2023屆高三年級(jí)下冊(cè)第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.已知集合A={x|—2<x<l},5={x|x>0},則AD6=(

A.(—2,0)B.(0,1)C.(-2,+co)D.(0,+co)

2.若復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=3+4i,則z的虛部為()

222

A.-iB.——iC.-

555

3.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)的是()

A.y=inxB.y=tanxC.y=x|x|D.y=e"+e

4.已知等差數(shù)列{?}滿足4-2=2,則公差d=()

A.-1B.1C.-2D.2

5.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,且與直線2x-y+l=0垂直，則直線/的一般式方程為（）

A.x+2y—4=0B.x+2y=0C.2x—y-3=0D.4x—y=0

6.己知函數(shù)〃x）=sin（2x+e"<e<m，若把f（x）的圖像向左平移展個(gè)單位后為

偶函數(shù)，則。=（）

7.已知圓的方程/+/=25,過M（T,3）作直線與圓交于點(diǎn)AB,且

關(guān)于直線>=3對(duì)稱，則直線的斜率等于（）

435

A.—B.—C.—D.—2

344

8.等差數(shù)列｛4｝的公差為&前〃項(xiàng)和為S“，設(shè)p:d<0；q：｛S.｝是遞減數(shù)列，則0

是q的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知不等式孫Wa/+2y2,若對(duì)于任意的xe[1,2]且ye[2,3]該不等式恒成立，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（)

一1

A.-,+°oB.[-l,+oo)C.[-6,+oo)D.[-15,+oo)

10.設(shè)袋中裝有編號(hào)從0到9的10個(gè)球，隨機(jī)從中抽取5個(gè)球，然后排成一行，構(gòu)成

的數(shù)（0在首位時(shí)看成4位數(shù)）能被396整除的概率是（）

A.B.C.D.

240280315360

二、填空題

11.若卜+子：的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為30,則常數(shù)。的值為.

丫2

12.已知雙曲線］-丁=1(。＞0)的漸近線與圓d+y2-4y+3=0相切，貝=

13.在數(shù)列｛見｝中，S“是其前〃項(xiàng)和，且S,=2%+1,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為=

14.已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則APAB的取值范圍是

15.在正方體ABC。-A耳C［D］中，

①BD平面CBR②直線AD與M所成角的大小為60。

③441，8。④平面\BCX//平面ACD｝

請(qǐng)把所有正確命題的序號(hào)填在橫線上_______.

三、解答題

27r

16.如圖，在-ABC中，ZA=y,AC=拒,8平分/ACB交A2于點(diǎn)。，CD=6.

⑴求的值；

(2)求△3CD的面積.

17.如圖所示，在多面體ABQQCBA中，四邊形ADDX\,ABCD均為邊長(zhǎng)

為2的正方形，E為42的中點(diǎn)，過A，2￡的平面交C。于點(diǎn)尸.

(1)證明：EF//BtC.

(2)求平面BtDF與平面ABC。成角的余弦值.

(3)直接寫出三棱錐C-DEF的體積.

18.某大型企業(yè)為鼓勵(lì)員工利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行營(yíng)銷，準(zhǔn)備為員工辦理手機(jī)流量套餐.為了解

員工手機(jī)流量使用情況，通過抽樣，得到100位員工每人手機(jī)月平均使用流量L(單位:

(II)從該企業(yè)的100位員工中隨機(jī)抽取1人，求手機(jī)月平均使用流量不超過900M的概

率；

(III)據(jù)了解，某網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營(yíng)商推出兩款流量套餐，詳情如下:

套餐名稱月套餐費(fèi)(單位：元)月套餐流量(單位：M)

A20700

B301000

流量套餐的規(guī)則是：每月1日收取套餐費(fèi).如果手機(jī)實(shí)際使用流量超出套餐流量，則需

要購買流量疊加包，每一個(gè)疊加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次購買，如

果當(dāng)月流量有剩余，將會(huì)被清零.該企業(yè)準(zhǔn)備訂購其中一款流量套餐，每月為員工支付

套餐費(fèi)，以及購買流量疊加包所需月費(fèi)用.若以平均費(fèi)用為決策依據(jù)，該企業(yè)訂購哪一

款套餐更經(jīng)濟(jì)？

22

19.已知橢圓C:\+2=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳,月,山局=2,連接橢圓C的

四個(gè)頂點(diǎn)所成的四邊形的周長(zhǎng)為4近.

(1)求橢圓C的方程和離心率；

(2)已知過點(diǎn)工的直線乙與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)F2且與直線6垂直的直線4與橢圓

交”,N兩點(diǎn),求\P周Q\+端\M的N\值.

Inx

20.已知函數(shù)/(尤)=--^>0).

ax

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(x)Wx-1對(duì)xe(0,內(nèi))恒成立，求a的取值范圍；

a

(3)若/In%+%Jn%2=。(七W9)，證明：玉十%>2.

21.已知｛q｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前〃項(xiàng)的最大值記為4,第〃項(xiàng)之后

B

各項(xiàng)?！?1，。〃+2，L的最小值記為紇，%=優(yōu).

⑴若｛%｝為2,1,4,3,2,1,4,3,L,是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意“cN*,

Q〃+4—a”),寫出分,%,%，%的值.

(2)設(shè)4是正整數(shù)，證明：必=4(〃=1,2,3,)的充分必要條件為｛%｝是公比為q的等比

數(shù)列.

(3)證明：若％=2,縱=；(篦=1,2,3,.),則｛q｝的項(xiàng)只能是1或者2,且有無窮多項(xiàng)為

1.

參考答案：

1.C

【分析】由并集的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)榧螦=｛%[-=

所以AD3=(-2,+oo).

故選：C.

2.D

【分析】化簡(jiǎn)方程求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義確定其虛部.

【詳解】因?yàn)?l+2i)z=3+4i,

3+4i(3+4i)(l-2i)ll-2i112.

所以z=l+2i=(l+2i)(l-2i)=5=二一丁'

2

所以復(fù)數(shù)z的虛部為-(，

故選：D.

3.C

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可知y=InX是非奇非偶函數(shù)，函數(shù)y=e”+eT是偶函數(shù),

可判斷AD錯(cuò)誤；只在一個(gè)周期內(nèi)單調(diào)遞增，所以D錯(cuò)誤，易得y=為奇

函數(shù)，且在區(qū)間(。,+8)上是增函數(shù).

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)奇函數(shù)定義可知y=ln無不是奇函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,易知y=tanx圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)，但其在區(qū)間(0,+8)上不是增函數(shù)，

即B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,函數(shù)y=是奇函數(shù)，且時(shí)，y=x|x|=x2是增函數(shù)，所以C正

確；

對(duì)于D,易知y=e，+e-'為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：C

4.B

【分析】由等差數(shù)列的基本量法求解.

【詳解】因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，所以必-。4=2〃=2,d=l,

故選：B.

5.A

試卷第5頁，共20頁

【分析】利用直線與直線垂直得出斜率，再由點(diǎn)斜式方程化為一般方程即可.

【詳解】解：因?yàn)橹本€/與直線2尤-y+l=O垂直

所以直線/的斜率上滿足：kx2=-l

即左=」

2

又直線/經(jīng)過點(diǎn)(2,1),由直線方程的點(diǎn)斜式得

即x+2y-4=0

故選：A.

6.D

【分析】根據(jù)左右平移原則可得g(x)解析式，根據(jù)奇偶性可得g+e=g+(笈ez),

結(jié)合夕的范圍可求得結(jié)果.

【詳解】由題意得：g(x)=/1x+])=sin[2x+5+e]

g(x)為偶函數(shù)，+0=9+%乃(左eZ),解得：e=g+氏萬(左eZ).

故選：D.

7.A

【分析】直線Ml、MB關(guān)于直線'=3對(duì)稱，故兩直線斜率互為相反數(shù)，所以假設(shè)直線

方程為：y-3=k(x+4),與圓進(jìn)行聯(lián)立可得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得到5點(diǎn)坐標(biāo)，即得到

答案

【詳解】解：設(shè)4%,%)，8(%,%)，易得M(T,3)在圓f+V=25上,

因?yàn)橹本€M4、MB關(guān)于直線＞=3對(duì)稱，故兩直線斜率互為相反數(shù)，

設(shè)直線”4方程的斜率為屋則直線MB斜率為-左，

所以直線方程為：,-3=左(％+4),

(y-3=k(x+4)

整理得：(1+k2)x2+(8〃+6k)x+16左2+24左一16=0,

[x+y?=25

所以：X「4=_8；：；￥,

22

m-4k-6k+4-3k+8k+3

試卷第6頁，共20頁

-4/-6A+4-3/2+8/+3)'-4左2+6左+4-342-8左+3)

所以A同理B

i+k2-，1+P)、1+P-'-1+P-)

-3左2+8后+3-3k2-8k+3

1+左2-1+公16k4

所以左鉆=

-4k2-6k+4-4k2+6k+4-12k3

1+P1+k2

故選：A

8.D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和以及單調(diào)數(shù)列的定義分析判斷.

【詳解】充分性：若4<0,貝2”-5.=%,此時(shí)無法判斷。用的正負(fù),

例如d=T，G=4,則%=4_(〃_1)=5_〃，即凡+]=5_(〃+1)=4_”,

可知當(dāng)"W3時(shí)，an+1>0；當(dāng)〃=4時(shí)，”,用=0；當(dāng)〃25時(shí)，??+1<0；

故d<0無法得出｛S“｝是遞減數(shù)列，充分性不成立；

必要性：若母｝是遞減數(shù)列，則S“「S”=.<0,

反證：假設(shè)d>。，則4+1=%+"」，

當(dāng)”》—^且“eN*時(shí)，%+]=%+nd>q—dx—=0,

dd

這與對(duì)V〃￡N*,〃用<0相矛盾，故假設(shè)不成立；

例如〃=0,%=-1,則〃〃+1=-1＜。，即d=O成立;

例如d=—l<0,4=0,則%=0-n=-n<0,即d<0成立；

故S〃+1-S〃=4+]<0,此時(shí)dW。，不能推出d<0,必要性不成立；

綜上所述：夕是。的既不充分也不必要條件.

故選：D.

9.B

【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為心乜/-力+:，令”工得到+:在[1,3]上

x48x48

恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題意得，當(dāng)xe[L2]且ye[2,3]時(shí)，不等式孫M混+2V,

即為=2—2-(馬2=一2.(上一

xxxx48

令/因?yàn)椋口,2]且y￡[2,3],可得1WW3,

x

試卷第7頁，共20頁

所以。NK-Ly+J.在口,3］上恒成立，

48

令Z=_2.?_；）2+（

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)"1時(shí)，z取得最大值,最大值為zmax=—2?（1-方+!=T，

48

所以。2-1,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：B.

10.C

【分析】設(shè)所求數(shù)的形式為茄嬴，根據(jù)同余可判斷出（a+c+e/+d）=（9,9）,（19,8）,

再通過列舉法可求滿足條件的數(shù)的個(gè)數(shù)，從而可求概率.

【詳解】所有可能的取法有A：0=30240種，因此問題即能被396整除的個(gè)數(shù).

各選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為：囚126,回108,回96,同84.

由于396=4x9x11,因此能被396整除的數(shù)嬴語的各位數(shù)字之和

S=a+b+c+d+e=0（mod9）,

于是S=18或S=27,且有T=ct—b+c—d+e=0（mod11）,

因此（a+c+e乃+d）=（9,9）,（19,8）.

情形一（a+c+e,Z?+d）=（9,9）.有

（b,d）e（a,c）

（0,9）2（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3）

（0,9）6（1,2）,（2,1）

。，8）0（2,7）,（7,2）,（3,6）,（6,3）,（4,5）,（5,4）

（1，8）4（0,5）,（5.0）,（2,3）,（3,2）

（2,7）6（0,3）,（3,0）

（3,6）0（1,8）,（8,1）,（2,7）,（7,2）,（4,5）,（5,4）

。，6）4（0,5）,（5,0）

（3,6）8（0,1）,（1,0）

試卷第8頁，共20頁

（4,5）2（0,7）,（7,0）,（1,6）,（6,1）

（4,5）6（0,3）,（3,0）,（1,2）,（2,1）

（5,4）0（1,8）,（8,1）,（2,7）,（7,2）,（3,6）,（6,3）

（%）8（0,1）,（1,0）

（22（0,7）,（7,0）

億2）0（1,8）,（8,1）,（3,6）,（6,3）,（4,5）,（5,4）

億2）4（0,5）,（5,0）

。，2）8（0,1）,（1,0）

（8」）2（0,7）,（7,0）,（3,4）,（4,3）

（8」）6（0,3）,（3,0）

（9,0）4（2,3）,（3,2）

共64個(gè).

情形二形+c+e,6+d）=（19,8）.有

（b,d）e（＜2,C）

（0,8）4（6,9）,（9,6）

。，7）6（4⑼,（9,4）,（5,8）,（8,5）

（2，可4（7,8）,（8,7）

。，6）8（4,7）,（7,4）

。，5）2（8,9）,（9,8）

試卷第9頁，共20頁

。，5）6（4⑼，（9,4）

（5,3）2（8,9）,（9,8）

（5,3）6（4,9）,（9,4）,（5,8）,（8,5）

（6,2）4（5,9）,（9,5）

（6,2）8（4,7）,（7,4）

（7」）2（8,9）,（9,8）

（71）6（4,9）,（9,4）,（5,8）,（8,5）

（8,0）4（6,9）,（9,6）

共32個(gè).

64+321

綜上所述，所求概率為

30240315

故選：C.

11.±^2

【分析】先求出展開式的通項(xiàng)，令1的指數(shù)位置等于0得左的值即可求出常數(shù)項(xiàng)，令常

數(shù)項(xiàng)等于30,解方程即可求解.

【詳解】展開式的通項(xiàng)為幾I,

令6—3左=0,可得左=2,

所以常數(shù)項(xiàng)為4=或1%。=15/=30,

解得：a=±^2，

故答案為：土6?

12.巫林工百

33

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用圓心到漸近線的距離等于圓的半徑可求得。的

值.

【詳解】由爐+丁-4>+3=0得爐+（k2）2=1,所以圓心為（0,2）,半徑為1,

試卷第10頁，共20頁

雙曲線\-y2=i（a>0）的漸近線方程為>=±5,即彳±世=0,

因?yàn)殡p曲線，■-y2=ig>0）的漸近線與圓一+必一43，+3=0相切，

所以擔(dān)十=1,化簡(jiǎn)得3a2=1,解得“=走或。=_也（舍去）.

V1W33

故答案為：B.

3

13.an=—2"T,"eN*.

【分析】利用%=二c、.，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【詳解】當(dāng)”=1時(shí)，S]=4=2q+1,解得：=-1,

令〃=2時(shí)，S2=1a2+1,即％+a2=2a2+1,解得：a2=ax—l=-2,

當(dāng)〃上2時(shí)，a.=S?-S?_1=2an41-2??,-1=2an-2an_l,

故4=2%,

所以九22時(shí)，｛%｝為公比為2的等比數(shù)列，

n2n2

所以%=a2q-=-2x2-=一，

顯然〃=1時(shí)，6=-1滿足見=-2"1,

綜上：a?=-2"-1,n>l.

故答案為：=-2"-，〃eN*.

14.（-2,6）

【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形，利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義判斷求解即可.

【詳解】畫出圖形如圖，

AP-AB=|AP||AB|cos<AP,AB>,

它的幾何意義是AB的長(zhǎng)度與AP在AB向量的投影的乘積，

由圖可知，P在C處時(shí)，取得最大值，]AC|cosNC4B=|AB|+；|AB|=3,

此時(shí)，可得".48=|4尸||48|郎<4尸,48>=2*3=6,即最大值為6,

在尸處取得最小值，止匕時(shí)APAB=|AHk,cos（AP,AB〉=2x2x]-g]=-2,

最小值為-2,

因?yàn)镻是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCD跳'內(nèi)的一點(diǎn)，取不到臨界值，

試卷第11頁，共20頁

所以APA3的取值范圍是(-2,6).

故答案為：(-2,6).

【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的幾何意義及其應(yīng)用，考查了向量在幾何中的應(yīng)用，同

時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是中檔題.

15.①③④

【分析】利用線面平行的判定定理判斷①；由異面直線所成角判斷②；由線面垂直的性

質(zhì)判斷③；由面面平行的判定定理判斷④.

【詳解】對(duì)于①，如下圖所示，由于BB「DDi=BB1,則四邊形為平行四

邊形，則24尸8。

。由u面〃旦。，u面〃旦C,所以8。■平面CBR,故①正確；

對(duì)于②，由于AZ)〃3C,則直線段與C4所成角為/用CB=45。，故②錯(cuò)誤;

對(duì)于③，面A8CD,BDu面ABCD,則A4,，3。，故③正確；

對(duì)于④，在正方體中，MCC1,A41=CC1,則四邊形A41GC為平行四邊形

所以AGAC，AG<Z平面ACR,ACu平面ACQ,所以AG〃平面AC2

同理48平面ACQ,AGcAB=A，AG，ABu平面ABG

所以平面ABC〃平面ACR,故④正確；

故答案為：①③④

試卷第12頁，共20頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用判定定理證明線面平行，面面平行，利用線面垂直的性質(zhì)

證明線線垂直，異面直線所成角，屬于中檔題.

16.(l)y

4

⑵3(g)

4

【分析】（1）在△ADC中，利用正弦定理即可得解;

（2）由（1）可求出〃8="8=兀-與-+聯(lián),再根據(jù)8平分—AC3可得/BC為

等腰三角形，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.

ACCD

【詳解】（1）在△ADC中，由正弦定理得

sinZ.ADCsinNA'

?里

所以.ACsinNA"Hi石母

771sinZADC=--------=----h12-=——

CD62

jr

因?yàn)?</AOC<1,

IT

所以NAOC=：；

4

(2)由(1)得ZACD=ZBCD=兀一告一：=三，

由題設(shè)，NB=ZACB=!即ABC為等腰三角形,

6

所以BC=2xACxcosP=",

6

V3V210V6-V2

-------X--------—X-------=--------------------

22224

所以MM的面積3辰瓜哈=*.

17.（1）證明見解析

⑵變

2

試卷第13頁，共20頁

1

3

【分析】(1)易證得AQ//B。，由線面平行判定知〃平面尸E,根據(jù)線面平行性

質(zhì)可證得結(jié)論；

(2)連接且4B]CA[B=。，可證得AO〃FD,知尸,用四點(diǎn)共面，結(jié)合

二面角平面角定義可知所求面面角為由長(zhǎng)度關(guān)系可求得結(jié)果；

(3)利用體積橋匕“防結(jié)合棱錐體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】(1)\BJIABIICD,A4=AB=CD,二.四邊形從耳⑦為平行四邊形，旦C,

又AOu平面AOPE,與Ccz平面AOFE,.?.耳C〃平面AQPE,

B|Cu平面4c。，平面B]CDI平面4。尸￡=￡尸，.1EFy/BiC.

(2)連接A4，A|B,且AB]CaB=。，連接尸。，

4不________________D,

BC

四邊形A41AB為正方形，為AB中點(diǎn)；

由(1)知：EFHB.C,又E為BQ中點(diǎn)，.一為3中點(diǎn)，

\DJIADIIBC,AiDl=AD=BC,.,.四邊形4BCR為平行四邊形，

:.OFUA\D\HAD,OF==AD,二四邊形MM為平行四邊形，AO//ED,

A,尸,用四點(diǎn)共面，；.平面耳。尸c平面ABCD=AD；

四邊形ABCRAORA為正方形，AD±DDl；

又CDDD、=D,CO,D。u平面CD。],AD，平面CD。],

又"'u平面:.AD±DF,

ZFDC即為平面B.DF與平面ABCD成角，

試卷第14頁，共20頁

CD=DD[=2,CD[=AB=2C，；CDLDDi，,

cos/DC=乎，即平面B\DF與平面ABC。成角的余弦值為日.

(3)E為BQ中點(diǎn)，，點(diǎn)￡到平面CD%的距離d為點(diǎn)4到平面CD"距離的一半，

又點(diǎn)用到平面CD"距離等于點(diǎn)A到平面CDDi的距離AD=2,

..?點(diǎn)E到平面C°A的距離d=l,又SCDF=；SCDR=；x2x2=l,

一^C-DEF=^E-CDF=§CDF=^'

18.(I)a=0.0022；(II)0.9；(III)訂購A套餐更經(jīng)濟(jì)

【分析】(I)根據(jù)頻率和為1構(gòu)造方程可求得結(jié)果；(II)利用1減掉超過月平均使用流

量超過900M的概率即可得到結(jié)果；(III)確定選擇兩種套餐可能的費(fèi)用，計(jì)算平均費(fèi)

用，根據(jù)平均費(fèi)用的大小可確定訂購A套餐更經(jīng)濟(jì).

【詳解】(I)由題意知：(0.0008+a+0.0025+0.0035+0.0008+0.0002)x100-1

解得：a=0.0022

(II)月平均使用流量不超過900”的概率為：1—(0.0008+0.0002)x100=0.9

(III)若該企業(yè)選擇A套餐，貝1100位員工每人所需費(fèi)用可能為20,30,40元

每月使用流量的平均費(fèi)用為：20x(0.08+0.22)+30x(0.25+0.35)+40x(0.08+0.02)=28

若該企業(yè)選擇B套餐，則100位員工每人所需費(fèi)用可能為30,40元

每月使用流量的平均費(fèi)用為：30x(0.08+0.22+0.25+0.35+0.08)+40x0.02=30.2

該企業(yè)訂購A套餐更經(jīng)濟(jì)

【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，涉及補(bǔ)全頻率分布直方圖、利用頻率分

布直方圖計(jì)算概率、利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)的問題.

19.⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：土+匕=1,離心率：

432

⑵工

12

【分析】(1)根據(jù)橢圓的焦距和橢圓的頂點(diǎn)四邊形位置、數(shù)量關(guān)系結(jié)合b,c關(guān)系即

可求解；

(2)設(shè)而不求，假設(shè)直線方程后與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式整理即可得解.

【詳解】(1)根據(jù)題意2c=2,

所以C=1,

試卷第15頁，共20頁

橢圓頂點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)為：4〃，+廿=46，

所以。2+〃=7,

又因?yàn)?+/_1=7,

所以〃=4,b2=3,

22

故橢圓方程為：工+匕=1,

43

c1

橢圓離心率為e=—=G.

a2

(2)①當(dāng)直線制斜率不存在時(shí)，

2A2

/&/=一,\MN/=2a,

a

?\PQ\+\MN\11al7

17\PQ\-\MN\\PQ\\MN\2b22a12'

②當(dāng)直線尸0斜率為。時(shí)，

lPQl=2a,\MN/=—,

a

\P^+\MN\111a7

此丁\PQ\\MN\2a2b212'

③當(dāng)直線尸0斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線尸0:y=Mx+l)，直線■y=-：(xT)

22

(xy1

聯(lián)立43'

y=左(％+1)

所以3/+4伏(x+l)y=12,

所以(3+4%2得+8j:+4/-12=0,

8k24k2-12

所以玉+x?=—

玉工2

3+413+4k2

PQ—yjl+k~?J(藥+x,)2-4無］/

k8公

4k2-12

=Jl+公

獷3+4公3+4/

=12(374^j

試卷第16頁，共20頁

k?,|_1

同理可得，MN=12J—.

3后2+4

\PQ\+\MN\113+4產(chǎn)3—+41甘+77（公+1）7

止時(shí)|尸2HMN|一西一|M?V|-12Gt2+1）+12（左2+1）-12（左2+1）-12（左2+1）-.

綜上所述IP,2逮|+置|MN的|值為運(yùn)7

20.(1)%e(O,e)時(shí)單調(diào)遞增，xe(e,+co)時(shí)，單調(diào)遞減;

(2)a>l；

(3)證明見解析.

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；

(2)運(yùn)用參數(shù)分離的方法，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算函數(shù)最大值即可；

(3)作圖，根據(jù)函數(shù)圖像確定占，尤2的范圍，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明.

【詳解】(1)/(x)=。匕引，顯然有/(e)=O,當(dāng)x?O,e)時(shí)，/(x)>0,單

調(diào)遞增，

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，/(x)<0,單調(diào)遞減；

“，.Inx1/口、x+lnx

(2)由---x得：ax2—9x—Inx>0，---\—,

axax

令83=,則有g(shù)'(x)=fnx+l,令左(x)=_x_2inx+l,

顯然％(x)是減函數(shù)，左。)=0，,當(dāng)xe(O,l)時(shí)，4(力>0,g(無)單調(diào)遞增,

xe(l,+oo)時(shí)，)(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

g（x）max=g6=l,a的取值范圍是

由(1)的結(jié)論作函數(shù)圖像如下:

試卷第17頁，共20頁

對(duì)于占1119+%山玉=。，得---L=-1,不妨設(shè)々>可，則有—/(公”〃％),

由圖可知當(dāng)0<"x)<!時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量有2個(gè)值多,巧，其中鼻>e,l<%<e,

e

要證明%+%>2,只需須取九2,當(dāng)中較小的數(shù)巧即可，

0<f(x)<—,/.—,玉￡(0,1),2—再￡(1,2),

2ee

要證明占+%>2,只需證明無2>2-再，在xe(O,e)時(shí)，〃無)單調(diào)遞增，

???只需證明/&)>〃2-占)，/(x2)=-/(^)，；.只需證明—〃玉)>/(2-不),

即/(百)+/(2-%)<0,構(gòu)造函數(shù)p(x)=8+4X(xe(O,l)),

x2—x

./、1-Inx-l+ln(2-x)In2-x)-(2-x)lnx+4(l-x)

P⑴=X2+(2-X)2=.(2_域，

xe(0,1),2—xe(1,2),x2In(2—%)>0,—(2—尤In無>0,4(1—x)>0,

P(x)>0,p(x)是增函數(shù),又p(l)=0,；.當(dāng)xe(O,l)時(shí),p(x)<0,

即〃為)+〃2-占)<0,命題得證；

綜上，(1)當(dāng)xe(O,e)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)xw(e,~H?)時(shí)，單調(diào)遞減；(2)a>l.

【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)是第三問，根據(jù)函數(shù)的圖像確定々和々的范圍，再將原問題轉(zhuǎn)

化為函數(shù)的單調(diào)性問題.

21.(1)%=%=,,0=%=4；

(2)見解析；

(3)見解析.

【分析】(1)根據(jù)已知給出的或的定義，直接求出名,%,生，心的值.

(2)分別證明充分性和必要性.充分性：由條件｛%｝是公比為4的等比數(shù)列且4為正整

B

數(shù)，推導(dǎo)結(jié)論4“=黃=4;必要性：由結(jié)論推導(dǎo)條件.

(3)本問采用反證法，假設(shè)｛4｝(〃之2)中存在大于2的項(xiàng)，推導(dǎo)出矛盾.即可得到假

設(shè)不成立，故｛q｝中沒有大于2的項(xiàng)，又由于｛%｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，故｛4｝

中只可能是1和2.然后再進(jìn)一步證明數(shù)列中存在無窮多個(gè)1.

(1)

試卷第18頁，共20頁

由題知，在｛見｝中，

用=員=2=線=1,

4=4=2,4=4=4,

?.?%—_%—_1萬，%一%—_1“

(2)

證明：充分性：???｛%｝是公比為q的等比數(shù)列且q為正整數(shù),

a1<a2<<an,

4=%,紇=an+\,

B

Qn~~T~=9,(n=l,2,3-).

4

必要性：(?=1,2,3),

紇女，

又「4WAtB”4%，

??an—an+l，

A>=%,￡=4+i,

:.q?=—=^r-=q,

%A,

｛4｝為公比為q的等比數(shù)列.

(3)

6=2,qn=—(n=1,2,3),

A=%=2,By——1,

工對(duì)任意」之1,an>B[=\,

假設(shè)｛風(fēng)｝(〃22)中存在大于2的項(xiàng)，

設(shè)優(yōu)為滿足勺>2的最小正整數(shù)，

則加N2,對(duì)任意1(人<加，歿工2,

又,.?。1=2，.?.4T=2且4=5>2，

*,?紇I=\iQrn=2x1=2,

試卷第19頁，共20頁

紇T=mina,“，紇,22,

Bi

故心T=70?2+2=1與/T=J矛盾，

An-12

.,.對(duì)于任意〃z1,有S2,

即非負(fù)整數(shù)列{4}各項(xiàng)只能為1或2,

下面用反證法證明{為}的項(xiàng)中，有無窮多項(xiàng)為1,

假設(shè)《是最后一個(gè)1,則做的后邊的各項(xiàng)的最值都等于2,

所以〃=&一線=2-2=。，矛盾，

所以數(shù)列{%}的項(xiàng)中，有無窮多項(xiàng)為1,

綜上，{%}的項(xiàng)只能是1或者2,且有無窮多項(xiàng)為1.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的新定義，考查充要條件的證明，考查等比數(shù)列的

B

證明，考查反證法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解呢=半的定義，考查理解能力和計(jì)

算能力，屬于難題.

2022-2023學(xué)年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：

一、單選題

1.已知集合4={—2,-1,0,2},3={刀呢<2},則AB=()

A.{—1}B.{-1,0}C.{—2,—1,0}D.{-2,—1,0,2}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(2-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(-1,2)C.(2,1)D.(2,-D

3.設(shè)。，"c為非零實(shí)數(shù)，且“>b>c,則()

,,111

A.a-b>b—cB.—<—<—

abc

C.a+b>2cD.以上三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)

4.已知r,A為兩條不同的直線，a,￡為兩個(gè)不同的平面，且貝是

alip的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

試卷第20頁，共20頁

5.裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取2個(gè)球，則所取的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的

概率是（）

.1「3八7、3

A.—B.—C.—D.—

1010105

6.下列敘述中正確的是（）

A.若Z?eR,則"2">2"’的充要條件是"logzaAlogzb

x2

B.函數(shù)/()=~Jx+2+.的最小值是2.

Vx2+2

C.命題“VxeR,%2>0"的否定是"VxeR,x2<0

D.當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)/（x）=d+2（a-l）x+l在區(qū)間（1,+8）上為增函數(shù).

7.在1MBe中，''對(duì)于任意F1,|胡—34>,0”是“ABC為直角三角形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.己知數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式為4=—2/+9”（〃eN*）.若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，

則S”取得最大值時(shí)〃的值為（）

A.2B.3C.4D.5

9.在J1BC中，AC=BC=1,ZC=90°.戶為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則尸⑶PC的取值范圍是

（）

10.若函數(shù)/■（*）=三+依2+笈+。（其中a,b,ceR）的圖像關(guān)于點(diǎn)M（L。）對(duì)稱，函

數(shù)廣⑺是的導(dǎo)數(shù)，則下列說法中，正確命題的個(gè)數(shù)有（）

①函數(shù)/（x+1）是奇函數(shù)；

②比eR,使得〃為）=0；

③x=l是函數(shù)y=f'（x）圖像的對(duì)稱軸；

④/'（X）一定存在極值點(diǎn).

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

試卷第21頁，共20頁

11.Q-xJ的展開式中常數(shù)項(xiàng)是—.（用數(shù)字作答）

12.設(shè)向量wz=（4cos5,o],〃嗚,“，函數(shù)/（x）="w.若函數(shù)/（x）的定義域?yàn)?/p>

1,可，值域?yàn)閇T,2].給出下列四個(gè)結(jié)論:

①9；②卷；③萬；④？.

366

則的值可能是.（填上所有正確的結(jié)論的序號(hào)）

13.函數(shù)y=71二的定義域?yàn)?/p>

三、雙空題

14.已知雙曲線的一條漸近線為2x+y=0,且（若,4）為雙曲線上的一點(diǎn)，雙曲線的離心

率為;頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

15.。=（2,1）,6=（2,f）,c=（0,3）,且（a+b）-c=O,貝i]r=；,+6-c卜

四、解答題

16.在一ABC中，2asinB=0b.

⑴求小

（2）若6=20，從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得，ABC存在且唯一確定,

求..ABC的面積.

條件①：cosC=-^^-；

10

條件②：〃=2；

條件③：sinB=.

5

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.如圖，在三棱柱ABC-44G中，D,E,G分別為AVACB用的中點(diǎn)，AG與平面

EBB1交于點(diǎn)F,AB=BC=下,AC=AAi=2,C1C±BE.

試卷第22頁，共20頁

(1)求證：尸為AG的中點(diǎn)；

(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線尾與平面題所成角

的正弦值.

條件①：平面■平面EBB1；

條件②：5G=3.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.某校為舉辦甲乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二、為

了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)袖樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人15。人250人

假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

(1)從該校全體男生及全體女生中各隨機(jī)抽取1人

(i)分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率，該校女生支持方案一的概率；

(ii)并依此計(jì)算這2人中恰有1人支持方案一的概率；

(2)從該校上述支持方案一的樣本中，按性別分層抽樣選取5人，再從這5人中任取3人

進(jìn)行訪談，設(shè)隨機(jī)變量X表示3人中男生的人數(shù)，求X的分布列；

(3)將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為P。，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300

名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為B，試比較P。與Pi的

大小.(結(jié)論不要求證明)

試卷第23頁，共20頁

22

19.已知橢圓C:‘方=l(a>6>0)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),3(。，-1).

(1)求橢圓C的方程及其離心率；

(2)若尸為橢圓c上第一象限的點(diǎn)，直線外交y軸于點(diǎn)直線PB交無軸于點(diǎn)N,且

有MNHAB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

20.已知函數(shù)〃x)=lnx-}

⑴若曲線y=/(x)與直線y=l相切，求實(shí)數(shù)a的值

(2)若函數(shù)/(無)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

21.已知無窮數(shù)列A：q,%，…，%，…滿足性質(zhì)尸：％=°，|6+1+1卜同?eN*),記

S”=%+電++an-

(1)直接寫出。2，J的所有可能值；

(2)判斷凡能否取到下面的值：-4,-6,-9,并說明理由；

(3)證明：V〃eN*,Stt<0.

試卷第24頁，共20頁

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)公式法解絕對(duì)值得B={x|-2<x<2}即可解決.

【詳解】由題知,A={-2,-l,0,2},B={x||x|<2},

因?yàn)閲?guó)<2,即一2<x<2,

所以8={x|-2<尤<2},

所以Ac3={-l,0}.

故選：B

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)后直接寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【詳解】因?yàn)閦=i(2-i)=l+2i,故可得其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2).

故選：A.

3.C

【解析】直接利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合特例，利用排除法，即可求解.

【詳解】設(shè)。,瓦。為非零實(shí)數(shù)，且。,1c,

所以對(duì)于選項(xiàng)/：當(dāng)。=3,6=2,c=l時(shí)，a-b-b-c-1,故錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)8：當(dāng)。=0/=-l,c=-2時(shí)，!無意義,故錯(cuò)誤.

a

對(duì)于選項(xiàng)C：由于a>c,b>c,所以a+6>2c,故正確.

對(duì)于選項(xiàng)由于，正確，所以選項(xiàng)〃錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，其中解答中不等式的基本性質(zhì)，以及合理利用

特例，結(jié)合排除法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力.

4.C

【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可得正確的選項(xiàng).

【詳解】若a〃力，因?yàn)榧觃La,故機(jī)，尸，而"u￡,故機(jī)_L〃.

若加工”，則或a,6相交，

故機(jī)，"是allp的必要不充分條件，

故選：C.

5.C

【分析】利用對(duì)立事件即可求得概率.

【詳解】“2個(gè)球中至少有1個(gè)白球”的對(duì)立事件