專題38 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用【二十個(gè)題型】（舉一反三）（原卷版）

專題38銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用【二十個(gè)題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1理解正弦、余弦、正切的概念】 3【題型2求角的三角函數(shù)值】 4【題型3由三角函數(shù)值求邊長】 5【題型4求特殊角的三角函數(shù)值】 6【題型5由特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】 7【題型6含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算】 7【題型7由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀】 8【題型8已知角度比較三角函數(shù)值大小】 8【題型9根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】 9【題型10利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解】 10【題型11互余兩角三角函數(shù)關(guān)系】 10【題型12構(gòu)造直角三角形解直角三角形】 11【題型14在坐標(biāo)系中解直角三角形】 14【題型15解直角三角形的相關(guān)計(jì)算】 16【題型16構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積】 17【題型17解直角三角形的應(yīng)用之仰角、俯角問題】 18【題型18解直角三角形的應(yīng)用之方位角問題】 20【題型19解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問題】 22【題型20解直角三角形的應(yīng)用之實(shí)際生活模型】 23【知識(shí)點(diǎn)銳角三角函數(shù)】知識(shí)點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的概念1．銳角三角函數(shù)：①定義：都是在直角三角形中定義的，正弦，余弦，正切，余切．②特殊角的三角函數(shù)值：三角函數(shù)無無③同角三角函數(shù)關(guān)系：，，．④互余角三角函數(shù)關(guān)系：若，則，．2．鈍角三角函數(shù)：互補(bǔ)角三角函數(shù)：若，則，，．知識(shí)點(diǎn)2：解直角三角形1．解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形．2．直角三角形的邊角關(guān)系（1）三邊之間的關(guān)系：．（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：（3）邊角之間的關(guān)系：，，．3．解直角三角形的四種基本類型已知條件解法類型一條邊和一個(gè)銳角斜邊c和銳角，，直角邊a和銳角，，兩條邊兩條直角邊a和b，，斜邊c和直角邊a，，4．解一般三角形（1）利用三角函數(shù)值構(gòu)造直角三角形，然后解直角三角形．（2）把角度進(jìn)行轉(zhuǎn)移，利用常見的倒角模型和平行線進(jìn)行角度轉(zhuǎn)移．知識(shí)點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用1．相關(guān)概念（1）仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角．如圖1．（2）坡角與坡度：坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為，坡面與水平面的夾角記作，叫做坡角，則．坡度越大，坡面就越陡．如圖2．（3）圖1圖2圖32．解直角三角形應(yīng)用題的解題步驟及應(yīng)注意的問題：（1）分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；（2）找出要求解的直角三角形．有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關(guān)系式解直角三角形；（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位．【題型1理解正弦、余弦、正切的概念】【例1】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）

A．sinαB．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數(shù)值無關(guān)【變式1-1】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三邊都擴(kuò)大5倍，則sinA的值（A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不能確定 D．不變【變式1-2】（2023·安徽合肥·一模）一個(gè)鋼球沿坡角31°的斜坡向上滾動(dòng)了5米，此時(shí)鋼球距地面的高度是（單位：米）（

）A．5cos31° B．5sin31° C．【變式1-3】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考一模）如圖，一只正方體箱子沿著斜面CG向上運(yùn)動(dòng)，∠C=α，箱高AB=1米，當(dāng)BC=2米時(shí)，點(diǎn)A離地面CE的距離是（

）米．A．1cosα+C．cosα+2sinα【題型2求角的三角函數(shù)值】【例2】（2023·廣東東莞·校聯(lián)考一模）如圖，在正方形ABCD中，BC=5，點(diǎn)G，H分別在BC，CD上，且BG=CH=2，AG與BH交于點(diǎn)O，N為AD的中點(diǎn)，連接ON，作OM⊥ON交AB于點(diǎn)【變式2-1】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，如果AB=5，BD=2，那么【變式2-2】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是⊙O內(nèi)接三角形，AC是⊙O的直徑，點(diǎn)E是弦DB上一點(diǎn)，連接CE，CD．(1)若∠DCA=∠ECB(2)在(1)的條件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC【變式2-3】（2023·浙江·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=9，E為CD上一點(diǎn)tan∠EAD=13，以E為圓心，EA為半徑的弧交AB于F，交BC于G，若F為弧AG的中點(diǎn)，則AF=，

【題型3由三角函數(shù)值求邊長】【例3】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABF，∠C=90°且tanA=12，BC=8，CF∥AB

【變式3-1】（2023·江蘇南京·校考三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，D、C、E三點(diǎn)共線．

(1)求證：BE∥AD．(2)若AD=6,cosE=1【變式3-2】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，BD=5，sin∠DCB=35【變式3-3】（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖1，△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACP的平分線相交于點(diǎn)D，AE平分∠BAC并交BD于點(diǎn)E．

(1)求證：∠BAC=2∠D；(2)若BC=AC，且cos∠BAC=35(3)如圖2，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F,BFDF=3，其中BEDE=12，連接【題型4求特殊角的三角函數(shù)值】【例4】（2023·福建泉州·一模）如圖，這是一塊三角尺ABC，其中∠B=30°，∠C=90°，則2cosA的結(jié)果為（A．1 B．2 C．3 D．2【變式4-1】（2023·廣東河源·二模）(tan60°)【變式4-2】（2023·湖北十堰·二模）若反比例函數(shù)y=kx的圖象過點(diǎn)-2，sin30°【變式4-3】（2023·安徽宿州·模擬預(yù)測(cè)）若銳角α滿足sinα=32，則【題型5由特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】【例5】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PD、PO，AB=1，AD=3，當(dāng)PO

A．15° B．30° C．15°或105° D．30°或【變式5-1】（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD中，cosB=22，直線EF分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．則∠AEF+∠EFC

A．135° B．225° C．265° D．280°【變式5-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）等腰三角形一邊上的高等于底邊的一半，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為°．【變式5-3】（2023·黑龍江·統(tǒng)考三模）已知△ABC是半徑為2cm的圓的內(nèi)接三角形，BC=23cm，則【題型6含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算】【例6】（2023·上海嘉定·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)12(2)sin45°?【變式6-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）先化簡，再求值：xx2【變式6-2】（2023·北京石景山·?？家荒＃┯?jì)算：-12019【變式6-3】（2023·山東煙臺(tái)·一模）計(jì)算：sin30°?【題型7由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀】【例7】（2023·江蘇·一模）在△ABC中，∠A,∠B都是銳角，且sinA=32，tanB=3A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定【變式7-1】（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，tanA＝1，sinB＝22，你認(rèn)為△ABCA．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形【變式7-2】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若3tanA-32+2cosA．含有60°直角三角形 B．等邊三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形【變式7-3】（2023·黑龍江大慶·一模）在△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且(sinA-A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定【題型8已知角度比較三角函數(shù)值大小】【例8】（2023·上海靜安·?？家荒＃┤绻?°<∠A<60°，那么sinA與cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定【變式8-1】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？家荒＃┗唖in28°-cos28°A．sin28°-cos28°C．cos28°-sin【變式8-2】（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂L1=L?cosα，阻力臂L2

A．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定【變式8-3】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）三角函數(shù)sin70°，cos70°，tan70°A．sin70°>cos70°>C．tan70°>sin70°>【題型9根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】【例9】（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，我們規(guī)定：一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比值稱為這個(gè)銳角的正弦值．例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的對(duì)邊BC與斜邊AB的比值，即BCAB就是∠A的正弦值．利用量角器可以制作“銳角正弦值速查卡”如圖，設(shè)OA＝1，以O(shè)為圓心，分別以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95長為半徑作半圓，再以O(shè)A為直徑作⊙M．利用“銳角正弦值速查卡”可以讀出相應(yīng)銳角正弦的近似值．例如：60°的正弦值約在0.85～0.88之間取值，45°的正弦值約在0.70～0.72之間取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（）A．30° B．50° C．40° D．70°【變式9-1】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若∠A是銳角，cos∠A>32，則∠A【變式9-2】（2023·陜西西安·?？既＃┤魌anA=2，則∠A的度數(shù)估計(jì)在（

）A．在0°和30°之間 B．在30°和45°之間C．在45°和60°之間 D．在60°和90°之間【變式9-3】（2023·黑龍江大慶·一模）已知12<cosα<sin80°A．30°<α<80° B．10°<α<80° C．60°<α<80° D．10°<α<60°【題型10利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解】【例10】（2023·廣東東莞·統(tǒng)考三模）如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處．已知CF=4，sin∠EFC=35，則

【變式10-1】（2023·江蘇·一模）如果α是銳角，且sin2α+cos248°=1【變式10-2】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A(0,3)、B(1,0)，將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是【變式10-3】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線與BC相交于點(diǎn)D，與⊙O過點(diǎn)B的切線相交于點(diǎn)E．

(1)判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若AB=4，BD=2，求AD的長．【題型11互余兩角三角函數(shù)關(guān)系】【例11】（2023·湖南永州·?？既＃┰赗t△ABC，∠C=90°，sinB=35A．35 B．45 C．53【變式11-1】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67【變式11-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，則tanB的值為【變式11-3】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據(jù)此，嘉嘉猜想：對(duì)于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)當(dāng)α=30°，β=60°時(shí)，驗(yàn)證sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對(duì)的邊為a，∠B所對(duì)的邊為b，斜邊為c(3)利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，【題型12構(gòu)造直角三角形解直角三角形】【例12】（2023·陜西西安·西安市中鐵中學(xué)?？既＃┤鐖D，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．6-2【變式12-1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

A．2 B．52 C．5 D．【變式12-2】（2023·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出的一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形有兩角對(duì)應(yīng)相等，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“優(yōu)美分割線”．（1）如圖，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”．（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”，且△ACD是等腰三角形，求線段BD的長．【變式12-3】（2023·黑龍江哈爾濱·?？既＃┤鐖D，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，BD=CE，連接AD，BE，tan∠BAD=35，點(diǎn)F、G分別在AD、BE上，連接AG，CF，若∠AGB=2∠CFD，AG=5，CF=25，則線段

【題型13網(wǎng)格中解直角三角形】【例13】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的余弦值為（）A．12 B．22 C．55【變式13-1】（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC=．【變式13-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，A，C兩個(gè)點(diǎn)是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖中，點(diǎn)B是格點(diǎn)，先畫線段AB的中點(diǎn)D，再在AC上畫點(diǎn)E，使AD=DE；

(2)在圖中，點(diǎn)B在格線上，過點(diǎn)C作AB的平行線CF；

(3)在圖中，點(diǎn)B在格線上，在AB上畫點(diǎn)G，使tan∠ACG=

【變式13-3】（2023·四川廣元·統(tǒng)考二模）如圖，在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin(α+β)=（

A．277 B．77 C．2【題型14在坐標(biāo)系中解直角三角形】【例14】（2016·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖坐標(biāo)系中，O(0，0)，A(6，63)，B(12，0)．將△OAB沿直線CD折疊，使點(diǎn)A恰好落在線段OB上的點(diǎn)E處，若OE＝245，則CE∶DE的值是【變式14-1】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）先將一矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A與坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，邊AB，AD分別落在x軸、y軸上（如圖1），再將此矩形在坐標(biāo)平面內(nèi)按逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°（如圖2），若AB=4，BC=3，則圖1和圖2中點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)．

【變式14-2】（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為0,3，點(diǎn)B在x軸上．(1)在坐標(biāo)系中求作一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到點(diǎn)A，點(diǎn)B和原點(diǎn)O這三點(diǎn)的距離相等，在圖中保留作圖痕跡，不寫作法；(2)若函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，且sin∠OAB=【變式14-3】（2023·黑龍江哈爾濱·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線y=kx-152交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，（1）求直線AB的解析式；（2）在線段AB上有一點(diǎn)P，連接OP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△AOP的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，在直線y=2x的第一象限上取一點(diǎn)D，連接AD，若S=15，∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【題型15解直角三角形的相關(guān)計(jì)算】【例15】（2023·江西·校聯(lián)考二模）在矩形ABCD中，AB=23，AD=6，點(diǎn)E是AD上，且AE=2，點(diǎn)F是矩形ABCD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，若EF與矩形ABCD的邊構(gòu)成30°角時(shí)，則此時(shí)EF=【變式15-1】（2023·江蘇南通·三模）如圖，兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到四邊形OABC．若AB=BC=1，∠AOB=α，則OC2的值為（

A．1sin2α+1 B．sin2α+1【變式15-2】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OE∥AD交CD于點(diǎn)E，且(1)求證：AB=AD．(2)如圖2，延長DB至點(diǎn)F，連接FC，且FC=FO．①求證：FO②若BD=3FB，求sin∠BAC【變式15-3】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點(diǎn)，且BC=DC，BD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC的延長線上，BE=BF．(1)求證：BF是⊙O的切線；(2)若EF=6,cos①求BF的長；②求⊙O的半徑．【題型16構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積】【例16】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個(gè)四邊形的面積是（

）A．34 B．32 C．3 D【變式16-1】（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，∠DBC=30°，且點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，AC與BD交于點(diǎn)F，連接CD、AD，若BD=BC，DE=8．則AD的長為．【變式16-2】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)且速度相同，DE=GF<AB（DE長度不變，F(xiàn)在G上方，D在E左邊），當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，圖中陰影部分面積的大小變化情況是（）

A．一直減小 B．一直不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小【變式16-3】（2023·陜西·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=120°，AB=3,BC=4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD,CD的三等分點(diǎn)，連接BE,BF,EF，若四邊形ABCD的面積9，則△BEF的面積是【題型17解直角三角形的應(yīng)用之仰角、俯角問題】【例17】（2023·山西朔州·校聯(lián)考一模）山西“應(yīng)縣木塔”，又名山西“應(yīng)縣佛宮寺釋迦塔”，它是當(dāng)今世界上的第一奇塔．它不僅是中國，而且是世界上現(xiàn)存最古老、最高峻的木構(gòu)建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位．已知“應(yīng)縣木塔”的高度AB為67.3米，塔前“女神雕像”的高度CD為10.3米，木塔與雕像之間有障礙物，不能直接測(cè)量，某測(cè)量小組為了測(cè)量“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離，采用了如下測(cè)量方案（如圖所示）：①他們?cè)凇澳舅焙汀暗裣瘛敝g選擇一觀景平臺(tái)E，測(cè)得“木塔”頂部A的仰角為30°，測(cè)得“雕像”頂部C的仰角為45°；②測(cè)得測(cè)角儀的高度EF為1.3米；③測(cè)得點(diǎn)B,F,D在同一條直線上，AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD，垂足分別是B,F,D．求“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像”之間的距離BD．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.7【變式17-1】（2023·陜西西安·?？家荒＃┬⊙闼挥谖靼彩心辖嫉乃]福寺內(nèi)，又稱“薦福寺塔”，建于唐景龍年間，與大雁塔同為唐長安城保留至今的重要標(biāo)志．小港為測(cè)量小雁塔的高度、制定了如下測(cè)量方案：如圖所示，當(dāng)小港站在點(diǎn)A處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處，測(cè)得仰角為60°、小港的身高忽略不計(jì)，請(qǐng)根據(jù)題目信息，求出小雁塔的高度CD．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，結(jié)果精確到0.1m【變式17-2】（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）無人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無人機(jī)測(cè)量大樓的高度，無人機(jī)在空中P處，測(cè)得樓CD樓頂D處的俯角為45°，測(cè)得樓AB樓頂A處的俯角為60°．已知樓AB和樓CD之間的距離BC為100米，樓AB的高度為10米，從樓AB的A處測(cè)得樓CD的D處的仰角為30°（點(diǎn)A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；(2)求樓CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；(3)求此時(shí)無人機(jī)距離地面BC的高度．【變式17-3】（2023·四川眉山·統(tǒng)考一模）某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC，PC正前方有兩艘漁船M，N．觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°．已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長為(1)求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；(2)已知壩高24米，壩長100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，為提高大壩防洪能力，請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成這項(xiàng)工程需填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin【題型18解直角三角形的應(yīng)用之方位角問題】【例18】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）因東坡文化遠(yuǎn)近聞名的遺愛湖公園，“國慶黃金周”期間，游人絡(luò)繹不絕，現(xiàn)有一艘游船載著游客在遺愛湖中游覽，當(dāng)船在A處時(shí)，船上游客發(fā)現(xiàn)岸上P1處的臨皋亭和P2處的遺愛亭都在東北方向；當(dāng)游船向正東方向行駛600m到達(dá)B處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)遺愛亭在北偏西15°方向；當(dāng)游船繼續(xù)向正東方向行駛400m到達(dá)C處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)臨皋亭在北偏西60°方向．則臨皋亭P1處與遺愛亭P2處之間的距離為．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）【變式18-1】（2023·河南商丘·統(tǒng)考一模）小亮乘車在一段正東方向的高速公路上行駛時(shí)，看到遠(yuǎn)處與高速公路平行的國道上有一座橋，他在A處發(fā)現(xiàn)橋的起點(diǎn)B在A點(diǎn)的北偏東30°的方向上，并測(cè)得AB＝100米，當(dāng)車前進(jìn)200米到達(dá)D處時(shí)，測(cè)得橋的終點(diǎn)C在D點(diǎn)的北偏東55°的方向上，求橋BC的長度（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，【變式18-2】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）深圳是沿海城市，每年都會(huì)受到幾次臺(tái)風(fēng)侵襲，臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)景，有極強(qiáng)的破壞力．某次，據(jù)氣象觀察，距深圳正南200千米的處有一臺(tái)風(fēng)中心，中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心30千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度沿北偏東43°方向向移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市受到風(fēng)力達(dá)到或超過六級(jí)，則稱受臺(tái)風(fēng)影響．（1）此次臺(tái)風(fēng)會(huì)不會(huì)影響深圳？為什么？（2）若受到影響，那么受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？（3）若受到影響，那么此次臺(tái)風(fēng)影響深圳共持續(xù)多長時(shí)間？（結(jié)果可帶根號(hào)表示）（sin43°≈34，cos42°≈2940，tan42°≈【變式18-3】（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，我國某海域上有A、B兩個(gè)小島，B在A的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)C處捕魚，在A島測(cè)得漁船在東北方向上，在B島測(cè)得漁船在北偏西60°的方向上，且測(cè)得B、C兩處的距離為202(1)求A、C兩處的距離；(2)突然，漁船發(fā)生故障，而滯留C處等待救援．此時(shí)，在D處巡邏的救援船立即以每小時(shí)40海里的速度沿DC方向前往C處，測(cè)得D在小島A的北偏西15°方向上距A島30海里處．求救援船到達(dá)C處所用的時(shí)間．（結(jié)果保留根號(hào)）【題型19解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問題】【例19】（2023·安徽合肥·?？既＃┤鐖D，一架無人機(jī)在滑雪賽道的一段坡道AB的上方進(jìn)行跟蹤拍攝，無人機(jī)伴隨運(yùn)動(dòng)員水平向右飛行．某次拍攝中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在點(diǎn)A位置時(shí)，無人機(jī)在他的仰角為45°的斜上方C處，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員到達(dá)地面B點(diǎn)時(shí)，無人機(jī)恰好到達(dá)運(yùn)動(dòng)員正上方的D處，已知