2023年高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊1. 1 . 1 空間向量及其線性運(yùn)算基礎(chǔ)練習(xí)

1.1空間向量及其運(yùn)算

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算...................................................1

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算...................................................15

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算

基礎(chǔ)練習(xí)

一、單選題

1.下列命題中，假命題是（）

A.同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小

B.兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共線的單位向量都相等

【答案】D

【解析】A.向量是有向線段，不能比較大小.真命題.

B.兩向量相等：方向相同，模長相等.起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同.真命題.

C.零向量：模長為0的向量.真命題.

D.共線的單位向量是相等向量或相反向量.假命題..

2.在下列命題中：

①若向量a力共線，則a,6所在的直線平行；

②若向量a*所在的直線是異面直線，則“）一定不共面：

③若三個(gè)向量a,4c兩兩共面，則。，4C三個(gè)向量一定也共面；

④已知三個(gè)向量a,〃，d,則空間任意一個(gè)向量，總可以唯一表示為力=xd+）力+zd.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】此題考查向量的知識點(diǎn)；對于①：根據(jù)兩向量共線定義知道，兩向量共線有可能兩向

量所在的直線重合，所以此命題錯(cuò)誤；對于②：兩個(gè)向量可以平移到一個(gè)平面內(nèi)，所以此命題

錯(cuò)誤；對于③：若三個(gè)向量a,仇c兩兩共面，這三個(gè)向量有可能不共面，所以此命題錯(cuò)誤；對

于④：根據(jù)空間向量的基本定理知道，這三個(gè)向量要不共面才可以，所以此命題錯(cuò)誤

3.在下列命題中：

①若a、〃共線，則人所在的直線平行：

②若“、〃所在的直線是異面直線，則。、〃一定不共面；

③若a、b'c三向量兩兩共面,則a、b、c三向量一定也共面；

④己知三向量a、b'c>則空間任意一個(gè)向量0總可以唯一表示為p=xa+yb+zc.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】①若a、〃共線，則a、8所在的直線平行或重合；所以①錯(cuò)；

②因?yàn)橄蛄渴强梢宰杂梢苿拥牧?，因此即使a、b所在的直線是異面直線，a、〃也可以共面;

所以②錯(cuò)；

③若a、b>2三向量兩兩共面，因?yàn)閮善矫娴年P(guān)系不確定，因此￡、否、￡三向量不一定共

面；所以③錯(cuò)；

④若三向量a、6、c共面，若向量p不在該平面內(nèi)，則向量p不能表示為p=xa+yb+zc，

所以④錯(cuò).

4.如圖，空間四邊形0ABe中，0A=a,0B=b,0C=c,且QM=2M4,BN=NC,則

MN=（）

22,1

A.—a+—b+—c

332

C.二/+尢

322

【答案】C

271/x1/

【解析】因?yàn)镸N=ON-0M，又因?yàn)?河=§=針,ON=耳(08+0C)=耳僅+cx),

21I

所以MN=--a+-b+-c

322

5.在平行六面體ABCD-\BXCXD,中，M為A（C,與BR的交點(diǎn)，若

AB—a,AD—b,A/\=c,則與相等的向量是（）

A.—ia+i—,0+cB.——ia——i,b+cC.i—a——i,b+cD.——ia+i—.b+c

22222222

【答案】D

【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知

BM=BB}+B.M=M+g耳，=+；（旦A+A2）=朋+；卜48+AT＞）

因?yàn)锳B=AD=AAj=c,則A/4,+—^―Afi+AD^=——a+—b+c

11

BM=——a+—b+c,

22

6.在下列條件中，使M與A，B,。一定共面的是（）

111

A.OM=OA-OB-OCB.OM=-OA+-OB+-OC

532

C.MA+MB+MC=QD.OM+OA+OB+OC=0

【答案】C

【解析】對于A選項(xiàng)，由于=所以不能得出M,AB,C共面.

對于B選項(xiàng)，由于1+1+,力1,所以不能得出M,AB,C共面.

532

對于C選項(xiàng)，由于=—MC，則M4,M8,MC為共面向量，所以M,A8,C共面.

對于D選項(xiàng)，由OM+OA+OB+OC=0得0M=—Q4—0B-0C，而一1一1一1=一3。1,

所以不能得出〃,A,8,C共面.

二、填空題

31

7.。為空間中任意一點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)不共線，且。尸=一。4+-。8+，。。，若尸，A,B,

48

C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)f=.

【答案】|

8

31311

【解析】P，A,B,C四點(diǎn)共面，且OP=—QA+—OB+fOC,-+-+?=1,解得，=—.

48488

8.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點(diǎn)0,有。河=xQA+1Q8+』OC,則x

33

【答案】-

3

【解析】已知0加=104+,。8+」。。且乂，A,B,C四點(diǎn)共面，

33

則x+,+'=l,解得x=0

333

三、解答題

9.已知平行四邊形A3CQ從平面AC外一點(diǎn)。引向量.6E=k(^A,OF=kOB1

OG=kOC,OH=kOD-求證：四點(diǎn)七，尸，G,“共面

—>—?史注

?OE=kOA,OF=kOB；OA4OB

EF//AB,且EF=|&|AB：

同理”G〃DC,S.HG=\k\DC,AB=DC-

：.EF//HG,且EF=HG；

...四邊形EFGH為平行四邊形;

四點(diǎn)E,F,G,”共面.

提升訓(xùn)練

一、多選題

1.如圖,在平行六面體ABCD-ABC。中，"為AC與的交點(diǎn)，若45=4,AD="胡=C,

則下列等式正確的是（）

A.BM=-—a+—h+c

22

B.A,M=-a+-b

i22

C.AM——ci4—b+c

22

D.AC]=a+b+c

【答案】ABCD

【分析】利用向量加法的三角形法則，平行四邊形法則即可求答案.

【詳解】BM=BB|+4M=A4,+g（AO-AB）=C+；（6-a）=-；a+；/7+c；,故A正確；

AM=gAR+44）=ga+g人，故B正確；

AM=AA,+A,M=c+^a+^b,故C正確；

AG=AB+BC+CCj=a+b+c

2.對空間任意一點(diǎn)。和不共線三點(diǎn)A,B,C,能得到尸，A,B,C四點(diǎn)共面的是（）

A.OP=OA+OB+OCB.OP=\oA+\oB+\oC

333

C.OP=^-OA+^-OB+^-OCD.OP=2OA-OB-OC

488

【答案】BC

【分析】方法一：根據(jù)向量共面定理可得存在唯一一組數(shù)MN,使得P4=xPB+yPC,可得

0P=——1—0A+—5—-0B+—-oc,根據(jù)選項(xiàng)依次列方程組求解可判斷.

x+y-1x+y-1x+y-1

方法二：根據(jù)共面定理的推論可得.

【詳解】方法-：若P，A,B,C四點(diǎn)共面，則存在唯一-組數(shù)x，y,使得PA=xP8+），PC,

則0A-0P=x（0B-0P）+y（0C-0P）,

整理可得8=——]—-OA+—^--OB+-^--OC,

x+y-1x+y-Ix+y-1

,--—=1

x+y-\

x

對A,若OP=OA+O8+OC，則,——7=1,方程組無解，不能得到「，A,B,C四點(diǎn)

x+y-l

x+y-1

共面，故A錯(cuò)誤；

1__]_

x+y-l-3

對B,若OP=1OA+1O3+1OC,x1

則------,解得x=-l,y=-l,符合，可以得到產(chǎn),

333x+y-\3

y_1

x+y-\3

A,B,C四點(diǎn)共面，故B正確:

-----1---=一3

x+y-14

311x111

X'jC,若OP=」OA+-OB+—OC,則——7=-,解得x=-：,y=-：,符合，可以得到

488x+y-1866

yi

x+y-l-8

P，A,B,C四點(diǎn)共面，故C正確;

-------5—=2

x+y-1

x

對D,^OP=2OA-OB-OC>則，---------7=-1,方程組無解，不能得到P,A,B,C四點(diǎn)

x+y-l

y=1

x+y-1

共面，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

方法二：根據(jù)共面定理的推論可得，若尸，A,B,C四點(diǎn)共面，

UlllUUUUUUUU

則對于空間中任意一點(diǎn)。，WOP=xOA+yOB+zOC＞且滿足x+y+z=l,

則由選項(xiàng)可得只有BC滿足.

3.給出下列命題，其中為假命題的是（）

A.若向量a,6,c是空間一組基底，則a-A,a+c,2c-3A也是空間的一組基底

B.已知"_1_平面a,機(jī)為直線/的一個(gè)方向向量，若〃_L/n、則直線/〃面a

C.若向量機(jī)垂直于向量。和6,向量〃=+且mHn

D.已知空間的三個(gè)不共面向量04,OB,OC,若2OO+OB=4OC.3OA，則A、B、C四點(diǎn)

共面

【答案】BCD

【分析】A項(xiàng)，結(jié)合定義可判斷正確；B項(xiàng)，直線/也可能在平面內(nèi)a；C項(xiàng)，mln；D項(xiàng)，

結(jié)合四點(diǎn)共線公式可判斷錯(cuò)誤

【詳解】對A,若向量a,瓦"是空間一組基底,則由，"。+，力,pb+qc,xa+yc,p,g,x,y/O）構(gòu)成

的向量均不共面，故a-6,a+c,2c-3匕也是空間的?組基底，A正確；

對B,當(dāng)直線/ua時(shí)，也滿足題設(shè)條件，則B錯(cuò)誤；

對C,若向量m垂直于向量&和6,向量〃=+eR）且,則，一定在由a,6向

量組成的平面內(nèi)，則，"_L〃，故C錯(cuò)誤；

對D,因?yàn)榭臻g的三個(gè)不共面向量OA,OB,OC,若滿足2O/）+O8=4OC-3OA，則

2OD=4OC-3OA-OB,2r4-3-1,故。、A、B、C四點(diǎn)不共面，D錯(cuò)誤，

4.有下列命題，其中真命題的有（）

A.若A8//CZ），則A,B,C,。四點(diǎn)共線

B.若A8//AC，則A，B,C三點(diǎn)共線

21

C.若。修為不共線的非零向量，a=4el--e2,b=-e,+—e2,^\aHb

D.若向量與勺多是三個(gè)不共面的向量，且滿足等式Z/q+/2與+公03=0,則M=無2=抬=0

【答案】BCD

【分析】由向量平行，結(jié)合各點(diǎn)的位置關(guān)系判斷A、B的正誤；利用平面向量共線的判定可判

斷C的正誤：應(yīng)用反證法，假設(shè)等量關(guān)系中系數(shù)不都為0,結(jié)合題設(shè)等量關(guān)系及向量共線的判

定即可知D的正誤.

【詳解】根據(jù)共線向量的定義，若ABUCD，則48//CD或4,B,C,/）四點(diǎn)共線，故A錯(cuò)；

由AB//AC且AB、AC有公共點(diǎn)A,故B正確；

21

由a=4q-54=-4（-q+而/）=-4力，所以a〃〃，故C正確，

若條件等量關(guān)系中系數(shù)不都為0,則為e；+七e；與不可能共線，顯然與題設(shè)矛盾，故D」E

確.

5.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）已知向量〃，h,c,則下列等式錯(cuò)誤的有（）

A.a+（匕+c）=（a+b）+cB.a-（匕-c）=（a-萬）+c

C.a-{b-c^=（a-b^-cD.a+b-c=a+c-b

【答案】CD

【分析】以正方體為載體，結(jié)合向量的加法與減法運(yùn)算，逐一驗(yàn)證即可求解

【詳解】在正方體4BCD-AB|CQ中，不妨令。=歷,〃=45,0=441，

時(shí)于A：a+(b+c^=AB+ADX=AC],[a+b^+c=AC+AAX=ACX,故A正確；

對于B：a-(b-c^=AB-^AD-AA^=AB-\D=\Bi-AxD=DB,,

[a-h)+c=(AB-AD)+AAt=DB+BBl=DBl,故B正確；

對于C：a—^b—c^=AB—^AD—AA^=AB—AID=—\D=DB],

(a—Z?)—c=(A8—AZ>)-AA]=DB—BB\=DB+B\B=D\By+=D^B,

DB產(chǎn)RB,故C錯(cuò)誤；

對于D：a+b-c=AB+AD-AAt=AC-AA]=A]C,

a+c-b=AB+AAl-AD=AB]-AD=DBl,ACr.B,故D錯(cuò)誤；

二、填空題

6.(2022.全國?高二課時(shí)練習(xí))在平行六面體ABCO-ABCR中，M為AC與83的交點(diǎn)，若

A,Bt=a,AR=b,=c,則gM=.(用a，b,c表示)

【答案】0+58-54

【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，利用向量的加法幾何意義表示出用月、BM，從而

得出4M.

【詳解】如圖所示，平行六面體ABCO-ABCQ"」，

M為AC與8。的交點(diǎn)，A4=。，g=b,4A=c，

BtB=A]A=c,

BM=lsD=l(BA+BC)=l(B,A+B,C1)=1(-Afi1+AOl)=^(-a+i)：

BtM=BtB+BM=c+^-a+b)=c+^b-^a.

7.正方體45CO-ABCR的棱長為1,p點(diǎn)滿足AP=gAB+；AO+A4,,則尸到AB的距離

為______

【答案】叵

2

【分析】根據(jù)題設(shè)向量的線性關(guān)系，結(jié)合正方體的性質(zhì)易知P為底面中心，進(jìn)而求P到AB的

距離即可.

【詳解】若。',。分別是上下底面中心，如下圖示，

AP=^AB+^AD+AAi=AO+AA,=AO',即O'與P為同一點(diǎn)，

P至!]AB的品巨離d=,O'O2+AO--^-=—,

V42

8.已知點(diǎn)M在平面A3C內(nèi)，。為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，若M4=-!OA+《AB+XOC,則

42

x=_______

【答案U

7171

【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到OM=;OA-：7OB-XOC,根據(jù)共面得到X=1,得到

4242

答案.

【詳解】山M4=-，OA+』A8+xOC,^MO+OA=~OA+-AO+-OB^xOC,

42422

71

即0M=-O4——OB-xOC.

42

711

因?yàn)辄c(diǎn)M在平面A3C內(nèi)，所以:一7-％=1,得工=了.

424

9.已知平面單位向量q,/滿足“?/=；,且a=%q+/，XER，b=2A,e1+(1-2)^2,若使

“1=1成立的正數(shù)4有且只有一個(gè)，則X的取值范圍為.

【答案】{2}

［分析］由向量的模的計(jì)算公式得乳2-3/lx+x27=0,再根據(jù)一元二次方程的根的判別式可

求得答案.

【詳解】解：a=xe1+e2,xeR,b=2A,e1+(1-Z)e2,

則|人一。|二卜2幾一%媽+(1-=1,所以一幾川=1,

所以(24—x)~—(2/1—x)A,+/i2=1,故3A2—3A,x4-x2—1=0.

由于使\b-a\=\成立的正數(shù)2有且只有一個(gè)，

故關(guān)于以義為未知數(shù)的一元二次方程有且只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，故△=9/-12(/-1)=0,

解得大=±2,當(dāng)工=一2時(shí)，4<0故舍去，則x=2.

故工的范圍是唯一一個(gè)實(shí)數(shù){2},

uum2uuur

10.如圖，四面體A5c。中，M、N分別是線段3C、AO的中點(diǎn)，已知AG=§AM,

(1)NM=L(NB+NC)；

2

(2)NM^DB+-AC；

2

(3)NG=；(NA+NB+NC)；

(4)存在實(shí)數(shù)x,y,使得NG=xO8+yOC.

則其中正確的結(jié)論是.(把你認(rèn)為是正確的所有結(jié)論的序號都填上).

【答案】(1)(3)

【分析】(1)由于M是線段8c的中點(diǎn)，可得MW=g(NB+NC)：

(2)取8的中點(diǎn)E,連接EN,EM.而NM=NE+EM=!AC+GDB,即可判斷出；

22

(3)利用NG=MW+MG，MG=^MA=^(NA-NM),及(1)即可得出；

uum2皿1r

(4)由于M、N分別是線段8C、AD的中點(diǎn)，AG=-AM,可得NG與平面D3C不平行,

得出不存在實(shí)數(shù)x,九使得NG=xO8+_yOC.

【詳解】解：(1)是線段BC的中點(diǎn)，.?.NM=g(NB+NC),正確；

(2)取的中點(diǎn)E，連接EN,EM.則MW=NE+EM=:AC+!O3,因此不正確；

22

(3)

NG=NM+MG=NM+；MA=NM+；(NA-NM)

<*\111

=fi'NB+NC)+^NA=31NB+NC+N2,因此正確；

uiim210T

(4)M、N分別是線段BC、A￡>的中點(diǎn)，AG=-AM,

NG與平面DBC不平行，

，不存在實(shí)數(shù)x,九使得NG=xOB+y￡>C.

綜上可得：只有(1)(3)正確.

11.如圖，已知正方體ABC。-A8cA的棱長為1,E,F,G分別是棱的中點(diǎn),

設(shè)M是該正方體表面上的一點(diǎn)，若EM=xEF+yEG(x,yeR),則點(diǎn)M的軌跡所形成的長度

是.

【答案】3亞

【分析】首先確定點(diǎn)M的軌跡，再求長度.

【詳解】EM=xEF+yEG(x,yeR),在平面EFG上，

取A",AB,CG的中點(diǎn)則點(diǎn)M的軌跡是正六邊形EHFPGN,軌跡長度是正六邊

形的周長，/=6EW=3&.

三、解答題

12.(2022?全國?高二)已知E,F,G,，分別是空間四邊形ABC。的邊A8,BC,CD,DA

的中點(diǎn).

⑴用向量法證明E,F,G,”四點(diǎn)共面;

⑵設(shè)M是EG和F"的交點(diǎn)’求證：對空間任一點(diǎn)。，有°**A+08+"+

【分析】（1）通過證明EG=+EF來證得E,F,G,"四點(diǎn)共面.

（2）利用空間向量運(yùn)算證得結(jié)論成立.

mEG=AG-AE=-（AD+AC\--AB=--AB+-AD+-AC.

2、'2222

EH+EF=-BD+-AC=-（AD-AB）+-AC=--AB+-AD+-AC,

222、>2222

所以EG=EH+EF，所以瓦￡G,”四點(diǎn)共面.

(2)^OA+OB+OC+OD)=^2OE+2OG)=^OE+OG)=^x2xOM=OM.

13.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))如圖，已知。，A,B,C,D,E,F,G,//為空間的

9個(gè)點(diǎn)，S.OE=kOA.OF=kOB，OH=kOD<AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.k#0,

"iwO.

⑴求證：A,B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,H四點(diǎn)共面；

⑵求證：平面ABCDH平面EFCH；

(3)求證：OG=kOC.

【分析】(1)利用空間向量共面定理即可求證；

(2)由空間向量線性運(yùn)算可得EG=/AC，由空間向量共線定理可證明AC//EG，再由線面平

行的判定定理可得反力/平面ABCD，同理可證明陽〃平面ABC￡>,由面面平行的判定定理即

可求證；

(3)由(2)知EG=ZAC，再利用空間向量的線性運(yùn)算即可求證.

(1)因?yàn)锳C=AO+，"AB，加*0,

所以AC，AD，AB共面，即A,B,C,。四點(diǎn)共面.

因?yàn)镋G=EH+mEF，mwO,

uuu

所以EG，EH>E月共面，即E，F(xiàn),G,”四點(diǎn)共面.

(2)連接///，BD-EG=EH+niEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+km《)B-OA)

—kAD+kmAB—k^AD+mAB^—kAC,所以AC//EG，

又因?yàn)镋G<z平面A8C￡>,ACu平面ABC。，所以EG〃平面A3CZ).

因?yàn)镕H=OH-OF=k(OD-OB)=kBD,所以FH//BD,

又EW.平面月8a>,平面A8CO,所以FH〃平面A8C￡),

因?yàn)镋G與777相交，所以平面ABCD〃平面EFG”.

(3)由(2)知EG=&4C，所以0G=0E+EG=k0A+kAC=M0A+AC)=A℃.

14.(2022.全國?高二)如圖，在空間四邊形43C。中，已知G為△88的重心，分

別為邊CD,AE)和BC的中點(diǎn)，化簡下列各式：

—1T1T

(1)AG+-B￡--AC；

⑵xb-回；

[f1]T

(3)-AB+-AC+-AZ).

【答案】(1)第7,(2)pjq,(3)AG

【分析】(1)根據(jù)向量共線，加法與減法運(yùn)算求解即可；

(2)根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則求解即可；

(3)根據(jù)§AB+§AC+§AQ=AB+§(AC-ABJ+31AQ-ABJ化簡求值即可.

(1)解：因?yàn)镚為△BCD的重心，E,F為邊CD,AO的中點(diǎn)，

T[T]T——1-1——2f1—1T

所以AG+-BE——AC=48+BG+-BE——AC=AB+-BE+-BE——AC

3232332

—>-?1->T1T—>—>->—>T

=A3+BE一一AC=AE一一AC=AE-FE=AE+EF=AF

22f

T1T1Tf

所以AG+-8E--AC=AF

32

(2)解：因?yàn)镋,尸，”分別為邊CD,AD和2C的中點(diǎn)，

所以/[AB+AC-A￡>J=512A//-AOJ=A”-2AQ=A〃-AF=F”

1]T]T1(Tfff)l'fT

(3)解:嚴(yán)+產(chǎn)產(chǎn)川…叫Afc叫+"AB

=AB+-\BC+BD=AB+-x2BE=AB+-BE=AB+BG=AG

J33

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

基礎(chǔ)練習(xí)

一、單選題

1.四邊形A8C3為矩形，SAJ_平面ABC。，連接AC,BD,SB,SC,SD,下列各組運(yùn)算中，

不一定為零的是（）

A.SCBDB.DASBC.SDABD.SACD

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，若空間非零向量的數(shù)量積為0,則這兩個(gè)向量必然互相垂直.據(jù)此依次分

析選項(xiàng)，判定所給的向量是否垂直，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A：若SC與BO垂直，又SA與8。垂直，則平面S4C與8。垂直，則AC與3。垂直，HAC

與不一定垂直矛盾，所以SC與不一定垂直，即向量SC、3。不一定垂直，則向量SC、

80的數(shù)量積不一定為0；

對于B：根據(jù)題意，有SAJ■平面則又由A￡）_L/W,則有A￡>_L平面S/S,

uuUU

進(jìn)而有AZ），S3,即向量ZM、SB一定垂直，則向量DA、S8的數(shù)量積一定為0;

對于C：根據(jù)題意，有SA_L平面ABCD,則S\_LA8,又由則有A8_L平面SA。，

進(jìn)而有AB_LSO,即向量SZ）、AB一定垂直，則向量S。、4B的數(shù)量積一定為0；

對于D：根據(jù)題意，有SAJ■平面ABCD,則購_LCD,即向量SA、CD一定垂直，則向量54、

CD的數(shù)量積?定為0.

2.己知均為空間單位向量，它們的夾角為60。，那么卜+34等于（）

A.41B.710C.V13D.4

【答案】C

【分析】結(jié)合向量夾角，先求解卜+3田，再求解『+34.

【詳解】卜+3母=J（a+3b）2=>/?+9b+6ab=V13?

3.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）在正方體AB8-A'8'C'D中，棱長為2,點(diǎn)M為棱上一

點(diǎn)，則BM的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】以。分別為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得AM,*,結(jié)合向

量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】如圖所示，以〃分別為x軸，y軸，z軸建立空間宜角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0),B(2,2,0),設(shè)M(0,0,a),

所以AM=(-2,0,a),BM=(-2,-2,a),

則AM?=(-2,0,a)?(-2,-2,a)=4+a?,

當(dāng)a=0時(shí)，AM,BM的最小值為4.

4.(2022?江蘇宿遷?高二期末)四面體ABQ)中，AB=AC=AD=2,ZBAD=90°,ABCD=-2,

則N8AC=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)镃￡>=AO-4C，ZBAD=90°,所以益.筋=0

所以AB.(AO-AC)==,

所以A8-AC=2，又AB=AC=2,所以4,4?=1@,卜4cosNBAC=2,

所以cosNBAC=；,因?yàn)镹84Ce(O,%),所以NBAC=60°；

uuu

5.(2022?全國?高二)兩個(gè)不同平面a,夕的法向量分別為非零向量4,為，兩條不同直線。，

6的方向向量分別為非零向量匕，V；,則下列敘述不正確的是()

A.a，尸的充要條件為"[?%=()

B.a_!_%的充要條件為匕?匕=0

C.a〃夕的充要條件為存在實(shí)數(shù)4使得％=/1%

D.a〃a的充要條件為匕=0

【答案】D

【分析】依據(jù)面面垂直的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項(xiàng)A；依據(jù)線線垂直的定義及向

量數(shù)量積的幾何意義判斷選項(xiàng)B；依據(jù)面面平行的定義及數(shù)乘向量的幾何意義判斷選項(xiàng)C；依

據(jù)線面平行的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項(xiàng)D.

【詳解】選項(xiàng)A：a7a_Ln20nl=0.判斷正確；

選項(xiàng)B：/_1_嗎=%=°?判斷正確；

選項(xiàng)C：a〃尸o,“/2o存在實(shí)數(shù)幾使得4=九坦.判斷正確；

選項(xiàng)D：若a〃a,則有匕?4=()；若丫「4=0,則有a〃a或“ua,

則a〃a是匕?n,=0的充分不必要條件.判斷錯(cuò)誤.

二、多選題

6.(2022?全國?高二)已知四面體ABC。中，AB,AC,A。兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，一

定成立的是()

A.\AB+AC+AD\=\AB+AC-AD]

B.\AB+AC+AD\'^AB\2+\AC^+\AD\2

C.(AB+AC+AD)BC=O

D.ABCD=ACBD=ADBC

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意在一個(gè)長方體內(nèi)部作出四面體48CZZ從圖形上把各個(gè)向量對應(yīng)的有向線段

表示出來，對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由題可知，可做如圖所示的長方體，設(shè)卜4=4卜4=可叫=5

AB+AC+AD=AE+AD=AE+EF=AF,|AF|=>Ja2+b2+c2,

AB+AC-AD=AE-AD=DE.\￡>E|=y]a2+h2+c2,故A正確；

+AC+AOr=|AF『=+〃+c2=卜8『+%c『+1A。『，故B正確;

；AD_L平面ACE8,AD±BC,ADBC=O^；

(AB+AC+AD)BC=[AE+AD)BC=AEBC,但無法判斷AE和BC是否垂直，故C不一定

正確；

由圖易知A8J_CD,AC_LBD,4OJ.BC,故A8CO=AC-8O=AZ>8C=。，故D正確.

7.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))設(shè)〃，b為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有

()

2II2cibh

AA.ci=kzBD.=一

11aaa

C."=abD.ya-bj=a—2ah+h

【答案】AD

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律一一判斷即可；

【詳解】解：對于A：a=a-a=|a|-|?|cos0=|?|,故A正確；

對于B：因?yàn)橄蛄坎荒茏龀ǎ礋o意義，故B錯(cuò)誤；

a

對于C：力)=|Wos(a,硝=忖14cos2(a,l)j,故C錯(cuò)誤;

對于D：(〃一匕)=(a-b^-^a-b^=a-2a-b+b,故D正確：

三、填空題

8.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))空間向量的數(shù)量積運(yùn)算符合向量加法的分配律，即

a[b+c\=.

【答案】a-b+a-c

【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算符合向量加法的分配律，可得a?e+c)="m+a-c.

9.已知空間向量〃與h滿足口=1,且a/=2,若a與人的夾角為?，則網(wǎng)=.

【答案】4

[分析】利用空間向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)椴穦=1,“與〃的夾角為(，

所以由=20MJ4cos。=2=1?忖-3=2=M=4,

故答案為：4

10.(2022?江蘇宿遷?高二期末)已知點(diǎn)A(-1,1,0)、8(1,3,2),與向量48不共線的向量。=*,%2)

在48上的投影向量為(1/，1)，請你給出a的一個(gè)坐標(biāo)為.

【答案】（1,2,0）（答案不唯一）

【分析】先求得向量無方的坐標(biāo)，再依據(jù)題給條件列方程去求向量?的坐標(biāo)即可解決.

【詳解】由點(diǎn)A（-l,l,0）、8（1,3,2）,可得A3=（2,2,2）,

又向量a=（x,y,z）在A8上的投影向量為0,在），

4?AB2x+2y+2z0cc、x+y+z℃、，…、

則?~A4Bn=刑-2”—2?（2,2,2）=---（2,2,2）=（1,1,1）

AB2+2+2o

則x+；+z=],又向量AS可向量a不共線，則楙竹，不成立

則可令x=l,y=2,z=0,即a=（l,2,0）,

11.（2022?四川省成都市新都一中高二期中（理））如圖，在平行六面體中，AB=2,AD=\,

M=4,NZMB=90。，NOAA=N8AA=60°,點(diǎn)M為棱eq的中點(diǎn)，則線段AM的長為

【分析】利用向量數(shù)量積求得向量4/的模，即可求得線段AM的長

【詳解】AM=AB+BC+CM=AB+AD+^AA]

22

則[AM]=AB+AO+gA4J=^AB+AD+^AA,+2AB-AD+ABAAX+ADAA}

=J22+12+-X42+2x2xlx0+2x4xl+lx4xl=715

V422

即線段AM的長為歷

12.（2022?全國?高二）已知空間四邊形ABC。的每條邊和對角線的長都等于1,點(diǎn)E,尸分

別是8C,的中點(diǎn)，則AECF的值為.

【答案】

【分析】如圖，在正三棱錐中，以BC,80,54為基底，AE=^BC-BA,CF=^BA+^BD-BC,

利用向量數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】

根據(jù)題意ABCD為正四面體，

BC,BQ,8A兩兩成60角，

所以AE=BE-8A=與。-BA,

2

CF=BF-BC=-BA+-BD-BC,

22

所以AE-CF=dBC-BAAdBA+l8O-8C)

222

四、解答題

13.如圖，在長方體ABC。-ABC。中.

(1)寫出直線4G的一個(gè)方向向量；

⑵寫出平面8CG4的一個(gè)法向量；

(3)寫出與A2，AC共面的兩個(gè)向量.

【答案】(1)AC，(2)AB，O'lADBD

【分析】

(1)(2)(3)根據(jù)直線方向向量、平面法向量、共面向量的定義可得.

(1)易知AC〃AG，所以向量AC為直線AG的一個(gè)方向向量.

(2)在長方體ABC。-446〃中，平面BCC4,所以是平面BCQg的一個(gè)法向量.

⑶山共面向量的定義可知A。,BO都是與AB，AC共面的向量.

14.(2022.全國?高二課時(shí)練習(xí))已知三個(gè)平面兩兩垂直且交于點(diǎn)O,若空間一點(diǎn)P到三個(gè)平

面的距離分別為2,3,6,則線段OP的長度為多少？

【答案】7

【分析】利用向量表達(dá)出OP=OA+OB+OC，求出。戶的平方，進(jìn)而求出線段。尸的長度.

【詳解】構(gòu)造以。P為對角線的長方體，

則OP=OA+O8+OC，且OA,OB,OC兩兩垂直，且煙=2,煙=6,故

|OP|2=\pA+OB+OC『=|OA|2+阿『+-4+9+36=49,所以O(shè)P=7.

15.(2022.全國?高二課時(shí)練習(xí))已知“力是空間向量，根據(jù)下列各條件分別求〈”,6〉：

(l)a-b=-\a\\b\；

(2)\a\=\b\=\a-b\；

(3)\a\=\b\=\a+b\；

(4)\a+b\=\a-b\.

【答案】(1)(。,力=兀，(2)(a,力=17T,(3)<4,加=2甘7r，(4)〈。/〉=1jr

【分析】(1)利用空面向量的余弦夾角公式進(jìn)行求解；(2)根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算

出COS〈“,6〉=；,進(jìn)而求出夾角；(3)根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算出cos<4,力=-],進(jìn)而

求出夾角；(4)根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算出“/=0,得到夾角.

(1)cos<a,b)=ab-e[0,7r],故〈0,/?)=兀

⑷向

(2)因?yàn)閨a|=|b|=|a-b|,所以Ia-6「=-2加陣0$〈?；?，故cos〈a,Z?)=J‘因?yàn)?/p>

〈4,6〉w[(),兀],所以〈“力〉=1

（3）因?yàn)閨a|=|b|=|a+〃，所以|“+邸=q+2加陣。式“力〉+|6『，故cos〈a/〉=-g,因?yàn)?/p>

27r

〈4,6〉e[（）,兀],所以〈a,力=—

⑷|a+6|=|a-6|,兩邊平方得：忖+24-%+忖="—2a?匕+神,故a./?=0，故a_Lb,因?yàn)?/p>

（?,Z?）e[0,7r],所以〈〃,份=]

提升訓(xùn)練

一、單選題

1.（2022.江蘇徐州.高二期中）如圖，在三棱錐P-ABC中，AP,48,AC兩兩垂直，

AP=2,A8=4C=1,"為PC的中點(diǎn)，貝IJACBM的值為（）

p

A.1B.—C.—D.~

342

【答案】D

一1一I--,

【分析】先將轉(zhuǎn)化為BA+jAP+^AC,再按照數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算ACBM即可?

【詳解】由題意得BM=a4+AM=a4+』（AP+AC）=8A+1AP+」AC,故

2、>22

ACBM=AC\BA+-AP+-AC\=ACBA+AC-AP+AC-AC=-\AC[]=-.

I22J222l?2

2.正四面體A—BCD的棱長為4,空間中的動點(diǎn)尸滿足|尸8+尸牛2近，則APPZ）的取值范

圍為（）

A.[4-2后4+2司B.[0,3&]

C.[4-372,4-72]D.[-14,2]

【答案】D

【分析】分別取8C,AD的中點(diǎn)E,F,由題意可得點(diǎn)P的軌跡是以E為球心，以及為半徑的

球面，乂AP.PO=4-附;再求出同的最值即可求解

【詳解】分別取BC,AO的中點(diǎn)E,F,貝1“尸8+尸4=|22q=20,

所以|P4=0,

故點(diǎn)P的軌跡是以E為球心，以及為半徑的球面,

A/,PD=-(PF+E4)-(PF+F￡>)=-(/,/;,+E4)-(/,F-E4)=|FA|2-|PF|2=4-|PF|2,

又ED=4DC'-CE1=V16-4