2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)下篇指導(dǎo)三巧用八種解題術(shù)教學(xué)案

指導(dǎo)三巧用八種解題術(shù)

“探求思路、圖體向?qū)А毙g(shù)

對(duì)題設(shè)條件不夠明顯的數(shù)學(xué)問題求解,注意相關(guān)的圖形,巧用圖形作向?qū)?，可打破思維瓶

頸，多途徑找到突破方法.尤其是對(duì)一些以函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等形式給出的命題，其本

身雖不帶有圖形，但可以設(shè)法構(gòu)造相應(yīng)的輔助圖形進(jìn)行分析，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來

解.力爭(zhēng)做到有圖用圖，無圖想圖,補(bǔ)形改圖，充分運(yùn)用其幾何特征的直觀性來啟迪思維,從而

較快地獲得解題的途徑這就是“用圖探路術(shù)”.

［例1］已知函數(shù)/'(X)=x(lnX-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,0)B.(0,0

C.(0,1)D.(0,+8)

［解析］B［

J」

函數(shù)/1(x)的定義域?yàn)?0,+8)/(x)=lnx+1—2ax.

函數(shù)/(%)=%(lnx—ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于In1—2ax=0在(0,+8)上有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根，令力(x)=lnx,g(x)=2ax—1,則函數(shù)力(x)=lnx的圖象與函數(shù)g(x)=2dx—1

的圖象在(0,+8)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

設(shè)函數(shù)力(x)=lnx與函數(shù)g(x)=2ax—1的圖象相切于點(diǎn)力(加,In/〃)，其中加＞0,函數(shù)g(x)

的圖象在點(diǎn)力處的切線的斜率為k=2a,函數(shù)力(才)的圖象在點(diǎn)力處的切線的斜率為〃=［,2a

in

直線g(x)=2ax—1過點(diǎn)(0,—1),/.

.In/??+!1

mm

解得m=1,

，當(dāng)函數(shù)力(x)與g(x)的圖象相切時(shí),

又兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，...aC(0,

［活學(xué)活用1］

(2019?杭州二模)設(shè)a,6“是單位向量，且a?6=0,則(a—c)?(6—c)的最小值為()

A.-2B.72-2

c.-1D.1-72

解析：D[

由于(a—c)?(6—c)=—(a+6)?c+1,因此等價(jià)于求(a+6)?c的最大值，這個(gè)最大值

只有當(dāng)向量a+6與向量c同向共線時(shí)取得.由于a?b=0,故aLb,如圖所示，|H+引=*\/2,Ic

=1.當(dāng)，=0時(shí)，(a+ZO-c取得最大值且最大值為也.故所求的最小值為1一蚯.］

解題術(shù)二“解題常招,設(shè)參換元”術(shù)

在解答數(shù)學(xué)問題時(shí),我們常把某個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)新的未知數(shù),或?qū)⒛承┳冊(cè)昧硪粎⒆?/p>

量的表達(dá)式來替換，以便將所求的式子變形，優(yōu)化思考對(duì)象,讓原來不醒目的條件,或隱含的信

息顯露出來,促使問題的實(shí)質(zhì)明朗化，使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化,從而便于我們將問題化繁為簡、

化難為易、化陌生為熟悉，從中找出解題思路.這種通過換元改變式子形式來變換研究對(duì)象,

將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去探究解題思路的做法，就是“設(shè)參換元術(shù)”，常見的換元

法：三角代換、比值代換、整體代換等.

2

［例2］已知橢圓。方程為a+/=1,且直線7：勿與圓0：x+/=1相切，若直線

1與橢圓。交于MN兩點(diǎn),求帆面積的最大值.

［解析］圓。的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑r=l,由直線1：y=kx+m,即kx—y+m=0與圓ft

x+y=l相切,得《魯亨=1，故有/2=1+后①

(2

j+y=1,

叫4

、y=kx+口］,

消去y得(4A2+1)x+84%x+4/—4=0.

設(shè)M(xi,yi),MA2,㈤，

8km4石一4

蛆j用+自=-

所以|才1—X2「=(矛1+矛2)2—4必X2

(8km\-4

li—m+

?.②

發(fā)+2

將①代入②，得|XLX2「=2,

如I_I4v3|用

故|由一尼|一4r+1,

所以|.削=也+〃|汨一短|=y1+42?卷+]

4yj3六六十

4^+1

故△。眼的面積|^1X1=紐與下件

[活學(xué)活用2]

(1)函數(shù)/'(x)=sinx+cosx+2sinxcos—,彳戶勺最小值是一

解析:f(x)=sinx+cosx+2sinxcosx—(sinx+cosA)：+sinx+cosx-1,令sin

nJlJTJlI—L，

x+cosx=L則f=-^2sin(x+—I??.,?原函

I~eo,—,.0<

數(shù)可化為g(t)=d+c—l(OWtW^)...?函數(shù)g(t)=/+c—1的圖象開口向上，其對(duì)稱軸的

方程為r=-M?.當(dāng)仁々正時(shí),名(。單調(diào)遞增.當(dāng)t=0時(shí),g(t)取得最小值一1.

答案：一1

(2)已知a>0,b>0,a+/j~ab^3,則2a+0的最大值是.

解析：令力=2a+b(1>0),則b=Z-24代入，+4—86=3,得7#—5at+f2—3=0,

由關(guān)于a的一元二次方程有解得，△=25d—28"-3)20,即/W28,所以0<應(yīng)24,當(dāng)

5

'7--10巾a+25=0,

且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故2a+6的最大值是2巾.

.2a+6=2干，

答案：2小

解題術(shù)三…一“巧設(shè)變量,引參搭橋”術(shù)

當(dāng)題目條件中的已知量或變量無法直接與要求的結(jié)論之間建立關(guān)系時(shí)，可考慮引入一些

中間變量,即參數(shù)(可以是角度、線段、斜率及點(diǎn)的坐標(biāo)等)，來溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，這

是一種非常重要的解題思想方法，即“引參搭橋”術(shù).

［例3］已知橢圓G9/+爐=m2(卬>0),直線/不過原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與。有

兩個(gè)交點(diǎn)A,8,線段A?的中點(diǎn)為M.

(1)證明：直線QV的斜率與/的斜率的乘積為定值；

(2)若直線/過點(diǎn)修，延長線段0M與C交于點(diǎn)P,四邊形力以能否為平行四邊形？若

能,求此時(shí)1的斜率；若不能,說明理由.

［解析］⑴證明：設(shè)直線/：尸4x+Z?(4WO,6W0),4(x1,3，6(題,㈤…"(揚(yáng)外?

將尸布+6代入9/+/=/得(左+9)/+24以+爐一病=0,故

為+茲—kb,?,9b

刈=——=后兩，刈+"=布.

于是直線的斜率在泌=之二型=—2則心?4=—9.

所以直線的/的斜率與1的斜率的乘積為定值.

(2)四邊形的陽能為平行四邊形.

因?yàn)橹本€1過點(diǎn)4所以1不過原點(diǎn)且與c有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0,23.

9

由⑴得直線QV的方程為y=一甘

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為名

2_接意士k/n

得石一9A2+81;即x—

P3迎+9

將修，力代入1的方程得b^°~k,

「ukk-m

因止匕Xst='，+.

當(dāng)且僅當(dāng)線段力8與線段8互相平分，即檢=2.時(shí)，四邊形勿陽為平行四邊形.

于是隊(duì):+―解得％=4-巾,&=4+于.因?yàn)閗>0,太豐3,7=1,2,所

以當(dāng)1的斜率為4—巾或4+#時(shí),四邊形位用為平行四邊形.

［活學(xué)活用3］

已知△?(比?為等腰三角形,46=4C磔是其腰4C的中線,且BD=3,求面積的最大值.

A

解析：設(shè)AB=2x,/BAC=〃，Je(O,r)，貝ij1

故&儂=；?2x?2x?sin^=2/sin夕，

9

在△/如中，皮2初+布—2四?皿"°s。，解得V=57T，故a瞰=2/in'=

18sin。

^e(0,JI),

5—4cosO'

令久0）=148si——n9小°￡（0,“），則/（。）=------——8L一，

5-4cos0-4cos0

4

令cos%=己%w（o,冗），故當(dāng)?！辏?,冊(cè)）時(shí)，/（。）>0,當(dāng)夕e（%,冗）時(shí)，/（。）

□

c3

18XT□

<0,故A9）在％處取到極大值,也是最大值，故/（夕）皿=-----^=6,故△/回面積的最大

5-4x|

o

值為6.

答案：6

解題術(shù)也“變量交錯(cuò)、分離協(xié)調(diào)”術(shù)

對(duì)多個(gè)變量交叉混合布局的數(shù)學(xué)問題，在求解時(shí)往往需要分離變量，即將混為一團(tuán)的變量

分開,使之各自成為一個(gè)小整體,便于分別分析各自所具有的特征,研究它們之間的差異,從中

發(fā)現(xiàn)解題的思路.這種通過對(duì)變量的分離來協(xié)調(diào)變量間的關(guān)系,理順解題思路進(jìn)行各個(gè)擊破的

解題策略，就是“分離變量”的戰(zhàn)術(shù).

［例4］設(shè)函數(shù)A%）=lg/------,其中aGR,n是任意給定的正整數(shù),

且〃22,如果當(dāng)（-8,1］時(shí),f（x）有意義,求a的取值范圍.

［解析］由題意有1+2'+…+（〃-1）*+〃1>0,

從而a>-罔唱斗…

因?yàn)槎ń瘢ㄗ?1,2,…，1）是（―8,1］上的減函數(shù),

n—1n—1〃一1

所以；故a>

［以+(5+…+(鼎n2~2~,

[活學(xué)活用4]

o「]~|「1-

設(shè)函數(shù)g(x)=:+x+b對(duì)任意a?2，都有g(shù)(x)W10在彳，1上恒成立,求實(shí)數(shù)8

的取值范圍.

解析：變量分離.方W10—,令力⑸=7+x,貝IIh'(%)=1-4=

x—\[ax+y[a

y，

得x=F(極小值點(diǎn))，X=-F(極大值點(diǎn))，

故力(x)在(-8,一1)上單調(diào)遞增，在(一事,0)上單調(diào)遞減,在(0,5)上單調(diào)遞減,在

(^,+8)上單調(diào)遞增.

由此可知，爾x)在;，1上的最大值為/(；)與力(1)中的較大者.

又/([)一爾1)=3(a-；),adB，2,

.?./(3＞人(1),.,"(x)1Mx=/(；)=4a+*所以，只需bW10—(4a+[)恒成立即可，又3(10

—(4a+[)w曰,從而得6的取值范圍是(一8,1.

答案：(-8,:

融題術(shù)五-“固勢(shì)推導(dǎo),反客為主”術(shù)

我們解答數(shù)學(xué)題時(shí)通常把注意力集中在主變?cè)?這是理所當(dāng)然的事.當(dāng)思維受阻時(shí)，若

注重考查命題的求解趨勢(shì)，依從條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系變換思考方向,視其參變?cè)獮橹髯冊(cè)M(jìn)

行研究、推導(dǎo)，也能得到解決問題的途徑，有時(shí)還能獲得問題的巧解.這種做法就是“反客為

主”的戰(zhàn)術(shù).

[例5]若f(x)=a/+2(2a—l)x+4a—7,a6N*,若F(x)至少有一個(gè)整數(shù)根,則a的取值

為.

[解析]依題意可知，當(dāng)f(x)=0時(shí),有2x+7=a(x+2)：①

顯然，當(dāng)x=—2時(shí),方程①不成立.

2x+7

故有a=丁式/一2),②

x+

于是，當(dāng)a為正整數(shù)時(shí),則必有2x+7)(x+2”,且xGZ,寸一2,

即x必須滿足條件：-3WxWl(xdZ,xW-2).

由此可知,x只能在一3,—1,0,1中取值.

將一3,-1,0,1分別代入①中，得知：

僅當(dāng)%=-3,x=-l和x=l時(shí)能保證a為正整數(shù),且此時(shí)有a=l和a=5.

所以，當(dāng)a=l和a=5時(shí),原方程至少有一個(gè)整數(shù)根.

［答案］1或5

［活學(xué)活用5］

對(duì)于滿足Ilog2Pl<2的所有實(shí)數(shù)0,使f+px+l>2x+p恒成立的x的取值范圍為

解析：由Ilog?9<2,得;Vp<4.

由題意可設(shè)Ap)=(x—1"+(/-2*+1)>0,

易知f(0)是。的一次函數(shù),故要使AP)>0在peg,4)上恒成立,

》0,

則必須有xWl,且

7X—+X—

即*#1,且J4

、X—+X—-'>0,

IM,或X21,

解得4

〔xW-3或

且x#l,

由此可得xW—3或x>L

所以滿足題意的實(shí)數(shù)x的取值范圍是xW—3或x>l.

答案：(一8,-3］U(l,+8)

融題術(shù)n..“換位推理，聲東擊西”術(shù)

對(duì)有些命題在直接求解常感到困難或根本難以從條件入手,這時(shí)可避開正面強(qiáng)攻,從結(jié)論

的對(duì)立面入手,或考查與其相關(guān)的另一問題,或反例，從中也可以找到解決問題的途徑,有時(shí)甚

至還能獲得最佳的解法,這就是“聲東擊西”術(shù),常見的基本方式有反證法、補(bǔ)集法、反例法

等.

［例6］若拋物線上的所有弦都不能被直線尸火了一3)垂直平分,則k的取值范圍

是()

B.卜8,

D.+°°

［解析］D［設(shè)拋物線尸V上兩點(diǎn)/（汨,#）,以打窟關(guān)于直線尸0L3）對(duì)稱的中

X\+X2#+后

點(diǎn)為P(Xo,Jb),則Ab^―,為―

由題設(shè)知正*=一—,所以三要=—一—

X\—X2K22k

又4?的中點(diǎn)P（ayo）在直線y=A（x—3）上,

所以字二件一3）=_空，

所以中點(diǎn)（一去1，—64—+1

由于點(diǎn)〃在的區(qū)域內(nèi)，則_6A±l>f_±>

2I2k),

整理得(24+1)(6?2—24+1)VO,解得左〈一g.

因此當(dāng)在＜一2時(shí)，拋物線y=f上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=A（x-3）對(duì)稱,于是當(dāng)衣》一%寸,

拋物線y=/上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線尸衣（X-3）對(duì)稱.

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍為一看+8）故選D.］

［活學(xué)活用6］

己知函數(shù)F（x）=axZ_x+lnx在區(qū)間（1,2）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

解析：f(*)=2a*T+：

①若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則f（x）20在（1,2）上恒成立，所以2aLi+：

1）上單調(diào)遞

，顯然函數(shù)_/=從力在區(qū)間

減，

所以從1）＜力（力＜￡）即0＜力（。＜/

由（*）可知，

O

②若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減,則f（x）WO在（1,2）上恒成立，所以2ax—1+1

WO,得后患勺

結(jié)合①可知,aWO.

綜上,若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-8,0］u+8）.

所以若函數(shù)/Xx）在區(qū)間（1,2）上不單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0,

答案：I）

解題術(shù)七“關(guān)注整體，設(shè)而不求”術(shù)

設(shè)而不求是數(shù)學(xué)解題中的一種很有用的手段，采用設(shè)而不求的策略,往往能避免盲目推演

而造成的無益的循環(huán)運(yùn)算，從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速、簡捷的解題效果.

［方法1］整體代入，設(shè)而不求

在解決某些涉及若干個(gè)量的求值問題時(shí)，要有目標(biāo)意識(shí),通過虛設(shè)的策略，整體轉(zhuǎn)化的思

想,繞開復(fù)雜的運(yùn)算過程,可使問題迅速得到解決.

［例7］已知等比數(shù)列中￡是數(shù)列｛aj的前“項(xiàng)和，5；=16,$〃=64,則S.的值為

［解析］設(shè)公比為q,由于Sz#2s網(wǎng)故

a

3］-q

=16,①

1—t7

于是2m

ai-q

=64,②

i-q

②+①得l+q"=4,則9=3,

_3m

所以—

l-q

=16X(1+3+3,

=208.

［答案］208

［方法2］轉(zhuǎn)化圖形，設(shè)而不求

有些代數(shù)問題,通過挖掘題目中隱含的幾何背景,設(shè)而不求,轉(zhuǎn)化成幾何問題求解.

［例8］設(shè)a"均為正數(shù),且a+b=l,則q2a+l+#26+l的最大值為

［解析］設(shè)u—y)2a+l,

v^2b+l(u>l,7>1),

u+v=嗎

u+v=m,

則同時(shí)滿足

u+r=4,

其中u+r=R表示直線，〃為此直線在y軸上的截距.

u+j=4是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓在第一象限內(nèi)的一部分圓弧,如圖所示,顯然直線

與圓弧相切時(shí),所對(duì)應(yīng)的截距力的值最大.

由圖易得偏ax=2>\y2,

即.2a+l+.26+1<272.

［答案］272

［方法3］適當(dāng)引參，設(shè)而不求

恰當(dāng)合理地引入?yún)?shù),可使解題目標(biāo)更加明確，已知和欲求之間的聯(lián)系得以明朗化，使問

題能夠得到解決.

［例9］已知對(duì)任何滿足(x—1/+/=1的實(shí)數(shù)x,%不等式恒成立,求實(shí)數(shù)k

的取值范圍.

x=l+cos0,

［解析］由題意設(shè)

y=sin0,

貝！Jg(=x+y+4=sin0+cos。+1+々

=A^sin(?+2)+1+42—小+1+上

令一市+1+420,得k^yfi-1.

即實(shí)數(shù)4的取值范圍是［4一1,+8).

［答案］［蛆T,+8)

［方法4］巧設(shè)坐標(biāo)，設(shè)而不求

在解析幾何問題中，對(duì)于有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)采用設(shè)而不求的策略，能促使問題定向，簡便化歸,

起到以簡馭繁的解題效果.

［例10］設(shè)拋物線y=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)廠的直線交拋物線于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C

在拋物線的準(zhǔn)線上,且比〃x軸,求證：直線4c經(jīng)過原點(diǎn)0.

［證明］

設(shè)/l(2pti,2ptd,2ptJ，則《一多2Pq.

因?yàn)檫^焦點(diǎn)F,

所以2pt\?2Pt2=-6、

得￡1-2=一彳.

又直線%的斜率在”=辿包=—46=?,

PM

~2

直線0A的斜率ko.\~2pf'~則k"=k“,

故A,0,C三點(diǎn)共線，即直線4C經(jīng)過原點(diǎn)0.

[活學(xué)活用7]

(1)一直線被兩直線4x+y+6=0,3x—5y—6=0截得的線段中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，則這條

直線的方程為.

解析：設(shè)所求直線分別交直線4x+y+6=0,3x—5y-6=0于點(diǎn)M,N,設(shè)必(劉,㈤，則有4x。

+%+6=0.①

因?yàn)镸,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以M—施，一㈤，從而一38+5%—6=0.②

由①+②得選+6%=0.③

顯然加新,④，川(一劉,一㈤，0(0,0)三點(diǎn)的坐標(biāo)均適合方程③.

故所求直線的方程為x+6尸0.

答案：x+6y=0

xyit

(2)已知橢圓蕨+w=1,A,K為焦點(diǎn)，點(diǎn)。為橢圓上一點(diǎn)，則SMF\PFz=

zoyo

解析：設(shè)I9I=T|"PF]=r2,

由橢圓定義得「1+與2=10.①

71

由余弦定理得zf+r2—2rir2cos—=64.②

①2-②得，ri/2=12,

所以桃=Brssing=3/.

答案：

（3）已知凡內(nèi)是橢圓2/+/=4的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),且崩?麗

=1.過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA,如分別交橢圓于A,6兩點(diǎn).

（i）求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（ii）求直線的斜率.

解析：3）設(shè)尸血〃），因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上，

所以2m2+〃2=4,加>o,n>0.①

又橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為3+5=1，

設(shè)內(nèi)（0,啦）,4（0,f）,

所以麗?麗=（一0,啦一/?）?（一而,一\/^—〃）=1,由此可得勿2+^=3.②

由①②解得加=1,n—yji,

即所求點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

（ii）設(shè)月（小,力），6（您⑸，因?yàn)辄c(diǎn)46在橢圓上，所以2#+4=4,2三+遂=4,兩式相減得

2（小一加（小+及）+（%一姓）（％+%）=0.

UUZ,%-%c布+生小

所以k產(chǎn)-----=—2?——.③

X\—Xz八十度

同理可得kAr=~~~平=-2*'1+%,④

為一1%+港

k由Xz+l小

km-----1=—2?―-7=.（5）

熱—1yz+y/2

因?yàn)镻A,如傾斜角互補(bǔ),所以kw+krn=0.@

由④⑤左端及⑥得X\yi+Xiy\—y[2,（x2+Xi）—（%+㈤+2啦=0,⑦

由④⑤右端及⑥得為%+的必+蛆（及+*1）+（%+%）+24=0,⑧

由⑧一⑦得2^^（茲+%）+2（yi+J2）=0,

即%+度=—、也（汨+生），⑨

由③⑨得hs=y/2.

融題術(shù)n”解題卡殼,攻堅(jiān)突圍”術(shù)

思維受限一般出現(xiàn)在壓軸題或計(jì)算量大的題上,有時(shí)也出現(xiàn)在?一些條件特殊的選擇題、填

空題上,這些題不一定就是做不好的題或是難度很大的題,而可能是因某些運(yùn)算或推理繁雜感

到心理緊張而導(dǎo)致一下子想不出解決方法的題.

一般來說,對(duì)此類問題的突圍關(guān)鍵在于如何針對(duì)已有的信息與所求目標(biāo)的差異進(jìn)行綜合

分析,整合相關(guān)的結(jié)論(包括已推得的結(jié)論)，注重信息的遷移.要注重考查命題所涉及的概念、

定理,把握命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模仿探索,力爭(zhēng)做到求什么，想什么.在

審查已做的運(yùn)算、推理與所求結(jié)論的要求是否正確時(shí)，要注重隱含條件的挖掘與整合,仔細(xì)清

查還有哪些條件未用上,還有哪些相關(guān)的通法未用到,力爭(zhēng)做到給什么，用什么.在將條件與結(jié)

論聯(lián)系起來時(shí)，要勇于試探、創(chuàng)新思維，注重類比、猜想、湊形、配式，力爭(zhēng)做到差什么，找什

么.這就是我們常常說的“思維受限突圍術(shù)”.常見的突圍策略有以下兩種：

［策略1］前難后易空城計(jì)

對(duì)設(shè)有多問的數(shù)學(xué)命題，若前一問不會(huì)解，而后面的幾問又是自己容易解的，或是可用第

一問的結(jié)論來求解的，此時(shí)應(yīng)放棄第一問的求解，著重攻后面的幾問，并將第一問的結(jié)論作為

后幾問的條件使用，巧妙地配合題設(shè)條件或有關(guān)定理解答后面的問題.這種利用自己根本不懂

或不會(huì)證明的問題條件來解后幾問的做法，就是數(shù)學(xué)解題中的“空城計(jì)”，即前問難后問易，

棄前攻后為上計(jì)(有時(shí)也說成：前難后易前問棄，借前結(jié)論攻后題).

［例11］設(shè)函數(shù)￡(x)=x"+6x+c(〃CN*,6,cCR).

(1)設(shè)〃22,6=1,c=-1,證明：￡(x)在區(qū)間1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；

(2)設(shè)n=2,若對(duì)任意荀,土盧［-1,1］,有|E(不)一分(丁|W4,求b的取值范圍；

⑶在⑴的條件下,設(shè)的是￡(x)在$1)內(nèi)的零點(diǎn),判斷數(shù)列起兩…,為,…的增減性.

［解析］(1)證明：當(dāng)8=1,。=-1,〃22時(shí)，

￡(x)=x+%—1.

加⑴=仔一界1<0,

.,??(X)在91)內(nèi)存在零點(diǎn).

又?.?當(dāng)1)時(shí)，/(必=〃/1+1>0,

???￡(x)在41)上是單調(diào)遞增的，

；.￡(x)在區(qū)間1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn).

(2)當(dāng)77=2時(shí)，fz(x)=x+bx+c.

對(duì)任意X\y生￡［―1,1］都有|^(X1)一分(12)|W4等價(jià)于￡(x)在［―1,1］上的最大值與最小

值之差力又4.據(jù)此分類討論如下：

①當(dāng)空即I引>2時(shí)，

游=I6⑴一工(-1)I=2㈤>4,與題設(shè)矛盾.

②當(dāng)一即0<bW2時(shí),

M=E(D—4一胃=修+1)W4恒成立.

③當(dāng)OW-^Wl,即一2WK0時(shí)，

歷=￡（—1）一/｛一胃=修-1）'W4恒成立.

綜上可知，-2W6W2.

⑶解法一：設(shè)x“是￡（x）在$1）內(nèi)的唯一零點(diǎn)（后2）,￡（x,,m=0,

fn+1（為+1）=Xnt1+Xn+1—1=0,Xn+\￡1）,

于是有fn（x）=0=￡+1（為+1）=Z+l+An4-i—KZ+l+Xz+l—1=/；,（X,+1）.

又由(1)知￡(x)在&，1)上是單調(diào)遞增的，

故園<茄+］(〃22),

所以數(shù)列Xk照，…，居???是遞增數(shù)歹I」.

解法二：設(shè)為是￡(x)在&,1)內(nèi)的唯一零點(diǎn).

￡+1(藥)￡+1(1)=(/'+%—1)(1"'+1—1)

=x：+'+X"—1<0+題一1=0,

則￡+i(x)的零點(diǎn)藥+i在U.1)內(nèi),

故x“VX"+i(〃22),

所以數(shù)列及,心…，.…是遞增數(shù)列.

［點(diǎn)評(píng)］第(1)問可利用函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行解題，但第(2)問較麻煩，很

多同學(xué)不會(huì)做或耽誤較長時(shí)間,從而延誤了第(3)問的解答.事實(shí)上，由題意可知，第(3)問的解

答與第(2)問沒有任何關(guān)系,但與第(1)問是相關(guān)的,且非常容易解答,因此我們可跨過第(2)問,

先解決第(3)問，從而加大了本題的得分率,這是解決此類題的上策之舉.

［策略2］前解倒推混戰(zhàn)術(shù)

有些數(shù)學(xué)命題的求解,開始入手還較為順暢，但一到最后就難以繼續(xù)進(jìn)行了.此時(shí)若知悉

它的大致趨勢(shì)和結(jié)果，可依從所求結(jié)論的形式、特點(diǎn)，進(jìn)行反推、湊形，直到得出大致與所要達(dá)

到的目標(biāo)相當(dāng)、相同或相似的式子,再來巧妙地進(jìn)行溝通也是可行的.對(duì)于這一步雖然是自己

做不到的，但這樣寫了幾下,卻可能全都是對(duì)的.也就是說,對(duì)此解答，自己是以其昏昏,卻能使

人昭昭.因?yàn)閯e人看上去確實(shí)是一步接著一步寫的，沒有什么跳躍,也沒掉什么關(guān)鍵步.這一

戰(zhàn)術(shù)與“中間會(huì)師”有點(diǎn)相似，但實(shí)質(zhì)卻不同.因?yàn)樗皇乔迩宄赝评磉^來的.這種不按

常規(guī)方式出牌,渾水摸魚的解題方法我們稱之為混戰(zhàn)術(shù)：解題結(jié)尾路難行，倒推湊形亦為徑.

［例12］已知函數(shù)/'(x)=(x-2)e'+a(x—l)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)總是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：xi+x2<2.

［解析］⑴f(x)=(x—l)e'+2a(x—l)=(x—1)(e*+2a).

①設(shè)a=0,則/Xx)=(x—2)e',F(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

②設(shè)a>0,則當(dāng)xG(—8,i)時(shí)，￡(%)<0；

當(dāng)xG(l,+8)時(shí)，/(x)>0,

所以f(x)在(一8,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

又f(l)=—e,f(2)—a,取6滿足b<0且Z?<ln1,

則f(b)>^(Z?—2)+a(Z>—1/^>0,

故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).

③設(shè)a<0,由f(x)=0得x=l或x=ln(-2a).

若a》一則ln(-2a)W1,故當(dāng)xR(1,+°°)時(shí)，

f(x)>0,因此/'(x)在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

又當(dāng)時(shí),F(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).

若a<—|,則In(—2a)>1,

故當(dāng)x￡(l,In(-2a))時(shí),f(x)<0；

當(dāng)xC(ln(—2a),+8)時(shí)，(x)>0.

因此/Xx)在(l,ln(-2a))內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln(-2a),+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

又當(dāng)xWl時(shí),A%)<0,所以/'(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).

綜上,a的取值范圍為(0,+8).

(2)證明：不妨設(shè)X\<X2,由(1)知，xy(―8,1),至6(1,+°°),2—%2e(—8,1),又/(%)

在(一8,1)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以的+茲V2等價(jià)于f(xi)>f(,2—xz),即f(2一及)<0.

由于/(2—:i~2)——.T.2e~~^2+a(：x：2—1)"

而/(J：2)=(［2-2)e*2+d.(i：2—1)2=0,

所以f(2—漢2)=—乂2e*G—(*2—2)eG.

設(shè)g(x)=—xe2(*-2)e*,

則g'(X)=(X—1)(e2-A—eO.