人教A版高中數(shù)學(xué)選修4-2-第四講-一-變換的不變量與矩陣的特征向量-課件

在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中都會(huì)研究“不變量”,那么我們研究的線性變換是否也有“不變量”?導(dǎo)入新課4.1變換的不變量——矩陣的特征向量教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能理解矩陣的特征值與特征向量的概念;培養(yǎng)矩陣的特征值與特征向量簡(jiǎn)單應(yīng)用能力.過(guò)程與方法情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)學(xué)生自我探究,從線性變換和幾何直觀兩個(gè)角度來(lái)研究矩陣的不變量—特征向量.培養(yǎng)學(xué)生探究能力,知識(shí)的類比能力.重點(diǎn)矩陣的特征值與特征向量的概念;矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算.教學(xué)重難點(diǎn)矩陣的特征值與特征向量的概念矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算難點(diǎn)知識(shí)結(jié)構(gòu)線性變換二階矩陣變換的不變量、矩陣的特征向量特征值與特征向量的計(jì)算特征向量的應(yīng)用探究11.對(duì)于線性變換,是否存在平面內(nèi)的直線，使得該直線在這個(gè)線性變換的作用下保持不變?2.是否存在向量,使得該向量在這個(gè)線性變換的作用下有某種“不變性”?4.1.1特征值與特征向量例對(duì)于伸縮變換ρ：研究其“不變量”從幾何直觀上

只有x軸和平行于y軸的直線在ρ的作用下保持不變.伸縮變換只把形如，的向量變?yōu)榕c自身共線的向量，

在一個(gè)線性變換的作用下，確實(shí)有一些向量具有“不變性”——變成了與自身共線的向量,即變?yōu)樵瓉?lái)向量的某個(gè)倍數(shù).

定義

設(shè)矩陣,若存在數(shù)以及非零向量

,使得,則稱是矩陣的一個(gè)特征值,是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量.從線性變換上記矩陣A的線性變換為σ：=A從幾何直觀上

是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量,即：

等式表示線性變換σ把特征向量變?yōu)楣簿€的向量Ⅰ.當(dāng)時(shí),向量與特征向量同向;Ⅱ.當(dāng)時(shí),向量與特征向量反向;Ⅲ.當(dāng)時(shí),所得向量為零向量.思考

矩陣A的屬于特征值λ的特征向量有幾個(gè)呢?考察例題以λ=1為例∵是矩陣A的屬于特征值λ=1的特征向量∴∵(其中k1∈R,但k1≠0)∴形如的向量都是矩陣的特征向量.即：矩陣A=的屬于特征值λ=1的特征向量有無(wú)窮多個(gè).總結(jié)1

設(shè)是矩陣A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量,則對(duì)任意的非零常數(shù)k,k

也是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量.證明：若k≠0,則∵∴是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量.從幾何直觀上

若是矩陣A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量,則與共線的所有非零向量都是A的屬于特征值λ的特征向量.總結(jié)2

屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線.探究2是否每個(gè)二階矩陣都有特征向量?反例矩陣A=沒(méi)有特征值,沒(méi)有特征向量.請(qǐng)同學(xué)們從幾何直觀的角度進(jìn)行分析!4.1.2特征值與特征向量的計(jì)算探究3

對(duì)于一個(gè)二階矩陣,能否不通過(guò)幾何直觀而直接求出它的特征值和特征向量?例設(shè)A=,求A的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.解：設(shè)數(shù)和非零向量滿足①③∴②若是矩陣A的特征向量,則是齊次線性方程組③的一個(gè)非零解;若是齊次線性方程組③的非零解，則滿足①式,所以是矩陣A的一個(gè)特征向量.∴齊次線性方程組③有非零解的充分必要條件為它的系數(shù)矩陣的行列式等于0.即：Ⅰ.把代入方程組③,得：令y=－1,則x=2.∴方程有非零解x=2,y=－1.∴是矩陣A=的一個(gè)特征值,是矩陣A=的屬于的一個(gè)特征向量.且滿足記Ⅱ.把代入方程組③,得：令x=1,則y=1.∴方程有非零解x=1,y=1.且滿足記∴是矩陣A=的一個(gè)特征值,是矩陣A=的屬于的一個(gè)特征向量.一般情況設(shè)A=,求A的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.請(qǐng)同學(xué)們先自己驗(yàn)證！解：設(shè)數(shù)和非零向量滿足①得齊次線性方程組：②若是齊次線性方程組②的非零解,則滿足①式,所以是矩陣A的一個(gè)特征向量.若是矩陣A的特征向量,則是齊次線性方程組②的一個(gè)非零解;∴齊次線性方程組②有非零解的充分必要條件為它的系數(shù)矩陣的行列式等于0.即：（其中稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式,

稱為矩陣A的特征方程）記：③解得：將代入方程組②,必有相應(yīng)的非零解,分別為和,記：,.由上面過(guò)程知：是矩陣A=的特征值,,是矩陣A的分別屬于的一個(gè)特征向量.課堂小結(jié)1.設(shè)矩陣,若存在數(shù)以及非零向量

,使得,則稱是矩陣的一個(gè)特征值,是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量.2.求二階矩陣的特征值與特征向量的步驟:

（1）寫出特征多項(xiàng)式;

（2）令解得特征值;

（3）分別求出一個(gè)屬于各個(gè)特征值的特征向量.課堂練習(xí)1.矩陣M=的特征值為2.設(shè)二階矩陣A由兩個(gè)不同的特征值是分別屬于特征值的任意特征向量,

證明：向量不共線.解：是矩陣A的分別屬于不同特征值的假設(shè)向量共線,因?yàn)椤啻嬖诜橇銓?shí)數(shù),使得∴特征向量,得：即：∴再見(jiàn)8、被烏云遮蓋后的太陽(yáng)，依然可以發(fā)光發(fā)亮。被石頭絆倒后的你，依然可以起身微笑!11、要冒一險(xiǎn)!整個(gè)生命就是一場(chǎng)冒險(xiǎn)，走得最遠(yuǎn)的人常是愿意去做愿意去冒險(xiǎn)的人。5、為了不讓生活留下遺憾和后悔，我們應(yīng)該盡可能抓住一切改變生活的機(jī)會(huì)。17、夢(mèng)想不拋棄苦心追求的人，只要不停止追求，你們會(huì)沐浴在夢(mèng)想的光輝之中。9、思路決定出路，氣度決定高度，細(xì)節(jié)決定成敗，性格決定命運(yùn)。6、當(dāng)所有人都低調(diào)的時(shí)候，你可以高調(diào)，但不能跑調(diào)。9、知識(shí)是無(wú)限的，要把有限的時(shí)間投入到無(wú)限的學(xué)習(xí)中去。2、人生像一塊礦石，它在你手里暗淡無(wú)光，你只有從一定的角度才能看見(jiàn)它那深沉美麗的光芒。2、時(shí)間是不可占有的公共財(cái)產(chǎn)，隨著時(shí)間的推移，真理愈益顯露。13、當(dāng)一個(gè)人先從自己的內(nèi)心開始奮斗，他就是個(gè)有價(jià)值的人。4、在世界的歷史中，每一偉大而