2020-2021學(xué)年豫南九校高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年豫南九校高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共U小題，共55.0分）

1.已知兩平行直線3x-4y+1=0和3x-4y-4=0,則兩直線的距離為（）

A.1B.2C.3D.4

2.圓M+y2=4被直線y=x+2截得的劣弧所對的圓心角的大小為（）

A.30°B,45°C.90°D.120°

3.已知函數(shù)丫=ax?+bx+c的圖象如圖所示，則的值為（）

A.2b

B.a—b+c

C.-2b

D.0

4.設(shè)，，m,n是三條不同的直線，a,0是兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（）

A.a//￡,Ica,nu0nl//nB./In,Z1a=>n//a

C.I1.a,////?=>aJ,°D.al/3,luanll。

5.在銳角三角形ABC中，下列各式恒成立的是（）

A.logOcCoMsc瓷sinB>0B.log0s5inCcosB>0

DCQ3C

C.logsinc當(dāng)sinB>0D.logcosc當(dāng)cqsB>0

6.直線2：久-cos0+y+l=0的傾斜角大小為（）

A.?B.C.7D.0

424

7.已知直線：y=kx-k+1與曲線C：/+2y2=6有公共點，則機的取值范圍是（）

A.m>3B.m<3C.m>3D.m<

8.如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三

視圖，則該幾何體的體積為（）

A.2

「24.俯視圄:一；；

C.-

9.過點P（3,4）作圓/+y2=4的兩條切線，切點分別為4,B,則|AB|=（）

A.5-V3B.5-V2C.爭D.等

10,已知/'（x）是定義在（-oo,+8）上的偶函數(shù)，且在（-8,0］上是減函數(shù)，設(shè)a=/（1（^式］）,b-

/（log2（|））,c=f（21i）,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c<a<bB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

11.如圖所示的三棱柱ABC-AiBiCi，其中4CLBC,若441=AB=2,當(dāng)，，和----刁&

四棱錐B-44CG體積最大時，三棱柱ABC-4B1G外接球的體積為

;金

B.』C

3

「872

C.--7T

3

D.）

二、多選題（本大題共1小題，共5.0分）

12.已知集合4=［—1,0］，B=（-1,0）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.CRAcQRBB,ACtB=AC.A\JB=BD.（CR4）nB=0

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.給出定義：W-y<X<W+y（其中也為整數(shù)），則掰叫做離實數(shù):X：最近整數(shù)，

記作｛X｝，即｛*｝=加，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線-------對稱。

14.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知3（-3,-3召）,C（3,-3用），且凡（xj）是曲線/+/=］任意一點,

則初■函的最大值為'

15.在正方體4BCn-4iBiCi￡>i中，異面直線BD1與4c所成角的度數(shù)為.

（X—1）3XV2

lgjJ,若曲線y=f。）上的點P到4（4，-4）的距離為5,則滿足條件

（O2x>2

的P點共有個.

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.如圖，四邊形4BC。為矩形，PALnABCD,OE//P4.

(I)求證：BC1CE；

(11)若直線機<=平面;<48,試判斷直線m與平面CDE的位置關(guān)系，并

說明理由：

(IH)若4B=PA=2CE=2,AD=3,求三棱錐E-PC。的體積.

18.已知直線2x—y—5=0；直線，2：x+y-5=0.

(I)求點P(3,0)到直線％的距離；

(U)直線m過點P(3,0),與直線二、直線。分別交與點M、N,且點P是線段MN的中點，求直線m的

一般式方程.

19.已知點(夜,2)在哥函數(shù)/(%)的圖象上，點(2,》在基函數(shù)g(x)的

圖象上.

(1)求出暴函數(shù)f(x)及g(x)的解析式；

(2)在同一坐標(biāo)系中畫出f(x)及g(x)的圖象；

(3)觀察(2)中的圖象，寫出當(dāng)/Xx)>g(x)時，x的取值范圍(不用說明理由)

20.如圖，四棱錐P—4BC。的底面為梯形，BALAD,CD14。，

PDJ■底面ABC。，PD=AD=AB=1,CD=24B.E為PC的中

點.

(/)證明：EB〃平面PA。；

(〃)求證：BC_L平面PBC；

(〃)求四面體P-BDE的體積.

21.已知定義在照上的函數(shù).題回，如果滿足：對任意需用懣，存在常數(shù)麟笈確，使得|解8蹴忸嬲

成立，則稱踴前是盛上的有界函數(shù)，其中翻稱為函數(shù)別河的上界.

下面我們來考慮兩個函數(shù)：,嫁=4卡普部繆”號:11，域考=.

(I)當(dāng)旗=，時，求函數(shù)理匈在gf電期上的值域，并判斷函數(shù)娥硼在卜喻尊上是否為有界函數(shù),

請說明理由；

(口)若像酷”老I，函數(shù)底畸在隨i上的上界是蠹版，求殿綴的取值范圍；

2/一

(江)若函數(shù)施蠅在醫(yī)上是以鬻為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)，瞿的取值范圍.

22.已知圓C：%2+,2-4X一6丫+12=0,點4(3,5).

(1)將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出圓C的圓心坐標(biāo)及半徑r；

(2)求過點A的圓的切線方程.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解：兩平行直線3x-4y+l=0和3x-4y-4=0間的距離為&=瞿=1,

V9+16

故選：A.

直接利用兩平行直線間的距離公式，求得結(jié)果.

本題主要考查兩平行直線間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：

本題考查了直線與圓的方程應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

寫出M+y2=4的圓心和半徑，計算圓心到直線的距離，求出弦長4B和弦所對的圓心角即可.

解：圓：/+y2=4的圓心為c(0,0),半徑為r=2；

直線，：y=x+2可化為x-y+2=0,

則圓心C到直線I的距離為d=與詈=V2；

V1+1

所以弦長4B=2Vr2—d2=2xV4—2=2V2;

所以C42+CB2=4+4=8=AB2,

所以乙4cB=90°,

即直線截得的劣弧所對的圓心角為90。.

故選：C.

3.答案：C

解析：試題分析：根據(jù)題意，由于函數(shù)丫=4%2+歷；+(；的圖象可知開口向下，所以a<0,同時再y

軸上的截距為正數(shù)，故可知c>0,那么可知/(l)=a+b+c,/(0)=c,f(-l)=0=a—b+c,

a+c=b,可知二次函數(shù)對應(yīng)的方程有兩個根，那么結(jié)合條件，那么可知對稱軸小于零，可知b<0,

因此的值—2b,故選C.

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

點評：理解圖像于性質(zhì)之間的對應(yīng)關(guān)系，主要是把握好對稱軸的符號關(guān)系，以及開口即可，屬于基

礎(chǔ)題。

4.答案：C

解析：解：對于4,a//p,Ica,nu￡=，〃n或者異面，故A錯誤；

對于B,11n,1_La=n〃a或nua,故B錯誤；

對于C,由〃/B得到過直線/的平面與平面?交于直線a,則〃/a,由11a,所以a_La,nal0,故

C正確；

對于D,alp,anil/?或者〃〃或者斜交，故O錯誤；

故選：C.

運用線線、線面、面面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理對選項逐個分析判斷.

本題考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：A

解析：解：由銳角三角形ABC,可得1>COSC>0,0<A<^,0<S<p^<A+B<n,

■-0<^—A<B<^,sinB>sin(1-4)=cosA>0,

4、cosA、n

log—>0.

cosCSinB

故選：A.

由銳角三角形4BC,可得1>COSC>0,0<A<^,0<F<p1<A+B<n,利用正弦函數(shù)的單

調(diào)性可得sinB>sin?-4)=cos4>0,再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

本題考查了銳角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本

技能方法，屬于中檔題.

6.答案:A

解析：

本題考查了斜率與傾斜角的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出.

解：設(shè)直線心刀7。50+、+1=0傾斜角為。，ee[o,7r),

則tan。=-1,

9=-.

4

故選：A.

7.答案：A

解析：解：直線：y=kx-k+1恒過定點(1,1),

直線：y=kx-k+1與曲線C：/+2y2=77i有公共點，

I2+2xl2<m,

■■m>3.

故選：A.

直線：y=kx—k+1恒過定點(1,1)，利用直線：y=kx—k+1與曲線C：爐+2y2=也有公共點,

定點在圓內(nèi)或圓上，即可得出m的取值范圍.

本題考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查直線過定點，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

8.答案：B

解析：解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐體，

如圖所示：

所以1/=S=[xgx2x2x2=1.

故選：B.

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進一步求出幾何體的體積.

本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積公式，主要考查學(xué)生的

運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：D

解析：解：如圖：\0P\=V32+42=5，

在RM0/1P中，cosUOP=照=：,；.sin/AOP=11--=

|OP|5yj25

-V-21f

5

vAB1OP,

???sinz^AOP=

\OA\

/.\AB\=2\OA\sinz.AOP=2x2x合=一.

故選：D.

先由兩點間的距離得|0P|，然后在直角三角形力OP中計算sin/AOP,最后在小直角三角形中可得弦

長一半.

本題考查了圓的切線方程，屬中檔題.

10.答案：D

解析：解：??,/(X)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù)，且在(-8,0]上是減函數(shù)，

???/'(%)在(0,+8)上是增函數(shù)，

則a=/(log4(i))=/(-log47)=/(log47),b=/"(logz^))=/(-log23)=/(log23)=/(^49),

11

2>log49>log47,2>2,

11

???2>log49>log47,

11

g[J/(2)>/(log49)>/(log47),

則a<b<c,

故選：D

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)是解決本

題的關(guān)鍵.

11.答案：C

解析：解：如圖所示的直三棱柱4BC-A/iG，其中4c1BC,若AAi=AB=2,設(shè)4c=x,BC=y,

所以四棱錐B-414CG體積為V=1x2xxxy=|xy,

所以V=^xy<|(x2+y2)=±

該三棱柱ABC-4當(dāng)?shù)耐饨忧虻陌霃綖镽=<12+12=V2.

則三棱柱ABC—外接球的體積V=TT(V2)3=~~N-

故選：C.

首先求出三棱柱的外界球的半徑，進一步求出球的體積.

本題考查的知識要點：三棱柱和外接球的關(guān)系，球的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和

轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

12.答案:AD

解析：

本題主要考查集合的基本運算，比較基礎(chǔ).

根據(jù)集合的基本運算逐項判斷即可得答案.

解：對于A：CRA=(-co,-l)u(0,+00),QRB=(-oo,-l]u[0,+oo),可得CR4UCRB,故A正確；

對于B：因為B些A,故應(yīng)該是4nB=B,故B錯誤；

對于C：因為故應(yīng)該是4UB=4故C錯誤；

對于D：CR4=(-8,-1)U(0,+8),B=(-1,0),那么(CRA)CB=0,故D正確；

故選：AD.

13.答案：X=T(k€Z).

解析：解：由定義知：當(dāng)X=-；B寸，m=-1,f(-；)=|-；-(-1)|=g，

故f(x)在[,，9上不是增函數(shù)，

由上得=二{%+1}={x}+1=m+1,二f(x+1)=|(x+1)-{x+

1)|=\x-{x}|=/(%)>

所以函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，最小正周期為1,在x￡[±,寸，f(x)=|x|關(guān)千y周對稱，函

數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，最小正周期為1,

故答案為：x=E(kGZ).

14.答案：6氐19

?111.貿(mào)-3,-3底C⑶-羽,叫。

麗=(x+3,”通酉=(x-3j+3M

麗苕二儀+3,丁+3曲.仁-3+詬

=f+『一9+循丫+27=6A+1”6痢9，當(dāng)且僅當(dāng)y=±1時取最大值.

即的最大值為6萬+沙?

故答案為6行+沙.

15.答案：90°

解析：解：如圖

連接BD交"與點0,-??DrDU^ABCD,ACa^ABCD

DrD1AC,而4CJ.BD,D〔DC\BD=D

AC_L面QOB

又：DrBu面。1。8

???AC1DiB,即異面直線BQ與AC所成角為90。.

故答案為：90。.

連接80交4c與點0,根據(jù)線面垂直的判定定理可知ACJ?面DiDB,而QBu面QDB,則AC15B,

從而可求出異面直線BA與AC所成角的度數(shù).

本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.答案：6

（X—1）3%V2

lg-^>2

（O2X

的圖象，可得點（1,0）在/Q）圖象上，

且與圓心做4,-4）的距離等于半徑5,

點（2,1）與圓心4的距離大于5,

則曲線y=/CO上的點P到4（4,一4）的距離為5,

滿足條件的P點共有6個，

故答案為：6.

作出分段函數(shù)的圖象，考慮點（1,0）,（2,1）與圓心A

的距離，結(jié)合圖象即可得到所求個數(shù).

本題考查分段函數(shù)的圖象和運用，考查點與圓的位

置關(guān)系，以及運算能力和判斷能力，屬于中檔題.

17.答案：證明：（1）因為"1底面486,PA//DE

所以O(shè)E1底面4BCDBCu底面ABCD,

所以。E1BC.

又因為底面4BCD為矩形，

C

所以BC1CD.

又因為conDE=D,CD、OEu平面CDE,

所以BC_L平面CDE,又CEu平面CDE,

所以8c1CE.

解：(H)若直線mu平面PAB,則直線m〃平面CDE.證明如下，

因為P4〃DE,且P4u平面P4B,DEC平面P4B,

所以DE〃平面P4B.

在矩形4BCD中，CD//BA,且BAu平面PZB,CD仁平面PAB,

所以CD〃平面P4B.

又因為CDnDE=D,CD、OEu平面CDE,

所以平面P4B〃平面CDE.

又因為直線mu平面PAB,所以直線m〃平面CDE.

(HI)由題意知，三棱錐E-PCD的體積等于三棱錐P-CDE的體積.

由(I)可知，8。1平面。。￡

又因為40〃BC,

所以4D1平面CDE.

易證PA〃平面CDE,所以點P到平面CDE的距離等于4。的長.

因為AB=PA=2DE=2,AD=3,所以SACDE=5。。?DE=鼻X2x1=1.

所以三棱錐E-PCD的體積V=[SACDE?AD=[x1x3=1.

解析：(I)推導(dǎo)出DE_LBC.,BC1CD,由此能證明BC_LCE.

(II)推導(dǎo)出DE〃平面PAB,CD〃平面PAB,從而平面PAB〃平面CDE,從而得到m〃平面CDE.

(IH)三棱錐E-PCD的體積等于三棱錐P-CDE的體積，由此能求出三棱錐E-PC。的體積.

本題考查線線垂直的證明，考查線面位置關(guān)系的判斷，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題

時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

18.答案：解：(I)點P(3,0)到直線％的距離d=底黑=*；

(II)由題意設(shè)直線TH為：y=kx-3k,

_3k-5

[一，即M若白，

-k-2

_3k+5

:二項，即N受勖，

{y

k2k

根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得且國=0,解得k=0或k=1,

2

經(jīng)檢驗知，當(dāng)直線m的斜率不存在或k=0時，皆不滿足題意,

故k=1?

故所求直線方程為y=x-3,即x—y—3=0.

解析：(I)根據(jù)點到直線的距離公式即可求點P(3,0)到直線k的距離；

(II)利用待定系數(shù)法設(shè)出直線m的方程，求出直線的交點坐標(biāo)，即可得到結(jié)論.

本題主要考查點到直線的距離公式的計算依據(jù)直線相交的運算，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵.

19.答案:解：(1)設(shè)/(x)=xa,g(x)=”，

???點(金,2)在基函數(shù)f(x)的圖象上，點(2彳)

...2=6,

解得a=2,/?=—1,

y(x)=x2,g(x)=3

(3)由圖象可知當(dāng)f(%)>g(x)時,%<0或%>1.

解析：(1)分別設(shè)/(%)=〃％g(x)=x6,代值計算即可,

(2)畫圖,

(3)由圖象可得答案.

本題考查了幕函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)圖象的畫法和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.答案:解：（I）證明:取CD中點解連接E案BF,又PE=EC,

據(jù)三角形的中位線定理得E/7/PD,

???EFU平面PAD,4。u平面PAD,EF〃平面PAD.

?:AB“DC,48=OC=?DC,.?.四邊形力BFD是平行四邊形，???

BF//AD,

-：BF仁平面240,ADu平面24D,BF〃平面PAD.

而8FnEF=f,二平面BEF〃平面PAD,

BE〃平面PAD.

(11)由(1)可知：四邊形ABF。是平行四邊形,4D1DC,.?.四邊形4BFD是矩形，?：AD=1,CD=2AB,

DF=FC=FB=1,BCD是RtBC1BD.

???PDJ"底面4BCD,???PDIBC,

又PDAD=D,

???BC_L平面PBO.

(HI)由(II)可知：BF1DC,PDVBF,：.BFL^^PCD.

PE=ECyS^PED=5sApcD=5X]X1X2=5.

^P-BDE=^B-PED=三SAPEDXBF=-X-Xl=~.

JDZO

解析：（I）利用三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)是證明線線平行的常用方法之一.如圖取CD

的中點F，連接EF、FB,可得到EF〃PD,BF//AD,進而可正得結(jié)論.

（口）要證明8。，平面「8。，只要證明BC垂直于平面PBD內(nèi)的兩條相交直線即可.為此可證明BC1

PD,及BC1BD.要證明PD1BC,由已知PO_L底面4BCD,可證得；由BF=OF=FC,或利用勾股

定理即可證明BC1BD.

（川）由BFJL平面PCD,把求5轉(zhuǎn)化為求力.PED即可.

本題考查了線線、線面、面面平行和垂直及三棱錐的體積，充分理解和掌握判定和性質(zhì)是解決問題

的關(guān)鍵.

21.答案：（I）函數(shù)鍛可在卜叫沖上的值域為算普網(wǎng)j,函數(shù)微蝴在怎eg-甌娜不是有界函數(shù);（n）

舁,局；（n）[-aj].

解析：試題分析：（I）當(dāng)?shù)?a時，函數(shù)貫減=林"'普""界］此時可設(shè)忠=富巴由富儂g-而U嶗，

那么建歸陶》，所以函數(shù)￥解=硼"需塞”署N可轉(zhuǎn)化成群=#罌希普：1,易知察=5皆畬需2在

施口用崎上單調(diào)遞增，從而可求出值域為旗d網(wǎng)I；故不存在常數(shù)嬲如成，使|.施樹￡霰成立，

所以函數(shù)微司在（t買晚上不是有界函數(shù)

（n冼求出頡障=苧名在碎:耐上的最大值翌與最小