2022-2023學(xué)年江蘇省南京市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案帶解析)

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市統(tǒng)招專升本數(shù)

學(xué)自考真題（含答案帶解析）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

1.

下列所給級數(shù)中收斂的是)

8t

B.￡7

n=IVfj

D.^2In"5

n=1

2.

若函數(shù)y=可導(dǎo).〃=e"則dy=

A./(eJ)daB./(e')d(e")

C.ff(x)eJdj-D.[/(eI)了deJ

3/-2/-3歹=0,則該微分方程的通解為（）

3x3x

A.qe^+Qe"B.C,e+C2e~

-33x

C.C^+Cje"D.Ge*+C2e

4.

曲線》=鋁|的漸近線()

A.僅有水平漸近線B.既有水平又有垂直漸近線

C.僅有垂直漸近線D.既無水平也無垂直漸近線

5.

)

6.

設(shè)曲線y=—/(a)在［a，瓦］上連續(xù)，則由曲線v=—/(二),直線.丁=a,1=方及1軸

圍成的圖形的面積A=)

AJ仆"B.—J/(x)d.rC.J|/(J*)|d.rD.|J/(j)d.r|

7.

.已知函數(shù)F(T)是/(.r)的一個原函數(shù)，則不定積分=()

A.-F(^)+CB.yF(2.r)+C

C.F(^)+CD.F(2^)+(：

8.

已知函數(shù)/(工)在鄰域(一3,8)內(nèi)連續(xù)，當(dāng)rW(-3,0)時，/'(1)VO;當(dāng)z€(0⑶時,

//(①)>0?則在鄰域(一臺,”內(nèi)()

A./(0)是極小值B./(0)是極大值

C./(0)不是極值D./(0)是最大值

9.

f(.r)=(之一Jr。)?夕(1),其中叭工)可導(dǎo)，則f(XQ)=()

A.0B.(p(xo)C.<p'(JCO)D.8

10.

曲面:=/在(1.-2,3)處的切平面方程為()

A.21+2y+w—3=0B.2xH-2y—之+3=0

C.22―2?+之+3=0D.2w—2)—之一3=0

11.

產(chǎn)=1+〃,

設(shè)曲線＜（t為參數(shù)）?則也=()

y=-，

A”Bc—D.3r

4r-f,2t

12.

.lim—-2cosa_(

sir

A.1B.OC.y/2D.>/3

13.

下列極限存在的有(

A.limeJB.lim皿C.limcos—D.lim片與

,r-?+oo-01-oJC.1+eJC-0

14.

設(shè)函數(shù)力（了）=J（t—l）df,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Mi）的極大值為1B?6（1）的極小值為1

C.。（①）的極大值為一［■D.Mi）的極小值為一［

15.

若函數(shù)/(r)=(In->1),貝"⑴=()

A.(Ini)-B.(Ini尸+(Ini)'ln(lni)

C.(IruO'lndna')D.l,(llLT)'

16.

已知Z,3,C,I均為“（〃N2）階方陣，其中/為單位矩陣，著ABC=I,則下列各式

中總成立的是()

A.BCA—IB.ACB=IC.BAC=ID.CBA=I

17.

區(qū)間()是函數(shù)y=e?單調(diào)遞減的凸區(qū)間.

A.(-co,-l)B.(-1,0)c.(0,1)D.(L+00)

18.

.x2sinxdx=()

J—K

A.KB.一nc.1D.0

19.

級數(shù)？、…"的和為

4()

「23

A—B.4D.10

-6

20.

(21-n

已知矩陣4=-1-32(則尸⑷=()

b4-3;

A.0B.1C.2D.3

21.

=工，則

已知函數(shù)/(-r)0(+)b()

A.rB.r2c.-D.-7

x2

22.

已知的拉普拉斯變換為上，則的拉普拉斯變換為

/(x)()

S

A.-B.-i-rC.".D.s

5s十1s-1

23.

「

+27-sinr_()

一82x2+sinx

A-1

B.2C.OD.不存在

24.

設(shè)f（z）的定義域?yàn)椋?2,2）.則八31+D的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-5,7)B.[-C.[-1*]D.(-5,7)

25.

曲線y=sinz在區(qū)間（0,2腦內(nèi)的拐點(diǎn)是()

A仔1)B.TC.7=兀D.(兀,0)

26.

已知￡/(。由=必，則/(3)=()

A.0B.3C.6D.9

27.

.設(shè)D={Q”)II12,||=1|}，則+y)didy=()

5

A.OB.-1C.2D.1

28.

設(shè)A,是〃階矩陣A的伴隨矩陣，則正確的是（）

A.(A*尸=|A|A-1B.|A"|=|A尸

C.(M)*=FA*D.(A")*=0

29.

.下列廣義積分收斂的是()

A.r叵業(yè)B.rC.[1djD.[cos.rd.r

J2XJ1?Jiyj._iJi

30.

下列級數(shù)絕對收斂的是()

A.￡(-1)"耒B.￡<

1VM?-1乙

8。、811

c?寧士D?俏Y)

二、填空題(20題)

「=

31.J11卜廠___

32.

已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：P(X=1)=0.2.P(X=2)=0.3,P(X=3)=

0.5,則X的方差為.

33點(diǎn)(。2.-3)到平面7,一y+5：—1=0的跟離是

設(shè)f(之)=(之3+2之一1尸+1,則/(之)=

34.丁

設(shè)/(.r)的定義域是［0,□，則/(9^)的定義域是

35.________________________

r-—=

36x?+2x+2

37.

設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間(YO,8)內(nèi)連續(xù)，且/(x)=3-~-(X>0),則/(())=.

X

38曲線/卜)=/_2/+1,則拐點(diǎn)坐標(biāo)為.

(Inj'+1)dx=

39.

40設(shè)函數(shù)/'Un.r)=2I+1,則尸。18>(外=

定積分sin在Lr=

41.0/

fj*=3r+1,

設(shè)，則》=

421'，=2/_+1.

I，?____

r仔

定積分cos.zsin.rdT=___________.

43.—

44設(shè)「[/(，)]=F(s),則FC/(z)sin^0/]=

45.

要使函數(shù)/(])=―1--,~在z=1處連續(xù)?應(yīng)補(bǔ)充定義/(1)=

JC-1.廠-1

設(shè)/（x*v）=e~'sin（①+2y）?則

46.14

47交換二次積分的積分次序￡（10百/（匕'）心=_

48.微分方程jy'~-y=0的通解是y=

I

一1+1)sin2jd.z=

49.j

函數(shù)/(.r)=一廠的幕級數(shù)展開式是

50.1-21-

三、計算題(15題)

51.

..1

x*sin-,工X0，

設(shè)fCr)=《丁試問當(dāng)a取何值時，函數(shù)人"在點(diǎn)處:

10,#=0,

(1)連續(xù)；

(2)可導(dǎo).

求函數(shù)3=之的單調(diào)區(qū)間以及凹凸區(qū)間.

52.

53.

計算曲線積分］(2z-y+4)dz+(5y+3*-6)d.y,其中L為三頂點(diǎn)分別為(0,0).

(3.0)和(3,2)的三角形正向邊界.

54.

已知函數(shù)z=由方程e-jy—2z+ee=0所確定，求dm

求塞級數(shù)X-的收斂域(討論端點(diǎn)處的斂散性).

n

55."=i'2

,求極限lim:0——三---

“i/l+tanx-yl-FT

JO.

設(shè)函數(shù)z=有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)"=孫，v=—,求dz.

57.X

計算二重積分

58.

求不定積分［7?arctan.rdj-.

59.

求微分方程程"-2y'=43+才的通解.

60.

61.

x1+x2+x3=1,

.設(shè)非齊次線性方程組＜2玉+/+*3=2,已知(1,-1,1)7是方程組的一個解.

3%+x2+ax3=b,

(1)問a,b為何值時方程組有唯一解？

(2)問為何值時方程組有無窮多解？并求出導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示的通解.

設(shè)/(x)的一個原函數(shù)為求不定積分J修d*.

62.

63.

若函數(shù)f\x)是連續(xù)函數(shù)，/(2)=3,/'⑵=0,￡f(x)dx=2,求工x7°(2x)(k.

Xi+x2-x3=l,

方程組(2再+3X2+笊3=3,當(dāng)4為何值時有無窮多解，并求解.

64［苞+?2+3/=2,

65.

計算曲線積分］(/-2zy—2;r.y)d.y,其中L是拋物線y=*上從點(diǎn)(-1,1)

到點(diǎn)(1,1)的一段弧.

四、證明題(10題)

66.

已知方程4?+313—V=0有一負(fù)根］=—2,證明方程4+9uN—51"=0必有一個

大于一2的負(fù)根.

67.

證明：當(dāng).下＞0,0VaV1時,k—ar41—a.

設(shè)eVaVVe?,證明ln")—ln2u〉*(b—a).

68.&

69.

證明不等式：+＜昂(1+父)，其中7＞0.

1十7

70.

證明：當(dāng)i>0時，ln（i+f）>父.

證明等式arcsine+arccos.r=

71.

-dzdz

已知二元函數(shù)2=屣*,證明：X—+y—=x

72.派如

73.

,設(shè)函數(shù)/（才）在［0,1］上連續(xù)，在（0.1）內(nèi)可導(dǎo)，且/（1）=1,證明,在（0.1）內(nèi)至少存在

一點(diǎn)&使得/（￡）+&“（￡）—2￡=。成立.

證明:方程Y-4,+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個根.

74.

75當(dāng)①>1時，證明：工Imr>才一L

五、應(yīng)用題（10題）

76.

建筑一個容積為8000n?,深為6m的長方體形無蓋蓄水池,池壁的造價為。元/n?,

池底的造價為2a元/n?,問蓄水池底面的邊長各為多少時,總造價最低？

77.

欽做一個容積為Vm3的無蓋圓柱形儲盤桶，底用鋁制，惟用木板制，已知每平方米

鋁價是械價的5倍澗怎樣做才能使費(fèi)用最少.

78.

一工廠加工某種產(chǎn)品，固定成本1萬元，每多生產(chǎn)一百件產(chǎn)品，成本增加2萬元,

總收入R(單位：萬元)是產(chǎn)量。(單位：百件)的函數(shù)，設(shè)需求函數(shù)為。=12-2p.

(1)求利潤函數(shù)：

(2)產(chǎn)量為何值時，利潤最大？最大利潤是多少？

(3)當(dāng)價格尸=3時的需求彈性，解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)含義.

79.

曲線>=>0),直線z+_y=2以及、軸圍成一平面圖形D,試求平面圖形D繞

y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

80.

設(shè)fCr)在㈤二階可導(dǎo)，且f(6)=0,又設(shè)F(x)=-證明在(&,力內(nèi)

至少存在一點(diǎn)3使廠(W)=0.

81.

現(xiàn)有邊長為96厘米的正方形紙板，將其四角各剪去一個大小相同的小正方形，折做成

無蓋紙箱.問剪區(qū)的小正方形邊長為多少時做成的無蓋紙箱的容積最大？

82.

要求設(shè)計一個帳篷,它下部的形狀是高為1m的圓柱體，上部的形狀是母線長為3m

的圓儺(如圖所示).試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)。到底面中心(入的距離為多少時,帳篷的體積最大？

83.

一個平頂器皿其側(cè)面是鉛直的，且側(cè)面高度為力，現(xiàn)把它內(nèi)部盛滿了水放在水平面上,

一股水流從側(cè)面的小孔水平射出，速度等于J察，X是小孔距離器皿頂部距離，求X為

何值時，水射出的距離最遠(yuǎn).

84.

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每多生產(chǎn)一噸該產(chǎn)品，成本增加5萬

元，該產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為R（Q）=10-0.02。，其中。（單位：噸）為產(chǎn)量.

試求：（1）該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)；

（2）該產(chǎn)品的總收入函數(shù)；

（3）。為多少時，該廠總利潤乙最大？最大利潤是多少？

85.

設(shè)D是曲線y=x?以及該曲線在（1,1）處的切線和y軸所圍成的平面區(qū)域。求：（1）

平面區(qū)域D的面積S；（2）D繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V。

六、綜合題（2題）

86.

,過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=e，的切線/.切線/與曲線y及y軸圍成的平面圖形記為

G.求：

切線/的方程；

87.

已知當(dāng)Nf0時\/1+or2-1）與si/x是等價無窮小量.

U）求常數(shù)a的值；

（2）判斷vl+ar:-1在定義域內(nèi)的凹凸性.

參考答案

1.C

L答案」C

ec>eo<x>

【精析】S2均是/>.1的八級數(shù)?故發(fā)散；>>1"5是公比為In5>l的等

n=l〃n=l\JH?=1

比級數(shù).故發(fā)散；而g(—1)"十是交錯級數(shù).且滿足萊布尼茨判別法的條件.故收斂.

2.B

［答案1B

【精析】由一階微分形式不變性可知.dy=d/(u)==/'(eDeke，)，應(yīng)選B.

3.A

【評注】本題考查的是二階常系數(shù)微分方程的通解，特征方程：r2-2r-3=0,r=3

或-1,通解為。戶7+。2P。

4.B

【精析】lim2}+1=0,lim=8.

,-8r-3x.iy3x-6

所以.y=0是水平漸近線一=±&是垂直漸近線?故應(yīng)選B.

［答案1A

【精析】畫出積分區(qū)域如圖,交換積分次序?得

*/8-J

dvv)dw.

厲''

式廠【精析】由定積分的幾何意義知C正確.

6.C

7BJ/(2.r)d.r=/(2i)d(2z)=gF(2.r)+C.

8.A

由題可知/(工)在(一九0)單調(diào)減少，在(0,6)單調(diào)增加，又由/(7)在(一6.6)

連續(xù)，可知八E)在1=0處取得極小值.

9.B

【精析】/"(z)=叭工)+(1—io)?'(I),則/'(io)=卯(4)，故選B.

10.D

[答案JD

【精析】令尸(Z,3,N)=M+1?一之，則F,|=2,FVI=-2,F,|=—1,

ZI(1-2.3)ICl，-2⑶I(b-2.3>

即所求切平面的法向量為｛2,—2,—1),故所求切平面方程為2(1一1)-2(》+2)一

(之一3)=0,即2x—2y—z—3=0.

11.A

/支,\f

[精析】—(〃)—3/~—3d-y—(2)—2—3古々府冼A

【精析】d7_(產(chǎn)+D'_五一于’#一十1)，—云一石?故應(yīng)選A.

12.D

2X囪

lim1―2c°，=lim—紅皿一=—二4=居，故應(yīng)選D.

13.B

【精析】顯然只有l(wèi)im四紅=2,其他三個都不存在，故應(yīng)選B.

.10JC

14.D

【精析】“(支)=工一\,$'(1)=精令夕(1)=0得1=1"〃(1)=1〉0,故可知力(1)

fl6―1)211

的極小值為6(1)=(￡—1)由=---=一方.

JoZoZ

15.B

【精析】因?yàn)?'(工)=(Inr),1=elln<ln,)，故fCr)=(lnr),[iln(liir)]/=(liLr)*ln(liir)+

r'?=(huyT+(lai尸In(hir),故應(yīng)選B.

llU,

16.A

A解析：考查逆矩陣及矩陣乘積.因?yàn)?BC=/,故力T=BC,因此BC4=/成立.

17.C

【評注】y=e^fy'=reF.當(dāng)XG（0,+OO）時，/<0,在（0,+co）單調(diào)遞減.

2

/=-e~+x2e~=e~（x-1）,/<0,（-1,1）為凸區(qū)間，即（0,1）為/（x）的單調(diào)

遞減凸區(qū)間.

18.D

【精析】由于y=j,2sin.r為［―n.用上的奇函數(shù)?故|sirud.r=0,本題選D.

19.C

［答案］C

中析】

§（1）'的前〃項(xiàng)和，=￡—忖）一（燈+.”+6）”=

E（一打的前“項(xiàng)和發(fā)一1■十（一看）十（一力十…十（一看）"=

limSi=4,limSa-?

JI—w-^oO

所以級數(shù)*4“+:1”二

M=i3b

20.C

21c【精析】因?yàn)?r)=1.則/($)=；?所以；?故應(yīng)選(：.

22.C

【精析】已知P/</)e--dr=則「°,/⑴eV出=r/⑺出?&=

J05J0J0

「小

9/(r)en)d=---1--故應(yīng)選C.

J0S—1

23.A

［答案］A

1+2_sim

【精析】lim—皂一=lim一"I=4，本題選A.

lbLx十sin.r廠―？+sinrL

x2

24.B

【精析】由/（上）的定義域?yàn)椋?2,2）得一2=3工+1V2,從而一14.rV；,所以

/（3.r+l）的定義域?yàn)椤敢?卜故應(yīng)選B.

25.D

【精析】y—COST,/=—siiu'，令y"=0,得z=it,在（0,"）內(nèi)y"<0,（冗,2攵）內(nèi)

y>0,且h=IT時,y=sim=0,故曲線的拐點(diǎn)為（兀,0）.

26.C

【評注】因?yàn)椤?（。出=/，利用對積分上限函數(shù)的求導(dǎo)公式，等式左右兩側(cè)同時關(guān)

于x求導(dǎo)，便得到〃x）=2x,所以7（3）=6,選C.

27.A

【精析】由區(qū)域D關(guān)于2?軸和y軸均對稱，而心，關(guān)于H和y均為奇函數(shù)關(guān)于y為

奇函數(shù),故||（.a+y）d.rdv=0.故選A.

D

28.B

［答案］B

【精析】A*=A'"A|,則|A*|=|AT|A||=（|AI”?1A」1|=|A尸.

29.C

「一X島十1+8

【精析】A中一--dj*=|ln.rdln.r——（In.r）-=+8,發(fā)散；

J2xJ242

B中（-^=.d=2>/71=+8,發(fā)散；

C中1CLT=2Jx—1=2,收斂；

J1Jx—11

D中cosjd.r=sin.r.發(fā)散?故本題選C.

J11

30.B

【精析】選項(xiàng)A中，級數(shù)g的？級數(shù)，故發(fā)散,但原級數(shù)滿足萊布尼茲定

理，所以原級數(shù)條件收斂；選項(xiàng)B中.級數(shù)百余是q=^?的等比級數(shù).故絕對收斂;選項(xiàng)

C中，1加》十2了+3=1,故原級數(shù)發(fā)散；選項(xiàng)D中，=V1-V1,

而與±發(fā)散.故由級數(shù)的性質(zhì)可知原級數(shù)發(fā)散.故應(yīng)選B.

31.0

［答案］o

■百人/?,、tan.r、(―.r)tan(一1)—.r2，，;"tan.r.

【精析】令/(才)=-r———?/(-J')=------------------------=----------------=—)r(t工),

1十才1十x1—JT

可知/(J-)為奇函數(shù),故|.'aFUda=0.

J-J1十JC

32.0

【精析】E(X)=1X0.2+2X0.3+3X0.5=2.3,E(X2)=尸xO.2+22X0.3+

3*X0.5=5.9.D(X)=E(X2)-LE(X)?=5.9一(2.3產(chǎn)=0.61.

33.

［答案1曾

17痣【精析】距離a=|35—2-15—117=17痣

15749+1+25573**

34.

9

5(3之2+2)(/+2z—1)1——

［答案15(3z2H-2)(c*+2z―1),—

【精析】/'(之)=5(—+2。-1尸?(/+2之-1)'+

9

=5(/+2z-l)i(3/+2)-4J.

j?'

35.

11n

彳'至

【精析】由題意知,0W9/<1，即ow〃wj，則一4WiW；.

UKJO

36.

it

4

I評注】『年rH瑞*…my-冷

37.

2

3xln3-2xln21,

【評注】因?yàn)?(0+0)=lim=ln].所以由/'(x)在(-8,+8)上連續(xù)

x->0*1

知，/(0)=/(0+0)=ln^.

38.

2H_

3,27；

39.

?rlrur+C

【精析】(In.r+l)clr=Inrdi+|cLr=z?Irur—|di+|cLr=zlrLT+C.

40.

21

因?yàn)?(Ini)=2.r+1=2*+1,所以/'(1)=21+1,/舊⑻(.r)=21.

41.

【精析】sin—(Lr=2

o2

42.

ddx

i

d-dz4/—1,閨一

dl~3~

dF

43.

0

【精析】原式=^sinxd(sinx)=*in"(=0.

44.

■^[F(3+OJo)—F((JU-CUQ)]

乙

_/(/)sina；o^-to/dt=[/(/)

【精析】F[/(f)sinojo/[=

—J—<x>

ir+R

4-\"m—e-，f")d/

2i

=“力一17⑺廠公“叫

Zl\J—3

=知"3-3?！狄痪W(wǎng)3+3力

=,[F(3+3。)—F(3—U>0)].

45.

x

~2

【精析】人])=—^一」7=當(dāng)二；=+「要使/(工)在了=1處連續(xù)?則

Z-1J-2—1J-2—1①+1

lim/(x)=/(1),即^^^=/(I)=-y-

1.11+1Z

46.0

【精析】由丁/（。??。?sin2y?則（0.、y）=2coN2,y?所以八（°葉）=2cos■二

47.

￡時：很，刃?

48.

「?/（（'為任意常數(shù)）

【精析】微分方程分離變量得：蟲=2心.方程兩邊同時積分得：1U；y1=21n].r|

yx

（；.即.y—Cr"其中C為任意常數(shù).

49.

1--^-sin2

f（①3一7+1）sin2.rd.r=[sin晨di

J-iJ-i

=2jsin晨di=J（1—cos2vi）dj"

=口導(dǎo)呵:=1-|sin2.

50.

oo

22"?k

，r=0

【精析】由于占的幕級數(shù)展開式為匚二=￡,r"，故占-=￡（1/）"=￡2"?

I▲?=011"rt=o〃=o

51.

【精析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)limf（z）=/（0）=0時.函數(shù)/（J-）在點(diǎn)工=。處連續(xù).

工一0

山于當(dāng)a40時，lim/O=limjr0sin—不存在，

x?o]X

而當(dāng)a>0時Jim/（J"）=—=0.

L。J—0X

由此可知，當(dāng)且僅當(dāng)a>0時/（]）在x=0處連續(xù)；

（2）lim-―（⑹=lim"'山"=liniz^'sin—,

l。X-0L。XLI）X

當(dāng)a-l&04Pa41時，該極限不存在；當(dāng)a-l>0,即a>1時,該極限值為0.

由此可知,當(dāng)a>1時，函數(shù)/<x）在點(diǎn)工=0處可導(dǎo)，且/（0）=0.

52.

.【精析】函數(shù)了=上的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）U（0,+8）,

X

口/_2xe2x—/_（2工一1）/

且）=---------=*------；----，

xc工一

令，=0,得工=4（駐點(diǎn)），

當(dāng)工〉《?時,>0;當(dāng)wV§?時?》'V0.故y=在h=:處取得極小值,

單調(diào)遞增區(qū)間為（t，+8）,單調(diào)遞減區(qū)間（-8,0）U

乂因y"二⑷"?-2）：在定義域內(nèi)河工。一心十2=4〔卜一］/十:］）0,

所以當(dāng)工>0時,y">0;當(dāng)工<0時,/V0,

故函數(shù)y=之的凹區(qū)間為（0.十g）,凸區(qū)間為（一8.0）.

X

53.

【精析】因?yàn)?/p>

P=21一1y+4,Q=5_y—3工一6,

3Q3P

(-1)=4.

dx3y

所以由格林公式得

原式=J（券一胃嚴(yán)打=Jpd郎

=4>-*3*2=12.

54.

令F(1,y；小言菖功一2N+1,

則FI=-ye-^fFy=一fFz=}一2,

中心Jy,y

因此'd獲z=—￡F]='ye~'熱dz=—、Fy=Fxe~''

故dz=空di+—^cLr+dy,

dxdye*—2e—2

55.

解：令x-l=l,原級數(shù)化為Zr?.Vlim；=R=2.

-{n-2ne?("+l>2""2

當(dāng)r=2時，原級數(shù)化為￡一

,發(fā)散；當(dāng)/=-2時，原級數(shù)化為收斂，收

斂域?yàn)閤e[-l,3).

56.

三(+tana：++2、)

原式=lim

(+tani-Ml+久)(\/1-|-tan.r+x/1+之)

l。tana—①

=6.

57.

解:而+a=(3-y/卜\+體(+了1N、.

58.

y

解,阿?IM*仔xdy

o

=工cosy^y=sin尺=sinl

59.

【精析】原式=yjarctarLitKjr1)

#arciaor-IP,6"

l^arctan^-ljp-j-^

:工?arciaor-arctanjr)+C.

60.

.【精析】微分方程2艮=爐口屬/=/(x,y)型.

令》=，.方程可整理為“-2?=/+1.利用公式法解此一階線性微分方程,

JC

，=夕=eh"[(*十l)e」："cLr+G=/—?r+Gx’，

則>=”犬一+&/+。3?

4L

61.

).解:因?yàn)?1,-1,1)丁是方程組的一個解，所以b=a+2,對方程組的增廣矩陣彳

作初等行變換

1111111)P001、

A-21120-1-100110T0110

)(

、31…10-2a-36-31001-1b-300a-1b-3.

1)要使方程組有唯一解，必須?4)=廠(7)=3,所以a-lw0,a#l,

由b=a+2,得6x3,即當(dāng)awl且6=3時，方程組有唯一解；

2)要使方程組有無窮多解，必須?%)="[)=2<3,所以a-l=b-3=0

得到。=1,6=3,即當(dāng)a=l,b=3時，方程組有無窮多解.此時方程組的一般解為：

，*=】，(其中七是自由未知量)，得方程組的一個特解是方=(1,0,01，方程組

產(chǎn)2=一百，

導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為(0,-1,1)\方程組的通解為X=(l,0,0)r+k(0,-U)r(其中左為

任意常數(shù)).

62.

【精析】I'sidr是/(遼)的一個原函數(shù)，即/(x)=(x2sinx)/—2”sidr+“'cosz,則

原式工J2Hsi皿；"c°s”也=「(2sinx+xcosx)dx

=-2cos1+J^dsiirr——2cosz+jsinx-JsiiLzdr

=-COST+jsinj十C.

63.

解：令“=2X,於2/3)改=#〃2/@)山=虱2'/,?

■?「2

="，/'(〃)[j：/'??2“du=O-；J：“d/Q)

.」0

=_；WQ)]j+；J：/?d〃=-[+；,2=-l.

v

4bAJO44

64.

f\1-11)p1-1(\1T1、

解：7=23a3Ho1a+21Toia+21.

、1a32)10a-141J100-(a+3)(a-2)2-q

當(dāng)a=2時，R(A)=R(A)=2<3,對應(yīng)的方程組有無窮多解，此時

’11-1°P0-50、

IT0141t0141-

V10

、000000,

再=543，缶、'01{5>

同解方程組為.（左為任意實(shí)數(shù)）

或.X?=1-4*3,通解x21+k-4

<ojU>

,X3="3，、工3,

65.

【精析】如右圖，y=M?d;y=2j、dw,i：-1-*1,

則有

[(z'一2xy)djr+(32—2xy)dy

=j：g--2X3)2X]1Z

24

=2f(x—4x)(1JC=—yz.

Jo15

66.

【證明】令/(J-)=4#+3.—一由題可知/(-2)=0.又有f(0)=0,

/(x)在［-2,0］上連續(xù)，在(一2,0)上可導(dǎo)，故由羅爾定理可知至少存在一點(diǎn)

ee(-2,0),使得/(e)=4+95-5不=o,

即方程4+9/—514=0必有一個大于一2的負(fù)根.

67.

【證明】原不等式即為工"一9|”-140.設(shè)/(Z)=xa-CLi卜a—L則

(1)當(dāng)z=1時J(.r)=1—aIa—1=0,即工"一ar卜〃-1=0成立；

(2)當(dāng)0<工<1時,/(工)=—a=a(1一一1)>0,故fix')單調(diào)增加，

x"

可得/(x)</(I)=0,即才"一ar+a—1V0成立；

(3)當(dāng)工〉1時,/(Z)=a/T-a=加上一］)<(),故/(工)單調(diào)減少，

X

可得f(z)</(1)=0,即/一面+。一1<0成立.

綜上所述，當(dāng)X>0,0<a<1時，不等式工?！猘r+a—140成立,即xa—ar<1

—a.

68.

，【證明】令/(2=心］，因e<a<b<e\f(x)在［a,口上滿足拉格朗日中值定理

條件.且/(X)=辿史，

故存在ae(。,〃).使得￥=in7i3,

￡b-a

令g(i)=得g'(z)=2----7-，在①G［e,e?］上/(x)&0,

xx

故g(i)單調(diào)減少,g(i)在［e,/］上最小值為g(e?)=2*=

由于SG(e1),所以—'一'2a=筆>%，

b-age

即—ln2c/>-a).

ew

69.

【證明】要證［一<ln(l+父)，即證(l+7)ln(l+P—z〉0成立即可，

ITx

設(shè)/(x)=(l+i)ln(l+z)—支，其中彳〉