專題11勾股定理及其逆定理（講義）（原卷版）

專題11勾股定理及其逆定理核心知識(shí)點(diǎn)精講1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；4.加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問(wèn)題．以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】考點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）【要點(diǎn)詮釋】勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理．我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來(lái)人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法.用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：①圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變；②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.3.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊,在中，，則，，；②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系；③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.考點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【要點(diǎn)詮釋】①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀；②定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊；③勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形.3.勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)；②記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等；③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）.考點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【題型1：勾股定理在圖形翻折中的應(yīng)用】【典例1】如圖，將長(zhǎng)方形紙片折疊，使邊落在對(duì)角線上，折痕為，且D點(diǎn)落在對(duì)角線上處，若，則的長(zhǎng)為（）A． B．3 C．1 D．1．如圖，中，，，，將沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．3.5 D．42．如圖，將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于，，，則重疊部分（即）的面積為（

）A．24 B．30 C．40 D．803．如圖，將長(zhǎng)方形紙片的邊沿折痕折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．1 D．4．如圖長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿翻折后，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則（

）A．2 B． C． D．1【題型2：勾股定理及其逆定理在求圖形面積中的應(yīng)用】【典例2】有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，變成了如圖，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A． B． C．2023 D．20241．如圖，這是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是（

）

A．169 B．144 C．30 D．252．如圖、在中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外側(cè)作正方形、面積分別記為，，.若．則圖中陰影部分的面積為（

）A．6 B． C．5 D．3．李伯伯家有一塊四邊形田地，其中，，，，，則這塊地的面積為（

）

A． B． C． D．4．如圖，四邊形中，E為中點(diǎn)，于點(diǎn)E，，，，，則四邊形的面積為（）

A． B． C． D．無(wú)法求解【題型3：勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用】【典例3】暑假中，小明和同學(xué)們到某海島去探寶旅游，按照如圖所示的路線探寶，他們登陸后先往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北走6km處往東一拐，僅走1km就找到了寶藏，則登陸點(diǎn)到埋寶藏點(diǎn)的直線距離為_(kāi)________km．1．兩個(gè)大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放．將兩個(gè)三角板抽象成如圖②所示的△和△，點(diǎn)B、C、D依次在同一條直線上，連接．若，,則點(diǎn)A到直線的距離為_(kāi)_____．

2．如圖，已知，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（），當(dāng)點(diǎn)D恰好落在的邊上時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)______．3．在中，，，．以為底在內(nèi)部作等腰，連接，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______________．4．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．若為，則的長(zhǎng)是____________．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)M是上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)處，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2.如圖，在中，，點(diǎn)M是斜邊的中點(diǎn)，以為邊作正方形，，則（）A． B． C．12 D．163．如圖，在Rt中，，用圓規(guī)在上分別截取，，使，分別以為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的面積是（

）A． B．6 C． D．4．如圖，在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B．8 C． D．1．如圖，和都是等腰直角三角形，的頂點(diǎn)A在的斜邊上．下列結(jié)論：其中正確的有（

）①；②；③；④

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③；④該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．13．如圖，在四邊形中，，，，且，則四邊形的面積是（）A．4 B． C． D．4．如圖，一塊鐵皮（圖中陰影部分），測(cè)得，，，，，則陰影部分的面積為（

）

A．24 B．36 C．48 D．125．如圖，中，，分別以為邊作等腰直角三角形，，若的面積是3，的面積是4，則的面積是（

）

A． B．10 C．7 D．56．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)恰好在邊上，則點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為（

）A．12 B．6 C． D．7．如圖，在中，，，是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③8．如圖，所在的直線是的對(duì)稱軸，，則的面積為．9．如圖，中，，，，是邊上的中線，．10．如圖，在等邊中取點(diǎn)使得，，的長(zhǎng)分別為3，4，5，則．11．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分別以Rt△ABC三邊為直徑作半圓，則陰影部分面積為.12．如圖，高速公路上有A，B兩點(diǎn)相距，C，D為兩村莊，已知，．于A，于B，現(xiàn)要在上建一個(gè)服務(wù)站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，則的長(zhǎng)是．

1．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)，，的計(jì)算公式：，，，其中，，是互質(zhì)的奇數(shù)．下列四組勾股數(shù)中，不能由該勾股數(shù)計(jì)算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，252．（2023·廣西·中考真題）活動(dòng)探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所對(duì)的邊為，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中如圖的△ABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）直三棱柱的表面展開(kāi)圖如圖所示，，，，四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)距離最大的是（

）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)4．（2023·浙江溫州·