2024年高三數(shù)學(xué)理科5月模擬預(yù)測(cè)大聯(lián)考（全國(guó)乙卷）附答案解析

2024年高三數(shù)學(xué)理科5月模擬預(yù)測(cè)大聯(lián)考（全國(guó)乙卷）本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知向量，.若，則實(shí)數(shù)的值是（）A.-2 B. C. D.24.已知，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，.設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入T的值為100，則輸出n的值為A.4 B.5 C.6 D.76.若函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.7.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.-4 B.4 C.-8 D.88.已知數(shù)列對(duì)任意滿足，則（）A. B. C. D.9.已知x，y滿足約束條件，若的最小值為-4，則m的值為（）A.-2 B.1 C.2 D.1或210.若函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則其解析式可能是（）A. B.C. D.11.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線交雙曲線C的左支于N點(diǎn).若，，，且的外接圓交雙曲線C的一條漸近線于點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.312.已知圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形，其中S是圓錐頂點(diǎn)，是底面直徑.若C是底面圓O上一點(diǎn)，P是母線上一點(diǎn)，，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)________.14.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，，則________.15.已知橢圓：的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為.設(shè)點(diǎn)，則的最小值為_________.16.對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算如下：若，則；若，則.若，則的最小值是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）為促進(jìn)中華戲曲文化的傳承與發(fā)展，某校開展了戲曲進(jìn)校園文藝活動(dòng).該校學(xué)生會(huì)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取60名男生和60名女生參加戲曲知識(shí)競(jìng)賽，并按得分（滿分：100分）統(tǒng)計(jì)，分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.（1）現(xiàn)有10張某戲劇的演出票送給得分在80分以上（含80分）的同學(xué)，根據(jù)男生組和女生組得分在80分以上（含80分）的人數(shù)，按分層抽樣比例分配，則男生組、女生組分別得多少?gòu)堅(jiān)搼騽〉难莩銎?（2）假定學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）被認(rèn)定為這名學(xué)生喜愛戲曲.將參加競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)及性別制成下列2×2列聯(lián)表（x表示參加競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)）：男生女生合計(jì)合計(jì)根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生喜愛戲曲與性別有關(guān)?參考公式：（其中）.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，，且.（1）求B；（2）若的平分線交于點(diǎn)D，且，，求的面積.19.（12分）如圖，在三棱錐中，平面，，，，E為的中點(diǎn)，于點(diǎn)F.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20.（12分）已知拋物線：，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，為拋物線上一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與拋物線的另一交點(diǎn)為B（點(diǎn)B在點(diǎn)A，M之間），過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)N.是否存在實(shí)數(shù)，使得?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.21.（12分）已知函數(shù).（1）若在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，B是曲線C上的兩點(diǎn)，且.若直線上存在點(diǎn)P，使得，求的取值范圍23.[選修4-5：不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.2024屆高三5月大聯(lián)考（全國(guó)乙卷）理科數(shù)學(xué)·全解全析及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。123456789101112ACABDCDADBDCA【解析】因?yàn)?，所以，所?故選A.2.C【解析】因?yàn)?，，所?故選C.3.A【解析】由題意，得，.因?yàn)椋?，所以，所?故選A.4.B【解析】當(dāng)時(shí)，取為平面內(nèi)一條與垂直的直線，得，充分性不成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所?結(jié)合，所以，必要性成立.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選B.5.D【解析】逐步運(yùn)行程序，得，；，；，；，；，；，；，；，，此時(shí)輸出.故選D.6.C【解析】因?yàn)?，所以為奇函?shù).故選C.7.D【解析】因?yàn)樵诘恼归_式中，，的系數(shù)分別為，，所以在的展開式中，的系數(shù)為.故選D.8.A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，即?又因?yàn)椋佗趦墒较喑?，得，故選A.9.D【解析】作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示（包含邊界），其中，，，所以的最小值為-4等價(jià)于直線的縱截距的最大值為4，所以直線經(jīng)過點(diǎn)（0，4）.結(jié)合圖象，知直線經(jīng)過點(diǎn)或時(shí)滿足題意，所以m的值為1或2.故選D.10.B【解析】對(duì)于A，，點(diǎn)，，，在同一條直線上，與圖象不符，舍去；對(duì)于C，，，與圖象不符，舍去；對(duì)于D，，，所以在上單調(diào)遞增，與圖象不符，舍去.故選B.11.D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別在雙曲線C的右支和左支上，所以.又，，，所以，，所以，所以是直角.在中，，所以，所以，即.又的外接圓交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，解得，所以，故選D.12.C【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)在母線上且，因?yàn)槭侵苯侨切?，所以三棱錐外接球的球心E在上，所以，即三棱錐外接球的球心E也是三棱錐外接球的球心，且兩個(gè)外接球的表面積相等.由，得的外心即為三棱錐外接球的球心.在中，，所以的外接圓的直徑，所以三棱錐外接球的表面積是.故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.2【解析】因?yàn)?，所以，所?故填2.14.【解析】由題意，知，最小正周期①.注意到②.結(jié)合①②，解得.將點(diǎn)代入，得.因?yàn)椋曰?依題意，得.當(dāng)時(shí)，，取，得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不存在使成立的整數(shù)，舍去.故填.15.【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意，得，，所以，.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，所以.故填.16.【解析】依題意，得，所以.設(shè)，則，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào).故填.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）【解析】（1）由頻率分布直方圖，知男生組得分在80分以上（含80分）的有（0.010+0.005）×10×60=9（人），女生組得分在80分以上（含80分）的有（0.025+0.010）×10×60=21（人），男生占比為，女生占比為，所以男生組分得票數(shù)為，女生組分得票數(shù)為，所以男生組、女生組分別得3張和7張?jiān)搼騽〉难莩銎?（2）由（1），知男生組得分在80分以上（含80分）的有9人，80分以下的有51人；女生組得分在80分以上（含80分）的有21人，80分以下的有39人，所以得如下2×2列聯(lián)表：男生女生合計(jì)92130513990合計(jì)6060120根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算，得.根據(jù)臨界值表，知沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)生喜愛戲曲與性別有關(guān).18.（12分）【解析】（1）由正弦定理及，得，所以，整理，得.因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所?（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，即，化簡(jiǎn)，得，由，得，所以.19.（12分）【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)?，，所?結(jié)合，得.因?yàn)槠矫?，平面，所?又平面，且，所以平面.又平面，所以.又，平面，且，所以平面.又平面，所以.（2）如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)C且平行于的直線為x軸，，所在的直線分別為y軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，所以，即.取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，所以，即.取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.或另解：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為x軸、y軸，過點(diǎn)B且平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，所以，即.取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，所以，即.取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20.（12分）【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以四邊形為平行四邊形，所以，即，所以，將代入，得，解得，所以拋物線C的方程為.（2）如圖，由題意，得.設(shè)直線的方程為，，則，由，得，，所以，.假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，即.由題意，知，，所以.又，，所以，即存在實(shí)數(shù)，使得成立.21.（12分）【解析】（1）由已知，得函數(shù)的定義域是，.①若在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，則在上恒成立.注意到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，若，即當(dāng)時(shí)，取，則；若，即當(dāng)時(shí)，取，則，所以在上不可能恒成立，舍去.②若在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，則在上恒成立.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，所以由恒成立，得，即當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí)，的取值范圍是.綜上，當(dāng)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，的取值范圍是.（2）由（1），知在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，必有，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，，必須，，是的兩個(gè)根，所以，.由（1），知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不妨設(shè).要證，即證.因?yàn)?，，所以亦即證，所以要證.注意到，令，，則，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）【解析】（1）由（為參數(shù)，），消去參數(shù)，得直線的普通方程為.由，得.將，代入，得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）由（1），知曲線表示圓心為（1，1），半徑為的圓，