2020-2021學(xué)年廣州市某中學(xué)高二年級(jí)上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年廣州市二中高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）

1.50名學(xué)生參加甲、乙兩項(xiàng)體育活動(dòng)，每人至少參加了一項(xiàng)，參加甲項(xiàng)的學(xué)生有30名，參加乙項(xiàng)

的學(xué)生有25名，則僅參加了一項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為（）

A.50B.45C.40D.35

3.下列命題中，錯(cuò)誤的是（）

A.一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)平面相交

B,如果平面a垂直平面/7,那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面￡

C.如果平面a不垂直平面夕，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面0

D.若直線I不平行平面a,則在平面a內(nèi)不存在與直線［平行的直線

4.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛a”｝中，a2=9,a4=81,則即+a2+-Fa10=（）

A.3（31。一1）B.陋為c.膽出D.空?

v7248

5.已知向量五=（X—1,2）,3=（2,1）,則五〃E的充要條件是（）

Ar=-2B.x=-lC,x=5D,x=0

6.命題“若/<1,則一1sx<1”的逆否命題是（）

A.若％2>1,則％<一1或%>1B.若一1<%<1,貝卜2<1

C.若工<一1或無>1,則/>1D,若》<一1或%>1,貝！J/>1

7.函數(shù)解=庚:蹴的圖象向右平移言個(gè)單位后與函數(shù)承=雕城尊需-學(xué)的圖象重合.則解=庚:蹴的

解析式是()

A?.真:礴=磔哪如:一拿i

C.舞球=蹈絡(luò)曲-芻D.黃礴=8^際普?

8.設(shè)Fi，尸2分別是橢圓E：捺+，=l(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)居的直線交橢圓E于4B兩

點(diǎn)，若△4&尸2的面積是ABF/z的三倍，cos乙468=|,則橢圓E的離心率為()

A.；B.|C.立D.立

2322

9.完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工

資預(yù)算20000元，設(shè)木工工人，瓦工y人，則工人滿足的關(guān)系式是()

A.5%+4y<200B.5%4-4y>200C.5x+4y=200D.5%4-4y<200

10.已知函數(shù)/(x)=2s出％cos%—2s譏2久+l(xER),若在△力BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為

a,b,c,a=V3，4為銳角，且/'(2+￡)=立，則△4BC面積的最大值為()

83

A3(一+物gV3QV2Dg五

4443

二、多選題(本大題共2小題，共10.0分)

11.已知△2BC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列四個(gè)命題中，正確的命題是()

A.若A=30。，b=4,a=3,則△ABC有兩解

B.若(a?4-h2)sin(X—B)=(a2-b2)sin(A+B),則4ABC是等腰三角形

C.若。在線段4B上，且4D=5,BD=3,CB=2CD,cos乙CDB=-鼻，則AABC的面積為8

D.若48=V7,BC=2V3.cos^BAC=，動(dòng)點(diǎn)。在△4BC所在平面內(nèi)且NBDC=y,則動(dòng)點(diǎn)0

的軌跡的長度為卓

12.已知函數(shù)/(%)=e*+b*,g(x)=/+2x,以下結(jié)論正確的有()

A./(x)是偶函數(shù)

B.當(dāng)a>0時(shí)，y=a/(x+1)與y=g(x)有相同的單調(diào)性

C.當(dāng)a>0時(shí)，y=a/(x+1)與y=g(x)的圖象只可能有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)

D.若丫=af(x+1)與y=g(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a=

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)y=/(x)圖象上任意點(diǎn)P(xi，/(X])),總存在點(diǎn)P'(X2，f(X2))也在丫=f。)

圖象上，使得%1%2+/(/)/(%2)=0成立，稱函數(shù)y=f(x)是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，給出下列五個(gè)

函數(shù)：

①y=%T；

?y=iog2x；

③y=sinx+1；

④y=e*—2；

⑤y=V1—x2-

其中是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”的序號(hào)是(寫出所有正確的序號(hào))

14.已知向量2,b，c,滿足|五|=1,石石，(a-c)-(b-c)=0>對(duì)于確定的方，記幽

長度的最大值和最小值分別為m和m則當(dāng)方變化時(shí)，徵-n的最小值是.

15.定義：數(shù)列｛an｝對(duì)一切正整數(shù)n均滿足色方>而+1，稱數(shù)列｛冊｝為“凸數(shù)列”，一下關(guān)于“凸

數(shù)列”的說法：

(1)若即=kn+均為常數(shù))，則數(shù)列｛斯｝一定是凸數(shù)列

(2)首項(xiàng)句>0,an=<hq”T(q>0),則｛即｝一定是凸數(shù)列

(3)若數(shù)列｛an｝為凸數(shù)列，則數(shù)列｛a*1-a"是單調(diào)遞增數(shù)列

(4)凸數(shù)列｛an｝為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是存在沏eN*,使得即。+1>即。

其中正確說法的個(gè)數(shù)是.

16.已知M為雙曲線C；5―3=1(<1>0/>0)的右支上一點(diǎn)，A,尸分別為雙曲線C的左頂點(diǎn)和右

焦點(diǎn)，且|MF|=|4F|,若/MF4=60。，則雙曲線的離心率e的值為

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.AABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知cosB=—/,AABC的面積是否存在

最大值？若存在，求對(duì)應(yīng)三角形的三邊；若不存在，說明理由.

從①a+c=2,(2)b=Ba這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.如果選擇多個(gè)條件

分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.2015年1月1日新何境保護(hù)法實(shí)施后，2015年3月18日，交通運(yùn)輸部發(fā)布《關(guān)于加快推進(jìn)新

能源汽車在交通運(yùn)輸行業(yè)推廣應(yīng)用的實(shí)施意見少,意見指出，至2020年，新能源汽車在交通運(yùn)

輸行業(yè)的應(yīng)用初具規(guī)模，在城市公交、出租汽車和城市物流配送等領(lǐng)域的總量達(dá)到30萬輛；新

能源汽車配套服務(wù)設(shè)施基本完備，新能源汽車運(yùn)營效率和安全水平明顯提升.隨著新能源汽車

的迅速發(fā)展，關(guān)于新能源汽車是純電動(dòng)汽車的續(xù)航里程(單次充電后能行駛的最大里程)一直是

消費(fèi)者最為關(guān)注的話題.

對(duì)于這一問題渭南市某高中研究性學(xué)習(xí)小組從汽車市場上隨機(jī)抽取幾輛純電動(dòng)汽車調(diào)查其續(xù)航里程，

被調(diào)查汽車的續(xù)航里程全部介于50公里和300公里之間，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果分成5組：［50,100),

［100,150),［150,200),［200,250),［250,300］,繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)若續(xù)航里程在［100,150)的車輛數(shù)為5,求抽取的樣本容量n及頻率分布直方圖中x的值；

(2)在(1)的條件下，若從續(xù)航里程在［200,300］的車輛中隨機(jī)抽取2輛車，求其中恰有一輛車的續(xù)航里

程為［250,300］的概率.

19.設(shè)數(shù)列｛a"的前項(xiàng)和為S",西=1,a“+i=S“+l(nGN*),數(shù)列也｝中,bn+1—bn-3=0(nG

N*),且瓦=ar.

(1)求數(shù)列｛即｝，｛匕｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛4-a"的前n項(xiàng)和為7n,若7；-2n+3>5,求ri的最小值.

20.如圖，三棱錐P-4BC中，D,E分別是BC,4C的中點(diǎn).PB=PC=AB=2,AC=4,BC=2次,

PA=V6.

c

(1)求證：平面ABCJ■平面PED；

(2)求AC與平面PBC所成的角的正弦值；

(3)求平面PED與平面P4B所成銳二面角的余弦值.

21.(本小題滿分14分)已知橢圓僦二二注《=瞬》，題H嘮過點(diǎn),躅1劣，離心率設(shè)=-?/為桶

圓且I上的一點(diǎn)，越為拋物線￡!=空需上一點(diǎn)，且,施為線段嗨的中點(diǎn).

笠

(1)求橢圓翻(的方程；

(2)求直線櫥的方程.

22.已知函數(shù)/(x)=-1+log2(x-1).

(I)求函數(shù)/(?的定義域；

(11)求/(5)的值；

(HI)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn).

參考答案及解析

1.答案：B

解析：如圖故選艮

2.答案：C

解析：解：由題意y=笄誓ax,x>a

—ax,x<a

由此知，當(dāng)％<a時(shí)，函數(shù)圖象在X軸下方，x>a時(shí)函數(shù)圖象在x軸上方，由此可排除4,B兩個(gè)選項(xiàng)

考察C,。兩個(gè)選項(xiàng)中x<a時(shí)的圖象，可得a>1,故當(dāng)x>a時(shí)函數(shù)的圖象得是上升的，由此知排除

D

故選C

3.答案:D

解析：試題分析：命題①②可以通過作圖說明；命題③可以運(yùn)用反證法的思維方式說明是正確的;

對(duì)于④當(dāng)Z在平面a內(nèi)就存在與/平行的直線.

①如圖，一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)平面相交，所以①不正確；

②如圖，平面al平面。，aCB=I，aua,若"/，，則a〃￡,所以②正確;

③若平面a內(nèi)存在直線垂直于平面￡,根據(jù)面面垂直的判定，則有平面a垂直于平面/?,與平面a不垂

直于平面￡矛盾，所以，如果平面a不垂直于平面夕，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面口正確；

④a內(nèi)不存在與I平行的直線，不正確，當(dāng)I在平面a內(nèi)就存在與I平行的直線.

故選。.

4.答案：B

解析：解：設(shè)等比數(shù)列5｝的公比為q(q>0),由=9,=81,得q2=詈=與■=9,解得q=3,

所以的=：=?=3，

q3

所以％+。2+--+即。=安=中-

故選：B.

設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q(q>0),根據(jù)由a2=9,a4=81可算出q；再根據(jù)的=半可算出與,即可

計(jì)算出則%+Cl?+。3+--上的0的值.

本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，屬于簡單題.

5.答案：C

解析：解:知向量五=(x-l,2),b=(2,1).a//b

可得x—1=4,可得x=5.

故選：C.

利用向量共線的充要條件列出方程求解即可.

本題考查向量共線的充要條件的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：解：命題“若一<1,則一1<x<lw的逆否命題是：若無<-1或x>1,則->1.

故選：。.

直接利用逆否命題的定義，寫出結(jié)果即可.

本題考查逆否命題，是基礎(chǔ)題.

7.答案：C

解析：試題分析：根據(jù)反方向知：解=糜頌③累的圖像向左平移言個(gè)單位后得到承=重￡不，根

據(jù)左加右減的平移原理得到：艘=觸齒,審普竺fe--I,故選C.

小，縱MK朝

考點(diǎn)：群=,疝輸i艇喧存碑的圖像變換

8.答案：D

l&Fzl，所以為=3坊,即HF/=3|80|,設(shè)18al=k,則|4凡|=3/c,\AB\=4/c,\AF2\=2a-3k,

\BF2\=2a-k,

2222

在△ABF2中，由余弦定理可得：\AB\=\AF2\+|BF2|-2\AF2\\BF2\COSZ^F2B9可得：(4/c)=

(2Q-3/c)2+(2Q-k)2-2(2.CL-3/C)(2Q-k).—,

化簡可得a?—2ak—3k2,解得Q=—k(舍)或Q=3k,

可得：\AF2\=\AF1\=3k,\BF2\=5k,\\AB\=4k,

所以可得4&1伍，即△ARE為等腰直角三角形，所以b=c,a=y[2c,所以離心率6=；=當(dāng),

故選：D.

由AAFiF2的面積是△B&F2的三倍可得以=3ys，即|4&|=3伊&|,設(shè)焦半徑BF1的長，進(jìn)而可得

其他焦半徑的值，由余弦定理可得長半軸長與k的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率.

考查橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

9.答案：D

解析：解：由題意可得：請(qǐng)木工需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工需付工資每人400元，

設(shè)木工x人，瓦工y人，可得總的工資為500x+400y,

又因?yàn)楝F(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，故500x+40Oy<20000,

化簡可得5Y+4y<200,

故選：D.

由題意可得總的工資50x+40y<2000,化簡即可.

本題考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，如何建模是解決這類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

10.答案：A

解析：解：???/(%)=2sinxcosx—2sin2x+1

=2sinxcosx+cos2x

=sin2x4-cos2x

r-V2V2

=v2(—sm2x-cos2x)

=V2sin(2x+/一(2分)

,?"(4+》=當(dāng)，

??.V2sin(2/4+])=爭

???cos2CA4=一1,

3

:.2COS2A-1=p

???/為銳角，即0V4V會(huì)

V6

???cosA4=——，

3

???sinA=V1-cos2i4=冬-------------(8分)

又?.?。=百，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,&P(V3)2=b2+c2-2bc-

b2+c2>

2/>

-

57-6

32

9

1Z分

<-(1o

-2K

.??5=泣5譏力屋（2+越）速=出生”

22k22734

故選：A.

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡函數(shù)解析式為/（乃=缶皿2》+》由"4+》=爭可求得

cos24=%而4為銳角，可求得cosA、sbM,又a=百，利用余弦定理與基本不等式可得be<|+^,

從而可求得△ABC面積S的最大值.

本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，突出余弦定理與基本不等式的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題.

11.答案：ACD

解析：解：對(duì)于4：作圖可得△ABC有兩解，

c

故4正確；

對(duì)于B：因?yàn)?M+b2)sin(/l-8)=(a2-b2)sin(7l+8),

所以(M+b2y)(sinAcosB-cosAsinB)=(a2—b2>)(sinAcosB+cosAsinB},

化簡整理得a2cos=b2sinAcosB,

2

整理得sin24cosZsiTiB=sinBsinAcosBf

^sinAcosA=sinBcosB,

&fsin2A=sin2B,

所以4=8或A+B=],

所以△4BC是直角三角形或等腰三角形，故3錯(cuò)誤；

對(duì)于C：設(shè)CD=x,CB=2%,

在ACBD中由余弦定理可得，一更=型上,

56x

整理可得5/-2\/5X-15=0,

解得x=V5,

即CD=V5.CB=2遙，

所以S-BC=SECD+S^ADC=ix3xV5x^+ix5xV5x^=8,故8正確;

對(duì)于D：動(dòng)點(diǎn)。的軌跡的長度是圓。[上劣弧我長度的2倍，

所以點(diǎn)。的軌跡長度為2、等=拳故。正確.

故選：ACD.

對(duì)于4作圖可得△ABC有兩解，即可判斷4是否正確；

對(duì)于8：利用正弦定理化簡(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),可得A=B或4+B=今即

可判斷B是否正確；

對(duì)于C：設(shè)CO=x,CB=2x,在ACB。中由余弦定理可得，解得x,則S-BC=S^BCD+S”及，即

可判斷B是否正確；

對(duì)于D：動(dòng)點(diǎn)。的軌跡的長度是圓01上劣弧助長度的2倍，即可判斷。是否正確.

本題考查命題真假的判斷，正余弦定理，屬于中檔題.

12.答案:ABCD

解析：解：4f(—?=6-+靖=/(嗎，.?./(?是偶函數(shù)，正確;

B.a>0時(shí)，y=af(x+1)=aex+1+ae~^x+1'>,y'=aex+1-ae-(x+1)=aex+1-=

a(ex+1+l)(ex+1-l)

ex+1'

J.x>—l時(shí)，y'>0；x<-l時(shí)，y'<0,

???y=a/(x+1)在(-L+00)上是增函數(shù)，在(-8,-1)上是減函數(shù)，

又二次函數(shù)y=g(x)在(―l,+oo)上是增函數(shù)，在(—8,—1)上是減函數(shù)，

二當(dāng)a>0時(shí),,y-af(x+1)與y—g(x)有相同的單調(diào)性，二B正確；

C.當(dāng)a>0時(shí)，y=af(x+1)和y=g(x)都關(guān)于％=—1對(duì)稱，

x=-1時(shí)，y=a/(x+1)取最小值2a>0：無=—1時(shí)，y=g(x)取最小值—1,即函數(shù)y=af(x+1)

和y=g(x)的頂點(diǎn)不重合，

???根據(jù)對(duì)稱性，在x=-1的左邊有幾個(gè)交點(diǎn)，在x=-1的右邊就有幾個(gè)交點(diǎn)，即有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，.?(

正確；

D根據(jù)C,若y=af(x+1)和y=g(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這個(gè)公共點(diǎn)應(yīng)是這兩個(gè)圖象的頂點(diǎn)，

2a~-1,解得a=-右.?.￡)正確.

故選：ABCD.

可看出f(x)是偶函數(shù)，從而判斷A正確；當(dāng)a>0時(shí)，可求出函數(shù)丫=。/(%+1)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符

號(hào)即可得出該函數(shù)在(-1,+8)上是增函數(shù)，在(-8,-1)上是減函數(shù)，從而可判斷B正確;可求出a>0

時(shí)，丫=。/。+1)與丫=或?yàn)榈捻旤c(diǎn)不重合，根據(jù)這兩個(gè)函數(shù)都關(guān)于％=-1對(duì)稱即可得出這兩函數(shù)

圖象只可能有偶數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，從而判斷C正確；根據(jù)C可知，這兩函數(shù)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該公共

點(diǎn)應(yīng)是這兩圖象的頂點(diǎn)，從而判斷。正確.

本題考查了偶函數(shù)的定義及判斷，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)

的求導(dǎo)公式，二次函數(shù)和偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

13.答案：③④⑤

解析:解:r點(diǎn)P'(X2，f(%2))，

.?.若X62=0，則等價(jià)為方?而=0，即加JL正.

①當(dāng)P(l,l)時(shí)，滿足訶,彳的P'(-Ll)不在的圖象上，故①不是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，

②當(dāng)P(l,0)時(shí)，滿足而1赤的P'不在/Q)的圖象上，故②不是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，

斗

1\~

-1O2x

③作出函數(shù)y=sinx+1的圖象，由圖象知，滿足而_L赤的點(diǎn)P'(X2，/(%2))都在V=/(%)圖象上，

則③是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，

④作出函數(shù)y=〃—2的圖象，由圖象知，滿足而_L福的點(diǎn)P'(X2，/(X2))都在y=/(x)圖象上，則

④是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，

⑤作出函數(shù)y=小三正的圖象，由圖象知，滿足而_L赤的點(diǎn)P'(X2，/(X2))都在y=/Q)圖象上，

則⑤是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”.

故答案為：③④⑤

根據(jù)條件X1%2+f(%l)f(X2)=0，得到赤.m=0即而_L而，轉(zhuǎn)化為和聲垂直的向量聲和函數(shù)

有交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可

本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為向量垂直，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

14.答案：|

解析：

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系的建立，向量的數(shù)量積的運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，圓的形式

的變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

首先建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步求出各向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，求出圓的關(guān)系式，

再把圓的關(guān)系式進(jìn)行變換，利用圓的半徑和關(guān)系式的關(guān)系求出結(jié)果.

解：向量區(qū)b，c,滿足|五|=1,|五一石|=|k(a-c)(b-c)=0,

建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)a=(1,0),b—(巧.,%)，c=(x,y),

利用|五—b\=|K|>

所以：與=：，E=

由于位一。?=0,

所以：(1-%)(：-x)-yOi-y)=0,

則：X2+y2-|x-+i=0,

表示以弓,§)為圓心，同為半徑的圓.

42~r

故:m=符+w)2+率,

當(dāng)月=0時(shí)，m-n的最小值為

故答案為：

15.答案：2

解析：

(1)由等差數(shù)列｛即｝的性質(zhì)可得：鋁產(chǎn)=a“+i，不滿足失比〉即+i，即可判斷出.

(2)由于首項(xiàng)的>0,公比q>0且qHl的等比數(shù)列｛an｝,可得a”>0.

可得若山=如誓=時(shí)?字〉a“q=即+「即可判斷出.

(3)由于數(shù)列｛即｝為凸數(shù)列，可知：數(shù)列｛即｝對(duì)一切正整數(shù)點(diǎn)均滿足若比>即+1，

可得：an+2-an+1>an+1-an,即可判斷出數(shù)列｛-+i-an｝的單調(diào)性.

(4)①凸數(shù)列｛a"為單調(diào)遞增數(shù)列可得對(duì)于任意的如eN*,都有即。+1>a?0；

②對(duì)于凸數(shù)列｛冊｝存在n。eN*,使得M。+1>。加.貝于沏+2-ano+i>^n0+l-%t。-O-n0+l=?n0+l

ano>。.可得數(shù)列｛a“｝從n0項(xiàng)開始是單調(diào)遞增數(shù)列.如果沏>1,則此數(shù)列不一定是遞增數(shù)列.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、新定義“凸數(shù)列”的意義，屬于難題.

解：(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：若山=即+1，不滿足若空^Aan+i，因此不是“凸數(shù)列”.

(2)?.?首項(xiàng)的>0,公比q>。且q*1的等比數(shù)列〉。,

n

:.an=QiqT>0.

.?.警李=旭薩=斯?等〉(1閹=即+1.因此是“凸數(shù)列”.故正確.

⑶???數(shù)列｛斯｝為凸數(shù)列，.??數(shù)列5｝對(duì)一切正整數(shù)n均滿足警衛(wèi)>an+1,

aa

n+2—n+l>&1+1-Cln，

???數(shù)列｛an+1-a"是單調(diào)遞增數(shù)列.因此正確.

(4)①凸數(shù)列｛a.｝為單調(diào)遞增數(shù)列可得對(duì)于任意的如eN*,都有a“0+i>即。；

②對(duì)于凸數(shù)列｛即｝存在同eN*,使得即。+1>ano.

a2aaaaa

則0?10+2-n0+l>n0+l-n0~n0+l=n0+l-n0>0-

如果的>1,則此數(shù)列不一定是遞增數(shù)列.

因此(4)不正確.

綜上可知：只有(2)(3)正確.

故答案為：2.

16.答案：4

解析：

本題考查了雙曲線的方程、定義、離心率，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

易得△M凡4是等邊三角形，則有|AF|=a+c,|MF|=a+c,設(shè)雙曲線的另一焦點(diǎn)為F',根據(jù)雙曲

線的定義得|MF'|=3a+c,在ZkMFF'中，由余弦定理得=附產(chǎn)仔+尸口2-2|“內(nèi)?

|FF'|cos60。,B|J4a2+3ac-c2=0,解得4a=c,即￡=4即可.

v\MF\=\FA\,Z.MFA=60°,

???△M凡4是等邊三角形.

則有AF=a+c,MF=a+c,

設(shè)雙曲線的另一焦點(diǎn)為F',

根據(jù)雙曲線的定義得|MF'|=3a+c,

在^MFF'中,

由余弦定理得=\MF\2+\FF'\2一2\MF\■\FF'\cos60°,

即4a2+3ac-c?=0,解得4a=c,即￡=4,

a

???雙曲線C的離心率為4.

故答案為：4.

17.答案：若選①，則最大值為手，選②，則無最大值

解析：解：若選①，則由cosB=—得sinB=與則S=［acsinB=廣acW?(等y=手，

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=l時(shí)，取等號(hào)，故面積的最大值為它.

4

則匕2=a24-c2-2accosB=l+l-2x(-}=3,則b=遮，

若選②，則由COSB=-|,得B=y,sinB=今

由正弦定理得W=2=b，則近和4=：,A=±C=p則。=c,

sinAa266

則S=^acsinB=匡。2,a可以取任意正數(shù)，則三角形的面積無最大值，

24

故答案為：若選①，則最大值為日，選②，則無最大值

分別討論兩個(gè)條件滿足時(shí)，結(jié)合三角形的面積公式以及正弦定理，余弦定理進(jìn)行推導(dǎo)判斷即可.

本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式，正弦定理，余弦定理是解決本題的關(guān)鍵.難

度不大.

18.答案：解：(1)由題意得“二；；；熹鉉=20輛，

由直方圖可得:(0.002+0.005+0.008+x+0,002)x50=1,

?1?x=0.003；

(2)由(l)n=20,

???續(xù)航里程在［200,250)的車輛數(shù)為：20x0.003x50=3輛；用4B,C表示，

續(xù)駛里程在［250,300］的車輛數(shù)為：20x0.002x50=2輛，用a,b表示，

從這5輛中隨機(jī)抽取2輛為4B,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共有10種抽法，

其中其中恰有一輛車的續(xù)航里程為［250,300］的抽法為，4a,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共有6種抽法，

故恰有一輛車的續(xù)航里程為［250,300］的概率為卷=|

解析：(1)頻數(shù)=頻率x樣本容量求車輛數(shù)求出n的值，利用小矩形的面積和為1,求得x值；

(2)續(xù)航里程在［200,250)的車輛數(shù)為：20x0.003x50=3輛;用4,8,C表示，續(xù)駛里程在［250,300］

的車輛數(shù)為：20x0.002x50=2輛，用a,b表示,分別求得5輛中隨機(jī)抽取2輛車的抽法種數(shù)與其

中恰有一輛汽車的續(xù)駛里程為［200,250)抽法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算.

本題考查直方圖、古典概型概率公式：直方圖中頻率=縱坐標(biāo)x組距，屬于一道基礎(chǔ)題.

19.答案：解：(1)⑥=1,0n+i=S"+l(neN*),

可得a”=Sn-i+1,n>2

即有斯+i—an=Sn—Sn_i=an，

即為ciji+i=2ali，

由a2=S］+1=2,

n2n

可得a”=a22-=2t,

上式對(duì)n=1?也成立，

則斯=2n-1>n6N*；

數(shù)列｛匕｝中,bn+1-bn=3(nGW*),且瓦=%=1,

可得b”=1+3(n—1)=3n—2,nG/V*；

n1

(2)bn-an=(3n-2)-2-,

可得前n項(xiàng)和為%=1?2°+4?21+7?22+-+(3n-2)-2n-1，

27^=1?2+4?22+7-234--+(3n-2)-2rt,

相減可得-7；=1+3(21+22+…+2"T)-(3n-2)-2n

=1+3--(3n-2)-2n,

化簡可得7；=5+(3n-5)-2n.

若2n+3>5,

即為(3n—5)-2".N2"+3,

即有371—528,SPn>y,

可得整數(shù)n的最小值為5.

解析：(1)由數(shù)列的遞推式：nN2時(shí)，an=Sn-Sn^,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)

公式；由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列｛九｝的通項(xiàng)公式；

(2)求得生?an=(3n—2)-2，T,由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，可得〃，解不等式可得n的最小值.

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法,

考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.答案：證明：（1）：PB=PC=48=2,AC=4,BC=2如,PA=V6,

AB2+BC2=AC2,.-.BC1AB,

D,E分別是BC,4c中點(diǎn)，

DE//AB,BC1DE,

又PB=PC,。是BC中點(diǎn)，

BC1PD,DECPD=D,DE,PDu平面PED,

BC_L平面PED,又???BCu平面ABC,

.??平面ABC_L平面PED.

4+16—67

???cosZ-PCA=

2X2X4

在APCE中，PC=2,CE=2,

PE=/4+4-2x2x2x-=l,DE=\AB=1,

82

PD=V4^3=1,

PDE為等邊三角形，

如圖,取PD中點(diǎn)F,連接EF,CF,則EFJ.PD,

又8cl平面PED,EFu平面PED,

BC1EF,PDCBC=D,PD,BCu平面PBC,

EF_L平面PBC,

???NEC/是直線4c和平面P8C所成角,

EFCE=2,

2

V3_

==

???s\nz.ECF=—CE~2r4

???直線2C與平面PBC所成角的正弦值為日

(3)以。為原點(diǎn)，分別以DC,