第12章 復(fù)數(shù)單元綜合能力測試卷-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁第12章復(fù)數(shù)單元綜合能力測試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，所以，解得.故選：B2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)第二象限坐標(biāo)的特點(diǎn)可得，從而可得.故選：D.3．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)的集合所表示的圖形是（

）A．正方形面 B．一條直線 C．圓面 D．圓環(huán)面【答案】D【解析】設(shè)，則由可得，即，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形是圓環(huán)面.故選：D.4．已知為虛數(shù)單位，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由題意，整理得，所以，解得.故選：C.5．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，故選：C.6．已知復(fù)數(shù)滿足，當(dāng)?shù)奶摬咳∽钚≈禃r(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，所以，，即，所以，，可得，解得，當(dāng)?shù)奶摬咳∽钚≈禃r(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，解得，故，故選：A.7．已知是復(fù)數(shù)，是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A． B．若，則的最大值為C．若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 D．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則【答案】B【解析】對于A，設(shè)，則，，A錯(cuò)誤；對于B，由知，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，可看作該單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，因?yàn)閳A心到的距離為，則該單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大值為，B正確；對于C，，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，C錯(cuò)誤；對于D，依題意，，整理得，而，因此，解得，D錯(cuò)誤．故選：B.8．已知復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為、，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則對任意，下列選項(xiàng)中為定值的是（

）A． B． C．的周長 D．的面積【答案】A【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為、，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則，由可得，對于方程，則，解方程可得，所以，，所以，，中，由于不是定值，則的面積、均不為定值，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上【答案】AD【解析】對于A：設(shè)，若，則，故必有，A正確；對于B：若，，則有，但，B錯(cuò)誤；對于C：若，，則有，但，C錯(cuò)誤；對于D：設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為和若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為線段的中垂線，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，D正確.故選：AD.10．已知復(fù)數(shù)，（，）（為虛數(shù)單位），為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部為B．C．D．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)形成的圖形的面積為【答案】CD【解析】由題意可得，所以的虛部為，A錯(cuò)誤，，故，B錯(cuò)誤，，C正確，表示點(diǎn)到的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的圖形，故為以為圓心，以1為半徑的圓以及內(nèi)部，故面積為，D正確，故選：CD11．歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)B．復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半圓【答案】ABD【解析】對于A，，則為純虛數(shù)，A正確；對于B，，而，即，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B正確；對于C，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；對于D，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為的半圓，D正確．故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題，是真命題的是．（填序號）①；②若，則；③若，則是純虛數(shù)；④對任意實(shí)數(shù)，都有是虛數(shù)．【答案】①②④【解析】對于①，，①正確；對于②，由，設(shè)，則，②正確；對于③，當(dāng)時(shí)，，而是實(shí)數(shù)，③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此是虛數(shù)，④正確，所以真命題的是①②④.故答案為：①②④13．復(fù)數(shù)，（a、），若它們的和為實(shí)數(shù)，差為純虛數(shù)，則．【答案】【解析】由題設(shè)為實(shí)數(shù)，故，，故，所以.故答案為：14．已知，是復(fù)數(shù)，則下列正確結(jié)論的序號是．①若，則；

②若，則；③若，則；

④若，則．【答案】①②③【解析】設(shè)，(其中，)對于①由，可得，則，故①正確；對于②若，則，，所以，故②正確；對于③若，則，由，，則，故③正確；對于④若，令，，則，，所以，故④不正確.故答案為：①②③四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）設(shè)復(fù)數(shù)．(1)若是實(shí)數(shù)，求；(2)若是純虛數(shù)，求．【解析】（1）由，得，而是實(shí)數(shù)，于是，解得，所以．（2）依題意，是純虛數(shù)，因此，解得，所以．16．（15分）計(jì)算下列各題:(1)；(2).【解析】（1）.；（2）..17．（15分）設(shè)虛數(shù)z滿足.(1)計(jì)算的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)且，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以；?）存在.設(shè)且，假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使，則有，所以，因?yàn)?，所以，得所以存在?shí)數(shù)，滿足.18．（17分）已知i是虛數(shù)單位，a，，設(shè)復(fù)數(shù)，，，且.(1)若為純虛數(shù)，求；(2)若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn).①是否存在實(shí)數(shù)a，b，使向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與向量重合，如果存在，求實(shí)數(shù)a，b的值；如果不存在，請說明理由；②若O，A，B三點(diǎn)不共線，記的面積為，求及其最大值.【解析】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，而為純虛數(shù)，因此，即.又因?yàn)?，且，所以，由，解得或，所以?（2）①存在，理由如下：法一：由題意知：，得，解得或，因?yàn)镺B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與OA重合，所以；法二：設(shè)是以x軸正半軸為始邊，OB為終邊的角，則，所以即，所以，所以，且時(shí)，滿足.所以.②因?yàn)閺?fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是為坐標(biāo)原點(diǎn)），且O，A，B三點(diǎn)不共線，所以設(shè)向量的夾角為θ，，設(shè)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量為則且，因此的面積，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即或時(shí)等號成立，所以，其最大值為2.19．（17分）通過平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對表示向量.類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對看作一個(gè)向量，記，則稱為復(fù)向量.類比平面向量的相關(guān)運(yùn)算法則，對于，，、、、、，我們有如下運(yùn)算法則：①；

②；③；

④.(1)設(shè)，，求和.(2)由平面向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律，我們類比得到復(fù)向量的相關(guān)結(jié)論：①②

③.試判斷這三個(gè)結(jié)論是否正確，并對正確的結(jié)論予以證明.(3)若，集合，.對于任意的，求出滿足條件的，并將此時(shí)的記為，證明對任意的，不等式恒成立.根據(jù)對上述問題的解答過程，試寫出一個(gè)一般性的命題（不需要證明）.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，?）設(shè)，，，、、、、、、，則，，故①不成立，，，，因?yàn)?/p>