專(zhuān)題6.4數(shù)列求和-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)寶典（新高考專(zhuān)用）

第六章數(shù)列專(zhuān)題6.4數(shù)列求和1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常用方法．考點(diǎn)一分組求和與并項(xiàng)求和考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和考點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和知識(shí)梳理接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).2．分組求和法與并項(xiàng)求和法(1)分組求和法若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．3．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).(5)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).第一部分核心典例題型一分組求和與并項(xiàng)求和1．已知等差數(shù)列中，，公差;等比數(shù)列中，，是和的等差中項(xiàng)，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記比較與的大小.【詳解】（1）因?yàn)椋李}意，故，由得，解得或2，因?yàn)?，所以，，故，其中，故公比，所以；?），故；（3）所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，.2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橐卜仙鲜剑裕?）由（1）可知，所以．3．已知數(shù)列滿足：.(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足，試求數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以.題型二錯(cuò)位相減法求和4．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）由題意得，即，解得，所以的通項(xiàng)公式為；（2），故①，②，①②得，故.5．已知數(shù)列滿足，．(1)證明：是等比數(shù)列．(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）由，得，所以，又,故是公比為3的等比數(shù)列；（2）由（1）得，則，．所以，所以．兩式相減，得，所以，解得．6．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由得，時(shí)，所以則，時(shí)，①②由得，得，時(shí)，也滿足，；（2）因?yàn)?，所以③④由④③得，題型三裂項(xiàng)相消法求和7．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和記為，且其中λ為常數(shù)．(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，求；(2)若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【詳解】（1）在中，令，得，求得，同理可得，∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴，∴∴，∴公差，∴；（2）由①，得②②①得，又，∴．∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差均為λ，且λ=2，又∵，∴，，∴．8．已知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，又，所以，故．（2）由（1）可得，，則．9．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，，，則，又，所以是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故.（2）由（1）得，，單調(diào)遞增，，又，故，綜上.第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．等差數(shù)列中，已知公差，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意，在等差數(shù)列中，，，.故選：A.2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為.故選：B3．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【詳解】∵，故故.故選：D.4．已知一個(gè)有限項(xiàng)的等差數(shù)列{an}，前4項(xiàng)的和是40，最后4項(xiàng)的和是80，所有項(xiàng)的和是210，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．12 B．14C．16 D．18【答案】B【詳解】由題意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，兩式相加得a1＋an＝30.又因?yàn)椋詎＝14.故選：B5．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱(chēng)為“三角垛”.“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，……，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，令，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，可得且，所以，也滿足上式；所以，則.故選：C.6．已知數(shù)列滿足，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，，所以.故選：C.7．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)榈闹芷跒?，且，，所以.故選：B8．已知數(shù)列{an}滿足：an+1=anan1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2021=（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【詳解】∵an+1=anan1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=1，a5=2，a6=1，a7=1，a8=2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0，故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（1）+（2）=1.故選：C.二、多選題9．已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為等差數(shù)列 B．為遞減數(shù)列C．的通項(xiàng)公式為 D．的前項(xiàng)和【答案】BD【詳解】因?yàn)?，所以，所以，且，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即，可得，故選A，C錯(cuò)誤；因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，即為遞減數(shù)列，故選項(xiàng)B正確；的前項(xiàng)和，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.10．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．C． D．的前項(xiàng)和為【答案】AD【詳解】選項(xiàng)A，由已知①，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，②，兩式相減得，即，可得數(shù)列是為公比的等比數(shù)列，故A正確；選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A可得，故，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)椋蕯?shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，故D正確．故選：AD三、填空題11．=.【答案】【詳解】.故答案為：12．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知?jiǎng)t．【答案】/【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，由題意得，，，，故.故答案為：四、解答題13．設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．（1）推導(dǎo)的前項(xiàng)和公式；（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，所以①，②，①②得，．?）證明：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．14．已知數(shù)列滿足，(1)記，求證：為等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列滿足：，，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋詾榈缺葦?shù)列；（2）由（1）可知：是2為公比的等比數(shù)列，，因此，即，而，所以，當(dāng)時(shí)，，令，所以，兩式相減，得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足，由設(shè)，由，由，當(dāng)，所以有，，所以，所以，因此實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1