全國(guó)新高考1卷地區(qū)高三數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)概率解答題分類完整版編完整版析

2024屆高三數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)概率解答題分類精編精析【題型目錄】：題型一：條件概率的計(jì)算及應(yīng)用題型二：離散型隨機(jī)變量分布列，期望及方差題型三：二項(xiàng)分布解答題有關(guān)問(wèn)題題型四：統(tǒng)計(jì)概率中的中位數(shù)，百分位數(shù)，均值計(jì)算問(wèn)題題型五：統(tǒng)計(jì)案例檢驗(yàn)解答題題型六：線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)有關(guān)解答題題型七：正態(tài)分布在解答題中的應(yīng)用題型八：決策問(wèn)題題型九：統(tǒng)計(jì)概率中與數(shù)列有關(guān)的解答題題型十：統(tǒng)計(jì)概率中與函數(shù)有關(guān)的最值范圍問(wèn)題【題型分類精編精析】：題型一：條件概率的計(jì)算及應(yīng)用1.（湖南省長(zhǎng)沙市四區(qū)市聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期3月調(diào)研考試（一模））春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，計(jì)劃如下：有三個(gè)抽獎(jiǎng)項(xiàng)目，它們之間相互不影響，每個(gè)項(xiàng)目每位顧客至多參加一次，項(xiàng)目中獎(jiǎng)的概率是，項(xiàng)目和中獎(jiǎng)的概率都是.（1）若規(guī)定每位參加活動(dòng)的顧客需要依次參加三個(gè)項(xiàng)目，如果三個(gè)項(xiàng)目全部中獎(jiǎng)，顧客將獲得100元獎(jiǎng)券；如果僅有兩個(gè)項(xiàng)目中獎(jiǎng)，他將獲得50元獎(jiǎng)券；否則就沒(méi)有獎(jiǎng)券，求每位顧客獲得獎(jiǎng)券金額的期望；（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)項(xiàng)目.已知某顧客中獎(jiǎng)了，求他參加的是項(xiàng)目的概率.【解析】：（1）設(shè)一位顧客獲得元獎(jiǎng)券，可能取值為，，，所以每位顧客獲得獎(jiǎng)券金額的期望是元.（2）設(shè)“該顧客中獎(jiǎng)”為事件，參加項(xiàng)目分別記為事件則，所以，即已知某顧客中獎(jiǎng)了，則他參加的是項(xiàng)目的概率是.2．（廣東省新南方聯(lián)盟2024屆高三4月聯(lián)考）某廠有組生產(chǎn)用設(shè)備，由于設(shè)備使用時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，每組設(shè)備在一個(gè)月內(nèi)均有的故障率?，F(xiàn)該廠制定設(shè)備翻新計(jì)劃，每個(gè)月月初有的概率在剩余未改造設(shè)備中隨機(jī)抽取一組并在月底翻新，但月內(nèi)若有設(shè)備發(fā)生故障，則無(wú)論本月有無(wú)翻新計(jì)劃及是否抽到該設(shè)備，故障的設(shè)備都將立即翻新，且該月內(nèi)不再因?yàn)楣收戏缕渌O(shè)備（但若發(fā)生故障的不是已經(jīng)在送修計(jì)劃內(nèi)的設(shè)備，則計(jì)劃翻新仍將正常進(jìn)行），若再有設(shè)備發(fā)生故障則將會(huì)維修（但暫不翻新）后重新投入生產(chǎn).（1）求第一個(gè)月恰好翻新一組設(shè)備的概率；（2）設(shè)第一個(gè)月結(jié)束后，已翻新的設(shè)備數(shù)量為隨機(jī)變量，求的均值.【解析】：（1）由題，“翻新一組設(shè)備”包含“計(jì)劃翻新一組且沒(méi)有發(fā)生故障”，“沒(méi)有計(jì)劃翻新但出現(xiàn)故障”及“有計(jì)劃翻新且出現(xiàn)了故障，但故障設(shè)備恰好為計(jì)劃翻新的設(shè)備”三種事件。設(shè)“翻新一組設(shè)備”為事件，“計(jì)劃翻新”為事件，“出現(xiàn)故障”為事件，“抽到故障設(shè)備”為事件則，因此第一個(gè)月恰好翻新一組設(shè)備的概率為（2）的可能取值為當(dāng)且僅當(dāng)沒(méi)有出現(xiàn)故障且沒(méi)有計(jì)劃改造，故，由（1），，，故3.（湖南省2024屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)某種相同的產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)，已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率分別為，，，現(xiàn)有某質(zhì)檢部門，對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，首先從三個(gè)工廠中等可能地隨機(jī)選擇一個(gè)工廠，然后從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品抽取一件進(jìn)行檢測(cè).（1）若該質(zhì)檢部門的一次抽檢中，測(cè)得的結(jié)果是該件產(chǎn)品為優(yōu)秀等級(jí)，求該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率；（2）因?yàn)槿齻€(gè)工廠的規(guī)模大小不同，假設(shè)三個(gè)工廠進(jìn)入市場(chǎng)的產(chǎn)品的比例為2∶1∶1，若該質(zhì)檢部門從已經(jīng)進(jìn)入市場(chǎng)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，求能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的產(chǎn)品的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】：（1）設(shè)“抽的產(chǎn)品是優(yōu)秀等級(jí)”，“產(chǎn)品是從甲工廠生產(chǎn)”，“產(chǎn)品是從乙工廠生產(chǎn)”，“產(chǎn)品是從丙工廠生產(chǎn)”，則，，則，則.所以該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率為.（2）依題意，設(shè)從市場(chǎng)中任抽一件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為，則，由題意可知，則，則的分布列為：012345678910故.題型二：離散型隨機(jī)變量分布列，期望及方差1．（永州市第四中學(xué)2024屆高三數(shù)學(xué)精選試題）七選五型選擇題組是許多類型考試的熱門題型.為研究此類題型的選拔能力，建立以下模型.有數(shù)組和數(shù)組，規(guī)定與相配對(duì)則視為“正確配對(duì)”，反之皆為“錯(cuò)誤配對(duì)”.設(shè)為時(shí)，對(duì)于任意都不存在“正確配對(duì)”的配對(duì)方式數(shù)，即錯(cuò)排方式數(shù).(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出的值；(2)已知.①對(duì)和進(jìn)行隨機(jī)配對(duì)，記為“正確配對(duì)”的個(gè)數(shù).請(qǐng)寫(xiě)出的分布列并求；②試給出的證明.【解析】：（1）；（2）(i)，，，012345，(ii)分三類情況，和全錯(cuò)配,1.和配對(duì)，余下和（或）.余下部分屬于n個(gè)時(shí)的錯(cuò)配，故總共，2.和配對(duì)，且與配對(duì).此時(shí)余下部分屬于n1個(gè)時(shí)的錯(cuò)配，故總共，3.和配對(duì)，且與不配對(duì).此時(shí)可將等效為，則余下部分屬于n個(gè)時(shí)的錯(cuò)配，故總共，綜上：.2.（萍鄉(xiāng)市2023—2024學(xué)年度高三二?？荚囋嚲恚┒x兩組數(shù)據(jù)的“斯皮爾曼系數(shù)”為變量在該組數(shù)據(jù)中的排名和變量在該組數(shù)據(jù)中的排名的樣本相關(guān)系數(shù)，記為，其中.某校15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的排名與知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的排名如下表：數(shù)學(xué)成績(jī)的排名123456789101112131415知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的排名153498761021214131115（1）試求這15名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的“斯皮爾曼系數(shù)”；（2）已知在這15名學(xué)生中有10人數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，現(xiàn)從這15人中隨機(jī)抽取3人，抽到數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有人，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】：（1）；（2）的值可能為，，，則的分布列為：0123故的數(shù)學(xué)期望為.3.（2024年大連市高三第一次模擬考試）一個(gè)不透明的盒子中有質(zhì)地、大小均相同的7個(gè)小球，其中4個(gè)白球，3個(gè)黑球，現(xiàn)采取不放回的方式每次從盒中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時(shí)，停止取球．（1）求停止取球時(shí)盒中恰好剩3個(gè)白球的概率；（2）停止取球時(shí)，記總的抽取次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望：（3）現(xiàn)對(duì)方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個(gè)球分裝在甲乙兩個(gè)盒子中，甲盒裝3個(gè)小球，其中2個(gè)白球，1個(gè)黑球：乙盒裝4個(gè)小球，其中2個(gè)白球，2個(gè)黑球．采取不放回的方式先從甲盒中每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時(shí)，用同樣的方式從乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球顏色和甲盒剩余小球顏色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望，并從實(shí)際意義解釋X與Y的數(shù)學(xué)期望的大小關(guān)系．【解析】：（1）設(shè)“停止取球時(shí)盒中恰好剩3個(gè)白球”為事件，則；（2）的可能取值為3，4，5，6，，，，，所以的分布列為3456的數(shù)學(xué)期望；（3）的可能取值為3，4，5，6，設(shè)甲盒、乙盒抽取次數(shù)分別為，因?yàn)橐液兄袃煞N小球個(gè)數(shù)相同，所以無(wú)論甲盒剩余小球什么顏色，乙盒只需取完一種顏色即可，，，，，的數(shù)學(xué)期望，在將球分裝時(shí)，甲盒取完后直接取乙盒，此時(shí)甲盒中還有其它球，該球干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要剩余同一顏色，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低．4．（岳陽(yáng)市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二））用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則（1）在數(shù)字1，3相鄰的條件下，求數(shù)字2，4，6也相鄰的概率；（2）對(duì)于這個(gè)六位數(shù)，記夾在三個(gè)偶數(shù)之間的奇數(shù)的總個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望．【解析】：（1）設(shè)“數(shù)字1，3相鄰”，設(shè)“數(shù)字2，4，6相鄰”，則；（2）的所有可能取值為0，1，2，3，因?yàn)?個(gè)偶數(shù)中間共有2個(gè)空隙．由題意知“”表示3個(gè)偶數(shù)相鄰，則，“”表示3個(gè)偶數(shù)中間只插入了1個(gè)奇數(shù)，則，“”表示3個(gè)偶數(shù)中間共插入了2個(gè)奇數(shù)，可分為兩種情形：和，則；“”表示3個(gè)偶數(shù)中間共插入了3個(gè)奇數(shù)，可分為兩種情形：和，則．所以的分布列為0123的期望為．題型三：二項(xiàng)分布解答題有關(guān)問(wèn)題1.（河北省2024屆高三年級(jí)適應(yīng)性測(cè)試）2024年初，多地文旅部門用各種形式展現(xiàn)祖國(guó)大美河山，掀起了一波旅游熱潮．某地游樂(lè)園一迷宮票價(jià)為8元，游客從處進(jìn)入，沿圖中實(shí)線游玩且只能向北或向東走，當(dāng)路口走向不確定時(shí)，用拋硬幣的方法選擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走（每次拋擲硬幣等可能出現(xiàn)正反兩個(gè)結(jié)果）直到從號(hào)出口走出，且從號(hào)出口走出，返現(xiàn)金元．（1）隨機(jī)調(diào)查了進(jìn)游樂(lè)園的50名游客，統(tǒng)計(jì)出喜歡走迷宮的人數(shù)如表：男性女性總計(jì)喜歡走迷宮121830不喜歡走迷宮13720總計(jì)252550判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）走迷宮“路過(guò)路口”記為事件，從“號(hào)走出”記為事件，求和的值；（3）設(shè)每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為多少？【解析】：（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān).（2）依題意當(dāng)路口走向不確定時(shí)，用拋硬幣的方法選擇，所以向北與向東走的概率均為，由到路口需向北走個(gè)，向東走個(gè)路口，則不同路線有條，所以，事件表示從出發(fā)經(jīng)過(guò)路口最后從號(hào)路口走出，則，所以，表示從出發(fā)最后從號(hào)路口走出的條件下經(jīng)過(guò)路口的概率，又，，所以.（3）依題意從號(hào)出口走出，返現(xiàn)金元，所以每名游客游玩一次游樂(lè)園收入可能取值為，所以，，，，，，，所以每名游客游玩一次游樂(lè)園收入的期望為：，每天走迷宮的游客為人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為元.2.（貴陽(yáng)市2024年高三年級(jí)適應(yīng)性考試（一））猜燈謎，是我國(guó)獨(dú)有的民俗文娛活動(dòng)，是從古代就開(kāi)始流傳的元宵節(jié)特色活動(dòng).每逢農(nóng)歷正月十五傳統(tǒng)民間都要把謎語(yǔ)寫(xiě)在紙條上并貼在彩燈上供人猜.在一次猜燈謎活動(dòng)中，若甲?乙兩名同學(xué)分別獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)每個(gè)燈謎的概率為，乙同學(xué)猜對(duì)每個(gè)燈謎的概率為.假設(shè)甲?乙猜對(duì)每個(gè)燈謎都是等可能的，試求：（1）甲?乙任選1個(gè)獨(dú)立競(jìng)猜，求甲?乙恰有一人猜對(duì)的概率；（2）活動(dòng)規(guī)定：若某人任選2個(gè)進(jìn)行有獎(jiǎng)競(jìng)猜，都猜對(duì)則可以在箱中參加抽取新春大禮包的活動(dòng)，中獎(jiǎng)概率是；沒(méi)有都猜對(duì)則在箱中參加抽取新春大禮包的活動(dòng)，中獎(jiǎng)概率是，求甲同學(xué)抽中新春大禮包的概率；（3）甲?乙各任選2個(gè)獨(dú)立競(jìng)猜，設(shè)甲?乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)之和為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】：（1）設(shè)“甲猜對(duì)一個(gè)燈謎”，“乙猜對(duì)一個(gè)燈謎”，則因?yàn)榧?乙恰有一人猜對(duì)的事件為，所以，所以，甲?乙恰有一人猜對(duì)的概率為.（2）設(shè)“甲猜對(duì)兩道題”，“甲中獎(jiǎng)”，則，所以，甲同學(xué)抽中新春大禮包的概率.（3）由（1）知，.易知甲?乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)之和的可能取值為，，，，.則，，，，，所以的分布列為01234因此，的數(shù)學(xué)期望3．（杭州市2024屆高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）在概率統(tǒng)計(jì)中，常常用頻率估計(jì)概率．已知袋中有若干個(gè)紅球和白球，有放回地隨機(jī)摸球次，紅球出現(xiàn)次．假設(shè)每次摸出紅球的概率為，根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想，則每次摸出紅球的概率的估計(jì)值為．（1）若袋中這兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為，不知道哪種顏色的球多．有放回地隨機(jī)摸取3個(gè)球，設(shè)摸出的球?yàn)榧t球的次數(shù)為，則．注：表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為時(shí)，摸出紅球次數(shù)為的概率）（?。┩瓿上卤?；0123（ⅱ）在統(tǒng)計(jì)理論中，把使得的取值達(dá)到最大時(shí)的，作為的估計(jì)值，記為，請(qǐng)寫(xiě)出的值．（2）把（1）中“使得的取值達(dá)到最大時(shí)的作為的估計(jì)值”的思想稱為最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計(jì)方法稱為最大似然估計(jì)．具體步驟：先對(duì)參數(shù)構(gòu)建對(duì)數(shù)似然函數(shù)，再對(duì)其關(guān)于參數(shù)求導(dǎo)，得到似然方程，最后求解參數(shù)的估計(jì)值．已知的參數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為，其中．求參數(shù)的估計(jì)值，并且說(shuō)明頻率估計(jì)概率的合理性．【解析】：（1）因?yàn)?，所以的值為或．（?。┍砀袢缦?123（ⅱ）由題知．當(dāng)或1時(shí)，參數(shù)的概率最大；當(dāng)或3時(shí)，參數(shù)的概率最大．所以（2）對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，，因此似然方程為，解上面的方程，得，因此，用最大似然估計(jì)的參數(shù)與頻率估計(jì)概率的是一致的，故用頻率估計(jì)概率是合理的．題型四：統(tǒng)計(jì)概率中的中位數(shù)，百分位數(shù)，均值計(jì)算問(wèn)題1.（遼寧省鞍山市普通高中2023—2024學(xué)年度高三第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè)）鞍山市普通高中某次高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)考試后，將化學(xué)成績(jī)按賦分規(guī)則轉(zhuǎn)換為等級(jí)分?jǐn)?shù)（賦分后學(xué)生的分?jǐn)?shù)全部介于30至100之間）．某校為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的化學(xué)等級(jí)分?jǐn)?shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，，分成7組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這50名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；（2）在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在，，的三組中抽取了11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中分?jǐn)?shù)在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】：（1）由.又∵，.所以，估計(jì)這50名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為：.（2）因?yàn)椋?，三組的頻率之比為所以從，，三組中抽取的人數(shù)分別為7，3，1.由題意可取0，1，2，3且；；；.所以的分布列為：0123所以.2.（2024年邵陽(yáng)市高三第二次聯(lián)考試題卷）為了選拔創(chuàng)新型人才，某大學(xué)對(duì)高三年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科和物理學(xué)科進(jìn)行了檢測(cè)（檢測(cè)分為初試和復(fù)試），共有4萬(wàn)名學(xué)生參加初試.組織者隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求的值及樣本平均數(shù)的估計(jì)值；（2）若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，.規(guī)定初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)；（3）復(fù)試筆試試題包括兩道數(shù)學(xué)題和一道物理題，已知小明進(jìn)入了復(fù)試，且在復(fù)試筆試中答對(duì)每一道數(shù)學(xué)題的概率均為，答對(duì)物理題的概率為.若小明全部答對(duì)的概率為，答對(duì)兩道題的概率為，求概率的最小值.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.【解析】：（1），.樣本平均數(shù)的估計(jì)值為.（2）..能參加復(fù)試的人數(shù)約為（人）.（3）由題意有.答對(duì)兩道題的概率.而.令，則，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減；時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，.故概率的最小值為.題型五：統(tǒng)計(jì)案例檢驗(yàn)解答題（河南省2024屆高三年級(jí)TOP二十名校質(zhì)檢一數(shù)學(xué)）近年來(lái)，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺(tái)，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來(lái)越廣泛，針對(duì)短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長(zhǎng)視頻勢(shì)必成為一種新的技能.某機(jī)構(gòu)在網(wǎng)上隨機(jī)對(duì)1000人進(jìn)行了一次市場(chǎng)調(diào)研，以決策是否開(kāi)發(fā)將短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的，得到如下數(shù)據(jù)：青年人中年人老年人對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP有需求200對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP無(wú)需求150其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計(jì)的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400.（1）求的值；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP的需求，青年人與中老年人是否有差異？參考公式：，其中.【解析】：（1）由已知得，解得.（2）零假設(shè)為：對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻APP的需求，青年人與中老年人沒(méi)有差異.由已知得，如下列聯(lián)表：青年人中老年人合計(jì)對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP有需求300250550對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP無(wú)需求100350450合計(jì)4006001000計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，所以對(duì)短視頻剪接成長(zhǎng)視頻的APP有需求，青年人與中老年人有差異.2.（山東省“齊魯名校聯(lián)盟”2023—2024學(xué)年高三年級(jí)第七次聯(lián)考）某汽車文化自媒體公司主打?qū)υ揭败囋揭澳芰Φ臏y(cè)評(píng)，為調(diào)查車友們對(duì)越野車的了解程度，隨機(jī)抽取了200名車友進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：女性男性總計(jì)比較了解78不太了解38總計(jì)140200（1）完成上面的列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為車友對(duì)越野車的了解程度與性別有關(guān)？（2）該公司組織5名駕駛水平相當(dāng)?shù)膯T工在戶外場(chǎng)地進(jìn)行汽車越野活動(dòng)，他們需要合作闖關(guān)，一共有兩關(guān)，每次由一名員工上場(chǎng)，闖過(guò)第一關(guān)才能闖第二關(guān)，若闖某一關(guān)失敗，則換下一名員工從失敗的這一關(guān)開(kāi)始闖，同一員工不重復(fù)上場(chǎng)，當(dāng)有人闖過(guò)第二關(guān)時(shí)或者5名員工都闖關(guān)失敗時(shí)活動(dòng)結(jié)束．若無(wú)論前面的闖關(guān)結(jié)果如何，每名員工闖過(guò)第一關(guān)的概率都為，闖過(guò)第二關(guān)的概率都為，求第三名員工闖關(guān)后活動(dòng)恰好結(jié)束的概率．附：．0.050.0250.0053.8415.0247.879【解析】：（1）填表如下：女性男性總計(jì)比較了解2278100不太了解3862100總計(jì)60140200由卡方公式得，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為車友對(duì)越野車的了解程度與性別有關(guān)；（2）第三人闖關(guān)后活動(dòng)結(jié)束分以下幾種情況：①前兩人未過(guò)第一關(guān)，第三人闖過(guò)第一、二關(guān)，其概率為，②第一人未過(guò)第一關(guān)，第二人過(guò)第一關(guān)未過(guò)第二關(guān)，第三人過(guò)第二關(guān)，其概率為，③第一人過(guò)第一關(guān)未過(guò)第二關(guān)，第二人未過(guò)第二關(guān)，第三人過(guò)第二關(guān)，其概率為，所以第三人闖關(guān)后活動(dòng)結(jié)束的概率為.3.（2024年湖北省七市州高三年級(jí)3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試）某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”.請(qǐng)完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(jì)（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會(huì)導(dǎo)致肥胖等諸多健康問(wèn)題.以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.10.050.012.7063.8416.635【解析】：（1）列聯(lián)表性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計(jì)213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無(wú)關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1（2）因?qū)W校總學(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布，隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率.故.（3）10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”有7名男生，3名女生，服從超幾何分布：故所求分布列為0123題型六：線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)有關(guān)解答題1．2024年常德市高三年級(jí)模擬考試某市組織宣傳小分隊(duì)進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時(shí)間（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310(1)從這9天的數(shù)據(jù)中任選4天的數(shù)據(jù)，以X表示4天中每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于統(tǒng)計(jì)人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)的線性回歸方程.（參考數(shù)據(jù)：附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：）【解析】：(1)每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)為3天，則X的所有可能取值為0,1,2,3，，，故X的分布列為X0123P(2)設(shè)原來(lái)數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點(diǎn)為，故，∴2．（20232024學(xué)年第二學(xué)期天域全國(guó)名校協(xié)作體聯(lián)考）據(jù)新華社北京2月26日?qǐng)?bào)道，中國(guó)航天全年預(yù)計(jì)實(shí)施100次左右發(fā)射任務(wù)，有望創(chuàng)造新的紀(jì)錄，我國(guó)首個(gè)商業(yè)航天發(fā)射場(chǎng)將迎來(lái)首次發(fā)射任務(wù)，多個(gè)衛(wèi)星星座將加速織網(wǎng)建設(shè)；中國(guó)航天科技集團(tuán)計(jì)劃安排近70次宇航發(fā)射任務(wù)，發(fā)射290余個(gè)航天器，實(shí)施一系列重大工程任務(wù)．由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前景，有越來(lái)越多的公司開(kāi)始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進(jìn)器，為測(cè)試其性能，對(duì)推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：飛行距離x（）5663717990102110117損壞零件數(shù)y（個(gè)）617390105119136149163參考數(shù)據(jù)：，，，（1）建立y關(guān)于x的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1，精確到1）；（2）該公司進(jìn)行了第二項(xiàng)測(cè)試，從所有同型號(hào)推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺(tái)進(jìn)行等距離飛行測(cè)試，對(duì)其中60臺(tái)進(jìn)行飛行前保養(yǎng)，測(cè)試結(jié)束后，有20臺(tái)報(bào)廢，其中保養(yǎng)過(guò)的推進(jìn)器占比30%，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)？保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢20未報(bào)廢合計(jì)60100附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，，．0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.828【解析】：（1）由題意故y關(guān)于x的線性回歸方程為（2）設(shè)零假設(shè)為：是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)無(wú)關(guān)由題意，報(bào)廢推進(jìn)器中保養(yǎng)過(guò)的共臺(tái)，未保養(yǎng)的推進(jìn)器共臺(tái)．補(bǔ)充列聯(lián)表如下：保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢61420未報(bào)廢542680合計(jì)604010011分則根于小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯(cuò)誤的概率不大于0.013．（邯鄲市2024屆高三年級(jí)第三次調(diào)研考試）某民營(yíng)學(xué)校為增強(qiáng)實(shí)力與影響力，大力招攬名師、建設(shè)校園硬件設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：年份序號(hào)x12345招生人數(shù)y/千人0.811.31.72.2（I）由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；（II）求關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【解析】：（1）由題意知，，所以，因?yàn)榕c1非常接近，故可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），，所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，由此預(yù)測(cè)當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)為2.8千人．題型七：正態(tài)分布在解答題中的應(yīng)用1.（2024屆安徽省“江南十?！甭?lián)考）某產(chǎn)品的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的誤差絕對(duì)值不超過(guò)4即視為合格品，否則視為不合格品.假設(shè)誤差服從正態(tài)分布且每件產(chǎn)品是否為合格品相互獨(dú)立.現(xiàn)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4.用樣本估計(jì)總體.（1）試估計(jì)100件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)（精確到1）；（2）在（1）的條件下，現(xiàn)出售隨機(jī)包裝的100箱該產(chǎn)品，每箱均有100件產(chǎn)品.收貨方對(duì)每箱產(chǎn)品均采取不放回地隨機(jī)抽取方式進(jìn)行檢驗(yàn)，箱與箱之間的檢驗(yàn)相互獨(dú)立.每箱按以下規(guī)則判斷是否接受該箱產(chǎn)品：如果抽檢的第1件產(chǎn)品不合格，則拒絕該箱產(chǎn)品；如果抽檢的第1件產(chǎn)品合格，則再抽1件，如果抽檢的第2件產(chǎn)品合格，則接受該箱產(chǎn)品，否則拒絕該箱產(chǎn)品.若該箱產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)后生產(chǎn)方獲利1000元；該箱產(chǎn)品被拒絕，則虧損89元.求100箱該產(chǎn)品利潤(rùn)的期望值.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，【解析】：（1）分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)正態(tài)分布的參數(shù)和，得產(chǎn)品的尺寸誤差，，因此估計(jì)這批產(chǎn)品的合格率為，樣本的不合格品率為，所以估計(jì)100件產(chǎn)品中有件不合格品.（2）設(shè)“抽檢的第1件產(chǎn)品不合格”，“抽檢的第2件產(chǎn)品不合格”，則一箱產(chǎn)品被拒絕的事件為，因此，設(shè)100箱產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的箱數(shù)為，則，因此100箱利潤(rùn)，所以平均利潤(rùn)（元）.題型八：決策問(wèn)題1.（湖北省十一校20232024學(xué)年高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）2023年12月30號(hào)，長(zhǎng)征二號(hào)丙/遠(yuǎn)征一號(hào)S運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火起飛，隨后成功將衛(wèi)星互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿完成，此次任務(wù)是長(zhǎng)征系列運(yùn)載火箭的第505次飛行，也代表著中國(guó)航天2023年完美收官．某市一調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解當(dāng)?shù)貙W(xué)生對(duì)我國(guó)航天事業(yè)發(fā)展的關(guān)注度，隨機(jī)的從本市大學(xué)生和高中生中抽取一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：學(xué)生群體關(guān)注度合計(jì)關(guān)注不關(guān)注大學(xué)生高中生合計(jì)附：，其中．（1）完成上述列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)，求樣本容量n的最小值；（2）該市為了提高本市學(xué)生對(duì)航天事業(yè)的關(guān)注，舉辦了一次航天知識(shí)闖關(guān)比賽，包含三個(gè)問(wèn)題，有兩種答題方案選擇：方案一：回答三個(gè)問(wèn)題，至少答出兩個(gè)可以晉級(jí)；方案二：在三個(gè)問(wèn)題中，隨機(jī)選擇兩個(gè)問(wèn)題，都答對(duì)可以晉級(jí)．已知小華同學(xué)答出三個(gè)問(wèn)題的概率分別是，，，小華回答三個(gè)問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立，則小華應(yīng)該選擇哪種方案晉級(jí)的可能性更大？（說(shuō)明理由）【解析】：（1）學(xué)生群體關(guān)注度合計(jì)關(guān)注不關(guān)注大學(xué)生高中生合計(jì)零假設(shè)為：關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，因?yàn)橐罁?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為關(guān)注航天事業(yè)發(fā)展與學(xué)生群體有關(guān)，所以，由題可知，n是10的倍數(shù)，（2）記小華同學(xué)答出三個(gè)問(wèn)題的事件分別A，B，C，則，，，記選擇方案一通過(guò)的概率為，則；記選擇方案二通過(guò)概率為，則；，小華應(yīng)該選擇方案一.2.（湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機(jī)選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金.假設(shè)甲猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金如下表：歌曲猜對(duì)的概率0.80.50.5獲得獎(jiǎng)勵(lì)基金金額/元100020003000（1）求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名的概率；（2）甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請(qǐng)你計(jì)算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)基金的期望；為了得到更多的獎(jiǎng)勵(lì)基金，請(qǐng)你給出合理的選擇建議，并說(shuō)明理由.【解析】：（1）由題意可知甲按“”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名分兩種情況：猜對(duì)；猜對(duì)，這兩種情況不會(huì)同時(shí)發(fā)生.設(shè)“甲按‘A，B，C’的順序猜歌名至少猜對(duì)兩首歌名”為事件E，由甲猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立可得.（2）甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎(jiǎng)金數(shù)記為，則的所有可能取值為，所以；甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎(jiǎng)金數(shù)記為，則的所有可能取值為，所以.參考答案一：由于，由于，所以應(yīng)該按照“”的順序猜歌名.參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時(shí)，獲得0元的概率為0.5，大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時(shí)獲得0元的概率0.2，所以應(yīng)該按照“A，B，C”的順序猜歌名.其他合理答案均給分3.（益陽(yáng)市2024屆高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）新鮮是水果品質(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo).某品牌水果銷售店，為保障所銷售的某種水果的新鮮度，當(dāng)天所進(jìn)的水果如果當(dāng)天沒(méi)有銷售完畢，則第二天打折銷售直至售罄．水果銷售店以每箱進(jìn)貨價(jià)50元、售價(jià)100元銷售該種水果，如果當(dāng)天賣不完，則剩下的水果第二天將在原售價(jià)的基礎(chǔ)上打五折特價(jià)銷售，而且要整體支付包裝更換與特別處理等費(fèi)用30元．這樣才能保障第二天特價(jià)水果售罄，并且不影響正價(jià)水果銷售，水果銷售店經(jīng)理記錄了在連續(xù)50天中該水果的日銷售量x（單位：箱）和天數(shù)y（單位：天）如下表所示：日銷售量x（單位：箱）2223242526天數(shù)y（單位：天）10101596（1）為能減少打折銷售份額，決定地滿足顧客需求（即在100天中，大約有70天可以滿足顧客需求）．請(qǐng)根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，確定每天此種水果的進(jìn)貨量的值.（以箱為單位，結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量的概率，設(shè)（1）中所求的值滿足，請(qǐng)以期望作為決策依據(jù)，幫銷售店經(jīng)理判斷每天購(gòu)進(jìn)此種水果是箱劃算還是箱劃算？【解析】：（1）地滿足顧客需求相當(dāng)于估計(jì)某類水果日銷售量的分位數(shù).由表可知，把50個(gè)日需求量的數(shù)據(jù)從小到大排列，由，日需求量在箱及以下（含箱）的天數(shù)為，可知，可以估計(jì)日需求量的第分位數(shù)為，所以能地滿足顧客的需求，估計(jì)每天應(yīng)該進(jìn)貨量為箱.（2）由（1）知，即，設(shè)每天的進(jìn)貨量為箱的利潤(rùn)為，由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，若當(dāng)天賣完元，若當(dāng)天賣不完剩下箱，元，若當(dāng)天賣不完剩下箱，元，所以元.設(shè)每天的進(jìn)貨量為箱的利潤(rùn)為，由題設(shè)，每天的進(jìn)貨量為箱，當(dāng)天賣完的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，當(dāng)天賣不完剩下箱的概率為，若當(dāng)天賣完元，當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，當(dāng)天賣不完剩下箱，則元，所以元，由于，顯然每天的進(jìn)貨量箱的期望利潤(rùn)小于每天的進(jìn)貨量為箱的期望利潤(rùn)，所以每天購(gòu)進(jìn)此種水果箱劃算一些.4．（華嬌教育2024年廣東省普通高中畢業(yè)班綜合能力檢測(cè)）某商場(chǎng)舉辦摸球贏購(gòu)物券活動(dòng)．現(xiàn)有完全相同的甲?乙兩個(gè)小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個(gè)小球，其中甲盒中有8個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙盒中有3個(gè)黑球和7個(gè)白球．參加活動(dòng)者首次摸球，可從這兩個(gè)盒子中隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，再?gòu)倪x中的盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸出黑球，則結(jié)束摸球，得300元購(gòu)物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來(lái)盒子中，再進(jìn)行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來(lái)盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球；方案二，從另外一個(gè)盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球．若第二次摸出黑球，則結(jié)束摸球，得200元購(gòu)物券；若摸出的是白球，也結(jié)束摸球，得100元購(gòu)物券．用X表示一位參加活動(dòng)者所得購(gòu)物券的金額．(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明選擇哪個(gè)方案第二次摸到黑球的概率更大；②依據(jù)以上分析，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.【解析】：（1）設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲盒”為事件，“取到乙盒”為事件，“第一次摸出黑球”為事件，“第一次摸出白球”為事件，所以試驗(yàn)一次結(jié)果為白球的概率為，所以，所以選到的袋子為甲盒的概率為.（2）①所以方案一中取到黑球的概率為：，方案二中取到黑球的概率為：，因?yàn)?，所以方案二中取到黑球的概率更?②隨機(jī)變量的值為，依據(jù)以上分析，若采用方案一：，，，，若采用方案二：，，，，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的最大值.題型九：統(tǒng)計(jì)概率中與數(shù)列有關(guān)的解答題1.（2024屆河北省承德市部分高中二模數(shù)學(xué)試題）王老師每天早上7：00準(zhǔn)時(shí)從家里出發(fā)去學(xué)校，他每天只會(huì)從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個(gè)乘坐.王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明，他到達(dá)學(xué)校的時(shí)間在兩種交通工具下的概率分布如下表所示：到校時(shí)間之前之后乘地鐵0.10.150.350.20.150.05乘汽車0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當(dāng)天乘地鐵去學(xué)校，則他到校時(shí)間在的概率為0.35.）（1）某天早上王老師通過(guò)拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學(xué)校，若正面向上則坐地鐵，反面向上則坐汽車，求他當(dāng)天7：407：45到校的概率；（2）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校，從第二天開(kāi)始，若前一天到校時(shí)間早于則當(dāng)天他會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校，否則當(dāng)天他將乘坐汽車去學(xué)校，且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時(shí)間是否早于第11天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學(xué)校前坐地鐵的次數(shù)為求；（3）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校.從第二天開(kāi)始，若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時(shí)間早于則當(dāng)天他會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校；若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時(shí)間晚于則當(dāng)天他會(huì)乘坐汽車去學(xué)校；若他前一天乘坐汽車去學(xué)校，則不論他前一天到校的時(shí)間是否早于當(dāng)天他都會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校.記為王老師第天坐地鐵去學(xué)校的概率，求的通項(xiàng)公式.【解析】：（1）記事件“硬幣正面向上”，事件“到?！?，則由題有故.（2）可取由題得，對(duì)于故以上兩式相減得故所以.（3）由題得則這說(shuō)明是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列.故即.2.（2024屆明日之星高考數(shù)學(xué)精英模擬卷）現(xiàn)有紅、綠、藍(lán)三種顏色的箱子，其中紅箱中有4個(gè)紅球，2個(gè)綠球，2個(gè)藍(lán)球；綠箱中有2個(gè)紅球，4個(gè)綠球，2個(gè)藍(lán)球；藍(lán)箱中有2個(gè)紅球，2個(gè)綠球，4個(gè)藍(lán)球，所有球的大小、形狀、質(zhì)量完全相同.第一次從紅箱中隨機(jī)抽取一球，記錄顏色后將球放回去；第二次要從與第一次記錄顏色相同的箱子中隨機(jī)抽取一球，記錄顏色后將球放回去；以此類推，第次是從與第k次記錄顏色相同的箱子中隨機(jī)抽取一球，記錄顏色后放回去，記第n次取出的球是紅球的概率為.（1）求第3次取出的球是藍(lán)球的概率；（2）求的解析式.【解析】：（1）分別設(shè)第次取出紅球、綠球和籃球的概率為：、和，其中，，由題意知：，，，若第k次取出紅球，且第次取出藍(lán)球的概率為：，若第k次取出綠球，且第次取出藍(lán)球的概率為：，若第k次取出藍(lán)球，且第次取出藍(lán)球的概率為：，所以第次取出藍(lán)球的概率為：，由于，可得：，若設(shè)數(shù)列，上式即為：，配湊為：，，其中，數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，則，即，即第3次取出的球是藍(lán)球的概率為：.（2）同上，分別設(shè)第次取出紅球、綠球和籃球的概率為：、和，其中，，由題意知：，，，若第k次取出紅球，且第次取出紅球的概率為：，若第k次取出綠球，且第次取出紅球的概率為：，若第k次取出藍(lán)球，且第次取出紅球的概率為：，所以第次取出紅球的概率為：，由于，可得：，由已知，記第n次取出的球是紅球的概率為，上式即為，有，，其中，，數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，的解析式為：.3.（安徽省黃山市2024屆高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）學(xué)校食堂為了減少排隊(duì)時(shí)間，從開(kāi)學(xué)第天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，若他前天選擇了米飯?zhí)撞?，則第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；若他前天選擇了面食套餐，則第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開(kāi)學(xué)第天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?（1）求該同學(xué)開(kāi)學(xué)第天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?；?）記該同學(xué)開(kāi)學(xué)第天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?證明：當(dāng)時(shí)，.【解析】：（1）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則“第天選擇面食套餐”， 根據(jù)題意，，，， 由全概率公式，得； （2）（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，，，， 由全概率公式，得， 即，， ，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列； 可得， 當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)， 綜上所述：當(dāng)時(shí)， 4.（河南省安陽(yáng)市2024屆高三上學(xué)期第一次模擬考試）為了驗(yàn)證某種新能源汽車電池的安全性，小王在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行了次試驗(yàn)，假設(shè)小王每次試驗(yàn)成功的概率為，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立．（1）若小王某天進(jìn)行了4次試驗(yàn)，且，求小王這一天試驗(yàn)成功次數(shù)的分布列以及期望；（2）若恰好成功2次后停止試驗(yàn)，，以表示停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)的總次數(shù)，求．（結(jié)果用含有的式子表示）【解析】：（1）依題意，，則，，，，故的分布列為：X01234P故．（2）方法一：設(shè)“停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)總次數(shù)不大于”，則，“次試驗(yàn)中，成功了0次或1次”，“次試驗(yàn)中，成功了0次”的概率；“次試驗(yàn)中，成功了1次”的概率．所以．方法二：事件“”表示前次試驗(yàn)只成功了1次，且第次試驗(yàn)成功，故，所以，令，則，兩式相減得：，則．即5.（寧波“十?！?024屆高三3月聯(lián)考）為了驗(yàn)證某款電池的安全性，小明在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行試驗(yàn)，假設(shè)小明每次試驗(yàn)成功的概率為，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立.（1）若進(jìn)行5次試驗(yàn)，且，