=2PF=60yf5cm,

：.BP=AB-AP

=120A/5-60A/5

=60\/^(cm).

(2)由題意可知，當(dāng)A、。、。三點共線時，此時AC_LAP,

如圖所示：過點。作。尸，地面，交地面水平線為R

VZDAP=ZB=ZDFB=90°,

，四邊形ABF。為矩形,

：.AD=BF,

設(shè)AC=x,

在RtAACP和RtAPDA中,

：.CP2-AC2=DP2-DA2,

（40715）2-X2=3002-（40V15+X）2;

解得尤=35后，

：.BF^AD=AC+CD^75Vl（cm）,

???當(dāng)太陽光線恰好與地面垂直，則落在地面上的陰影為75^。小

故答案為：6075；75^15-

【點評】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的

性質(zhì)和判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出問題所需要的的條件.

三、解答題（本題有6小題，共46分）

19.【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】（1）畫出樹狀圖即可；

（2）由（1）可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中小聰挑戰(zhàn)成功的結(jié)果有6種，再由概

率公式求解即可.

【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：

白白白紅

白白紅白白紅白白紅白白白

共有12種等可能的結(jié)果；

（2）由（1）可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中小聰挑戰(zhàn)成功的結(jié)果有6種,

，小聰挑戰(zhàn)成功的概率為且=2.

122

【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事

件.解題時注意：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20.【考點】作圖-相似變換.

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定，并結(jié)合網(wǎng)格求解即可；

（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，并結(jié)合網(wǎng)格特點求解即可.

【解答】解：(1)如圖1所示，△&￡>￡即為所求;

(2)如圖2所示，線段即為所求.

【點評】本題主要考查作圖一相似變換，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及

平行線分線段成比例定理.

21.【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點

的坐標(biāo)特征.

【分析】(1)把A點和8點坐標(biāo)分別代入y=o?+6x,利用待定系數(shù)法即可求得；

(2)設(shè)尸(x,0),由題意可知尸1(無，3”)，Pi(x-2n,3”)，根據(jù)平移的性質(zhì)得出Pi

(尤，3〃)和尸2(尤-2”，3n)是對稱點，即可得到x+x-2n=-------4------解得彳=〃+2,

22X(-1)

即Pl(〃+2,3n),代入y=-f+4x得到關(guān)于”的方程，解方程即可求得.

【解答】解：(1)把A(2,4)和B(4,0)分另U代入y=a/+bx得2b=4,

I16a+4b=0

解得門"I,

lb=4

二次函數(shù)的表達式為y=-JT+4X；

(2)設(shè)P(x,0),

:點尸先向上平移3”(〃>0)個單位得點P,再向左平移2〃個單位得點P2,

?'?P1(%,3〃)，尸2(x-In,3幾)，

?x+x-2n__4

一~2X(-1)'

.?.x=〃+2,

.,.Pl(n+2,3〃)，

??,點Pi在該二次函數(shù)圖象上，

「?3〃=-(〃+2)2+4(〃+2),

解得m=l,n2=-4（舍去）,

：.n的值為1.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和待定

系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；會運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；能用含n的代數(shù)式

表示尸1的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

22.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【分析】（1）連接AC,根據(jù)C是面的中點，得NE4c=N8AC,根據(jù)AB是直徑，知/

ACE=/ACB=90°,再利用ASA證明△ACE0A4C3,得BC=EC,從而證明結(jié)論；

（2）連接80,利用兩個角相等證明△ABCs/XBEO,得幽注，可得的長，從而

BEED

得出答案.

【解答】（1）證明：連接AC,

是俞的中點，

?1.CD=CB-

：.ZEAC^ZBAC,CD=CB,

,：AB是直徑，

AZACE=ZACB=90°,

在△ACE與△AC8中，

，ZEAC=ZBAC

,AC=AC，

ZACE=ZACB

.,.△ACE0△ACB(ASA),

：.BC=EC,

:.CD=CE；

（2）解：連接8。,

：?BE=BC+CE=2爬,

???四邊形ABCD內(nèi)接于半圓0,

ZABC+ZAZ)C=180°,

VZAZ)C+ZCZ)E=180o,

???/ABC=/CDE,

■:CE=CD,

：.ZE=ZCDE=ZABC,

TAB為直徑，

ZADB=90°,

：.ZBDE=90°,

VZACB=ZBDE=90°,NABC=NE,

：.AABCsABED,

?ABBC

**BEW

?54,

"2遙F’

:?ED=2,

AACE^AACB,

.\AE=AB=5,

：.AD=AE-ED=5-2=3.

【點評】本題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，相似三角形的判定與性

質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ABCsZXB即是解題的關(guān)鍵.

23.【考點】列代數(shù)式；代數(shù)式求值.

【分析】(1)甲：根據(jù)“單價X數(shù)量=總價”進行計算即可，

乙：先分清楚由多少套，然后計算按套算的總價和剩余排球總價，最后將兩部分的費用

相加即可；

(2)先討論只在甲店和只在乙店購買所需的費用，然后討論在甲店和丙店與在乙店和丙

店購買的費用，進而得到符合條件的方案.

【解答】解:(1)甲：0.9X(50a+40X2a)=117。(元)，

乙：當(dāng)0<aW30時，共組成°套，剩余“個排球，

所需費用為854+40a=125。(元)，

當(dāng)30<aW60時，共組成a(a>30)套，剩余a個排球，

所需費用為aX[85-0.5(a-30)]+40a=(-0.5a2+140a)元，

當(dāng)60<a口寸，共組成a套，剩余a個排球，

，所需費用為(85-15)a+40a=110。元，

故答案為：117a,125a,-0.5a2+140a,110a.

(2)①只在甲店買所需費用為：(60X50+120X40)X0.9=7020(元)，

②只在乙店買所需費用為：-0.5X6()2+140X60=6600(元)，

③在乙店購買60套，丙店購買45個排球，送9個排球，在甲店購買6個排球，所需費

用為：

(85-30X0.5)X60+45X40+40X0.9X6=6216(元)，

；?購買方案為：在乙店購買60套，丙店購買45個排球，送9個排球，在甲店購買6個

排球.

【點評】本題考查了列代數(shù)式，求代數(shù)式的值，解題關(guān)鍵是讀懂題意，正確列出代數(shù)式.

24.【考點】圓的綜合題.

【分析】(1)利用同角的余角相等可得/CE4=/ACB,可證明結(jié)論；

(2)由(1)得得30,則CE=9,EP=工，從而得出CP的長,

4344

再利用△CFPs.B外，可得空

AFBA2

(3)分以尸尸為直徑的圓經(jīng)過中的一個頂點?；駿或8,分別畫出圖形，利用相

似三角形的判定與性質(zhì)進行解題.

【解答】(1)證明：：CE〃A8,

：.ZCAB+ZACE=1SQ°,

VZCAB=90",

/.ZAC￡=90°,

AZACB+ZECD=90°,

*：ADLBC,

：.ZCDE=90°,

AZAEC+ZECD=90°,

：.ZCEA=ZACB.

：.AACE^ABAC；

(2)解：由(1)得△ACES^BAC,

?ACg,

?京隨

?

??-3--=--C--E-,

43

：.CE=1,

4

??CE3

?EPV

4

；.CP=CE+EP=6,

VCP//AB,

：./\CFP^/\BFA,

?PFCP3.

"AF"BA"2"

(3)解：當(dāng)以P尸為直徑的圓經(jīng)過△8DE中的一個頂點。時,

AP與AE重合，點P與點E重合，不符合題意，

當(dāng)以PE為直徑的圓經(jīng)過△BOE中的一個頂點E時,

E

連接ER則NPEV=90°，

VZPCA=90°,

J.EF//AC,

:?△PEFsXpcN,

?；/FCE=NCBA,

AtanZFCE=tanZCBA,

,.tanZFC￡=1L^-4EF'ta叱CBA噴售

CE9

T，

由（1）知,CE=2

4

,:PC=PE+CE=PE+*,ZL月1

4PCCA

.*.PE=&

28

以P尸為直徑的圓經(jīng)過△BOE中的一個頂點B時,

E

連接BP,

則/EBP=90°,BPLBC,

'：AE±BC,

C.BP//AE,

"JEP//AB,

...四邊形EABP是平行四邊形，

：.EP=AB=4,

綜上所述，滿足條件的“的長為4或旦1.

28

【點評】本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，平行

四邊形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形是解題的關(guān)鍵，

同時滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

考點卡片

1.數(shù)學(xué)常識

數(shù)學(xué)常識

此類問題要結(jié)合實際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解.比如給出一個物體的高度

要會選擇它合適的單位長度等等.

平時要注意多觀察，留意身邊的小知識.

2.列代數(shù)式

（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，

就是列代數(shù)式.

（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義.列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關(guān)鍵詞語，

仔細辯析詞義.如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分.②

分清數(shù)量關(guān)系.要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系.③注意運算順序.列代數(shù)式

時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低

級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來.④規(guī)范書寫格式.列代數(shù)時要按要求

規(guī)范地書寫.像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除

法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括

號，什么時要加括號.注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運用.⑤正確進行代換.列代數(shù)式時，有時

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換.

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題

1.在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量.

2.要注意書寫的規(guī)范性.用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“義”

簡寫作“丫或者省略不寫.

3.在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成

假分數(shù).

4.含有字母的除法，一般不用“!”（除號），而是寫成分數(shù)的形式.

3.代數(shù)式求值

（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

(2)代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計算.如果給出的代數(shù)式可以化簡，要

先化簡再求值.

題型簡單總結(jié)以下三種：

①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；

②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；

③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡.

4.二次函數(shù)的圖象

(1)二次函數(shù)>=蘇QWO)的圖象的畫法：

①列表：先取原點(0,0),然后以原點為中心對稱地選取無值，求出函數(shù)值，列表.

②描點：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點.

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點.

④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂

點的兩側(cè)各取三四個點即可.連線成圖象時，要按自變量從小到大(或從大到小)的順序用

平滑的曲線連接起來.畫拋物線〉=/QW0)的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描

點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè).

(2)二次函數(shù)y=af+6x+c(aWO)的圖象

二次函數(shù)(aWO)的圖象看作由二次函數(shù)丫=點的圖象向右或向左平移|』-|個

2a

單位，再向上或向下平移信空上I個單位得到的.

4a

5.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)(〃W0)的頂點坐標(biāo)是(-上，4ac-b),對稱軸直線冗=-應(yīng)，

2a4a2a

二次函數(shù)y=〃x2+bx+c(〃W0)的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)〃>0時，拋物線y=o?+法+c(〃wo)的開口向上，xV時，>隨x的增大而減小；

2a

2

x>-a時，>隨X的增大而增大；X=--J時，y取得最小值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當(dāng)a<0時，拋物線y=ax2+bx+cQW0)的開口向下，-上時，y隨x的增大而增大;

2a

2

x>-2時，y隨X的增大而減??；x=-2時，y取得最大值即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線y=o?+fcc+c（aWO）的圖象可由拋物線y=o?的圖象向右或向左平移|-2|個單

2a

位，再向上或向下平移|4ac-b2?個單位得到的.

4a

6.二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

2

二次函數(shù)y=o?+6x+cQW0）的圖象是拋物線，頂點坐標(biāo)是（-也，4蛇心.）.

2a4a

①拋物線是關(guān)于對稱軸尤=-2成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足

2a

函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.頂點是拋物線的最高點或最低點.

②拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值.

③拋物線與X軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（XI,0）,（X2,0）,則其

對稱軸為x=—~.

2

7.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方

法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.

8.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：

①一般式：>=。尤2+公+。（。,b,。是常數(shù)，。#0）；②頂點式：y—a（x-A）2+k（.a,h,k

是常數(shù)，aWO）,其中"，k）為頂點坐標(biāo)；③交點式：y=a（x-xi）（x-尤2）（a,b,c

是常數(shù)，aWO）；

（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系

式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列

三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；

當(dāng)已知拋物線與尤軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解.

9.拋物線與x軸的交點

求二次函數(shù)y=a/+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0,HPcu?+bx+c

=0,解關(guān)于尤的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo).

（1）二次函數(shù)y=ax2+foc+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）的交點與一元二次方程以2+法+。=（）

根之間的關(guān)系.

△=啟-4ac決定拋物線與無軸的交點個數(shù).

△=廬-4℃>0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=廬-4℃=0時，拋物線與x軸有1個交點；

△=啟-4℃<0時，拋物線與x軸沒有交點.

（2）二次函數(shù)的交點式：y=a（x-xi）（x-X2）（a,b,c是常數(shù)，aWO）,可直接得到拋

物線與無軸的交點坐標(biāo)（xi,0）,（以，0）.

10.平行線

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）.

（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線.

記作：a//b；

讀作：直線。平行于直線6.

（2）同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交，對于這一知識的理解過程中要注意:

①前提是在同一平面內(nèi)；

②對于線段或射線來說，指的是它們所在的直線.

11.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相

等、角相等的重要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、

底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，

有時不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴

全等三角形的思維定勢,凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決.

12.含30度角的直角三角形

（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：

在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的

相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù).

（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角

形或一般直角三角形不能應(yīng)用；

②應(yīng)用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊.

13.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么。2+d=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式的變形有：o=^c2-^2,b=q?2_22及C=/a2+b2.

(4)由于/+呈=02>/,所以。>小同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

14.勾股定理的應(yīng)用

(1)在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

(2)在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，

關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)

用.

(3)常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線

段的長度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為

邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和.

③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正

整數(shù)的直角三角形的斜邊.

15.平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

(2)平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

(3)平行線間的距離處處相等.

(4)平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

16.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在

的直線；對稱中心是兩條對角線的交點.

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

17.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有

四條對稱軸.

18.垂徑定理

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

19.圓心角、弧、弦的關(guān)系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它

們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧