2020-2021學(xué)年嘉興市高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年嘉興市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.定義集合的商集運(yùn)算為9={x\x=-,mGAneB),已知集合4={2,4,6},B={x\x="l,k€

n2.

A},則集合（UB元素的個(gè)數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

2.己知sin(a-E)=5則cos（a+壬的值等于（）

D越

BD--3C---2

3

3.已知函數(shù)/（%）是定義在R上的奇函數(shù)，/（2）=0,當(dāng)x>0時(shí)，有嘮豌./螳y電成立,則不

等式昌?舞蹴>期的解集是（）

A.C-WUXMB.G鳴TL猴瀚

c.瑪-陽討絡(luò)笄晦D(zhuǎn).G即年3孰激

4.8.下列命題為真命題的是

A.己知&bwR,則“二二《一？”是且b<?！钡某浞植槐匾獥l件

ab

B.已知數(shù)列2分為等比數(shù)列，則“處<％<%”是的既不充分也不必要條件

C.已知兩個(gè)平面（x,P，若兩條異面直線加，方滿足肛二比,蘇u尸且耀//p,w//a,則

a//P

D.3x0e（-x,O）,使3*，<4成立

a+log2x,當(dāng)xN2時(shí)，

5.已知函數(shù)=h」在點(diǎn)x=2處連續(xù)，則常數(shù)a的值是（）

------，當(dāng)x<2時(shí)

.x-2

A.2B.3C.4D.5

6.有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成

一個(gè)三棱錐形的鐵架，貝M的取值范圍是（）

A.(0,&+血)B.(1,272)

C.(a一顯，巫+&)D.(0,2盤)

7.在AABC中，b2=a2+c2-ac,若AC=26,則△ABC面積的最大值為()

A.V3B.2V3C.3V3D.473

8.函數(shù)y=simi(2x+V)的最小正周期是()

A.1B.JiC.2兀D.47r

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.已知a,b為正實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是()

A.若。2-/?2=1,則a-b<1B.若5=1，則a—b<1

C.若e?！猠b=1,則a—b<1D.若，na—Inb,貝i］a—b<1

10.已知函數(shù)/(%)=cos2x+>/5sin2x,貝鼠)

A./(x)的最小正周期為兀

B.是奇函數(shù)

C.當(dāng)*=1兀+，(卜€(wěn)2)時(shí)，/(%)取得最大值

D./(%)在［*幣上單調(diào)遞增

11.設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是()

A.\z\2=z'z

B.Z2=|z|2

C.若|z|=1,則|z+i|的最小值為0

D.若|z-l|=l,MO<|z|<2

12.某同學(xué)在研究函數(shù)/(x)=V^TT+-4x+5的性質(zhì)時(shí),受兩點(diǎn)間距離公式的啟發(fā)，將/(%)

變形為/(x)=_0)2+(0_1)2+7(x-2)2+(0-l)2.則下列關(guān)于函數(shù)f(無)的描述正確的

是()

A.函數(shù)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)〃乃的圖象是中心對稱圖形

C.函數(shù)/(%)的值域是［2&,+8)

D.方程f(/(x))=1+有無實(shí)數(shù)解

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.log23-log34+(第三+72x78=

14.已知角a終邊上一點(diǎn)P(-4,3),求s譏a的值.

15.如圖是張大爺晨練時(shí)所走的離家距離(y)與行走時(shí)間(x)之間函數(shù)關(guān)系的圖象，若用黑點(diǎn)表示張

大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是.

「、口△A

①②③④

16.已知函數(shù)/(%)=M+3%-Q,若對任意％G[l,+oo),/(%)>。恒成立，則a的取值范圍為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知全集(/=/?,集合4={淚1<2><4},集合B={y|y+8)}.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求An(QB)；

(II)若4nB=4且4U(Q；B)=U,求實(shí)數(shù)a的值.

已知/(x)=一貶sin(2x4--^)4-6sinxcosx-2cos2x+lxeR

18.20、

-.7T.

⑴求“X)的最小正周期(2)求在區(qū)間99最大值與最小值。(13')

19.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是北，經(jīng)過一段時(shí)間

f后的溫度是r,則有7一1=(%-1)?(；)『，其中「表示環(huán)境溫度，內(nèi)稱為半衰期且方=1D

.現(xiàn)有一杯用89匯熱水沖的速溶咖啡，放置在25。(：的房間中20分鐘，求此時(shí)咖啡的溫度是多少度？

如果要降溫到35。(2,共需要多長時(shí)間？dg2?0,301，結(jié)果精確到0.1)

20.已知函數(shù)f(x)=V3sin((ox+尹)+2cos2絲券-l(w>0,0<cp<兀)為偶函數(shù)，且f(x)圖象的相

鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為小

⑴當(dāng)％6[-也曾時(shí)，求/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)/(X)的圖象向右平移3個(gè)單位長度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的“縱坐標(biāo)不變)，得到

函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[-a金上的最大值和最小值.

21.已知函數(shù)f(x)=謨+3(a>0,a豐1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,7).

(I)求y=/(x)的解析式；

(H)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)/。)=/0)-/(-乃是/?上的增函數(shù).

22.已知函數(shù)/⑺=2(初+1)9+4洗x+2四一卜

(1)物為何值時(shí)，函數(shù)的圖象與x1軸有兩個(gè)交點(diǎn)？

(2)如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)，求歡的值.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：

求出B={x|x=號(hào)一l,k64}={0,1,2),從而5=[0,；1)，由此能求出集合多U8元素的個(gè)數(shù).

本題考查并集中元素個(gè)數(shù)的求法，考查并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

解：???集合的商集運(yùn)算為2==

D71

集合4={2,4,6},B=(x\x=^-l,kEA}={0,1,2),

：?一={0,-,一,-,一，1},

AI2346)

—UF=[0,1,2}.

Al2346)

??.集合元素的個(gè)數(shù)為7個(gè).

A

故選：A.

2.答案：B

解析：解：sin(a-力=1,

:.cos(a+中)=cos(a+〈+兀)=—cos(a+〈)=_sin碎—(a+^)]——sin((—a)=sin(a—^)=|.

故選：B.

利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用及誘導(dǎo)公式化簡所求后，結(jié)合已知即可得解.

本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案:B

解析：試題分析：解：因?yàn)楫?dāng)X＞0時(shí)，有嘮’獺二典嚏Y旗恒成立,即逡了3：剛

息產(chǎn)窸

恒成立，所以典峻在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.因?yàn)?(2)=0,所以在(0,2)內(nèi)恒有負(fù)崎＞0；在(2,+8)

案

內(nèi)恒有，電力＜0.又因?yàn)椋?。是定義在R上的奇函數(shù)，所以在(一8,—2)內(nèi)恒有，事砥＞0；在(一2,0)內(nèi)

恒有舞感＜o(jì),又不等式虛觀磷〉0的解集，即不等式舞感〉o的解集.所以答案為(_8,-2)U(0,2).

故選B.

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時(shí)考查了奇偶函數(shù)的圖象特征

4.答案：C

解析:

選項(xiàng)「中，C+"4-2="+“+2=0+以W0=a6<0是a>0且b<0的必要不

ababab

充分條件，所以4錯(cuò)；

選項(xiàng)3中，由得‘①或’：°,，可以推出>但若。4<。5,則該

'q>\0<q<1

數(shù)列有可能是擺動(dòng)的等比數(shù)列，如：1,-1,1,-1,1,-1?“…，此時(shí)推不出

所以3錯(cuò)；選項(xiàng)。中，當(dāng)x0<0時(shí)，|^=(1)X4>(1)0=l?3x?>4IS所以。錯(cuò).

故答案為C.

5.答案：B

——4

=x+24,

解析：=~~~lim()=/(2)=a+iog22=a+i,由函數(shù)的連續(xù)性

12XTZ五一222

定義知/⑵=lim八力=4,可得a=3.

XT2

6.答案：A

解析：由于本題是選擇題，所以我們不妨采取特殊值法，在圖(1)中，當(dāng)48，面8。。時(shí)，Q=2%，

因此2血是可以取到的，所以排除B、。兩項(xiàng)，下面考慮4、C兩項(xiàng)的情況，在圖(2)中，a是可以無

限小的，所以必然存在0<。<指+血的部分，所以可以再次排除C項(xiàng)，選擇4項(xiàng).

(1)(2)

7.答案：C

解析：解：爐=a?+0?-ac,AC=2V3=b,

12>2ac-ac,即acW12,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2g時(shí)取等號(hào)，此時(shí)B=60。.

ABC面積=^acsinB<|x12xsin60°=3V3.

故選：C.

利用基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式即可得出.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：B

解析：解函數(shù)y=sinn(2x+勻的最小正周期是7=與=心

故選：B.

直接利用正弦型函數(shù)的周期公式的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，

屬于基礎(chǔ)題型.

9答案:AC

解析:解:對于4：若a?-b2=1,且a和b都為正數(shù)，所以a+b>a-b>0,所以a+b>l,a-b<1,

故4正確；

對于8：若看一3=1，令a=10，匕=當(dāng)符合題意，此時(shí)。-6=詈>1,故8錯(cuò)誤；

對于C：若e。—e〃=l,則a—b=ln(e。+1)—b=ln(l+e")由于b>0,

所以0<e-b<l,所以a-b<仇2e=1,故C正確；

對于若Ina—Inb=1,則a—b=eb—b=(e—l)b>0,不能確定a—b<l,故￡>錯(cuò)誤.

故選：AC.

直接利用不等式的性質(zhì)，賦值法，作差法的應(yīng)用判斷4B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，賦值法，作差法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，

屬于基礎(chǔ)題.

10.答案:ACD

解析：

先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正弦函數(shù)性質(zhì)的熟練掌握.

解：/(x)=cos2x+y/3sin2x=2sin(2x+

6

故T=7i,A正確;

/。*)=2$譏(2》*)不是奇函數(shù)，8錯(cuò)誤；

OO

當(dāng)》=/^+?時(shí)，函數(shù)/")：2sh,(2k7T+~)2,此時(shí)取得最大值，C正確；

Oi

令-m+2kit<2x4-+2fc7r,k￡Z,

262

得—5+kn<%<^4-ku,kEZ,

3o

當(dāng)k=0時(shí)，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[一支勺，。正確.

5o

故選：ACD.

11.答案：ACD

解析：解：由于Z為復(fù)數(shù)，設(shè)2=。+6(?！眬/?),

對于4：|z『=a?+￡?2=z?Z,故A正確；

對于B：z2=(a+bi)2=a2+2abi—b2,\z\2=a2+b2,故8錯(cuò)誤；

對于C：由于a2+f)2=l,所以|z+i|=Ja2+(b+1)2e[0,2],故C正確；

對于。：若|z-l|=l,BP(a-l)2+b2=l,所以0=1—1WJ(a—0)2+(b—0)2s1+1=2,

故D正確；

故選：ACD.

直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，共軌，圓的方程，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用判斷4、B、C、。的結(jié)

論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，共規(guī)，圓的方程，圓與圓的位置關(guān)系，主要考查學(xué)

生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案:ACD

解析：

本題考查了函數(shù)表達(dá)式的幾何意義，函數(shù)圖象的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題.

函數(shù)f(x)=7(%-0)2+(0-1)2+—2)2+(0—1)2,如圖表示點(diǎn)P(x,0)到點(diǎn)4(0,1)的距離|P4|

與到點(diǎn)B(2,l)的距離|PB|之和；結(jié)合圖形可知，在x=l處，取得最小值，進(jìn)而判斷函數(shù)值域和單調(diào)

性，利用函數(shù)關(guān)于x=l對稱判斷B,利用值域判斷C.

解：函數(shù)/(x)=—0)2+(0-1尸+7(x-2)2+(0-l)2

如圖表示點(diǎn)P(x,0)到點(diǎn)4(0,1)的距離|P*與到點(diǎn)B(2,l)的距離|PB|之和，

B點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為C(2,-l),

則/(x)>\AC\=V(2-0)2+(-l-l)2=2V2,

直線4c交x軸與點(diǎn)(1,0)，

則函數(shù)/(乃在區(qū)間［l.+oc)上單調(diào)遞增，A正確，

函數(shù)/(x)的值域?yàn)?2V￡+x),C正確，

因?yàn)閒(x)=Vx2+1+y/(x-2)2+1>

/(2-%)=7(2-x)2+1+J(~x)2+1,

則/(x)=/(2—X)，

即函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=l對稱，函數(shù)/(x)的圖象不是中心對稱圖形，故B錯(cuò)誤;

設(shè)/(x)=3則方程/(/(?)=1+后，等價(jià)為f(t)=1+V5，

即VFTT+7(t-2)2+i=1+V5,

所以t=0,或1=2.

因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)>2或，

所以當(dāng)t=0或t=2時(shí)，/。)=￡不成立，所以方程無解，故。正確；

故選ACC.

13.答案：y

解析：解：原式=2,0出3"。以？+：+四=2+：+2=g.

故答案為：

進(jìn)行對數(shù)、指數(shù)和根式的運(yùn)算即可.

本題考查了對數(shù)、指數(shù)和根式的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：|

解析：解：由題意可得，x=-4^y=3、r=\0P\=5,故sina=菱=|，

故答案為，

由題意可得，為=-4、y=3、r=|0P|=5,再由sina=S運(yùn)算求得結(jié)果.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

15.答案:?

解析：解：由圖形可知，張大爺?shù)男凶呤牵?/p>

開始一段時(shí)間離家越來越遠(yuǎn)，然后有一段時(shí)間離家的距離不變，然后離家越來越近，④符合：

①：行走路線是離家越來越遠(yuǎn)，不符合；

行走路線沒有一段時(shí)間離家的距離不變，不符；

③：行走路線沒有一段時(shí)間離家的距離不變，不符；

故答案為：④.

由圖形可知，張大爺?shù)男凶呤牵洪_始一段時(shí)間離家越來越遠(yuǎn)，然后有一段時(shí)間離家的距離不變，然

后離家越來越近，結(jié)合圖象逐項(xiàng)排除.

本題主要考查了識(shí)別圖象及利用圖象解決實(shí)際問題的能力，還要注意排除法在解題中的應(yīng)用.

16.答案:(-00,4)

解析：解：函數(shù)/'(x)=x2+3x-a,若對任意x6[1,+8),/(x)>0恒成立

等價(jià)于/+3x-a>0對任意xG[1,+oo)恒成立，

即a</+3x對任意xG[1,+8)恒成立，故只需求出刀2+3x在x6[1,+8)的最小值，

記函數(shù)g(x)=x2+3x=(x+1)2一支可知g(x)在(一8,-|)上單調(diào)遞減；

在(一|,+8)單調(diào)遞增，即在[1,+8)上單調(diào)遞增，

故g(x)在x=1處取到最小值g(l)=4,可得a<4

故答案為：(-oo,4)

原命題恒成立等價(jià)于a<%2+3x對任意x6[1,+8)恒成立，只需求出g(久)=x2+3%在x￡[1,+<?)

的最小值即可.

本題為函數(shù)的恒成立問題，分離變量然后求出構(gòu)造函數(shù)的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題.

17.答案：解：已知4={%|1<2，<4}=(0,2),B=[y\0<y<a2],

(I)當(dāng)￡1=1,時(shí)，B=[y\y=:,xG(l,4-oo)}=(0,1),

所以QB={y\y>1或y<0},

所以anCuB=UN)；

(n)B={y|0<y<a2],所以CuB=(y\y<0或y>a2},

由力ClB=4且AuCuB=U可得：\a2,-2,則a2=2,

(a/<2

所以a=+V2.

解析：先求出集合4B,然后對應(yīng)各個(gè)問題根據(jù)交并補(bǔ)的運(yùn)算性質(zhì)以及集合間的關(guān)系即可求解.

本題考查了交并補(bǔ)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

V/(x)=-72(^y-sin2x+-^-cos2x)+3sin2x-cos2x=2我sin(2x-$,

(1)T=K；

18.答案：

(2)xe[0,"2x-^€[-^,^]：.sin(2x-5)€[-^-,l],：./(x)e[-2,272],

244442

即氏x)的最小值為-2,最大值為2點(diǎn).

解析：本題主要考查三角函數(shù)問題，考查了和差角公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，正確掌握三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及靈活運(yùn)用公式是做題的關(guān)鍵。

由所給函數(shù)式利用和差角公式及倍角公式變形整理成正弦型函數(shù)，再由周期公式及所給x的取值區(qū)間

結(jié)合圖像可得結(jié)果。

19.答案：解:由條件知，4=89%=25,￡20，

1￡1衛(wèi)

代入:一尸得T_25=(89_2?q)%，

解得T=41℃.

11

如果要降溫到35冤,則35-25=(89-25).(-)10，

則—lg—=l-81g2,

102

解得E26R

答：此時(shí)咖啡的溫度是41。。要降溫到35。(2,共需要約26.8分鐘.

解析：本題考查了指數(shù)函數(shù)的綜合題，通過研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實(shí)際問題.

根據(jù)題意，先將題目中的條件代入公式7-<=(片-q).q)a,求解就可得到半衰期人的值.再利

用公式丁-雹=(耳-<)弓尸中T。的值，半衰期/I的值，7=35,代入就可解出此時(shí)需要多少分鐘.

20.答案：解：(1)由題意，函數(shù)f(x)=Bsin(3x+伊)+cos(3X+伊)=2s譏(cox+0+》，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)圖象的相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為兀，所以7=兀，可得3=2,

又由函數(shù)/'(X)為偶函數(shù)，得0+￡=々兀+1，k€Z,則8=k〃+或k&Z.

因?yàn)?<3<兀，所以k=0時(shí)，(p=%,所以函數(shù)f(x)=2cos2x,

令2/CTT-TT〈2xW2/CTT,kEZ,解得/ot-1W尤</ot,kEZ,

又xG［—2由，可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)