2021-2022學(xué)年吉林省長春市農(nóng)安縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021-2022學(xué)年吉林省長春市農(nóng)安縣九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.-1=0B.3x+l=5x+42Qax1+bx+c=0D.ni2-2m+\=0

x

2.下列說法正確的是（）

A.“買中獎率為擊的獎券10張，中獎”是必然事件

B.“汽車累積行駛lOOOOte,出現(xiàn)一次故障”是隨機事件

C.襄陽氣象局預(yù)報說''明天的降水概率為70%”，意味著襄陽明天一定下雨

D.若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則方差大的更穩(wěn)定

3.下列二次根式中，與?是同類二次根式的是（）

A.福B.y/27C.D.

4.如圖，某停車場入口的欄桿AB,從水平位置繞點O旋轉(zhuǎn)到的位置，已知AO的長為

5米.若欄桿的旋轉(zhuǎn)角NAQ4'=a,則欄桿A端升高的高度為（）

C.5sina米D.5cosa米

5.如圖，已知/1=/2,那么添加一個條件后，仍不能判定△A8C與相似的是（)

ABBCABAC

A.ZC-ZAEDB.NB=ND==

AD-DEAD-AE

6.已知二次函數(shù)y=a^+x+a（a-2）的圖象經(jīng)過原點，則a的值為（）

A.0或2B.0C.2D.無法確定

7.由二次函數(shù)），=-3（x+4）2-2可知（）

A.其圖象的開口向上

B.其頂點坐標為（4,2）

C.其圖象的對稱軸為直線x=-4

D.當(dāng)x>3時，y隨x的增大而增大

8.如圖，已知。、E分別為48、AC上的兩點，且?！辍˙C,BD=2AD,BC=24f則。石

的長為（）

16C.8D.12

二、填空題（本大題共6小題，共18分）

9.若后1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

Q若等得母

11.如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點O,且坐?=?,則維■

EA4BC

12.如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理,

要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為660平方米，則小道的寬為多

少米？若設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為

當(dāng)拱頂離水面2,”時;水面寬4〃?，水面下降2〃?，水面寬度增加

m.

14.如圖，在平面直角坐標系中，正方形0A8C的頂點A在y軸的負半軸上，點C在x軸

的負半軸上，拋物線y="（x+3）2+c（a>0）的頂點為E,且經(jīng)過點A、B,若AABE為

等腰直角三角形，則〃的值是.

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.計算：

⑴近+&+（1-M）2；

⑵加sin45°-2cos30°+V（l-tan600）2-

16.如圖，小明為了測量學(xué)校旗桿CO的高度，在地面離旗桿底部C處22米的A處放置高

度為1.8米的測角儀A8,測得旗桿頂端。的仰角為32°.求旗桿的高度CD（結(jié)果精

確到0.1米）【參考數(shù)據(jù)：sin32°=0.53,cos320=0.85,tan32°=0.62]

X

X

X

/

Br-----------IE

Ac

17.現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球.其中，A袋裝有

2個白球，1個紅球；B袋裝有2個紅球，I個白球.小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：

從搖勻后的4,8兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，則小華獲

勝；若顏色不同，則小林獲勝.請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙

方是否公平，如果不公平，誰獲勝的機會大.

18.2020年，受新冠肺炎疫情影響.口罩緊缺，某網(wǎng)店購進了一批口罩，二月份銷售了256

袋，三、四月該口罩十份暢銷，銷售量持續(xù)走高，四月份的銷售量達到400袋.

（1）求三、四這兩個月銷售量的月平均增長率；

(2)如果繼續(xù)按照相同的增長率增長，那么五月份的銷售量會達到多少袋口罩？

19.圖①、圖②、圖③均是5X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正

方形的邊長均為1,點4、8、C、。均在格點上.在圖②、圖③中，只用無刻度的直尺,

在給定的正方形網(wǎng)格中，按要求畫圖，保留作圖痕跡，不要求寫出畫法.

(1)如圖①，器=_______.

CE

(2)如圖②，在BC上找一點F,使BF=2.

(3)如圖③，在AC上找一點M,連接8M、DM,使△ABMsaCDM.

圖①圖②圖③

20.如圖，RtZ\ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點、D.

(I)求證：AC^^AB'AD；

(2)如果8。=5,AC=6,求CO的長.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程/--2=0

(1)若x=-1是這個方程的一個根，求相的值和方程的另一根；

(2)對于任意的實數(shù)〃?，判斷方程的根的情況，并說明理由.

22.【教材呈現(xiàn)】下面是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容.

例2：如圖，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點，A。、CE相交于點G,求證:

GEGD1

CE'AD

證明：連結(jié)ED

請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，。、尸分別是邊BC、A8的中點，A。、CF相交于點

G,GE〃AC交BC于點E,G”〃AB交BC于點”，則△EGH與△ABC的面積的比值

23.如圖在Rtz\A8C中，NC=90°,AC=4,BC=3.動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒

5位度的速度向終點8運動.當(dāng)點P不與點A重合時，過點P作PDLAC于點。、以AP,

AD為邊作DAPE。，設(shè)點P的運動時間為f秒.

(1)線段4。的長為(用含，的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)點E落在BC邊上時，求，的值：

(3)連接BE,當(dāng)tan/C3E=4?時，求f的值；

4

(4)若線段PE的中點為Q,當(dāng)點。落在△ABC一邊垂直平分線上時，直接寫出f的值.

24.在平面直角坐標系中，點A的坐標為(〃?，-2m+3),過點A作y軸的平行線交二次

函數(shù)的圖象于點B.

(1)點B的縱坐標為(用含，*的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)點A落在二次函數(shù)y=/的圖象上時，求，"的值：

(3)當(dāng)機＜0時，若A8=2.求，"的值；

(4)當(dāng)線段A8的長度隨機的增大而增大時，直接寫出，”的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.~^2+x-1=0B.3%+1=5x+42C.ax1+bx+c=0D.m2-2m+]=0

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可.

解：A.是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

B.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

C.當(dāng)。=0時;不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

D.是一元二次方程，故本選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵,

注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二

次方程.

2.下列說法正確的是（）

A.“買中獎率為擊的獎券10張，中獎”是必然事件

B.“汽車累積行駛lOOOOte,出現(xiàn)一次故障”是隨機事件

C.襄陽氣象局預(yù)報說“明天的降水概率為70%”，意味著襄陽明天一定下雨

D.若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則方差大的更穩(wěn)定

【分析】直接利用概率的意義以及方差的意義、隨機事件分別分析得出答案.

解：A.買中獎率為強的獎券10張，中獎”是隨機事件，故此選項不合題意；

B.汽車累積行駛10000k",出現(xiàn)一次故障”是隨機事件，故此選項符合題意；

C.襄陽氣象局預(yù)報說“明天的降水概率為70%”，意味著襄陽明天大概率下雨，故此選

項不合題意；

D.若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則方差小的更穩(wěn)定，故此選項不合題意；

故選：B.

【點評】此題主要考查了概率的意義以及方差的意義、隨機事件，正確掌握概率的意義

是解題關(guān)鍵.

3.下列二次根式中，與正是同類二次根式的是（）

A.B.^27C.D.-/18

【分析】各式化為最簡二次根式后，找出被開方數(shù)相同的即為同類二次根式.

解：A、原式=空1不符合題意；

3

B、原式=3，^,符合題意；

C、原式=涯，不符合題意；

3

D、原式=3料，不符合題意.

故選：B.

【點評】此題考查了同類二次根式，以及二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握同類二次根

式的定義是解本題的關(guān)鍵.

4.如圖，某停車場入口的欄桿AB,從水平位置繞點O旋轉(zhuǎn)到4b的位置，已知40的長為

5米.若欄桿的旋轉(zhuǎn)角NA04=a,則欄桿A端升高的高度為（）

C.5sina米D.5cosa米

【分析】作AHLA。于H,根據(jù)三角函數(shù)求出AH的長度即可.

解：作AHLA0于”,

V0A,=5/??,N40A'=a,

/.A'H=OA'?sina=5sina（米）,

故選：C.

【點評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知N1=N2,那么添加一個條件后，仍不能判定△ABC與△4OE相似的是（)

ABBCABAC

=D.=

A./C=NAEDB.ZB=ZDAD-DEAD-AE

【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析,從而得到最后答案.

解：VZ1-Z2

，ADAE=ZBAC

.?.A,B,。都可判定△ABCs△ADE

選項C中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，

故選：C.

【點評】此題考查了相似三角形的判定：

①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；

③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似.

6.已知二次函數(shù)(?-2)的圖象經(jīng)過原點，則a的值為()

A.0或2B.0C.2D.無法確定

【分析】根據(jù)二次函數(shù)(a-2)的圖象經(jīng)過原點，可以求得a的值，本題得

以解決.

解：；二次函數(shù)丫=加+刀+。(?-2)的圖象經(jīng)過原點，

.'.0=aX02+0+a(a-2)且aWO,

解得，a—2,

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)

解答.

7.由二次函數(shù))=-3(x+4)2-2可知()

A.其圖象的開口向上

B.其頂點坐標為(4,2)

C.其圖象的對稱軸為直線x=-4

D.當(dāng)x>3時，y隨x的增大而增大

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以寫出該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐

標.

解：?.?二次函數(shù)y=-3（x+4）2-2,

二該函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸是直線x=-4,頂點坐標為（-4,-2）,

，當(dāng)x<-4時，y隨x的增大而增大，

故A、B、。錯誤，C正確;

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利

用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

8.如圖，已知。、E分別為48、AC上的兩點，KDE//BC,BD=2AD,8c=24,則。E

的長為（）

A.6B.16C.8D.12

【分析】由。E〃BC,得AADES^ABC,從而旦E■，代入計算即可.

ABBC

解：???￡>￡〃BC,

/.XNOEsXABC,

.ADDE

ABBC

\'BD=2AD,

.ADJ,

**AB=7

?.?DE=~1,

243

：.DE=S,

故選：C.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會利用相似三角形的性質(zhì)解決問題.

二、填空題（本大題共6小題，共18分）

9.若后1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

【分析】直接利用二次根式有意義的條件進而得出答案.

解：若匯1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,

則x-120,

解得：

故答案為：

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵.

10-若號V，則言=—3一

【分析】利用比例的性質(zhì)設(shè)x+y=3Z,貝ijx=2k,用k表示x,y,將x,），的值代入即可

得出結(jié)論.

解：由題意：設(shè)x+y=3公則x=2A,

：.x=2k.y—k.

?..y~_k—二1.

2x4k4

故答案為：4-

4

【點評】本題主要考查了比例的性質(zhì)，設(shè)x+y=3k,則x=2k,用字母Z:表示出x,y是解

題的關(guān)鍵.

11.如圖，四邊形4BC。與四邊形EFG”位似，其位似中心為點0,且萼二，則感

EA4BC

旦

4-

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到?,需二果’證明△四SW'根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)計算即可.

解：：四邊形ABCO與四邊形EFGH位似，位似中心為點0,

FGFF

:.EF//AB—,

9BCAB

：,1\OEFS[\OAB,

,EF=0E=_9

**AB-OA-T

?.?FG9，

BC4

故答案為：4-

4

【點評】本題考查的是位似圖形的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的概

念得到E尸〃48是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，

要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為660平方米，則小道的寬為多

少米？若設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為(35-2x)(20-x)=660.

【分析】根據(jù)題意和圖形，可以將小路平移到最上端和對左端，則陰影部分的長為(35

-2%)米，寬為(20-x)米，然后根據(jù)長方形的面積=長義寬，即可列出相應(yīng)的方程.

解：由題意可得，

(35-2x)(20-x)=660,

故答案為：(35-2%)(20-x)=660.

【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是把原圖形可以與

平移后的圖形建立關(guān)系，將復(fù)雜問題簡單化.

13.如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2機時，水面寬4〃?，水面下降2〃?，水面寬度增加

(4\/3-4)in.

【分析】根據(jù)已知建立平面直角坐標系，進而求出二次函數(shù)解析式，再通過把y=-2代

入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案.

解：建立平面直角坐標系，設(shè)橫軸x通過A8,縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通

為(0,2),

通過以上條件可設(shè)頂點式y(tǒng)=af+2,其中a可通過將A點坐標(-2,0)代入拋物線解

析式可得出：a=-0.5,

所以拋物線解析式為y=-0.5T+2,

當(dāng)水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)y=-2時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y=-2與拋物線相交的兩

點之間的距離，

可以通過把y=-2代入拋物線解析式得出：

-2—-0.5x2+2,

解得：x=±2、歷，所以水面寬度增加到外/5米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了(氣內(nèi)-4)

米，

故答案為：472-4.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析

式是解決問題的關(guān)鍵.

14.如圖，在平面直角坐標系中，正方形OA8C的頂點A在y軸的負半軸上，點C在x軸

的負半軸上，拋物線y=a(x+3)2+c(a>0)的頂點為E,且經(jīng)過點A、B,若/\ABE為

等腰直角三角形，則a的值是《.

一3一

【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到拋物線的對稱軸，從而可以得到AB的長,

然后即可得到點A的坐標，再根據(jù)AABE為等腰直角三角形，即可得到點E到AB的距

離，從而可以得到點E的坐標，然后根據(jù)點A在拋物線上，即可求得。的值.

解：?.?拋物線y=a(x+3)2+c(a>0),

，該拋物線的對稱軸為直線x=-3,

：.AB=2X\-3|=6,

...點A的坐標為(0,-6),

?.?△4BE為等腰直角三角形，AB=6,

.?.點E到AB的距離為3,

.??點E的坐標為(-3,-9),

，拋物線為y=a(x+3)2-9,

?.?點A(0,-6)在該拋物線上，

/.-6=a(0+3)2-9,

解得a=［，

故答案為：4-

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

數(shù)形結(jié)合的思想解答.

三、解答題(本大題共10小題，共78分)

15.計算：

⑴VI2-近?揚(1-?)2；

(2)&sin45°-2cos30°+V(l-tan600)2-

【分析】(1)先利用二次根式的除法法則和完全平方公式計算，然后合并即可；

(2)先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì)得到原式=&X掾-2X亨+|1-

V3l)然后進行乘法運算和去絕對值，最后合并即可.

解：(1)原式=2正--2傷3

=2疾~V3+4-2y

=4-a；

(2)原式=圾乂堂-2X喙+|1-731

=1-V3+V3-1

=0.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘除

法則是解決問題的關(guān)鍵.也考查了特殊角的三角函數(shù)值.

16.如圖，小明為了測量學(xué)校旗桿CQ的高度，在地面離旗桿底部C處22米的A處放置高

度為1.8米的測角儀測得旗桿頂端D的仰角為32°.求旗桿的高度CD.（結(jié)果精

確到0.1米）【參考數(shù)據(jù)：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan320=0.621

X

AC

【分析】根據(jù)正切的定義求出。E,結(jié)合圖形計算，得到答案.

解：由題意得：CE=A8=1.8米，3E=AC=22米，

在RtZ\￡?8E中，NDBE=32°,

貝I]OE=BE?tan/OBE=22X0.62=13.64（米）,

.?.C￡）=OE+EC=13.64+1.8和15.4（米），

答：旗桿的高度CO約為15.4米.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

17.現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球.其中，A袋裝有

2個白球，1個紅球；8袋裝有2個紅球，1個白球.小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：

從搖勻后的A,B兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，則小華獲

勝；若顏色不同，則小林獲勝.請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙

方是否公平，如果不公平，誰獲勝的機會大.

【分析】由上表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中顏色不相同的結(jié)果有4種，顏色相同

的結(jié)果有5種，根據(jù)概率公式求出各自的概率，再進行比較即可得出答案.

解：根據(jù)題意，列表如下：

AB紅1紅2白

白1（白1,紅1）（白1,紅2）（白1,白）

白2（白2,紅1）（白2,紅2）（白2,白）

紅（紅，紅1）（紅,紅2）（紅，白）

由上表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中顏色不相同的結(jié)果有5種，顏色相同的結(jié)果有4

和I，

：.p(顏色不相同)=與，p(顏色相同)=4-

99

..475

99

.??這個游戲規(guī)則對雙方不公平，小林獲勝的機會大.

【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，

概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

18.2020年，受新冠肺炎疫情影響.口罩緊缺，某網(wǎng)店購進了一批口罩，二月份銷售了256

袋，三、四月該口罩十份暢銷，銷售量持續(xù)走高，四月份的銷售量達到400袋.

(1)求三、四這兩個月銷售量的月平均增長率；

(2)如果繼續(xù)按照相同的增長率增長，那么五月份的銷售量會達到多少袋口罩？

【分析】(1)設(shè)三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為x,根據(jù)二月份及四月份口罩

的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

(2)五月份的銷售量=四月份的銷售量X(1+x).

解：(1)設(shè)三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為X,

依題意，得：256(1+x)2=400,

解得：X!=0.25=25%,x2=-2.25(不合題意，舍去).

答：三、四這兩個月銷售量的月平均增長率為25%.

(2)根據(jù)題意，得400X(1+25%)=500(袋).

答：五月份的銷售量會達到500袋口罩.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

19.圖①、圖②、圖③均是5X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正

方形的邊長均為1,點A、8、C、。均在格點上.在圖②、圖③中，只用無刻度的直尺,

在給定的正方形網(wǎng)格中，按要求畫圖，保留作圖痕跡，不要求寫出畫法.

(1)如圖①，券=《.

CE-2~

(2)如圖②，在BC上找一點凡使BF=2.

(3)如圖③，在AC上找一點連接BM、DM,使△ABA/SACQM.

圖①圖③

【分析】(1)證明△AEBS/XOEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答;

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)畫出圖形，作出點F；

(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)解答.

解：⑴■:AB//CD,

：.△AEBs^DEC,

.BEAB

，，CE-CD，

CD=2,

.BE1

CE2

故答案為：［?；

(2)如圖②，點尸即為所求；

(3)如圖③，點”即為所求.

圖②

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)定理是解題的

關(guān)鍵.

20.如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點、D.

(1)求證：AC2=AB>AD；

(2)如果BO=5,AC=6,求C￡>的長.

【分析】(1)證明Rt44COsRt2\A8C,然后利用相似比可得到結(jié)論；

(2)由得到62=(AD+5)-AD,則可求出AD=4,然后利用射影定理計

算出C￡＞的長.

【解答】(1)證明：?.?COLA8,

AZADC=90°,

'：ZDAC^ZCAB,

.,.RtAACD^RtAABC,

：.AC：AB=AD：AC,

."MC2=ABMD；

(2)解：

：.62=(AD+5)-AD,

整理得AU+5A。-36=0,解得4。=-9(舍去)或AO=4,

；CD2=AD?BD,

CD=5/4X525/5.

【點評】本題考查了射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的

比例中項.每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程/-，始:-2=0

(1)若x=-1是這個方程的一個根，求〃?的值和方程的另一根；

(2)對于任意的實數(shù)〃7,判斷方程的根的情況，并說明理由.

【分析】(1)把X=-1代入已知方程，得到關(guān)于機的一元一次方程，通過解該方程來

求機的值；

(2)由根的判別式的符號來判定原方程的根的情況.

解：(1)將x=-1代入方程/--2=0,得1+〃?-2=0,

解得m=l,

解方程爐-彳-2=0,解得xi=-l,X2—2;

(2)VA=/?z2+8>0,

...對于任意的實數(shù)m,方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【點評】本題考查了根的判別式和方程的解的定義.一元二次方程以2+以+°=0(a￥0)

的根與△="-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)4>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當(dāng)A<0時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

22.【教材呈現(xiàn)】下面是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容.

例2：如圖，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點，A。、CE相交于點G,求證:

GE_GD_1

CE'AD

證明：連結(jié)ED

請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，D、F分別是邊BC、AB的中點，AD.CF相交于點

G,GE〃AC交BC于點E,GH〃AB交BC于點、H,則△EG"與△ABC的面積的比值為

1

5一’

AA

【分析】【教材呈現(xiàn)】連接DE,如圖①，先利用三角形中位線的性質(zhì)得到。E〃AC,DE

=54C,則證明△OEGS/VICG,利用相似三角形的性質(zhì)得黑與%=4,然后利

2CGAGAC2

用比例的性質(zhì)得到結(jié)論；

【結(jié)論應(yīng)用】由（教材呈現(xiàn)）得粵品，再證明△OEGs^OCA,利用相似比得到DC

DA3

=3DE,利用相似三角形的性質(zhì)解答即可.

解：【教材呈現(xiàn)】連接。區(qū)如圖①，

：￡＞、E分別為8C、BA的中點，

.?.OE為△ABC的中位線，

J.DE//AC,DE=—AC,

2

:.△DEGS[\ACG,

.EGDGDE.1

"CG"AG"ACV

.EG_GD_1

?'CG+EG=AGMD=2+1'

CEAD3

【結(jié)論應(yīng)用】；力、尸分別是邊8C、A3的中點,

AA

圖①圖②

\-GE//AC9

：./\DEG^/\DCA,

.DE_DG_1

"DC"DA"?'

.SADEG1

2AABD9

同理可得，*阻4,

SAABD9

.SAEGH1+11

故答案為：J.

9

【點評】本題考查了相似三角形的綜合，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心性質(zhì)：重心到頂點的

距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1解答.

23.如圖在RtZVIBC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.動點尸從點A出發(fā)，沿AB以每秒

5位度的速度向終點B運動.當(dāng)點P不與點A重合時，過點尸作尸O_LAC于點。、以AP,

AD為邊作QAPE￡>,設(shè)點P的運動時間為t秒.

（I）線段4。的長為4r（用含，的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)點E落在BC邊上時，求f的值；

（3）連接BE,當(dāng)tan/CBE=5時，求，的值；

4

（4）若線段PE的中點為Q,當(dāng)點Q落在△ABC一邊垂直平分線上時，直接寫出，的值.

【分析】⑴根據(jù)角A的三角函數(shù)值求出AO=%P="

（2）作圖，根據(jù)點E落在AB邊上時通過相似三角形的比例或者銳角三角函數(shù)求解.

（3）分別作出點E在兩側(cè)圖象，構(gòu)造直角三角形，通過f表示各邊長再通過銳角三

角函數(shù)計算.

（4）分別作出三邊的垂直平分線與Q相交的圖象，再根據(jù)三角形中位線及銳角三角函數(shù)

求解.

解：(1)由題意得AP=5f.

7AB=VAC2+BC2=5>

...cos^AD^l,

APAB5

4

：.AD=—AP=4t.

5

(2)如圖，當(dāng)點E落在BC邊上時，CO=AC-AO=4-43DE=AP=5t.

9

：DE//ABf

：.ZCDE=ZAf

：.cosZCDE=—^—,

DE5

c，解得心

d'B

(3)①如圖，當(dāng)0<f<a時，延長尸E交BC于點尸，

?：NC=NCDP=NDPE=90°,

???四邊形COP尸為矩形.

PF=CD=4-4r,CF=DP=3t,

：.EF=PF-PE=PF-40=4-4f-4f=4-8九

BF=BC-CF=3-3t.

②如圖，當(dāng)f〉卷時，PE交2C于點尸，連接BE.

?：APED為平行四邊形，四邊形CDPF為矩形，

.