湖南省名校聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期入學摸底考試數(shù)學試題

名校聯(lián)盟·2023年下學期高二入學摸底考試數(shù)學本試卷共4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦千凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)補集的運算法則即可得出結(jié)果.【詳解】由補集的定義可知，，故選：A．2.已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，求得，根據(jù)題意求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)，可得因為，所以解得，所以.故選：A.3.已知R，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】若，則，則成立．而當且時，滿足，但不成立；“”是“”的充分不必要條件．故選：．4.某讀書會有6名成員，寒假期間他們每個人閱讀的書本數(shù)分別如下：3，2，5，4，3，1，則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為（）A.3 B.4 C.3.5 D.4.5【答案】B【解析】【分析】這組數(shù)從小到大排列順序為：1，2，3，3，4，5，根據(jù)，結(jié)合百分數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意，這組數(shù)從小到大排列順序為：1，2，3，3，4，5，由，可得這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為從小到大排列的第5個數(shù)為4.故選：B.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式，可將b，c變形為，，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由題意得：，，因為在上單調(diào)遞減，所以，即．故選：B6.某大學舉辦校慶，為了烘托熱鬧的氛圍，需要準備20000盆綠色植物作裝飾，已知栽種綠色植物的花盆可近似看成圓臺，上底面圓直徑約為9厘米，下底面圓直徑約為18厘米，母線長約為7.5厘米．假定每一個花盆都裝滿營養(yǎng)土，請問共需要營養(yǎng)土約為（參考數(shù)據(jù)）（）A.17.02立方米 B.17.23立方米 C.17.80立方米 D.18.22立方米【答案】C【解析】【分析】利用圓臺的體積公式運算即可，最后要注意單位的換算.【詳解】依題意，設(shè)圓臺的高為h厘米，則厘米，所以圓臺的體積為立方厘米，故需要營養(yǎng)土約為立方米．故選：C．7.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件切化弦，整理得出，然后把展開可求出，從而利用兩角和的余弦公式可求解.【詳解】由于，且，則，整理得，則，整理得，所以.故選：D.8.已知正方體的邊長為4，點E是棱CD的中點，P為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，且滿足平面，則點P的軌跡長為（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】畫出示意圖，找出過且跟面平行的平面，其跟面的交線即是的軌跡．【詳解】如圖，分別作的中點G，H，F(xiàn)，連接，由題可知，則四邊形為平行四邊形，平面BEF，平面，平面；同理可得平面，∴平面平面，由題意知平面，又點P為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，線段GH，點P的軌跡為GH，．故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.中國郵政發(fā)行的《北京申辦2022年冬奧會成功紀念》郵票圖案分別為冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標志”．現(xiàn)從一套5枚郵票中任取3枚，則（）A.恰有1枚吉祥物郵票的概率為 B.含有志愿者標志郵票的概率為C.至少有1枚會徽郵票的概率為 D.至多有1枚吉祥物郵票的概率為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)古典概型確定基本事件總數(shù)，再逐項判斷即可.【詳解】令分別表示冬奧會會徽郵票和冬殘奧會會徽郵票，分別表示冬奧會吉祥物郵票和冬殘奧會吉祥物郵票，C表示志愿者標志郵票．從一套5枚郵票中任取3枚有共10個基本事件，恰有1枚吉祥物郵票的情況有6種，概率為，故A正確；恰有1枚志愿者標志郵票的情況有6種，概率為，故B正確；至少有1枚會徽郵票的概率為，故C不正確；至多有1枚吉祥物郵票的概率為，故D正確．故選：ABD.10.如圖，在平行四邊形中，為的中點，為的中點，與相交于點O，，，則（）A.B.C.D.若，，，則·＝【答案】BCD【解析】【分析】利用三角形法則的應(yīng)用，線性運算的應(yīng)用，數(shù)量積運算和平行線分線段成比例即可逐個選項判斷.【詳解】對于A選項，，故A錯誤；對于B選項，，故B正確；對于C選項，利用，可得，則，故C正確；對于D選項，由，有，故D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則下列說法正確的是（）A.B.當時，C.在上單調(diào)遞增D.不等式的解集為【答案】BD【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義可求解A、B；用特值法可判斷C；分段求解不等式可判斷D.【詳解】，故A錯誤；當時，，所以，故B正確；因為，，又，故C錯誤；當時，，解得；當時，，無解；當時，，所以不等式的解集為，故D正確.故選：BD.12.如圖，在邊長為2的正方形中，是的中點，將沿翻折到，連接PB，PC，F(xiàn)是線段PB的中點，在翻折到的過程中，下列說法正確的是（）A.存在某個位置，使得 B.的長度為定值C.四棱錐的體積的最大值為 D.直線與平面所成角的正切值的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】利用反證法說明A，取的中點，連接，，即可判斷B，當平面平面時，四棱錐的體積最大，過作的垂線，垂足為，根據(jù)錐體的體積公式計算即可判斷C，當平面平面時，直線與平面所成角的正切值取得最大值，即可判斷D.【詳解】因為，假設(shè)，又，平面，所以平面，又平面，所以．在中，，所以與不可能垂直，故A錯誤；取的中點，連接，，如圖所示，因為F是線段PB的中點，G是PA的中點，所以，，又，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，故B正確；當平面平面時，四棱錐的體積最大，過作的垂線，垂足為，所以，，，，所以，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即是四棱錐的高，所以，故C正確；當平面平面時，直線與平面所成角的正切值取得最大值，此時，所以，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則的值為______．【答案】##0.2【解析】【分析】利用平面向量共線定理求解.【詳解】解：因為向量，，且，所以，解得，故答案為：14.某公司在甲、乙兩地銷售同一種農(nóng)產(chǎn)品，利潤（單位：萬元）分別為，，其中x為銷售量（單位：噸），若該公司在這兩地共銷售10噸農(nóng)產(chǎn)品，則能獲得的最大利潤為______萬元.【答案】34【解析】【分析】設(shè)公司在甲地銷售農(nóng)產(chǎn)品噸，則在乙地銷售農(nóng)產(chǎn)品噸，根據(jù)利潤函數(shù)表示出利潤之和，利用配方法求出函數(shù)的最值即可．【詳解】設(shè)公司在甲地銷售農(nóng)產(chǎn)品（）噸，則在乙地銷售農(nóng)產(chǎn)品噸，，利潤為，又且故當時，能獲得的最大利潤為34萬元．故答案為：34.15.已知，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式“1”的代換求得的最小值，從而可得恒成立，根據(jù)一元二次不等式即可解得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】，當且僅當，即時等號成立，所以，解得，即實數(shù)m的取值范圍是．故答案為：.16.在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，G為的重心，，則的取值范圍為_________________．【答案】【解析】【分析】記BC的中點為D，利用重心的性質(zhì)先得到，再由向量的知識可得，，再利用銳角可得，最后利用函數(shù)的單調(diào)性可得的取值范圍．【詳解】記BC的中點為D，由，G為的重心，可得．又由，有，即，化簡可得．又由為銳角三角形，故，即，化簡可得．又由．令，由函數(shù)單調(diào)遞增，可得，可得．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.在中，角的對邊分別為，且的面積為（1）求角的大??；（2）若是的一條中線，求線段的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面積公式和余弦定理得到，得到答案；（2）由，兩邊平方結(jié)合向量的運算法則計算得到答案.【小問1詳解】由題意，可得的面積，所以，所以，又，所以.【小問2詳解】為的中點，則，又，，所以，故，即線段的長度為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，PA為點P到平面ABCD的距離，，，，點E、M分別在線段AB、PC上，其中E是AB中點，，連接ME.（1）當時，證明：直線平面PAD；（2）當時，求三棱錐體積.【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）構(gòu)造平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即可.（2）根據(jù)，求出三棱錐的高，然后利用體積公式即可.【小問1詳解】取PD中點N，連接MN、AN，是的中位線，MN//CD，且，又AE//CD，且，四邊形AEMN為平行四邊形，ME//AN又平面PAD，平面PAD，//平面PAD.【小問2詳解】，P到平面ABCD距離為3，點M到平面ABCD的距離為1，.19.居民小區(qū)物業(yè)服務(wù)聯(lián)系著千家萬戶，關(guān)系著居民的“幸福指數(shù)”．某物業(yè)公司為了調(diào)查小區(qū)業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度，以便更好地為業(yè)主服務(wù)，隨機調(diào)查了100名業(yè)主，根據(jù)這100名業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）在這100名業(yè)主中，求評分在區(qū)間[70，80)的人數(shù)與評分在區(qū)間[50，60)的人數(shù)之差；（2）估計業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分的眾數(shù)和90%分位數(shù)；（3）若小區(qū)物業(yè)服務(wù)滿意度（滿意度＝）低于0.8，則物業(yè)公司需要對物業(yè)服務(wù)人員進行再培訓．請根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，結(jié)合滿意度，判斷物業(yè)公司是否需要對物業(yè)服務(wù)人員進行再培訓，并說明理由．（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）【答案】（1）24人；（2）眾數(shù)：75分，90%分位數(shù)：84分；（3）物業(yè)公司需要對物業(yè)服務(wù)人員進行再培訓，理由見解析.【解析】【分析】（1）本題考查頻率分布直方圖每個矩形的意義，即頻率，則每個區(qū)間人數(shù)即可求解；（2）本問考查頻率分布直方圖的眾數(shù)與百分位數(shù)的求法，即最高矩形的組中值為眾數(shù)，左右兩邊頻率之和為0.9與0.1的為90%分位數(shù)；（3）本問考查頻率分布直方圖平均數(shù)的求法，即組中值與頻率乘積之和，最后套入公式即可.【小問1詳解】評分在區(qū)間的人數(shù)為100×0.04×10＝40（人），評分在區(qū)間的人數(shù)為100×0.016×10＝16（人），故評分在區(qū)間的人數(shù)與評分在區(qū)間的人數(shù)之差為40－16＝24（人）；【小問2詳解】業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分的眾數(shù)為75分，由，，設(shè)業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分的90%分位數(shù)為x，有，解得x＝84，故業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分的眾數(shù)和90%分位數(shù)分別為75分和84分；【小問3詳解】業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分的平均分為55×0.016×10＋65×0.03×10＋75×0.04×10＋85×0.01×10＋95×0.004×10＝70.6，由，故物業(yè)公司需要對物業(yè)服務(wù)人員進行再培訓．20.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，其中，，且．（1）求的圖象的一個對稱中心的坐標；（2）若點在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)的表達式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性，即可得出答案.（2）由點在函數(shù)的圖象上，可得，知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，再由和，可得，又，可得出，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，可知，故的圖象的一個對稱中心的坐標為【小問2詳解】由點在函數(shù)的圖象上，有，又由，，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有，又，有，將上面兩式相加，有，有，又由，可得，則，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，有，可得，可得，故．21.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）令（其中），求函數(shù)的值域．【答案】（1）函數(shù)為偶函數(shù)；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的定義域為，再判斷與的關(guān)系即可.（2）設(shè)，再判斷的符號即可.（3）根據(jù)，得到，再令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，所以函數(shù)為偶函數(shù).（2）證明：設(shè)，則，，∵，∴，，，∴，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）因為，所以，由（2）和可知，函數(shù)在區(qū)間上值域為，又由函數(shù)為偶函數(shù)，可知函數(shù)在上的值域為，令，可得，則，有，①當時，，此時函數(shù)的值域為②當時，，時函數(shù)的值域為因為函數(shù)和函數(shù)的值域一樣，所以當時，函數(shù)的值域為；當時，函數(shù)的值域為.【點睛】結(jié)論點睛：（1）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論．（2）二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進行