2022-2023學年廣東省深圳市龍崗區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年廣東省深圳市龍崗區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知直線的方程為久-y+1=0,則該直線的傾斜角為（）

7r

A7RnC27rn57r

A.%B,-C.yD.-

2.“m=4”是“2,m,8成等比數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知等差數(shù)列｛5｝中，a2+a7=18,則數(shù)列｛即｝的前8項和Sg等于（）

A.42B.50C.72D.90

4.如圖，在平行六面體ABC。中通=濟AD=b，AA1=c,。為QB的中點,

則用向量五，b＞不可表示向量方亍為（）

A.-~d+^-b+-c

111

TT

a+c

2--2-2-

111

TT

a+C

2-2--2-

5.已知直線/的方向向量是N=（3,-2,1）,平面a的法向量是"=（1,2,1）,貝”與a的位置關系

是（）

A.I1aB.l//a

C.Z與a相交但不垂直D.或/ua

6.已知兩條異面直線的方向向量分別是記=3）,元=（2,1,3）,這兩條異面直線所成的

角。滿足（）

Q191

A.sin3=—B.sinO--C.cosd——D.cos9——-

144144

7.已知點P是拋物線/=4y上的一個動點，則點P到點B（4,3）的距離與P到該拋物線的準線

的距離之和的最小值為（）

A.正B.3C.2屋D.。

22

8.直線y=/o:交橢圓盤+，=l(a>6>0)于4B兩點，P為橢圓上異于4B的點，PA,PB

的斜率分別為七，k2,且向/2=-1|，則該橢圓的離心率為()

A.IB.-C.—D.3

542

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列四個選項中，正確的是()

A.數(shù)列1,0,1,0,…與數(shù)列0,1,0,1,…是同一數(shù)列

B.數(shù)列的圖象是一群孤立的點

C.數(shù)列|,…的一個通項公式是6N*)

D.若數(shù)列｛a九｝的前幾項和S九=n2+2n+1,則%=7

10.已知雙曲線C：=1,則下列關于雙曲線C的結論正確的是()

916

A.實軸長為6B.焦距為5

C.離心率為號D.焦點到漸近線的距離為4

11.在平面上，動點M與兩定點4,B滿足|M4|=2|MB|(A>0且/I豐1),則M的軌跡是個圓，

這個圓稱作為阿波羅尼斯圓.已知動點M(x,y)與兩定點4(—3,0),B(0,0)滿足=2\MB\,

記M的軌跡為圓C,則下列結論正確的是()

A..圓C方程為：(％-I)2+y2=4

B..過點P(0,3)作圓C的切線，則切線長是，%

C..過點(2(0,、/=)作圓C的切線，則切線方程為—3=0

D..直線(TH+1)久一my-(2m+2)=0(meR)與圓C相交于4B兩點，則|AB|的最小值是

12.如圖所示，在棱長為1的正方體ABC。中，E,F,G分別為BC,CC1；BB1的

中點，則()

A.直線EF與4c所成的角為60。

B.直線&G與平面4BCD所成的角為60。

C.直線&G與平面4EF平行

D.平面4EF截正方體所得的截面面積為言

O

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知空間向量1=(1,2,0),9=(—2,1,3)，則五一23=.

14.已知直線3久+4y-3=0與6x+my+1=。互相平行，則它們之間的距離是.

,2111

在數(shù)列中，則為<

15.u%=1,a2-22+a2a3+…+a2022a2023=

un+lnun+2乙

16.已知實數(shù)x,y滿足J(%+-x/-7)2+y2+J(x-y/~7｝2+y2=則代數(shù)式|3x—4y—

24|的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

求出滿足下列條件曲線的方程：

(1)求焦點在久軸上，長軸長為4,短軸長為2的橢圓的標準方程；

(2)經(jīng)過點4(1,2)的等軸雙曲線的標準方程.

18.(本小題12.0分)

(1)在等差數(shù)列｛廝｝中，+a3=5,a2+a4=10,求數(shù)列｛a。｝的通項公式及前ri項和刀；

(2)在等比數(shù)列｛九｝中，瓦+仇=5,b2+b4=10,求數(shù)列｛匕｝的通項公式及前n項和5.

19.(本小題12.0分)

已知拋物線C：y2=2P久(p>0)經(jīng)過點P(l,2),。為坐標原點，A,B是拋物線C上異于。的兩

點.

(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

(2)若。A1OB,求證：直線AB過x軸上一定點.

20.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛即｝的首項的=3,且滿足即+1=2an-1.

(1)求證：｛與一1｝是等比數(shù)例；

(2)若如==,記數(shù)列｛篇｝的前n項和為“兀，求證：Mn<4.

21.(本小題12.0分)

如圖，四邊形力BCD為菱形，四邊形BDEF為平行四邊形，F(xiàn)4=FC,AB=2,ADAB=60°.

(1)求證：AC_1_平面BDEF；

(2)若FB=FD,平面4EF與平面4BF的夾角為45。，求點B到平面AEF的距離.

22.(本小題12.0分)

已知橢圓C：t+4=l(a>b>0)的兩焦點尸式一1,0),F2(l,0),且橢圓C過P(-/3,卒).

ab2

(1)求橢圓c的標準方程；

(2)過點&作不與坐標軸垂直的直線/交橢圓C于4B兩點，線段4B的垂直平分線與y軸負半軸

交于點Q,若點Q的縱坐標的最大值為-：，求|4用的取值范圍.

O

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：直線x—y+1=。的斜率k=1,

設其傾斜角為0(0°W8<180°),

???tand=1,得。=7.

故選：B.

由直線方程求得直線的斜率，再由傾斜角的正切值等于斜率求解.

本題考查直線的斜率與傾斜角的關系，是基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：若2,m,8成等比數(shù)列，則爪2=16,解得爪=±4,

故“機=4”是“2,m,8成等比數(shù)列”的充分不必要條件，

故選：A.

根據(jù)等比數(shù)列的性質以及充分必要條件的定義判斷即可.

本題考查了充分必要條件，考查等比數(shù)列的性質，是基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列｛an｝中，a2+a7=18,

則S_(ai+ct8)x8_Q+a7)x8_18x8=72

故選：C.

根據(jù)題意，分析可得58=%電區(qū)=&等型，計算可得答案.

本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：在平行六面體2BCD-4祖。也中，AB=a，AD=b，AA^=c，。為。聲的中點,

11

+麗

2-2--222

故選：B.

直接利用向量的線性運算求出結果.

本題考查的知識要點：向量的線性運算，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：直線1的方向向量是百=(3,—2,1),平面a的法向量是口=(1,2,1),

??,a-Jz=3—4+1=0,

則/與a的位置關系是2〃a或Zua.

故選：D.

由五?//=0,得到I與a的位置關系是〃/a或】ua.

本題考查線面的位置關系、直線的方向向量、平面的法向量等基礎知識，考查運算求解能力，是

基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：兩條異面直線的方向向量分別是沅=(1,—2,3),n=(2,1,3),

,，一一、m-n2-2+99

cos<m,n>=而而=?1+4+9.14+1+9=五'

這兩條異面直線所成的角。滿足cos。=￡,

14

，譏"j1—舄)2=爭.

故選：C.

利用向量夾角余弦公式直接求解.

本題考查向量夾角余弦公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：已知拋物線方程為/=4y,

則拋物線的焦點F的坐標為(0,1),

又42>4X3,

即點B(4,3)在拋物線外部，

由拋物線的定義可得：點P到點8(4,3)的距離與P到該拋物線的準線的距離等于|PB|+\PF\,

又|P8|+\PF\>\BF\=J(4一0)2+(3—1尸=2AT5,當且僅當F、P、8三點共線時取等號，

即點P到點B(4,3)的距離與P到該拋物線的準線的距離之和的最小值為2小虧.

故選：C.

設拋物線的焦點為F,則點P到點B(4,3)的距離與P到該拋物線的準線的距離等于|P8|+|PF|,然

后結合拋物線的定義求解即可.

本題考查了拋物線的定義，屬基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：設PQo.Vo），

則由P在橢圓上可得詔=寸小2,①

?.?直線2P與BP的斜率之積為-1|,

把①代入②化簡可得號=至，.?.馬=點，?,?離心率e=I.

Ja'25聲255

故選：A.

設POo，%），由題意可得M的關系式，結合橢圓系數(shù)的關系和離心率的定義可得.

本題考查橢圓的簡單性質，涉及橢圓的離心率和直線的斜率公式，屬中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)數(shù)列項的有序性可知，4顯然錯誤；

由于n為正整數(shù)，即數(shù)列的圖象是一群孤立的點，B正確；

數(shù)列最|,，…分子為從1開始的連續(xù)正整數(shù)，分母為3開始，相差2的正整數(shù)，故其一個通項

公式為即=就^,C正確；

數(shù)若列｛5｝的前71項和%=n2+2n+1,則＜23=53—52=7,。正確.

故選：BCD.

由已知結合數(shù)列定義檢驗選項AB,結合數(shù)列的通項公式檢驗選項C,結合和與項的遞推關系檢驗

選項D

本題主要考查了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項公式的求解，還考查了數(shù)列的和與項的遞推關系的應用，

屬于基礎題.

10.【答案】AD

【解析】解：已知雙曲線c：卷一Wj

則a=3,b=4,c=V9+16=5,

對于選項A,雙曲線的實軸長為6,

即選項A正確；

對于選項8,雙曲線的焦距為10,

即選項B錯誤；

對于選項C,雙曲線的離心率為|,

即選項c錯誤;

寺x5

對于選項D,雙曲線的焦點到漸近線的距離為J；+③2=4,

即選項。正確.

故選：AD.

由雙曲線的性質，結合雙曲線離心率的求法逐一判斷即可.

本題考查了雙曲線的性質，重點考查了雙曲線離心率的求法，屬基礎題.

11.【答案】ABD

【解析】解：設M(x,y),由題意可得J(%+3尸+y2=2J爐+*,

整理可得：(％-1尸+y2=%即M的軌跡為圓心M(1,O),半徑r=2的圓，

所以A正確；

B中，因為|PM|=V12+32所以過P的切線長為VPM?f=71?！?=，%，所以

B正確；

-

C中,因為(0—1產(chǎn)+(1^)2=4,即Q在圓上，k0M=°=—s/3>

所以過Q的切線的斜率為--=

KQM3

所以切線方程為：y—C==x，即x—/2y+3=0,所以C不正確；

。中，直線力B：(m+l)x—zny—(2m+2)=0(meR)整理可得：m(x—y—2)+x—2=0,

則直線AB過x—y—2=0與比一2=0的交點E(2,0),

即直線恒過E(2,0),而此點在圓內，所以直線4B與圓有兩個交點，

當ME與直線垂直時，弦長最小，

\ME\=1,此時|4B|=2Vr2-\ME\2=2V4-1=2，收，所以。正確.

故選：ABD.

設M的坐標，由題意可得M的軌跡方程為圓心M(l,0),半徑r=2的圓，判斷出4的真假；由切線

長及切線的方程的求法，判斷B,C的真假；將直線ZB的方程整理可得恒過定點E,且此點在圓內，

且當ME14B時，弦長|4B|最小，并求出|力用的最小值.

本題考查點的軌跡方程的求法及直線與圓的綜合應用，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對于4：連接ArB,C]B,

由E,尸分別為BC,CG的中點，可得BCJ/EF,

在正方體力BCD中，可得AiCJ/AC,

所以N&C1B為異面直線直線EF與力C所成的角，

由AaiGB為等邊三角形，所以可得直線EF與4C所成的角為60。，故A正確;

對于B：取力&的中點為M,連接MB,

因為G是的中點，可得四邊形M8G4為平行四邊形，

所以&G〃MB,因為J_平面ABCD,

所以直線&G與平面48CD所成的角為NMB4

其中tan/MBA=1,所以NMB4中60°,所以B不正確;

對于C：如圖所示，取ZG的中點Q,連接4Q,GQ,

由GQ//EF,且GQC平面4EF,EFu平面4EF,所以GQ//平面4EF,

同理可證：&1Q〃平面2EF,因為GQnAiQ=Q,且GQ,AiQu平面4]GQ,

平面4GQ〃平面力EF,又因為&Gu平面&GQ,所以4G〃平面4EF,所以C正確;

對于D：因為E,F為BC,C】C的中點，所以EF〃BG，

因為2DJ/BC1，所以EF〃ADi，所以4,E,F,a四點共面，

所以截面即為等腰梯形AEFDi，因為正方體4BCD-A/GDi的棱長為1,

22

可得EF=早，ADr=口,在直角△ABE中，可得4E=VAB+BE=?，

則高為h=J存）2-（？）2=島,

所以梯形的面積為S=分存+/②x島=（，所以。正確.

連接ArB,QB,可得N&C1B為異面直線直線EF與AC所成的角，求解判斷力；取力兒的中

點為M,連接M8,可得直線4G與平面A8CD所成的角為NM84求解可判斷B；取名前的中點Q,

連接4Q,GQ,證得平面4GQ〃平面4EF,可判定C；由EF〃/ID1，得到截面為等腰梯形AEF/,

求得梯形的面積，可判定￡>.

本題考查空間幾何體的性質，考查線面角的求法，考查線線角的求法，考查截面面積的求法，屬

中檔題.

13.【答案】(5,0,-6)

【解析】解:由于空間向量方=(1,2,0),3=(—2,1,3)，則3一23=(5,0,—6).

故答案為：(5,0,-6).

直接利用向量的坐標運算求出結果.

本題考查的知識要點：向量的坐標運算，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

14.【答案】5

【解析】解：直線3%+4y-3=0與6%+my+1=0分別化為：y-y=--%.

??,直線3%+4y—3=0與6%+my+1=0互相平行，

(_￡=_3

,Im4

"j1’3'

解得m=8,

直線6%+my+1=0即3%+4y+-=0.

|—3—7

.,.它們之間的距離d=],,=五.

132+42

故答案為：高

r_A=_3

由于直線3久+4y—3=0與6x+my+l=0互相平行，可得［：3匕解出小，再利用兩條平

(~m^4

行線之間的距離公式即可得出.

本題考查了兩條平行線之間斜率關系及其距離公式，屬于基礎題.

15.【答案】HI

7111

【解析】解：在數(shù)列｛a九｝中，--=—+~—，的=1,。2=5，

IJ%i+lan%1+21/2

可得｛工｝是首項為1,公差為;-2=1的等差數(shù)列，

a九。2ai

則上=l+n-l=n,即a=

eLnn

111

所以a九a九+1==------,

""十，n(n+l)nn+1

1111112022

所以+a2a3+“-+口2。22a2。23=l-2+2-3+--+2022-2023=1-2023=2023-

故答案為：|§||.

由等差數(shù)列的性質推得｛工｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的裂

an

項相消求和，計算可得所求和.

本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式和數(shù)列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中

檔題.

16.【答案】1247+24

【解析】解：因為實數(shù)X,y滿足J(久+Cy+y2+J(x-「)2+產(chǎn)=8,

即點P(x,y)到點Fl(-/70)與到點尸2(17,0)的距離之和為8,

又因為2c=V^8<8,

所以點P(x,y)的軌跡是以6(-0)，尸2(「,0)為焦點的橢圓，

所以2a—8,a=4,c=V7,b2=a2—c2=9,

所以橢圓的方程為1+^=1,

而|3尤-4y-24|表示橢圓、+號=1上的點到直線3x-4y-24=0的距離的5倍，

設M(4cos。,3s譏8)(66R)為橢圓(+*=1上的任意一點，且點M到直線3比一4y—24=0的距

離為d,

則d-\^-2cos6-12sin3-24\_|12V^cos(e+/)—24],

所以當85(。+力=—1時，d取最大值為12Q+24,

所以此時|3x-4y-2引最大值為12，至+24.

故答案為：12V1+24.

由題意可得點Qy)在橢圓=+g=1上，|3x-4y—24|表示橢圓江+g=1上的點到直線3x-

169169

4y—24=0的距離的5倍，設M(4cos&3s,e)(8eR)為橢圓看+《=1上的任意一點，利用點到

169

線的距離公式求出d的最大值即可得答案.

本題考查了函數(shù)最值幾何意義、轉化思想，難點是得出點(x,y)的軌跡，屬于中檔題.

17.【答案】解:(1):橢圓的焦點在工軸上，且長軸長為4,短軸長為2,

???2。=4,2b=2,

ci—,2ijZ7—1,

2

??.橢圓的方程為：3+y2=i；

(2)設對稱軸在坐標軸上的等軸雙曲線的方程為久2-y2=4(4豐0),

將點4(1,2),代入可得12—22=2,

???A=—3,

二方程為/—y2=—3,即[―1=1.

【解析】(1)根據(jù)長軸長求出a=2,根據(jù)短軸長求出b,從而寫出橢圓方程；

(2)設對稱軸在坐標軸上的等軸雙曲線的方程為/-y2=A(A豐0),代入4的坐標，可得雙曲線的

方程.

本題考查了橢圓以及雙曲線的方程和性質，屬于基礎題.

18.【答案】解:(1)由題意,設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

4+&3=%,+%,+2d=5

則

。2+&4=a1+d+的+3d=10'

?+2d=5

整理,侍z21+2d=5

a1—0

解得

???a九=0+|?(?1—1)=|幾一|,nWN*,

(2)由題意，設等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

2

則?瓦+與=瓦+b1q=5

b2+/=+bIq3=10'

即f瓦+b[q2=5

瓦q+瓦q'=io'

9=2

n-1n-1

??.bn=1，2=2,nEN*,

n

=i—*2=2、1.

【解析】⑴先設等差數(shù)列｛即｝的公差為d,再根據(jù)題干已知條件列出關于首項的與公差d的方程組,

解出的與d的值，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可計算出數(shù)列｛廝｝的通項公式及前n項和

Sn；

(2)先設等比數(shù)列出?｝的公比為q,再根據(jù)題干已知條件列出關于首項瓦與公比q的方程組，解出名

與q的值，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可計算出數(shù)列｛加｝的通項公式及前幾項和七.

本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算.考查了方程思想，轉化與化歸思想，等差數(shù)列的

通項公式與求和公式的運用，等比數(shù)列的通項公式與求和公式的運用，以及邏輯推理能力和數(shù)學

運算能力，屬基礎題.

19.【答案】解：(1)由拋物線C：y2=2px經(jīng)過P(1,2)知，2P=4,解得p=2,

所以拋物線C的方程為：y2=4%,

所以拋物線C的焦點坐標為(1,0),準線方程為x=-1；

(2)證明：①當直線的斜率不存在時，設B([,-九)，

因為。力1OB,所以瓦I?方=3一層=。，解得彥=16,

16

此時的方程為％=4,過%軸上的(4,0)點；

②當直線48的斜率存在時且不為0,設其方程：%=ty+m,mW0,

聯(lián)立m,整理可得：y2—4ty—4m=0,4=16t2+16m>0,即/+m>0,

-

7172=4m,%%=_m2,

1z16

因為。A1OB,即。4?OB==m2—4m=0,可得m=4,

即直線48的方程為：x^ty+4,

可證得直線過定點(4,0).

【解析】(1)由拋物線過P點，可得p的值，可得拋物線的方程；進而求出焦點坐標及準線方程；

(2)分直線2B的斜率存在和不存在兩種情況討論，設直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得

兩根之積，由。41OB,可得瓦心加=0,求出參數(shù)的值，即證得直線過尤軸上一定點.

本題考查拋物線的方程的求法及直線與拋物線的綜合應用，屬于中檔題.

20.【答案】證明：(1)由Cln+1=2an—1,變形為Cln+1—1=2(<2n—1),Gt]—1=2,

數(shù)列]廝-1｝是等比數(shù)例，首項為2,公比為2.

n

(2)由⑴可得:an-l=2,

??4=署=(3I)x次,

1111

???數(shù)歹！J｛%｝的刖幾項和M九=-+4X-2+7x-3+—F(3n—2)x產(chǎn)

乙22乙

：Mn=1+4X*+…+(3n-5)xp+(3n-2)x

IM--1—)

相減可得加九=1+3&+玄+…+方)-(3幾-2)x3+3x----(3九-2)x5著

化為M九=4—‘L<4,

???Mn<4.

【解析】(1)由%i+i=2an-1,變形為％i+i-1=2(an-1),即可證明結論.

(2)由(1)可得：g=警=(3n-2)*1，利用錯位相減法可得數(shù)列｛砥｝的前幾項和“打，進而證

明結論.

本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計

算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)證明：設"與8。相交于。點，連接。尸，

???四邊形48CD為菱形，AC1BD,。為4C的中點，

FA=FC,：.ACLOF,又,：OFCBD=0,。尸u平面BDEF,8。u平面8DEF,

???AC_L平面BDEF；

(2)連接DF,FB=FD,。為BD中點，???OF1BD,

X---ACLOF,ACr\BD0,???OF1平面ABC。，

以點。為坐標原點，。4、OB、OF所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系.

A(C,O,O)、B(O,1,O)、D(0,-l,0).E(0,-2,a),

設OF=a(a>0),則F(O,O,a),

設平面力EF的一個法向量為元=(x,y,z),荏=(-I^,-2,a)，荏=(-1^,0,a)，

ryi.r(-71*AE——J_3x—2y+az—0人用"_1—―

則《一,'，令x=a,則y=0,z=AT3>

In?AF=—v3x+az=0

???平面4"的一個法向量為元=(a,0,/3),

設平面A8F的法向量為訪=(m,b,c),AB=(一7~^,1,0)，

則?9=—+b=°,令6=口，則方=/3。，c=C，

.,?平面AB尸的法向量為沅=(a,Ca,C),

■■|cos<m,n>\=詈巳=/=cos45°,

\m\-\n\J3+a2xV3+4a2

即2a4+342一9=。，...a〉。，解得。

.?.元=(y,0,q)為平面4EF的一個法向量,

又瓦？=(<3,-1,0)，

^x<3+0x(-l)+Ox0

故點B到平面4EF的距離為膂=1.

r11J(竽)2+()2+(氣2

【解析】⑴設4C與BD相交于。點，連接OF,可得4clBD,AC1OF,可證"1平面BDEF；

(2)連接DF,可證。Fl平面2BCD,以點。為坐標原點，。4、OB、OF所在直線分別為％、y、z軸

建立空間直角坐標系.設OF=a(a〉0),求得平面2EF與平面48尸的一個法向量，利用向是法可

求a,進而可求點B到平面4EF的距離.

本題考查線面垂直的證明，考查點到面的距離的求法，屬中