《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)確立依據(jù)

（一）課程標(biāo)準(zhǔn)要求及解讀

1.課程標(biāo)準(zhǔn)要求

借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小

值，理解它們的作用和實(shí)際意義.

2.課程標(biāo)準(zhǔn)解讀

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求分四個(gè)層次：第一，借助對(duì)函數(shù)圖象

的觀察、分析、歸納，經(jīng)歷從具體的直觀描述到形式的符號(hào)表達(dá)的抽

象過程，加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解.第二，會(huì)從解析式的角度證

明函數(shù)單調(diào)性，即用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.第三，借助圖形發(fā)現(xiàn)直

線斜率與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，引入函數(shù)的平均變化率，由形到數(shù)螺旋

上升，會(huì)用平均變化率證明函數(shù)的單調(diào)性.第四，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)

性求最值.函數(shù)的單調(diào)性是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的重要內(nèi)容，也是

研究變量變化范圍的有力工具.

（二）教材分析

內(nèi)容：本節(jié)內(nèi)容是人教B版必修一3.1.2的內(nèi)容，是一節(jié)概念性

知識(shí)，屬于函數(shù)的基本性質(zhì).課時(shí)分配為2課時(shí)，本節(jié)課為第1課時(shí).

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念之后學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)性質(zhì)，也

是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫的性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是培

養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的重要內(nèi)容，也是研究變量變化范圍的有力工具.

因此，應(yīng)把這一內(nèi)容視為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的奠基性活動(dòng).函數(shù)

單調(diào)性的研究體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法：加強(qiáng)數(shù)形的結(jié)合，由直

觀到抽象，由特殊到一般.函數(shù)的單調(diào)性為研究函數(shù)的其他性質(zhì)起到

了示范作用，提供了方法依據(jù).

地位：函數(shù)的單調(diào)性有著承前啟后的作用.一方面，初中數(shù)學(xué)的

許多內(nèi)容在解決函數(shù)的某些問題中得到了充分的運(yùn)用，另一方面，函

數(shù)的單調(diào)性與前一節(jié)函數(shù)的概念和圖像的知識(shí)的延續(xù)有著密切的聯(lián)

系，函數(shù)的單調(diào)性與后面的奇偶性是今后研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、

幕函數(shù)及三角函數(shù)等其他函數(shù)的基礎(chǔ).

（三）學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是威海二中高一年級(jí)的學(xué)生.

從學(xué)生的知識(shí)上看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例

函數(shù)、函數(shù)的概念及表示，能畫出一些簡單函數(shù)的圖象，從圖象的直

觀變化，學(xué)生能粗略的領(lǐng)會(huì)函數(shù)增減性的概念，從而引入函數(shù)單調(diào)性

的定義也就水到渠成.

從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力來看，通過初中對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)和實(shí)驗(yàn)，學(xué)

生已具備一定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經(jīng)驗(yàn)，在一

定程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉(zhuǎn)換能力.

從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看，學(xué)生頭腦中雖有一些函數(shù)性質(zhì)的實(shí)物實(shí)

例，但并沒有上升為“概念”的水平，如何“定性”“定量”的描述

函數(shù)性質(zhì)是學(xué)生關(guān)注的問題，也是學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)問題.函數(shù)的單調(diào)性

是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)，學(xué)生渴望進(jìn)一

步學(xué)習(xí)，這種積極心態(tài)是學(xué)生學(xué)好本節(jié)課的情感基礎(chǔ).但是如何運(yùn)用

數(shù)學(xué)符號(hào)將自然語言的描述轉(zhuǎn)化為形式化的定義，學(xué)生接受起來還比

較困難.在教學(xué)中要多引導(dǎo)，讓學(xué)生真正的理解函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)平

均變化率的定義.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.通過觀察、分析函數(shù)圖象，能用符號(hào)語言歸納出函數(shù)單調(diào)性

的定義；

2.能根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，并能根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的

定義證明函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性；

3.通過小組合作能歸納出直線斜率與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并能

用符號(hào)語言歸納出函數(shù)平均變化率的定義；

4.能根據(jù)函數(shù)平均變化率證明函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性.

三、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

目標(biāo)1評(píng)價(jià)：80%的同學(xué)能用符號(hào)語言歸納出函數(shù)單調(diào)性的定義;

目標(biāo)2評(píng)價(jià)：95%以上的同學(xué)能準(zhǔn)確完成課堂檢測1,師生共同

完成函數(shù)單調(diào)性的定義證明，學(xué)生能總結(jié)出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的

步驟；

目標(biāo)3評(píng)價(jià)：通過小組討論90%的同學(xué)能由圖象歸納出直線斜

率與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并能得出函數(shù)平均變化率的定義；

目標(biāo)4評(píng)價(jià)：師生共同完成用函數(shù)平均變化率證明函數(shù)單調(diào)性，

學(xué)生能總結(jié)出用平均變化率證明函數(shù)單調(diào)性的步驟.

四、教學(xué)方法

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生情況和教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)中采用“教

師設(shè)疑引導(dǎo)，學(xué)生自主探究”的教學(xué)方法.通過啟發(fā)引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生

的思維，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究、合作、展示，使其在探究中對(duì)問題本

質(zhì)的思考逐步深入，思維水平不斷提高.

針對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)一一函數(shù)單調(diào)性的證明，教學(xué)中采用直觀到抽

象，特殊到一般，感性到理性的教學(xué)過程，先通過討論具體函數(shù)圖像

的上升或下降直觀描述發(fā)現(xiàn)問題，再把具體的、直觀形象的單調(diào)性特

征抽象出來，用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述.

本節(jié)課的難點(diǎn)之一是單調(diào)性概念的得出.教學(xué)中采用教師啟發(fā)引

導(dǎo)，學(xué)生自主、合作、探究的教學(xué)方法，以及多媒體直觀教學(xué)的恰當(dāng)

應(yīng)用，使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從“形”的直觀到“數(shù)”

的推理，使學(xué)生對(duì)單調(diào)性概念的理解水到渠成,逐層深入，步步升華.

本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)是函數(shù)的平均變化率的得出.教學(xué)中通過引

入直線的斜率，設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像，探尋直線斜率與函數(shù)單

調(diào)性的關(guān)系，從而得出證明函數(shù)單調(diào)性的另一途徑及函數(shù)的平均變化

率的的定義.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【教學(xué)過程】

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

情境：艾賓浩斯記憶曲線

這個(gè)函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律?

你能從中得到什么啟發(fā)？

這是一條衰減曲線，隨著時(shí)間的推移，記憶的保持兩逐漸減小，

第一天遺忘的速度最快，一天之后遺忘的速度趨于緩慢，這一規(guī)律提

醒我們：在學(xué)習(xí)新知識(shí)的時(shí)候，一定要及時(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)和鞏固，以便加

深理解和記憶.

生活中很多與數(shù)據(jù)相關(guān)的問題：比如氣溫變化，工廠效益、股

票行情等等，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對(duì)我們的生活很有幫助.而

這些數(shù)據(jù)的變化，用函數(shù)的觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量變化時(shí)，函

數(shù)值的變化規(guī)律.

【學(xué)生活動(dòng)】感受生活中的數(shù)學(xué)，體會(huì)了解函數(shù)的變化規(guī)律有助于把

握事物的變化規(guī)律.

【教師活動(dòng)】通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)無處不在，數(shù)學(xué)

對(duì)生活的影響無處不在.

【設(shè)計(jì)意圖】生活情境引入新課,可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生感

悟數(shù)學(xué)來源于生活，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決生活中的實(shí)際問題.

（二）觀察類比，生成概念

問題1:觀察上圖中各個(gè)函數(shù)的圖像，你能說說它們分別反映了相應(yīng)

函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變化規(guī)律嗎？

【學(xué)生活動(dòng)】從個(gè)人觀察的角度，描述圖像反映的函數(shù)的變化規(guī)律.

【教師活動(dòng)】肯定學(xué)生多角度發(fā)現(xiàn)函數(shù)變化規(guī)律，并糾正學(xué)生語言表

述的準(zhǔn)確性.提出函數(shù)的性質(zhì)有很多，引出本節(jié)課要研究的是隨著自

變量不斷增大，函數(shù)值是增大還是減小這個(gè)特征.引導(dǎo)學(xué)生讀圖分析,

直觀感知單調(diào)性這一性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】1.由圖象認(rèn)識(shí)增函數(shù)與減函數(shù),直觀且易于學(xué)生接

受.2.為單調(diào)函數(shù)定義中關(guān)鍵詞“區(qū)間上”作鋪墊.3.讓學(xué)生初步體

會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

問題2：怎樣用不等式符號(hào)表示“y隨x的增大而增大”，“y隨x的增

大而減小”？

【學(xué)生活動(dòng)】預(yù)案：隨》的增大而增大”用“也<々，必<必”符號(hào)表

示；

“y隨x的增大而減小”用乜<%%>為”符號(hào)表示；

【教師活動(dòng)】肯定學(xué)生同時(shí)提出問題3引導(dǎo)學(xué)生突破本節(jié)課的函數(shù)單

調(diào)性定義的一個(gè)難點(diǎn)“任意性”.

【設(shè)計(jì)意圖】從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，從圖像的直觀認(rèn)識(shí)，到變量

的數(shù)值增減理解，形象的“上升”和“下降”的規(guī)律對(duì)應(yīng)到函數(shù)在變

量值上的變化規(guī)律.

問題3：在區(qū)間［1,可上，當(dāng)1<3恰有/(1)</(3),一定能保證函數(shù)圖象在

區(qū)間［1,3］上是上升的嗎？

【學(xué)生活動(dòng)】預(yù)案:學(xué)生能畫出函數(shù)圖象在區(qū)間I上不是一直上升，

認(rèn)識(shí)到問題的根源在不能取特值，要在區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量展，龍2.

【教師活動(dòng)】適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“任意”的含義.

【設(shè)計(jì)意圖】突破本課難點(diǎn)之一：用“任意”的必要性.讓學(xué)生初步

理解單調(diào)性定義里的不等關(guān)系，突破了立足于大小比較的符號(hào)語言的

生成這個(gè)難點(diǎn)之后，引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量

匹，馬.突破了“任意…都…”這個(gè)句式的理解難點(diǎn)把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)

由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度,對(duì)增函數(shù)作初步理解.通過設(shè)計(jì)快問

快答的預(yù)備“小問題串”，貼切學(xué)生思維，拉升思維速度，極大地滿

足學(xué)生的成功感，樹立了學(xué)生的自信，激發(fā)了探索欲望.

問題4：如何用符號(hào)語言刻畫函數(shù)y=/（x）在定義域D內(nèi)某個(gè)區(qū)間

I上是增函數(shù)？

【師生活動(dòng)】：師生合作歸納得到增函數(shù)定義（此處增函數(shù)定義得到

完善，師完善板書）

增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)/（尤）的定義域?yàn)镈,/uOvx,/e/，當(dāng)玉

時(shí)，都有/區(qū)）</（々），則稱函數(shù)/（幻在區(qū)間D上是增函數(shù).（板書）

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力，培

養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

問題5：類比增函數(shù)的定義，你能得到減函數(shù)的定義嗎？

【師生活動(dòng)】全班類比得出減函數(shù)的定義,這次教師指出要求全部大

聲朗讀減函數(shù)的定義.

減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镈,/uOVx”/€/,當(dāng)X1<%2

時(shí)一，都有/區(qū)）〉/（々），則稱函數(shù)/（X）在區(qū)間D上是減函數(shù)

【設(shè)計(jì)意圖】類比增函數(shù)的定義得到減函數(shù)的定義，滲透類比、分類

整合等數(shù)學(xué)思想.，形成由特殊到一般，由局部到整體等研究問題的

一般方法.

問題6：利用函數(shù)解析式判斷單調(diào)性時(shí)，/（百）與的大小關(guān)系怎樣

比較？

【學(xué)生活動(dòng)】思考聯(lián)想到做差的方法

【設(shè)計(jì)意圖】通過思考，認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性定義與不等式的關(guān)系，為證

明函數(shù)單調(diào)性作鋪墊.

(師用多媒體給出：如果函數(shù)y=在區(qū)間/上是增函數(shù)或減函數(shù)，

那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性.區(qū)間/叫做丁=/(幻

的單調(diào)區(qū)間.)

問題7：能否說y在定義域內(nèi)是減函數(shù)？為什么？

X

【學(xué)生活動(dòng)】預(yù)案⑴函數(shù)在(-哈。)和(0,+8)都是減函數(shù)，所以在其定義

域是減函數(shù)是正確的;⑵舉反例，取玉=-1,々=2,/(-1)=-1</(2)=；,

所以在(-8,0)u(0,+oo)是減函數(shù)是錯(cuò)誤的.

【教師活動(dòng)】對(duì)學(xué)生判斷做出評(píng)價(jià)，并指出函數(shù)=■在定義域內(nèi)

X

的區(qū)間單調(diào)但在定義域上并不單調(diào).引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)性是

對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生之間的交流，舉出反例，使學(xué)生能夠正確理解

單調(diào)性與區(qū)間相對(duì)應(yīng)，并能正確書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【課堂檢測1】

函數(shù)y=/(x),在［-6,-4］上是增函數(shù)，在［-4,-2］上是函數(shù),

在［-2,-1］上是函數(shù)，在［3,6］上是函數(shù)。

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成教師予以評(píng)價(jià)

【設(shè)計(jì)意圖】考查對(duì)單調(diào)性定義、單調(diào)區(qū)間的理解，同時(shí)獲得判斷單

調(diào)性的直觀方法一--圖象法.

問題8:如何從函數(shù)解析式證明了(x)=2x+l的單調(diào)性？

【學(xué)生活動(dòng)】獨(dú)立思考，并展示自己的觀點(diǎn).

【教師活動(dòng)】板書學(xué)生觀點(diǎn)，并予以完善.通過問題8引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)

比》=2為定值，得出（1）2為斜率（2）斜率為正，函數(shù)為增函

王一々

數(shù).

【學(xué)生活動(dòng)】總結(jié)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何分析問題，并初步體會(huì)用定義法證明單

調(diào)性的過程中邏輯的嚴(yán)密性和言必有據(jù)；增強(qiáng)了學(xué)生運(yùn)用代數(shù)法描述

單調(diào)性的信心.

（三）合作探究，深化概念

問題9：直線丁=履+匕如何用A（*1，X）8（入‘2，%）（%產(chǎn)%）兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出

%?

【學(xué)生活動(dòng)】類比問題8得出直線斜率的公式.

【教師活動(dòng)】指明直線斜率的公式與A,B兩點(diǎn)的順序無關(guān)，當(dāng)％,

直線的斜率不存在，直線AB的斜率反映了直線相對(duì)于x軸的傾斜程

度.

【設(shè)計(jì)意圖】由定義法證明中的兩個(gè)關(guān)鍵的量：々一百，結(jié)合直

角三角形，學(xué)生較容易得出直線斜率公式，為探究斜率與函數(shù)單調(diào)性

關(guān)系做準(zhǔn)備.

問題10：思考任一個(gè)函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)確定的直線的斜率是否一定

存在？

【師生活動(dòng)】預(yù)案有的學(xué)生可能說不存在，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)定

義，明確函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)可以確定的直線的斜率.

【設(shè)計(jì)意圖】為探究直線斜率與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系做準(zhǔn)備.

問題11:觀察函數(shù)圖像在區(qū)間I上任意兩點(diǎn)連線的斜率的符號(hào)與函

數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，你能總結(jié)出什么規(guī)律？（小組合作）

【學(xué)生活動(dòng)】通過先自主再合作，小組互助研討解決探究問題，并展

示自己的觀點(diǎn).

【教師活動(dòng)】提出問題，放手學(xué)生解決，巡視、適當(dāng)點(diǎn)撥.

【設(shè)計(jì)意圖】從“形”的角度認(rèn)識(shí)到直線斜率與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，培

養(yǎng)學(xué)生思考的習(xí)慣和探究問題的能力，通過合作學(xué)習(xí)互促提升，突破

難點(diǎn).

問題12：上述結(jié)論能否用符號(hào)語言闡述函數(shù)y=/（x）在定義域D內(nèi)

某個(gè)區(qū)間I上是增函數(shù)（或減函數(shù)）？

【教師活動(dòng)】提出問題，引導(dǎo)學(xué)生將斜率用電表示函數(shù)y=/（x）在定

Ax

義域D內(nèi)某個(gè)區(qū)間I上是增函數(shù)（或減函數(shù)）的充要條件.

【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生思考嘗試歸納.

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力，培

養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（師板書結(jié)合多媒體給出：

一般地，若/是函數(shù)y=/（x）的定義域的子集，對(duì)任意否且工產(chǎn)超

記y=/(%]),8=f(x)，登=—~—即包1=/(%2)-/(占),

2，則

zxxx2—xxArx2—x,J

(1)y=/(x)在I上是增函數(shù)的充要條件是包〉0在/上恒成立

Ax

(2)y=〃x)在/上是減函數(shù)的充要條件是包＜0在/上恒成立.

函數(shù)平均變化率：一般地，當(dāng)X產(chǎn)X,時(shí)，稱筮=/&)—/a)為函數(shù)

Axx2-x{

y=/(x)在區(qū)間卜，々卜＜入2時(shí))或國，芯］(用時(shí))上的平均變化率?

問題13:如何利用函數(shù)平均變化率證明/(x)=2x+l的單調(diào)性?

【學(xué)生活動(dòng)】獨(dú)立思考，并展示自己的觀點(diǎn).

【教師活動(dòng)】板書學(xué)生觀點(diǎn)，并予以完善.

【學(xué)生活動(dòng)】總結(jié)用平均變化率證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何分析問題，并初步體會(huì)用平均變化率證

明函數(shù)單調(diào)性的過程中邏輯的嚴(yán)密性和言必有據(jù)；體會(huì)平均變化率相

對(duì)于定義法證明的簡潔性.

【課堂檢測2】：求證：函數(shù)y=L在區(qū)間(-00,0)上是的減函數(shù)。

X

【學(xué)生活動(dòng)】獨(dú)立思考，并展示自己的作業(yè).

【教師活動(dòng)】點(diǎn)評(píng)學(xué)生作業(yè)，提出若在(0,+8)如何證明，學(xué)生體會(huì)到

證明過程類似，并能找出不同點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】檢測學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)掌握情況.

(師：平均變化率不僅僅體現(xiàn)在證明函數(shù)單調(diào)性，在其他領(lǐng)域也有應(yīng)

用，如同學(xué)們熟悉平均速度、平均加速度。正如物理學(xué)家楊振寧指出

“可以用兩片生長在一根管徑上的葉子來形象化的說明數(shù)學(xué)和物理

之間的關(guān)系.數(shù)學(xué)和物理是同命相連，他們的生命交接在一起.物理學(xué)

中大量的物理規(guī)律是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來進(jìn)行研究的.把物理問題轉(zhuǎn)化成

數(shù)學(xué)問題，找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行分析和詮釋是解決

物理問題的一條有效途徑.后續(xù)我們會(huì)對(duì)平均變化率進(jìn)行進(jìn)一步研

究.）

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)內(nèi)容在其他學(xué)科有著廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)

習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

（四）反思?xì)w納，總結(jié)提升

對(duì)照學(xué)習(xí)目標(biāo)自我評(píng)價(jià)本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成情況,并在此基

礎(chǔ)上總結(jié)提升.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

（關(guān)鍵詞：三種語言，證明函數(shù)單調(diào)性的方法，數(shù)學(xué)思想，情感體驗(yàn)

等）

【設(shè)計(jì)意圖】框架提示給出小結(jié)反思的方向，有利于學(xué)生形成小結(jié)的

學(xué)習(xí)習(xí)慣.

結(jié)束語：希望同學(xué)們今后會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的

思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)世界.

（五）課后作業(yè)，任務(wù)后延.

一、鞏固性作業(yè)：單調(diào)性評(píng)測練習(xí)

二、探究性作業(yè)：

1.根據(jù)你對(duì)最值的認(rèn)識(shí)，如何用符號(hào)語言刻畫函數(shù)y=/（x）在定義域

D的最值？

嘗試用不同的方法求解函數(shù)/（x）=3x+5,xe[-l,6]上的最值.

2.判斷一次函數(shù)產(chǎn)質(zhì)+M攵wo）的單調(diào)性.

―■、拓展閱讀

俗話說“一分耕耘一分收獲”，那么在實(shí)際生活中，如果把收獲

看成付出的函數(shù)，它們之間的關(guān)系可以怎樣描述呢？如果同樣多的付

出所得到的收獲總是相等，那么收獲是付出的線性函數(shù)，其圖像可以

用圖1表示，例如，以均速方式駕駛汽車時(shí)，行駛的里程與所用的時(shí)

間之間的關(guān)系就是如此.如果隨著付出的增長，同樣多的付出所得到

的收獲不一定相等，那么收獲就是付出的非線性函數(shù)，例如，在我們

學(xué)習(xí)新的知識(shí)時(shí)，可能一開始效率會(huì)比較高，單位時(shí)間的付出得到的

收獲會(huì)比較大，但隨著付出的時(shí)間越來越多，單位時(shí)間的付出得到的

收獲會(huì)變少，如圖2所示.有時(shí)還可能付出增加會(huì)導(dǎo)致收獲減少，想

想家長過分溺愛孩子的后果吧，這種情況可用圖3表示.你能說出收

獲與付出的其它關(guān)系嗎？另外從這里也可以看出利用圖形的形象與

直觀能夠幫助我們更好地描述和理解有關(guān)的原理，你體會(huì)到了嗎？日

常生活中這樣的例子還有很多，嘗試去發(fā)現(xiàn)一下吧.

（六）板書設(shè)計(jì)

3.1.2函數(shù)的單調(diào)性

一、定義：二、函數(shù)的平均變化

V/(^2)-/(^1)

一般地，設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)椤?九1W九2)

Axx2-xt

IuD,Vxj,x2w/,y=/(x)在/上是增(減)函

數(shù)的充要條件是包＞0(包＜0)

當(dāng)西＜々時(shí)，都有/(3)＜/(》2)在/恒成立

(/(%,)＞/(x2))

就說函數(shù)"X)在區(qū)間/上是增(減)函數(shù).

三、例題

《函數(shù)的單調(diào)性》學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是威海二中高一年級(jí)的學(xué)生.

從學(xué)生的知識(shí)上看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例

函數(shù)、函數(shù)的概念及表示，能畫出一些簡單函數(shù)的圖象，從圖象的直

觀變化，學(xué)生能粗略的領(lǐng)會(huì)函數(shù)增減性的概念，從而引入函數(shù)單調(diào)性

的定義也就水到渠成.

從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力來看，通過初中對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)和實(shí)驗(yàn)，學(xué)

生已具備一定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經(jīng)驗(yàn)，在一

定程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉(zhuǎn)換能力.

從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看，學(xué)生頭腦中雖有一些函數(shù)性質(zhì)的實(shí)物實(shí)

例，但并沒有上升為“概念”的水平，如何“定性”“定量”的描述

函數(shù)性質(zhì)是學(xué)生關(guān)注的問題，也是學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)問題.函數(shù)的單調(diào)性

是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)，學(xué)生渴望進(jìn)一

步學(xué)習(xí)，這種積極心態(tài)是學(xué)生學(xué)好本節(jié)課的情感基礎(chǔ).但是如何運(yùn)用

數(shù)學(xué)符號(hào)將自然語言的描述轉(zhuǎn)化為形式化的定義，學(xué)生接受起來還比

較困難.在教學(xué)中要多引導(dǎo)，讓學(xué)生真正的理解函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)平

均變化率的定義.

《函數(shù)的單調(diào)性》效果分析

1.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值

通過艾賓浩斯記憶遺忘曲線圖及生活中的實(shí)例，形象的給出了函

數(shù)圖像的變化特點(diǎn)，使學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問題，有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，

使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)是有用的，從而調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)

習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式方法也起到了一定的指導(dǎo)

作用.

2.體現(xiàn)了新課程教學(xué)理念

本節(jié)課的教學(xué)過程中，教法靈活，學(xué)法愉快，充分體現(xiàn)了學(xué)生的

主體作用，通過學(xué)生的積極參與，表現(xiàn)出了學(xué)生自主學(xué)習(xí)，合作學(xué)習(xí)，

探究學(xué)習(xí)的新課程教學(xué)理念.教師的及時(shí)點(diǎn)撥與講解，也體現(xiàn)了教師

的引領(lǐng)作用和主導(dǎo)作用.

3.突出了數(shù)學(xué)思想方法

從具體的一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像，使學(xué)生把定義與直觀圖象結(jié)

合起來，加深對(duì)概念的理解，得出函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)語言.教師再用

圖像引出直線的斜率，得出函數(shù)平均變化率的概念，分析圖像，應(yīng)用

定義，滲透數(shù)形結(jié)合、分析問題的數(shù)學(xué)思想方法.

4.教學(xué)手段得當(dāng)

本節(jié)課有兩個(gè)主要矛盾，一是幾何直觀判斷與代數(shù)推理證明之間

的矛盾：高一學(xué)生認(rèn)為可以看圖像判斷單調(diào)性，為什么還要學(xué)形式化

定義；二是學(xué)生現(xiàn)有的思維水平與單調(diào)性定義的思維要求之間的矛盾:

高一學(xué)生的邏輯思維和抽象概括能力較弱，面對(duì)抽象的形式化定義，

容易產(chǎn)生思維障礙.

針對(duì)矛盾一，教師精心設(shè)置認(rèn)知沖突，使學(xué)生自主體驗(yàn)到學(xué)習(xí)新

知的必要性，增強(qiáng)研究的興趣和積極性；針對(duì)矛盾二，教師緊緊抓住

新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)置一系列問題，讓學(xué)生充分參與定義的符

號(hào)化過程，有效地突破了教學(xué)難點(diǎn).

5.提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在學(xué)生自主探索的過程中，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力，用運(yùn)

動(dòng)變化的觀點(diǎn)、數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的方法去分析和處理問題,

轉(zhuǎn)化的思想也得到了充分的體現(xiàn).學(xué)生不僅學(xué)到了數(shù)學(xué)知識(shí)，也初步

體驗(yàn)了研究問題的基本方法.學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理

等數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了提升.

《函數(shù)的單調(diào)性》教材分析

一、內(nèi)容：本節(jié)內(nèi)容是人教B版必修一3.1.2的內(nèi)容，是一節(jié)概

念性知識(shí)，屬于函數(shù)的基本性質(zhì).課時(shí)分配為2課時(shí)，本節(jié)課為第1

課時(shí).函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念之后學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)性

質(zhì)，也是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫的性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)

性是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的重要內(nèi)容，也是研究變量變化范圍的有

力工具.因此，應(yīng)把這一內(nèi)容視為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的奠基性活

動(dòng).函數(shù)單調(diào)性的研究體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法：加強(qiáng)數(shù)形的結(jié)

合，由直觀到抽象，由特殊到一般.函數(shù)的單調(diào)性為研究函數(shù)的其他

性質(zhì)起到了示范作用，提供了方法依據(jù).

二、地位：函數(shù)的單調(diào)性有著承前啟后的作用.一方面，函數(shù)的

單調(diào)性是前一節(jié)內(nèi)容函數(shù)的概念與圖象知識(shí)的延續(xù)與擴(kuò)展，同時(shí)函數(shù)

的單調(diào)性又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)及其他函數(shù)單調(diào)

性的理論基礎(chǔ)，在解決函數(shù)定義域、值域、比較兩數(shù)大小等具體問題

中均有著廣泛的應(yīng)用；此外，從方法論的角度分析，本節(jié)教學(xué)過程當(dāng)

中，還滲透了數(shù)形結(jié)合、歸納類比、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.從情感

的角度分析，本節(jié)課學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活及其他領(lǐng)域都有體現(xiàn)有利于

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，有利于擴(kuò)展

學(xué)生的視野.

函數(shù)的單調(diào)性評(píng)測練習(xí)

一、選擇題

1.若(。,勿是/(X)的單調(diào)增區(qū)間，網(wǎng),工2€Q/)，且為<X2，則有()

A./(X,)</(x2)B./(內(nèi))=/(々)C./(^)>/(%2)D./(x,)/(x2)>o

2.函數(shù)y=(x-2)2的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.[o,+<x>)B.(+℃,o]C.[2,+oo)D.(—00,2]

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上遞增的是()

A.y=—B.y=—xC.y=D.y=x2+2x+1

x

4.若函數(shù)f(x)=—^在(-%0)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

2x-l

A.(—oo,0)B.(0,-H3o)C.(—1,0)D.(1,-H3o)

5.設(shè)函數(shù)y=(2a-l)x在R上是減函數(shù)，則有()

1

A.a>—B.a<-C.a>-D.a<—

2222

6.函數(shù)/（x）=，+2（l—a）x+2在區(qū)間（一00,2］上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<3B.a>3C.?>-3D.a<-3

7.（多選題）已知函數(shù)/（x）在區(qū)間［-1,2］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［2,5］上單調(diào)遞減，那么下列說

法中，正確的是（）

A./（3）>/（2）B./（0）</⑵C./（0）與/"（3鄭J大小關(guān)系不確定

D./（x）在區(qū)間［-1,5］上有最小值

二、填空題

8.函數(shù)y=|x—1|的單調(diào)遞增區(qū)間是..

9.函數(shù)/（x）在（0,+8）是增函數(shù)，則。=/（、歷）、匕=./?（1）、c=/（g）的大小關(guān)系是

10.函數(shù)/（x）=7-X2-2X+3的單調(diào)遞增區(qū)間是.

11.若二次函數(shù)+/m+4在區(qū)間（―8,—1］是減函數(shù)，在區(qū)間（一1,+8）上是增函

數(shù)，則41）=.

三、解答題

12.證明函數(shù)/（x）=l-工在（一℃,0）上是增函數(shù).

X

13.判斷并證明函數(shù)y=x+-在區(qū)間［1,+8）上的單調(diào)性.

X

14.已知函數(shù)y=/(x)在(0,+oo)上是減函數(shù)，且一2⑼〉/。找)，求相的取值范圍.

函數(shù)的單調(diào)性評(píng)測練習(xí)參考答案

一、選擇題

題號(hào)1234567

答案ADDADBBCD

二、填空題

8.9.a<c<b10.[-3,-1]11.19

三、解答題

12.證明：設(shè)$,/e(-oo,0),且工尸了2，

則包=/.)-/&)=」

Ax%1-x2%?x2

,/e(-oo,0),/.?x2>0—>0.

Ax

，,fO)在(一00,0)上是增函數(shù).

13.函數(shù)y=x+1在區(qū)間[l,+8)上單調(diào)遞增.證明如下：

X

設(shè)X1,12W，+00）,且彳產(chǎn)工2,