壓軸題大招新高考第19題分類練習(xí)沖刺2024高考數(shù)學(xué)（原卷）

壓軸題大招新高考第19題沖刺2024高考數(shù)學(xué)【突破壓軸型】（原卷）題型探究目錄【題型一】數(shù)列新定義題【題型二】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題【題型三】集合新定義題【題型四】解析幾何【題型五】向量 【題型六】概率與統(tǒng)計(jì)各個(gè)擊破【題型一】數(shù)列新定義題【知識回顧】1.Sn與an的關(guān)系an=S2.等差數(shù)列（1）遞推公式：an+1an=d(n∈N*)或anan1=d(n≥2，n∈N*)（2）中項(xiàng)性質(zhì)：a，A，b成等差數(shù)列?2A=a+b?A=a+b2（3）通項(xiàng)公式：an=a1+(n1)d.（4）前n項(xiàng)和：已知首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)，則Sn=n(a已知首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)，則Sn=na1+n(n?1)23.等比數(shù)列遞推公式：an+1an=q(n∈N*)或a通項(xiàng)公式：an=a1qn1.中項(xiàng)性質(zhì)：在等比數(shù)列{an}中，若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，則akal=aman.特別地，若m+n=2r(m，n，r∈N*)，則aman=ar前n項(xiàng)和公式：已知首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)，Sn=a1(1已知首項(xiàng)、末項(xiàng)與公比Sn=a1．（2024·吉林白山·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”：①；②.(1)若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；(2)若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；(3)記階“曼德拉數(shù)列”的前項(xiàng)和為，若存在，使，試問：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.3．（2024·天津·一模）若某類數(shù)列滿足“，且”，則稱這個(gè)數(shù)列為“型數(shù)列”.(1)若數(shù)列滿足，求的值并證明：數(shù)列是“型數(shù)列”；(2)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“型數(shù)列”，記，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，當(dāng)不是“型數(shù)列”時(shí)，（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求證：.4．（2023·上海楊浦·模擬預(yù)測）設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對任意的、均成立，則稱是“平緩函數(shù)”.(1)若，試判斷和是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:時(shí)，恒成立)(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的、，均有;(3)設(shè)為定義在上函數(shù)，且存在正常數(shù)使得函數(shù)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列滿足:，試證明:對任意的正整數(shù).【題型二】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題【知識回顧】1.指數(shù)均值不等式與對數(shù)均值不等式指數(shù)均值不等式：對于實(shí)數(shù)a,b,定義為a,b的指數(shù)平均數(shù),則（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立）對數(shù)均值不等式：對于a,b兩個(gè)正數(shù)的對數(shù)平均線，則有（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立）2.微分中值定理【注意】（1）以上3個(gè)中值定理，特別時(shí)拉格朗日中值定理建立了函數(shù)在區(qū)間上的變化（改變量）與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，從而使我們能夠利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)在區(qū)間上的整體性態(tài).（2）羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的拓展形式.3.泰勒公式泰勒（Taylor）公式的主要作用是用多項(xiàng)式逼近函數(shù)和近似計(jì)算，對應(yīng)的分別時(shí)帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式和帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式。帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式:若函數(shù)在點(diǎn)處存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有用得比較多的是在時(shí)的特殊形式：它稱為帶有皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式.4.常用的泰勒公式（帶有皮亞諾余項(xiàng)）5.由泰勒公式，我們得到下列常用的不等式：6.高中常用的泰勒公式（麥克勞林公式）如下：7.切線放縮5．（2024·上海普陀·二模）對于函數(shù)，和，，設(shè)，若，，且，皆有成立，則稱函數(shù)與“具有性質(zhì)”.(1)判斷函數(shù)，與是否“具有性質(zhì)”，并說明理由；(2)若函數(shù)，與“具有性質(zhì)”，求的取值范圍；(3)若函數(shù)與“具有性質(zhì)”，且函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，，求證.6．（2024·上海楊浦·二模）函數(shù)、的定義域均為，若對任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，均有或成立，則稱與為相關(guān)函數(shù)對.(1)判斷函數(shù)與是否為相關(guān)函數(shù)對，并說明理由；(2)已知與為相關(guān)函數(shù)對，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)與為相關(guān)函數(shù)對，且存在正實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，均有.求證：存在實(shí)數(shù)，使得對任意，均有.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在處取得極大值．(1)求的值與的單調(diào)區(qū)間．(2)如圖，若函數(shù)的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表達(dá)式〔用含的式子表示〕．(3)利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的連線斜率不大于．8．（2324高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，，注：，，，，已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的階帕德近似，并求的近似數(shù)精確到(2)在（1）的條件下：①求證：；②若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.9．（2024·浙江寧波·二模）定義：對于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減），在區(qū)間上單調(diào)遞減（遞增），則稱這個(gè)函數(shù)為單峰函數(shù)且稱為最優(yōu)點(diǎn).已知定義在區(qū)間上的函數(shù)是以為最優(yōu)點(diǎn)的單峰函數(shù)，在區(qū)間上選取關(guān)于區(qū)間的中心對稱的兩個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，稱使得較小的試驗(yàn)點(diǎn)為好點(diǎn)（若相同，就任選其一），另一個(gè)稱為差點(diǎn).容易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)點(diǎn)與好點(diǎn)在差點(diǎn)的同一側(cè).我們以差點(diǎn)為分界點(diǎn)，把區(qū)間分成兩部分，并稱好點(diǎn)所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為，再對區(qū)間重復(fù)以上操作，可以找到新的存優(yōu)區(qū)間，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間，滿足，可使存優(yōu)區(qū)間長度逐步減小.為了方便找到最優(yōu)點(diǎn)（或者接近最優(yōu)點(diǎn)），從第二次操作起，將前一次操作中的好點(diǎn)作為本次操作的一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長度與操作前區(qū)間的長度的比值為同一個(gè)常數(shù)，則稱這樣的操作是“優(yōu)美的”，得到的每一個(gè)存優(yōu)區(qū)間都稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數(shù).對區(qū)間進(jìn)行次“優(yōu)美的”操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，令，我們可任取區(qū)間內(nèi)的一個(gè)實(shí)數(shù)作為最優(yōu)點(diǎn)的近似值，稱之為在區(qū)間上精度為的“合規(guī)近似值”，記作.已知函數(shù)，函數(shù).(1)求證：函數(shù)是單峰函數(shù)；(2)已知為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn).（i）求證：；（ii）求證：.注：.10．（2324高二下·重慶·階段練習(xí)）對于整系數(shù)方程，當(dāng)?shù)淖罡叽蝺绱笥诘扔?時(shí)，求解難度較大.我們常采用試根的方法求解：若通過試根，找到方程的一個(gè)根，則，若已經(jīng)可以求解，則問題解決；否則，就對再一次試根，分解因式，以此類推，直至問題解決.求根的過程中常用到有理根定理：如果整系數(shù)方程有有理根，其中、，，，那么，.符號說明：對于整數(shù)，，表示，的最大公約數(shù)；表示是的倍數(shù)，即整除.(1)過點(diǎn)作曲線的切線，借助有理根定理求切點(diǎn)橫坐標(biāo)；(2)試證明有理根定理；(3)若整數(shù)，不是3的倍數(shù)，且存在有理數(shù)，使得，求，.【題型三】集合新定義題【知識回顧】(略）11．（2024·北京順義·二模）已知點(diǎn)集滿足，，.對于任意點(diǎn)集，若其非空子集A，B滿足，，則稱集合對為的一個(gè)優(yōu)劃分.對任意點(diǎn)集及其優(yōu)劃分，記A中所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，B中所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為.(1)寫出的一個(gè)優(yōu)劃分，使其滿足；(2)對于任意點(diǎn)集，求證：存在的一個(gè)優(yōu)劃分，滿足；(3)對于任意點(diǎn)集，求證：存在的一個(gè)優(yōu)劃分，滿足且.12．（2024·浙江紹興·二模）已知，集合其中.(1)求中最小的元素；(2)設(shè)，，且，求的值；(3)記，，若集合中的元素個(gè)數(shù)為，求.13．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組表示；三維空間向盤可用三元有序數(shù)組表示．一般地，維空間向量用元有序數(shù)組表示，其中稱為空間向量的第個(gè)分量，為這個(gè)分量的下標(biāo)．對于維空間向量，定義集合．記的元素的個(gè)數(shù)為（約定空集的元素個(gè)數(shù)為0）．(1)若空間向量，求及；(2)對于空間向量．若，求證：，若，則；(3)若空間向量的坐標(biāo)滿足，當(dāng)時(shí)，求證：．14．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”定義為，記為，如點(diǎn)的“曼哈頓距離”為5，記為.(1)若點(diǎn)是滿足的動(dòng)點(diǎn)的集合，求點(diǎn)集所占區(qū)域的面積；(2)若動(dòng)點(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求的最小值；(3)設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，的最大值記為，求的最小值.15．（2024·湖南邵陽·二模）給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱集合為一個(gè)元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對值之和.(1)分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求說明理由）(2)任取一個(gè)5元理想數(shù)集，求證：；(3)當(dāng)取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)的最小值.注：由個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做元實(shí)數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).【題型四】解析幾何【知識回顧】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程16．（2023·全國·模擬預(yù)測）定義：一般地，當(dāng)且時(shí)，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓的相似橢圓，點(diǎn)為橢圓上異于其左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，若與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰好相交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的值；(2)當(dāng)（e為橢圓的離心率）時(shí)，設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，求的值．17．（2024·江蘇南通·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的離心率為，直線l與Γ相切，與圓O：相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，.(1)求Γ的方程；(2)對于給定的點(diǎn)集M，N，若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.（?。┤鬗，N分別為線段AB與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓O上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求；（ⅱ）若，均存在，記兩者中的較大者為.已知，，均存在，證明：.18．（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點(diǎn)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；(2)若點(diǎn)不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點(diǎn)作曲線的切線，其交點(diǎn)為.已知點(diǎn)，若三點(diǎn)不共線，探究是否成立？請說明理由.19．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．【題型五】向量【知識回顧】(略）20．（2024·河南南陽·一模）在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實(shí)半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術(shù)平方根，則這個(gè)圓叫蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，且，設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）且直線.(1)證明：，的交點(diǎn)在直線上;(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.21．（2024·云南·模擬預(yù)測）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：.若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，，為單位正交基底.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知是空間直角坐標(biāo)系中異于的不同兩點(diǎn).(1)①若，求；②證明：.(2)記的面積為，證明：；(3)問：的幾何意義表示以為底面?為高的三棱錐體積的多少倍？22．（2324高二上·四川綿陽·階段練習(xí)）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸?軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為，記作．

(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；(2)在平行六面體中，，，N為線段D1C1的中點(diǎn)．如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．①求的斜60°坐標(biāo)；②若，求與夾角的余弦值．【題型六】概率統(tǒng)計(jì)【知識回顧】1.二項(xiàng)分布1.一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=Cnkpk(1p)n2.二項(xiàng)分布的期望與方差：一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1p).2.超幾何分布1.一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件

(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=CMkCN?M若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)=nMN若X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，即X~H(N，n，M)，則D(X)=nM(N?3.正態(tài)分布1.正態(tài)曲線：函數(shù)f(x)=1σ2.正態(tài)分布：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ，σ2).特別地，當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.23．（2024·廣東廣州·一模）某校開展科普知識團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)，該活動(dòng)共有兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)由位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束.已知團(tuán)隊(duì)每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為和，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.(1)若，用表示團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束時(shí)上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求的均值；(2)記團(tuán)隊(duì)第位成員上場且闖過第二關(guān)的概率為，集合中元素的最小值為，規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)，求.24．（2024·山東濰坊·一模）若，是樣本空間上的兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，則稱是上的二維離散型隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量．設(shè)的一切可能取值為，，記表示在中出現(xiàn)的概率，其中．(1)將三個(gè)相同的小球等可能地放入編號為1，2，3的三個(gè)盒子中，記1號盒子中的小球個(gè)數(shù)為，2號盒子中的小球個(gè)數(shù)為，則是一個(gè)二維隨機(jī)變量．①寫出該二維離散型隨機(jī)變量的所有可能取值；②若是①中的值，求（結(jié)果用，表示）；(2)稱為二維離散型隨機(jī)變量關(guān)于的邊緣分布律或邊際分布律，求證：．25．（2024·遼寧·一模）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進(jìn)制表達(dá)式，則，其中，或1（）.(1)記，求證：；(2)記為整數(shù)的二進(jìn)制表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)，如，.（ⅰ）求；（ⅱ）求（用數(shù)字作答）.26．（2024·廣東汕頭·一模）2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng).我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮模詻]有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到顆番石榴（不妨設(shè)顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前顆番石榴，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設(shè)，記該學(xué)生摘到那顆最大番石榴的概率為.(1)若，求；(2)當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.（取）27．（2324高三上·浙江溫州·期末）現(xiàn)有標(biāo)號依次為1，2，…，n的n個(gè)盒子，標(biāo)號為1號的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球．現(xiàn)從1號盒子里取出2個(gè)球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個(gè)球放入3號盒子，…，依次進(jìn)行到從號盒子里取出2個(gè)球放入n號盒子為止．(1)當(dāng)時(shí)，求2號盒子里有2個(gè)紅球的概率；(2)當(dāng)時(shí)，求3號盒子里的紅球的個(gè)數(shù)的分布列；(3)記n號盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，求的期望．28．（2024·山西臨汾·二模）在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，維數(shù)組是一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在各種編程語言中被廣泛使用．對于維數(shù)組，，定義與的差為與之間的距離為．(1)若維數(shù)組，證明：；(2)證