2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知集合，，則_____.2.已知復(fù)數(shù)的實部為0，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值是_____.3.下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是_____.4.函數(shù)的定義域是_____.5.已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)方差是____.6.從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_____.7.在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_____.8.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則值是_____.9.如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是_____.10.在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.11.在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是____.12.如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_____.13.已知，則的值是_____.14.設(shè)是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是_____.二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在△ABC中，角A，B，C對邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．16.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B，連結(jié)BF2交橢圓C于點E，連結(jié)DF1．已知DF1=．

（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標．18.如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離．19.設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．20.定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．①求數(shù)列{bn}通項公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時，都有成立，求m的最大值．?dāng)?shù)學(xué)Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括21、22、23三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．21.已知矩陣（1）求A2；（2）求矩陣A的特征值.22.在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為.（1）求A，B兩點間的距離；（2）求點B到直線l的距離.23.設(shè)，解不等式【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．24.設(shè).已知.（1）求n的值；（2）設(shè)，其中，求的值.25.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點集，令.從集合Mn中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離.（1）當(dāng)n=1時，求X的概率分布；（2）對給定的正整數(shù)n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅰ注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一片交回。2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3．請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差，其中．柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高．錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知集合，，則_____.【答案】.【解析】【分析】由題意利用交集的定義求解交集即可.【詳解】由題知，.【點睛】本題主要考查交集的運算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)的實部為0，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值是_____.【答案】2.【解析】【分析】本題根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，令實部為0即得a的值.【詳解】，令得.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，虛部的定義等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3.下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是_____.【答案】5.【解析】【分析】結(jié)合所給的流程圖運行程序確定輸出的值即可.【詳解】執(zhí)行第一次，不成立，繼續(xù)循環(huán)，；執(zhí)行第二次，不成立，繼續(xù)循環(huán)，；執(zhí)行第三次，不成立，繼續(xù)循環(huán)，；執(zhí)行第四次，成立，輸出【點睛】識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題．(3)按照題目的要求完成解答并驗證．4.函數(shù)的定義域是_____.【答案】.【解析】【分析】由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.【詳解】由已知得,即解得，故函數(shù)的定義域為.【點睛】求函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可．5.已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是____.【答案】.【解析】【分析】由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是.【點睛】本題主要考查方差的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.6.從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_____.【答案】.【解析】【分析】先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計算公式得出答案.【詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有種情況.若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有種情況，若選出的2名學(xué)生都是女生，有種情況，所以所求的概率為.【點睛】計數(shù)原理是高考考查的重點內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計算比較明確，所以，計算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問題的過程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無，明確“排列”“組合”.7.在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_____.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)條件求，再代入雙曲線的漸近線方程得出答案.【詳解】由已知得，解得或，因為，所以.因為，所以雙曲線的漸近線方程為.【點睛】雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標準方程中的密切相關(guān)，事實上，標準方程中化1為0，即得漸近線方程.8.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是_____.【答案】16.【解析】【分析】由題意首先求得首項和公差，然后求解前8項和即可.【詳解】由題意可得：，解得：，則.【點睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.9.如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是_____.【答案】10.【解析】【分析】由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.【詳解】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.【點睛】本題蘊含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補”的方法解題.10.在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.【答案】4.【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為切點與直線之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點坐標可得最小距離【詳解】當(dāng)直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最小.由，得，，即切點，則切點Q到直線的距離為，故答案為．【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.11.在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處切線經(jīng)過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是____.【答案】.【解析】【分析】設(shè)出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.【詳解】設(shè)點，則.又，當(dāng)時，，點A在曲線上的切線為，即，代入點，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，故點的坐標為.【點睛】導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．12.如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_____.【答案】.【解析】【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.【詳解】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【點睛】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題.13.已知，則的值是_____.【答案】.【解析】【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.【詳解】由，得，解得，或.，當(dāng)時，上式當(dāng)時，上式=綜上，【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.14.設(shè)是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是_____.【答案】.【解析】【分析】分別考查函數(shù)和函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查臨界條件確定k的取值范圍即可.【詳解】當(dāng)時，即又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，其周期為，如圖，函數(shù)與的圖象，要使在上有個實根，只需二者圖象有個交點即可.當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有個交點；當(dāng)時，的圖象為恒過點的直線，只需函數(shù)與的圖象有個交點.當(dāng)與圖象相切時，圓心到直線的距離為，即，得，函數(shù)與的圖象有個交點；當(dāng)過點時，函數(shù)與的圖象有個交點，此時，得.綜上可知，滿足在上有個實根的的取值范圍為.【點睛】本題考點為參數(shù)的取值范圍，側(cè)重函數(shù)方程的多個實根，難度較大.不能正確畫出函數(shù)圖象的交點而致誤，根據(jù)函數(shù)的周期性平移圖象，找出兩個函數(shù)圖象相切或相交的臨界交點個數(shù)，從而確定參數(shù)的取值范圍.二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合余弦定理得到關(guān)于c的方程，解方程可得邊長c的值；(2)由題意結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系首先求得的值，然后由誘導(dǎo)公式可得的值.【詳解】（1）因為，由余弦定理，得，即.所以.（2）因，由正弦定理，得，所以.從而，即，故.因為，所以，從而.因此.【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.16.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(2)由題意首先證得線面垂直，然后結(jié)合線面垂直證明線線垂直即可.【詳解】（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【點睛】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B，連結(jié)BF2交橢圓C于點E，連結(jié)DF1．已知DF1=．

（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)解法一：由題意首先確定直線的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，確定點B的坐標，聯(lián)立直線BF2與橢圓的方程即可確定點E的坐標；解法二：由題意利用幾何關(guān)系確定點E的縱坐標，然后代入橢圓方程可得點E的坐標.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.因為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，橢圓C的標準方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).

又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而∠BF1E=∠B.因為F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.因為F1(-1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.因此.【點睛】本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.18.如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離．【答案】（1）15（百米）；（2）見解析；（3）17+（百米）.【解析】【分析】解：解法一：（1）過A作，垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離．解法二：（1）建立空間直角坐標系，分別確定點P和點B的坐標，然后利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.（3）先討論點P的位置，然后再討論點Q的位置即可確定當(dāng)d最小時，P、Q兩點間的距離．【詳解】解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因為PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點，且，由（1）知，，此時；當(dāng)∠OBP>90°時，中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)PB⊥AB，點Q位于點C右側(cè)，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.以O(shè)坐標原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系.因為BD=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標分別為3，?3.因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點M（3，），因，所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點，且，由（1）知，，此時；當(dāng)∠OBP>90°時，在中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時，設(shè)Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)P（?13，9），Q（，9）時，d最小，此時P，Q兩點間的距離.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為（百米）.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.19.設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．【答案】（1）；（2）的極小值為（3）見解析.【解析】【分析】（1）由題意得到關(guān)于a的方程，解方程即可確定a的值；（2）由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數(shù)的解析式，然后求解其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)即可確定函數(shù)的極小值.（3）由題意首先確定函數(shù)的極大值M的表達式，然后可用如下方法證明題中的不等式：解法一：由函數(shù)的解析式結(jié)合不等式的性質(zhì)進行放縮即可證得題中的不等式；解法二：由題意構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值，因為，所以．當(dāng)時，．令，則．令，得．列表如下：+0–極大值所以當(dāng)時，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時，，因此．【詳解】（1）因為，所以．因為，所以，解得．（2）因為，所以，從而．令，得或．因為，都在集合中，且，所以．此時，．令，得或．列表如下：1+0–0+極大值極小值所以的極小值為．（3）因為，所以，．因為，所以，則有2個不同的零點，設(shè)為．由，得．列表如下：+0–0+極大值極小值所以的極大值．解法一：．因此．解法二：因為，所以．當(dāng)時，．令，則．令，得．列表如下：+0–極大值所以當(dāng)時，取得極大值，且是最大值，故．所以當(dāng)時，，因此．【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力．20.定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．①求數(shù)列{bn}的通項公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時，都有成立，求m的最大值．【答案】（1）見解析；（2）①bn=n；②5.【解析】【分析】（1）由題意分別求得數(shù)列的首項和公比即可證得題中的結(jié)論；（2）①由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，據(jù)此即可確定其通項公式；②由①確定的值，將原問題進行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.（2）①因為，所以．由得，則.由，得，當(dāng)時，由，得，整理得．所以數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n.②由①知，bk=k，.因為數(shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0.因為ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.當(dāng)k=1時，有q≥1；當(dāng)k=2，3，…，m時，有．設(shè)f（x）=，則．令，得x=e.列表如下：xe(e，+∞)+0–f（x）極大值因為，所以．取，當(dāng)k=1，2，3，4，5時，，即，經(jīng)檢驗知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5．【點睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力．?dāng)?shù)學(xué)Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括21、22、23三小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．21.已知矩陣（1）求A2；（2）求矩陣A的特征值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用矩陣的乘法運算法則計算的值即可；(2)首先求得矩陣的特征多項式，然后利用特征多項式求解特征值即可.【詳解】（1）因為，所以==．（2）矩陣A的特征多項式為.令，解得A的特征值.【點睛】本題主要考查矩陣的運算、特征值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．22.在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為.（1）求A，B兩點間的距離；（2）求點B到直線l的距離.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】(1)由題