3月大數(shù)據(jù)模擬卷01（江蘇專用）（解析版）高中數(shù)學(xué)

3月大數(shù)據(jù)精選模擬卷01(江蘇專用)

數(shù)學(xué)

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合"y=,N={xy=log2(x-l)2),則集合"0"=()

A.1x|0<x<21B.{乂0<%<1或l<x42}

C.{x[l<x〈2}D.{x[0<x<2}

【答案】B

【詳解】

?/M=卜y=尤2}二卜疝-/>o1=-2x<o|=|0<x<2},

N=[xy=log2(x-1)'j(x-1)->o}={x|xeR,XH1},

因此，McN={x|OWx<l或1<XW2}.

故選：B.

1-

2.復(fù)數(shù)z]兩足：z+----=2z,z=()

21.21.21.21.

A.——一iB.————iC.-+—zD.—+-z

515155515155

【答案】A

【詳解】

解：iSuz-a+bi?Mz-a-bi>

1,.1,.2+i2（,1Y々

由Z+；；-=22得&+4+丁=。+從+/=〃+嚏+b+-，=2（。一

2-i2—i（2-z）（2+z）5I

2c2

ci+—=2。a=—

55

，解得

b+-=-2hb=---

515

I

3.已知X?N(4,/)，且P(X42)=0.3,則尸(XW6)=()

A.0.3B.0.4C.0.85D.0.7

【答案】D

【詳解】

解：因?yàn)閄?N(4,〃)，正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為x=4,因?yàn)槭?XV2)=0.3,所以P(X26)=尸(X42)=0.3,

所以「(XV6)=1-P(X26)=1-03=0.7

故選：D

202

4.令(*+1)2°2°=4彳°+。2彳刈9+。3x刈8+.一+。202/+。2021(工611)，貝U4+2%+…+2019。2c?(,+20204()21=

()

A.2019x2刈9B.2019x22020C.2020x22019D.2020x22020

【答案】C

【詳解】

由題知,。1=%021，的二出必，…即4=。2022Hl其中左＜2021,左GZ

2020%202201920ts

所以(x+1)=?2021°+°2020^+a2Qt9x+---+a2x+at

對(duì)上式左右兩邊求導(dǎo)得

20192o,s2cx

2020(x+1)289=2O2O?2O2IX+2019a2O2Ox+20180239f+■■-h+/

再令x=1得

2019

/+2%+…+20190202a+2020%=2020x2

故選：C

5.函數(shù)/(x)=ln(W+l)?sin2x的部分圖象大致是()

2

【答案】B

【詳解】

/(-x)=In(|x|+1)-sin(-2x)=-In(|x|+1)-sin2x=-f(x),則函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故排除A,

/（2）=ln3-sin4<0,故排除CD.

6.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖曬在計(jì)算球的體積時(shí)，提出了一個(gè)原理（祖瞄原理）：“基勢(shì)既同，則積不容

異”這里的“事”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高.這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平

截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等.利用祖胞原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱

和圓錐的體積之差.圖1是一種“四腳帳篷''的示意圖，其中曲線AOC和8。。均是以1為半徑的半圓，平

面AOC和平面80。均垂直于平面ABCD,用任意平行于帳篷底面ABC。的平面截帳篷，所得截面四邊

形均為正方形.模仿上述半球的體積計(jì)算方法，可以構(gòu)造一個(gè)與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個(gè)

倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2）,從而求得該帳篷的體積為（）

【答案】B

【詳解】

根據(jù)題意，底面正方形的邊長(zhǎng)為0，高為1,

3

根據(jù)題意，可知該帳篷的體積為V=V2xV2xl--xV2xV2xl=-,

33

r22

7.設(shè)《，鳥(niǎo)分別為雙曲線]■一v%■=1（。〉0力〉0）的左、右焦點(diǎn)，圓大與雙曲線的漸近線相切，過(guò)鳥(niǎo)與

圓片相切的直線與雙曲線的一條漸近線垂直，則雙曲線的兩條漸近線所成的銳角a的正切值為（）

84

A.—rB..J3C.一D.1

15、3

【答案】C

【詳解】

根據(jù)題意作出圖形，

如圖

一條漸近線/的方程為y=--x,即法+ay=0

a

點(diǎn)￡（-c,0）至ij/的距離為|A耳卜一

產(chǎn)1,=h

\]b2+a2

所以=[OF；-AF；=y/c2-b2=a

10ALa

由題知:cosZAOF{西屋

又圓"相切，且所以可知C為8鳥(niǎo)的中點(diǎn)

故|OC|=g則3/。。月=的b

一I明2c

cih

又cos/AOE=cosNC。8，所以一=一

c2c

4

所以2=2,tana=2-(-2)_4

al+2x(-2)-3

故選：c.

-x+3,l<x<4

8.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(2-x)=/(x),且當(dāng)xNl時(shí)，/(x)=<若對(duì)任意

1-log2x,x>4

的+不等式〃2-x)4〃x+l+r)恒成立，則實(shí)數(shù)f的最大值為()

211

A.—1B.----C.—D.一

333

【答案】D

【詳解】

解：???當(dāng)lWx<4時(shí)，y=-x+3單調(diào)遞減，/(x)>/(4)=l-log24=-l,

當(dāng)XN4時(shí)，“X)單調(diào)遞減，/(x)>/(4)=-l,

故/(x)在[1，”)上單調(diào)遞減,

由」(2-x)=f(x),得/(x)的對(duì)稱軸為x=l,

故/(x+1)的對(duì)稱軸為x=0,

故/(x+1)為偶函數(shù)且在[O,”)上單調(diào)遞減，

若對(duì)任意的xe[”+1],不等式“2-x)4"x+l+r)恒成立,

即對(duì)-4,不等式〃l—x)4/(x+2+r)恒成立,

x|^|x+2+r|,

即(17)2“》+2+。2,

即—/(t+3)(t+l)〈(t+3)x1

當(dāng)，+3=0時(shí)，即/=一3時(shí)符合題意，

當(dāng)f+3>0時(shí)，^>-1(r+l),

Xvxe[r-l,r],

故f-12-/(f+l),

解得：—3</<—,

3

5

當(dāng)當(dāng)t+3<0時(shí)，x<-1(z+l),

Xvxe[r-l,r],

故f4——(?+1)，

解得：t<-3,

綜上所述：r<1,

故實(shí)數(shù)f的最大值為;.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某高中積極響應(yīng)國(guó)家“陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)''的號(hào)召，為確保學(xué)生每天一小時(shí)體育鍛煉，調(diào)查該校3000名學(xué)生

每周平均參加體育鍛煉時(shí)間的情況，從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)學(xué)生中按照4:3:3的比例分層抽樣，收

集300名學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))，整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.下

列說(shuō)法正確的是()

A.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5.8小時(shí)

B.估計(jì)高一年級(jí)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)約為300人

C.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于8小時(shí)的百分比為10%

D.估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于8小時(shí)的人數(shù)約為60()人

【答案】ABD

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

1XO.()5+3XO.2+5XO.3+7X().25+9XO.15+11XO.()5=5.8小0寸，A選項(xiàng)正確;

4

對(duì)于B選項(xiàng)，高一年級(jí)的總?cè)藬?shù)為3000x—=1200人，

6

由頻率分布直方圖可知，該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足4小時(shí)的頻率為(0.025+0.1)x2=0.25,

所以，估計(jì)高一年級(jí)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)約為1200x0.25=300人，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于8小時(shí)的百分比為(0075+0.025)x2=20%,C選

項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于8小時(shí)的人數(shù)約為3000x0.2=600人，D選項(xiàng)

正確.

故選：ABD.

10.對(duì)任意實(shí)數(shù)“，b,c,有以下命題中，正確的是()

A.若ac?<be?,貝B.若a>b,則，〉1

b

C.若二>*,則a<網(wǎng)D.若a>l>b>0,則k>g“(a—8)>0

【答案】AC

【詳解】

A.因?yàn)殡p2Vbe2,可知為>0，即a<%成立;

B.當(dāng)a=l1=-1時(shí)，故B不成立;

b

C.當(dāng)?時(shí),a2<b2>則。<網(wǎng)成立；

D.當(dāng)a=：,b=：a—〃=j則log“(a-b)<0,故D不成立.

故選：AC

11.已知函數(shù)f(x)=Asin(ox+0)(A>0,o>0)的部分圖象如圖所示，且/(0)=/［不(則下列說(shuō)法

正確的為()

7

對(duì)任意xeR均滿足/(葛+“+/1=0

B.

6J

71\\71174

C.若函數(shù)/x~~在區(qū)間［(),〃?］上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則m取值的范圍是育石

D.要得到函數(shù)g(x)=2cos2x的圖象，只需將函數(shù)f(x)的圖象向右平移專個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】BD

【詳解】

由圖象知:A=2,又/(0)=/

0+—

所以函數(shù)的一條對(duì)稱軸為：x_=-----6-=_—5萬(wàn)，

212

TT

一，解得丁=乃,G=2,

4

515"

又因?yàn)榱?1-2,B|J2sin

577"77,

所以—十°=2&乃+—（Z:€Z）,

2兀

又lel＜乃，則夕=3-,

所以/（x）=2sin（2x+￥）,

A.函數(shù)小-與=2sin（2x--

不是奇函數(shù),故錯(cuò)誤;

8

=2sin（2x+3乃）+2sin（3萬(wàn)一2x）=-2sin2x+2sin2x=0故正確;

c.產(chǎn)/（x-1^）=2sin（2x-m）,由xe［O,〃〃，則2x-3e［-q,2加一自，若在［0,m］上有兩個(gè)極值點(diǎn),

則—<2根<—，解得---<tn<-----，所以m取值的、氾韋,卜故不正確；

23212127Ic1212）

D.將函數(shù)f（X）的圖象向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)度,

故正確;

22

12.曲率半徑是用來(lái)描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲變化程度的量，已知對(duì)于曲線「+與=l（a>0/>0）上

Q-b~

點(diǎn)P（Xo，No）處的曲率半徑公式為火="力2（烏+張1，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.對(duì)于半徑為R的圓，其圓上任一點(diǎn)的曲率半徑均為R

B.桶圓三+白=1（。>0,。>0）上一點(diǎn)處的曲率半徑的最大值為“

/丫2

C.橢圓一］+了~=1（。>0,6>0）上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為二

D.對(duì)于橢圓馬+V=1（。>1）上一點(diǎn)（g,%）處的曲率半徑隨著。的增大而減小

【答案】AC

【詳解】

3

圓：f+y2=R2,尸（七,%）,曲率半徑為R2.R2.（奈+條）=R,A正確;

22

P（Xo，No）在橢圓4+圣=1（。>人>0）上，

abr

222/—-VXn2i2if22、i

工0上>0_X。,_____CT_/4.1%_1X0工0工1

a4b4a4b4a4b~a2b2b2）b2

A

.看+$』11]R』〃'

-V+Fe70'ZT~bB錯(cuò)誤，C正確;

9

3，4*3

,1丫

+1------7

4a

*￡1

!3+標(biāo)——a

4

1_84._27I411二

令/（〃）=—小+於——小，a>\,i

一鏟3+-a+-a3

V744/'（4=36

??.R在（1,+?）上隨。增大而增大，D錯(cuò)誤.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.已知x>2,丁>0且滿足2匚2>'=16,則一^+一的最小值為_(kāi)_______.

x-2y

【答案】4

【詳解】

由2A>=2,可得x+y=4,即x=4—y

44,

-------z-2—=4

x-2y2-yy_（,一1）一+11

14.設(shè)向量a=（N，y）,,記2?石=不巧一乂必，若圓C：x2+y2-4x+8y=0上的任意三

點(diǎn)A1,4.4,且4A3,則|璃?魄■+魄■?砥|的最大值是.

【答案】64

【詳解】

整理圓的方程可得（X—21+（y+4『=20

故圓心為（2,-4）,半徑為2石

設(shè)4（石，x），4（w，%）,4（七,%），由A4，44可得44為圓的直徑

由此可得%+毛=4,M+%=-8

則|西.羽+城?風(fēng)卜電一%%+一=1（%+玉）%一（％+%）%|=4k+2%|

又4（馬，％）在圓上

設(shè)x2=2+2>/5cosd,y2=-4+2\/5sin0,0

10

x2+2y2=2+26cos夕+2(-4+2后sing)=-6+2>/5(cos<94-2sin=-6+lOsin(e+0),6￡H

故4,2+2%|的最大值為4(6+10)=64

15.過(guò)拋物線C:/=2py上點(diǎn)M作拋物線。：V=4尤的兩條切線小4,切點(diǎn)分別為尸，Q，若AMPQ

的重心為則〃=___________.

3

【答案】-7

16

【詳解】

解：設(shè)尸（4其）,。（X2，%），

設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線方程為x=t（y-^-）+/①，

與y2=4x聯(lián)立得V=今（＞一苣）+4%,

2P

-2/r2

即y-4（y+—紇-4玉）=0②，

P

由相切得A=16/一4（個(gè)4x0=0,即2pf

2

-x^t+2px0=0

2

則4+右=m-,乙，[2=光0（4,，2分別表示4，，2斜率的倒數(shù))，

2P

由于方程②△=（）,則其根為y=2t,

當(dāng)，=%時(shí)，＞1=2：,當(dāng)/二L時(shí)，%=2t2,

???△MPQ的重心為G（l,|）

2

5i4+2?+幻=￥+2乂￥=3工x=?9③，

2p2p2p2p2P2

而不+%＞=t（y--i2-）+x+右（%—7^-）+Xo

｝]2P02p

11

2(鏟+昌-+，2)+2九0

2［（4+幻-一2科-I+12）+2x（）

2一2七)-

4P2

9

W°

^7一/=3④,

玉）+%+x2

4〃一

3

聯(lián)立③④得p

16'

16.我國(guó)古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，如圖的芻童A58—EEG”有

外接球，且A8=4后,4。=4,6”=2",￡：b=6五，點(diǎn)后到平面/18。0距離為4,則該芻童外接球的

表面積為.

【答案】100萬(wàn)

【詳解】

假設(shè)。為芻童外接球的球心，連接印入EG交于點(diǎn)。「連接AC、￡)5交于點(diǎn)。2，由球的幾何性質(zhì)可

知0、。|、。2在同一條直線上，

12

由題意可知，O。？，平面ABC。，OOi上平面EFGH,020,=4,

設(shè)。2。=7，

在中，OG?=00；+0G,

在矩形EFGH中，EG=y]EF2+FG2=46&『+(2佝2=476，

C\G=LEG=2&,

2

:.OG2=00：+002=(4-r)2+(2#『，

22

在Rt^OBO2中，OB=OO-+O2B,

在矩形ABC。中，DB=dAD，+AB。="+(4廚=8,O2B=^BD=4,

2222

OB=00；+O2B=r+4,

設(shè)外接球半徑OG=O5=H.

.-.(4-r)2+(2V6)2=r2+42,解得r=3,

則08=存;不=5,即R=5,則該芻童的外接球半徑為5

，該芻童外接球的表面積為：44/?2=100萬(wàn)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.現(xiàn)有三個(gè)條件①csin(A+8)=bsin8+(c-4)sinA,②/_=，—，③”(1+cosB)=?sin4,請(qǐng)任

tanB2sinA

選一個(gè)，填在下面的橫線上，并完成解答.

已知△ABC的內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若.

13

（1）求角5；

(2)若〃+c=2喬，求AABC周長(zhǎng)的最小值，并求周長(zhǎng)取最小值時(shí)AABC的面積.

【詳解】

若選①：(1)csin(A+B)=/?sinB+(c-6?)sinA,

csin(萬(wàn)一C)=bsin3+csinA-asinA,

csinC=fosinB4-csinA—6/sinA,

c~=h~4-etc—，

ci~+W—h~=cic?

a2+c2-b2

cosB-

2ac2

?.?0<3<"，

-4

（2）由（1）知:

b~=er+c~—ac=(q+c)~—3cic，

“4+C2

vac<

當(dāng)且僅當(dāng)Q=C=有時(shí)取等號(hào);

/.b2=(Q+C『-3QC2(G+C)2-—(6f+c)2=—(tz+c)2,

44

又a+c=2A/5,

ii2

則〃N1e+cy=-x(2V5)"=5,

又b>3

所以匕2亞，

則△ABC周長(zhǎng)的最小值為：2石+石=3?；

此時(shí)a-c=b=4s，

14

所以AABC的面積為：-?csin60°=^

24

b

若選②：（1）由一,

tanB2sinA

得2"sinA=atan5,

則2sinA5爪啜曹

又0<AC；T,0V8<；T,

則sinA>0,sinB>0,

所以cosB=',

2

71

即3=不

3

(2)由(1)知:

b2=a2+c2-ac=(^a+c)--3ac,

?+cY

,/ac<---->

I2)

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=后時(shí)取等號(hào)；

h2=(Q+C)“-3QCN(Q+C)~-1(Q+C)~=—(tz+c

又Q+c=2>/5，

i[2

則從jS+cJ=-X(2V5)'=5,

又b>0,

所以bN百，

則AABC周長(zhǎng)的最小值為：26+石=3石；

此時(shí)a=c=b=\[5>

所以AABC的面積為："Lacsin6()o=2叵.

24

15

若選③：(1)a(\+cosB)=\/3Z?sinA?

sinA(1+cosB)=6sinAsinB,

*/0<,

/.sinA>0,

1+cosB=6sinB.

c)兀,、n715萬(wàn)

B---=—或8----=——，

6666

TT

即3=—或3="(舍)；

3

(2)由(1)知：

占2=。2+。2_QC=(。+。)2_3ac,

A/4+c)\2

*c<-，

/aI--2-J

當(dāng)且僅當(dāng)Q=C=6時(shí)取等號(hào)；

2

b=(Q+C)2-3QCN(〃+C)2一：(Q+C)2=；(Q+C『,

又。+c=2>/5，

則/N/a+cJ=/（2石）=5,

又b〉0,

所以bN下，

則△ABC周長(zhǎng)的最小值為：24+#）=3后;

此時(shí)a=c=b=\/5，

16

所以AABC的面積為：-Gcsin60°=^5

24

an1112

在①；1-…這三

18.q=1,an+l~；②4+3私+5G+?,?+(2n-1)cin=n(3)----1------I----=n

axa2

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答:

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2〃-1)4

（2）求《，的前〃項(xiàng)和北.

n(n+l)

【詳解】

a12a+1°?11c

若選①，(1)山=丁七，兩邊取倒數(shù)得——=——=2+—，即--------=2,

2%+1an+iana?an+ian

1,1

又因?yàn)橐欢?,所以4一是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列,

4

所以上=1+2(〃-1)=2〃_1,故q,=——

42n-l

(2〃7)%111

（2）由（1）得:

〃(鹿+1)+nn+1

所以7=1一！+1-1+,一工+…+工——J—=i一1n

"22334nn+1〃+1〃+1

若選②，(1)q+3%+5q+???+(2〃—

當(dāng)2時(shí)，4+3%+5q+…+^〃-=九一1,

兩式相減得（2〃-l）a“=1,所以4=』7（〃-2）,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1,滿足上式，則a“=一,一；

2〃一1

(2n-l)6Z?_111

(2)由(1)得:---------———'-------

/?(/?+!)nn+1

111111n

所以北=1一1-

22334nn+\n+1n+1

111115=6-1)2,

若選③，(1)—+—+?,?+—=n2,〃22時(shí)，一+—+,??+

qqa2Un-\

17

|2

兩式相減得一=川一(〃-1)=2"T(〃N2),

an

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1,所以a.=―-—：

2n-l

(2〃T)%_1J_

(2)由(1)得:

+?(?+1)nn+1

n+1n+1

19.如圖，在直角AACB中，直角邊AC=2,角A=6()°,M為AB的中點(diǎn)，。為的中點(diǎn)，將△4WC

沿著折起，使AM，MB,(4為A翻折后所在的點(diǎn))，連接MQ.

(1)求證：MQVA.B.

(2)求直線MB與平面4"C所成角的正弦值.

【詳解】

(1)取48的中點(diǎn)為N,連接MN,NQ,

18

△ABC是直角三角形，AC=2,NA=60°,AB=4,3C=2#>

因?yàn)镸為中點(diǎn)，AiMLMB,

所以A5=V22+22=272,AC=2，

可得=所以A。，48,

又NQ吐%B,所以AfLQN.

又為等腰三角形，所以&B上NM,MNCQN=N

所以A8L面MNQ,

QMu血MNQ,所以MQ_LA/.

(2)MQVB\,MQVBC,BC(}B\=B,所以面4cB.

取QB所在直線為x軸，QM所在直線為y軸，過(guò)。點(diǎn)作面A/CB的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.過(guò)4

作

木吉缶一缶L.D2x2-2&「0.℃G.4局

"333(33)

5(^,0,0),C(一8,0,0),M((0,1,0)

______(2也2娓)

設(shè)面?個(gè)法向量為3=(x,y,z),e方=(百,1,0),CA]=——,0,——,

I33)

19

得]J3x；）一°,取z=_],則

[x+yj2z=0

/.71=（V2,—V6,—1）?

又麗=（6,-1,0）,

cos而>=如=旦,

63

直線MB與面AM。所成角的正弦值為—

3

20.為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各自

抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評(píng)估檢測(cè)，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示:

甲型號(hào)減排器乙型號(hào)減排器

11

<<

減排器等級(jí)及利潤(rùn)率如下表，其中9-8-

綜合得分我的范圍減排器等級(jí)減排器利潤(rùn)率

ZN85一級(jí)品a

75<*<85二級(jí)品5a2

70<k<75三級(jí)品a2

（1）若從這100件甲型號(hào)減排器中按等級(jí)分層抽樣的方法抽取10件，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,

求至少有2件一級(jí)品的概率；

（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計(jì)總體，則：

①若從乙型號(hào)減排器中隨機(jī)抽取3件，求二級(jí)品數(shù)J的分布列及數(shù)學(xué)期望七倍）；

②從長(zhǎng)期來(lái)看，投資哪種型號(hào)的減排器平均利潤(rùn)率較大？

【詳解】

20

(1)由已知及頻率分布直方圖中的信息知，

甲型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為0.08x5+0.04x5=0.6,

分層抽樣的方法抽取10件，

則抽取一級(jí)品為10x0.6=6(件)

則至少有2件一級(jí)品的概率，

武C：+C；C：+C：_37

/---------------------------

*42，

(2)①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，

乙型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為上，

二級(jí)品的概率一，

4

三級(jí)品的概率為，

20

若從乙型號(hào)減排器隨機(jī)抽取3件，

則二級(jí)品數(shù)4所有可能的取值為0,1,2,3,且J?8(3,：),

所以pc=o)=d￡|°*,

需間哈

年=護(hù)端JU/，

所以4的分布列為

0123

272791

P

64646464

所以數(shù)學(xué)期望:

272791_3

￡(a=0x—+lx—+2x—+3x

64646464-4

②由題意知，甲型號(hào)減排器的利潤(rùn)的平均值:

21

2

Ej=O.6t7+0.4x5a之=2a+0.6a；

乙型號(hào)減排器的利潤(rùn)的平均值:

E2=L+k5a2+'/%7

H------a

■104201010

T711

，又3"二，

12101010

則￡[<E2,

所以投資乙型號(hào)減排器的平均利潤(rùn)率較大.

22

21.已知橢圓C:=+4=l（a>0〉0）的上、下頂點(diǎn)分別為A,3,P為直線y=2上的動(dòng)