第23章解直角三角形單元測試卷2023-2024學年滬科版九年級數學上冊

滬科版九年級數學上冊第23章解直角三角形單元測試卷一、單選題1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，AB=2，那么BC的長等于A． B． C． D．2．在4×4網格中，∠α的位置如圖所示，則tan的值為（）A． B． C．2 D．3．如圖，小敏同學想測量一棵大樹的高度．她站在B處仰望樹頂，測得仰角為30°，再往大樹的方向前進4m，測得仰角為60°，已知小敏同學身高（AB）為1.6m，則這棵樹的高度為（）（結果精確到0.1m，≈1.73）．A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m4．若∠α的余角是30°，則cosα的值是（）A． B． C． D．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cos∠B=，則BC=（）A．6 B．8 C．9 D．156．小菁同學在數學實踐活動課中測量路燈的高度.如圖，已知她的目高為1.55米，她先站在A處看路燈頂端O的仰角為35°，再往前走3米站在C處，看路燈頂端O的仰角為65°，則路燈頂端O到地而的距離為（已知，，，，，）（）A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米7．把△ABC三邊的長度都擴大為原來的2倍，則銳角A的正切函數值（）A．縮小為原來的 B．不變C．擴大為原來的2倍 D．擴大為原來的4倍8．如圖，為測量一幢大樓的高度，在地面上與樓底點O相距30米的點A處，測得樓頂B點的仰角，則這幢大樓的高度為（）A．米 B．米C．米 D．米9．如圖，在河流兩邊有甲、乙兩座山，現在從甲山A處的位置向乙山B處拉電線，已知甲山AC的坡比為15：8.乙山BD的坡比為4：3，甲山上A點到河邊c的距離AC＝340米，乙山上B點到河邊D的距離BD＝900米，從B處看A處的俯角為26°，則河CD的寬度是（參考值：sin26°＝0.4383，tan26°＝0.4788，co26°＝0.8988）結果精確到0.01）（）A．177.19米 B．188.85米 C．192.0米 D．258.25米10．如圖，小明從A處出發(fā)沿北偏東60°方向行走至B處，又沿北偏西20°方向行走至C處，此時需把方向調整到與出發(fā)時一致，則方向的調整應是（）A．右轉80° B．左轉80° C．右轉100° D．左轉100°二、填空題11．若α為銳角，且tanα=1，則α=度12．已知銳角中，，，則的長為.13．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，則邊AC的長是．14．如圖40-4，ED為一條寬為的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤與東岸的高度差為（即）．因為施工需要，現準備將東岸的泥沙通過滑軌送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已經建好一座固定滑軌一端的鋼架，現準備在東岸找一個點作為另一端的固定點．已知吊籃的截面為直徑為的半圓（直徑），繩子，鋼架高度為，距離防洪堤邊緣為．（1）西岸邊緣點與東岸邊緣點之間的距離為．（2）滑軌在運送貨物時保持筆直，要想做到運輸過程中吊籃一定不會碰到點，則的長應大于．三、解答題15．由我國完全自主設計、自主建造的某大型拖船近日完成海上測試.如圖，拖船由西向東航行，到達處時，測得小島位于它的北偏東30°方向，且與拖船相距80海里.繼續(xù)航行一段時間后到達處，測得小島位于它的西北方向，求此時拖船與小島的距離的長（結果保留根號）.16．“2021湖南紅色文化旅游節(jié)——重走青年毛澤東游學社會調查之路”啟動儀式于4月29日在安化縣梅城鎮(zhèn)舉行．該鎮(zhèn)南面山坡上有一座寶塔，一群愛好數學的學生在研學之余對該寶塔的高度進行了測量．如圖所示，在山坡上的A點測得塔底B的仰角，塔頂D的仰角，斜坡米，求寶塔的高（精確到1米）（參考數據：）17．如圖，一樓房AB后有一假山，其坡度為i=1：，山坡坡面上E點處有一休息亭，測得假山坡腳C與樓房水平距離BC=25米，與亭子距離CE=20米，小麗從樓房頂測得E點的俯角為45°，求樓房AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）18．下圖是某大橋的斜拉索部分效果圖，為了測得斜拉索頂端距離海平面的高度，先測出斜拉索底端到橋塔的距離（的長）約為米，又在點測得點的仰角為，測得點的俯角為，求斜拉索頂端點到海平面點的距離（的長）．（）四、綜合題19．如圖所示，某中學九年級數學活動小組選定測量學校前面小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°，朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°.若斜坡FA的坡比i＝1：，求大樹的高度.（結果保留一位小數）參考數據：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，取1.73.20．閱讀下面材料，完成后面題目．0°-360°間的角的三角函數在初中，我們學習過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形ABC，∠A是銳角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA=為了研究需要，我們再從另一個角度來規(guī)定一個角的三角函數的意義：設有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為x軸的正半軸ox，建立直角坐標系（圖2），在角α的終邊上任取一點P，它的橫坐標是x，縱坐標是y，點P和原點（0，0）的距離為r=（r總是正的），然后把角α的三角函數規(guī)定為：sinα=，cosα=，tanα=，cotα=我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關，而與點P在角α的終邊位置無關．比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規(guī)定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題．（1）若90°＜α＜180°，則角α的三角函數值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪幾個？（2）若角α的終邊與直線y=2x重合，求sinα+cosα的值．（3）若角α是鈍角，其終邊上一點P（x，），且cosα=x，求tanα的值．（4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范圍．21．關于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有兩個相等的實數根，其中∠A是銳角三角形ABC的一個內角．（1）求sinA的值；（2）若關于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的兩個根恰好是△ABC的兩邊長，求△ABC的周長．22．如圖，從A地到B地的公路需經過C地，圖中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．（1）求改直的公路AB的長；（2）問公路改直后比原來縮短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）23．如圖，扇形的半徑為，圓心角，點是上的動點（點不與點、重合），點、分別在半徑、上，四邊形為矩形，點在線段上，且．（1）求證：；（2）如圖，以為頂點、為一邊，作，射線交射線于點，聯結，．①當時，求與的面積之比；②把沿直線翻折后記作，當時，求的正切值．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，因為sin=，所以BC=AB·sin=2sin.

【點評】該題較為簡單，主要考查學生對三角函數意義的理解和應用，另外，對特殊角的三角函數值要熟記。2．【答案】C【解析】【解答】解：由圖可得，tanα=2÷1=2．故答案為：C．【分析】將α轉化為到直角三角形中，利用銳角三角函數的定義求出tanα的值.3．【答案】D【解析】【解答】解：設CD=x，在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，則tan30°=CD：AD=x：AD故AD=x，在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，則tan60°=CD：ED=x：ED故ED=x，由題意得，AD﹣ED=x﹣x=4，解得：x=2，則這棵樹的高度=2+1.6≈5.1m．故選D．【分析】設CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由樹高=CD+FD即可得出答案．4．【答案】A【解析】【分析】先根據題意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】∠α=90°-30°=60°，

cosα=cos60°=．

故選A．【點評】本題考查特殊角三角函數值的計算，特殊角三角函數值計算在中考中經常出現，題型以選擇題、填空題為主．5．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cos∠B＝，∴，又∵AB＝10，∴BC＝×AB＝×10＝8，故答案為：B．【分析】在Rt△ABC中根據cos∠B的意義，得出，再根據AB＝10，代入即可求出BC．6．【答案】C【解析】【解答】解：過點O作OE⊥AC于點E，延長BD交OE于點F，設DF＝x，則BF＝3＋x，∵tan65°＝，∴OF＝xtan65°≈2.1x，∵tan35°＝，∴OF＝（3＋x）tan35°≈0.7（3+x），∴2.1x＝0.7（3＋x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15＋1.55=4.7米.故答案為：C.【分析】過點O作OE⊥AC于點E，延長BD交OE于點F，設DF＝x，則BF＝3＋x，根據正切函數的定義得OF=xtan65°≈2.1x，OF＝BFtan35°≈0.7(3+x)，據此可得x，進而求出OF、OE.7．【答案】B【解析】【解答】解：因為△ABC三邊的長度都擴大為原來的2倍所得的三角形與原三角形相似，∴銳角A的大小沒改變，∴銳角A的正切函數值也不變．故答案為：B．【分析】由于△ABC三邊的長度都擴大為原來的2倍所得的三角形與原三角形相似，得到銳角A的大小沒改變，根據正切的定義得到銳角A的正切函數值也不變．8．【答案】C【解析】【解答】解：如圖，在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，∠A＝65°，AO＝30m，∴tan65°＝，∴BO＝30?tan65°米．故答案為：C．

【分析】根據銳角三角函數列出算式tan65°＝，再將數據代入計算即可。9．【答案】A【解析】【解答】解：過點A、B分別作CD的垂線段AE、BF，過點B作BF的垂線BM交EA的延長線于M，則得到三個直角三角形；由AC的坡比為15：8，設，在直角中，，，解得；于是；同理可得：；；在直角中，，；，即；；.故答案為：A.【分析】利用正切的定義可計算出AH的值，再利用CD=EF-EC-DF進行計算。10．【答案】A【解析】【解答】解：60°+20°＝80°．由北偏西20°轉向北偏東60°，需要向右轉．故答案為：A．【分析】將射線BC繞點B順時針旋轉80°可使A、B、C三點共線，據此解答即可.11．【答案】45【解析】【解答】解：∵為銳角，且tanα=1，∴α=45，故答案為：45.【分析】根據特殊角的銳角三角函數值可知tan45°=1，則α的值可求解.12．【答案】【解析】【解答】解：如圖，過點A作于點D，設，，，，故答案為：.【分析】過點A作AD⊥BC于點D，根據等腰三角形的性質可得BD=CD，設BD=a，根據三角函數的概念可得AD=3a，利用勾股定理可得AB=a，結合AB=AC=10可得a的值，進而可得BC的值.13．【答案】【解析】【解答】解：∵BC=2，∴AB==3∴AC=故答案為：.【分析】根據銳角三角函數的定義，結合勾股定理，計算得到答案即可。14．【答案】（1）5（2）0.7【解析】【解答】解：（1）如圖，連接，，

由題意知，，，，∴；（2）如圖，延長交與點G，過點Q作于點K，延長與相交于點O，，，是等腰三角形，，，∵滑軌在運送貨物時保持筆直，要想做到運輸過程中吊籃一定不會碰到點C，則至少為米，，，，，設，則，，，，，，故答案為：5，0.7．【分析】（1）連接，，直角利用勾股定理計算即可；（2）延長交與點G，過點Q作于點K，延長與相交于點O，根據等腰三角形的性質和勾股定理求出，然后可得吊籃的總長度，然后證明，根據相似三角形的性質可得，設，表示出PE，GE，PO和AO，然后代入計算，求出x即可．15．【答案】解：過點作，垂足為，所以，.在中，，即，解得：；在中，，即，解得：；答：此時拖船與小島的距離的長是海里.【解析】【分析】過點B作BE⊥AC，垂足為E，在Rt△BAE中，由求出BE的長，在Rt△BCE中，由求出BC的長.16．【答案】解：在中，（米），（米），在中，（米），則，，，（米），答：寶塔的高約為27米．【解析】【分析】根據銳角三角函數求出，，再利用線段的和差可得，最后將數據代入計算即可。17．【答案】解：過點E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：樓房AB的高為（35+10）米．【解析】【分析】過點E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點H，根據CE=20米，坡度為i=1：，分別求出EF、CF的長度，在Rt△AEH中求出AH，繼而可得樓房AB的高．18．【答案】解：在中，∠ACD=45°．在中，∵米．【解析】【分析】先解直角三角形ADC得出AD的長，然后在直角三角形BDC中求得BD的長，兩者相加即可求得AB的長．19．【答案】解：過點D作DM⊥BC于點M，DN⊥AC于點N，則四邊形DMCN是矩形，∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，∴DN＝AD＝3，AN＝AD?cos30°＝6×＝3，設大樹的高度為x，∵在斜坡上A處測得大樹頂端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴DM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△BDM中，，BM＝DM，∴x﹣3＝（3+），解得：x≈12.5.答：樹高BC約12.5米.【解析】【分析】過點D作DM⊥BC于點M，DN⊥AC于點N，易證四邊形DMCN是矩形，利用坡度的定義可求出DN的長，利用解直角三角形求出AN的長；設大樹的高度為x，利用解直角三角形建立關于x的方程，解方程求出x的值，根據DM=AN+AC，看求出DM的長；然后根據BM＝DM，建立關于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BC的長.20．【答案】（1）解：∵點P（x，y）在第二象限，∴x＜0，y＞0，∵sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，∴sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，cotα＜0，∴取取正值的是sinα（2）解：如圖1中，①當點P在第一象限時，作PE⊥x軸于E．設OE=a，則PE=2a，OP=a，∴sinα+cosα=．②當點P在第三象限時，作PE⊥x軸于E．設OE=a，則PE=2a，OP=a，∴sinα+cosα=．綜上所述，sinα+cosα=或．（3）解：如圖2中，作PE⊥x軸于E．由題意PE=，cosα=，∴OP=2，∴OE=，∴tanα=．（4）解：當α=0°或90°時，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，當α=45°時，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，∴1≤sinα+cosα≤【解析】【分析】（1）根據點P（x，y）在第二象限可知，x＜0，y＞0，再根據sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，即可判斷其符號；

（2）由（1）知，點P所在的象限不同，sinα和cosα的值的符號不同，所以由題意分兩種情況討論求解：①當點P在第一象限時，作PE⊥x軸于E，解直角三角形OPE即可求解；

②當點P在第三象限時，作PE⊥x軸于E，解直角三角形OPE即可求解；

（3）由題意可作輔助線，作PE⊥x軸于E．解直角三角形OPE即可求解；

（4）由題意可知，當α=0°或90°時，sinα+cosα有最小值；當α=45°時，sinα+cosα有最大值，則范圍可求解。21．【答案】（1）解：根據題意得△=25sin2A-16=0，∴sin2A=，∴sinA=±，∵∠A為銳角，∴sinA=（2）解：由題意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有兩個實數根，則△≥0，∴100-4（k2-4k+29）≥0，∴-（k-2）2≥0，∴（k-2）2≤0，又∵（k-2）2≥0，∴k=2，把k=2代入方程，得y2-10y+25=0，解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰長為5．分兩種情況：當∠A是頂角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，∵sinA=，∴AD=3，BD=4∴DC=2，∴BC=2．∴△ABC的周長為10+2；當∠A是底角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，在Rt△ABD中，AB=5，∵sinA=，∴AD=DC=3，∴AC=6．∴△ABC的周長為16，綜合以上討論可知：△ABC的周長為10+2或16．【解析】【分析】（1）根據一元二次方程有兩個相等的實數根知其根的判別式等于0，從而得出方程求出并根據實際情況得出sinA的值；

（2）由題意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有兩個實數根，故則△≥0，從而得出不等式，根據偶次方的非負性從而求解得出k的值，把k的值代入原方程求解得出y的值，從而判斷出△ABC是等腰三角形，且腰長為5．分兩種情況：當∠A是頂角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，根據銳角三角函數的定義及sinA的值，求出BC的長，根據三角形周長的計算方法得出答案；當∠A是底角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，根據銳角三角函數的定義及sinA的值等腰三角形的三線合一求出AC的長，根據三角形周長的計算方法得出答案；22．【答案】（1）解：作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，CH=AC?sin∠CAB=AC?sin25°≈10×0.42=4.2（千米），AH=AC?cos∠CAB=AC?cos25°≈10×0.9