2024版創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 人教A版第5節(jié) 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

第5節(jié)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

考試要求1.會(huì)根據(jù)相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值.2.會(huì)利用三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

2cos4x_2cos2%+5

例1⑴化簡(jiǎn)：——

2tan|

答案；cos2x

y(4COS4X—4COS2X+1)

解析原式=

2-

(2cos2%-1)cos22xCOS22X1一

7；^-=^COS2x.

2sin^—2x2cos2x2

a

⑵化簡(jiǎn)Lg—tan「1+tan?-tan~^\\=

tan2

答案就

a.a.a

cos7sin5.sin^

a.a、/2sina2

解析Z1

tany)-(l+tana-tan5)=(-------)-(Wcosa?a)

tangsin2cos2cos2

cos;二一sinocosacoSn+sinasm7八

22222cosa2

.aaasinaasina

sinycosycosacos]cosacos.

感悟提升1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式

子結(jié)構(gòu)與特征.

2.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補(bǔ)

等），尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn).

訓(xùn)練1(1)241+蜘4+42+2854等于()

A.2cos2B.2sin2

C.4sin2+2cos2D.2sin2+4cos2

答案B

解析2y1+sin4+42+2cos4

=2yjsin22+2sin2cos2+cos22+*\/2+2(2cos22-1)

=(sin2+cos2)2+^/4cos22=2|sin2+cos2|+2|cos2|.

71

?.,/V2V兀，/?cos2<0,

Vsin2+cos2=,\/2sin^2+^,0<2+^<TI,

/.sin2+cos2>0,

I.原式=2(sin2+cos2)—2cos2=2sin2.

(1+sin8+cos9)Isin2-cos

⑵已知0<好兀，則---------RR---------=-

答案

解析

2COS

COS夕

9。

OS一OS-

2C22C2

考點(diǎn)二三角函數(shù)求值問(wèn)題

角度1給角求值

例2(l)sin40°(tan例。一小)等于()

A.2B.-2

C.lD.-1

答案D

解析sin40°.(tan10。一S)=0巾40。/

10。一半cos10j

,csin10。一geos10°.八

=sln40°-一嬴%一-=sln40°-

cos10°

2(cos60°-sin10°—sin60°-cos10°))2sin(10°-60°)

=sin40°?,=sin40O/

cos100cos10°

—2sin50°—2sin400-cos40°—sin80°

=sin40°---------77^1.

cos100cos10°cos10°

(2)cos20°-cos400-cos100°=.

答案-1

角星析cos20°-cos40°-cos100。=—cos20°-cos400-cos80°

；sin40°-cos40°-cos80°

sin20°-cos20°-cos40°-cos80°

sin20°sin20°

《sin20°1

jsin80°-cos80°xsin160°

4oO1

sin20°—sin200—sin20°-8'

角度2給值求值

例3⑴(2023.安徽名校聯(lián)考)已知cos(a+*=,,則sin(2a+引=()

答案B

解析因?yàn)閏os(a+*)=,,

所以sin(2a+^)=sin]+(2a+圳=cos(2a+2)=2cos2(a+點(diǎn))一1

=2x(1)—1=(?故選B.

e

(2)(2023?鐵嶺質(zhì)檢)已知總2

A.38?或一1

C，2D.T

答案D

2n1+tan2^ce

cosg+sin弓ta22tan2

]

解析由Han0=nn

cos0：*

cos^—sin-^1—tan2

e。

一

2

2

tan

。1。

-

L

-

一一

2

2

3

兀

”K

<71

1

-

8

n包

3

所以W

e

一-

2

2

9

+-

z,

W

4

ta

夕0

所以故

一1

t

-

-

2

2

an

角

給值求

角度3

3、6

2s

—

,2a

a=

!Jcos2

",貝

少==

sin

^~,

a=~

，cos

為銳角

,夕均

已知a

例4

?

=

￡

||

答案

，

a=茨

cos

因?yàn)?/p>

解析

2

；.

-1=

cosa

2a=2

cos

所以

喑，

in”=

角，s

均為銳

a,4

又因?yàn)?/p>

||,

s￡=

co

=^L

sina

所以

acos

=2sin

in2a

因此s

3、h

131

4、h

“

.

—-X^

X—

=j

asinA

cos2

osQ—

n2ac

=si

a—￡)

sin(2

所以

〈兀

〈2口

所以0

角，

。為銳

因?yàn)?/p>

TT

V],

0<2a

所以

>0,

2a

又cos

7T

7T

夕<],

<2a一

以一萬(wàn)

角，所

為銳

又夕

尸=?

2a一

，所以

夕)=生

2a一

又sin(

有某

同或具

其角相

，使

變角”

于“

鍵在

解的關(guān)

問(wèn)題求

)求值

值(角

1.給

提升

感悟

方法.

找轉(zhuǎn)化

聯(lián)系尋

之間的

借助角

系，

種關(guān)

般步驟

的一

問(wèn)題

)求值

值(角

2.給

子；

求式

或待

式子

簡(jiǎn)條件

(1)化

；

入手

及角

名稱(chēng)

函數(shù)

，從

聯(lián)系

間的

求之

件與所

察條

(2)觀

(3)將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值.

.,_.1—sin270°

訓(xùn)練2(1)(2023?重慶模擬)%/?？?()

tan200

A.4B,

c空D1

。3u4

答案D

11一5*70°cos700-cos20°sin20°<os20°嚏m40°】

解析小一tan20°=V5cos20°—sin20°=2sin(60。-20。)=^7^=不故選D.

?[3兀

(2)已知cosa=],cos(a—//)=應(yīng)，且0<W<a<§,則夕=.

答案3

解析，：O<0<a<^,0<a—^<^,

4sB

則sina=^~.又cos(a一夕)=/，

.3、后

/.sin(a——cos2(1一夕)=?

cos^=cos[a—(a-/i)]=cosacos(a一#+sinasin(a—/3)

1v13,4^3v3^31

=7X14+7*14=2-

TT兀

又0<S<],

(3)(2022?浙江卷)若3sina—sina+夕=/,則sina=,cos20=

較案出叵4

口水105

TTTT

解析因?yàn)閍+4=5所以尸=]—a,

所以3sina—sin￡=3sina—sin代-a)=3sina—cosa=y[Tdsin(a—(p)=^/10,

甘也.迎3回

其中sm(p=J。,cos(p=JQ.

jr

所以a—9=$+2&兀，2￡Z,

jr

所以[=]+9+24兀，kGZ,

所以sina=sin歷+s+2Ej=cos夕=而,kGZ.

因?yàn)閟in/?=3sina—yib=-

i4

所以cos2。=1—2sin2^=1一5=亍

考點(diǎn)三三角恒等變換的應(yīng)用

例5設(shè)函數(shù)./(x)=sin%+cosxa￡R).

(1)求函數(shù)產(chǎn)入+劃2的最小正周期；

(2)求函數(shù)y=/3(/(x—胃在］。，手上的最大值.

解(1)因?yàn)?U)=sinx+cosx,

所以^+2］—sin(x+^+cosfx+^=cosx—sinx,

所以產(chǎn)出+訓(xùn)

=(cosx-sinx)2=1-sin2x.

工+前71『的最小正周期丁老

=71.

+COS(JC-

(2)inx,

=V2sinx(sinx+cosx)

=V2(sinxcosx+sin2x)=^/2^fsin2x—geos2x+^=sin^2x—7t^+

4,坐

兀?！肛?兀

當(dāng)xW0,2時(shí)，2x—a?

4［一不TJ>

所以當(dāng)2x—；=會(huì)即1=

上取得最大值，且ymax=1

感悟提升三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)

合，通過(guò)變換把函數(shù)化為/W=Asin(3+9)+b的形式再研究其性質(zhì)，解題時(shí)注

意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問(wèn)題.

訓(xùn)練3已知函數(shù)yu)=?cos|

上的最值;

⑵若cos0=,,（當(dāng),2KJ,求心。+§的值.

解（1）由題意得

e、,「兀3兀［廣廣…7兀

因?yàn)橛菺不yj,所以X一五e(cuò)

所以sin（x一明6—坐，

1

所以一坐sing一屈G乎］,

即函數(shù)段）在區(qū)間,用上的最大值為乎，最小值為一當(dāng)

（2）因?yàn)閏os?=之，。6作，2兀），

3

所以sin。=一彳

24

所以sin

255

97

16

所以--

cos252525

‘7

兀

兀

所以乂2。+*—坐2e+一-正.

3-1-

2sin20—a,=—2（sin2。-cos20）

、2

1■萬(wàn)能公式拓展視野

a.aca

2tan21-tan952tan/

sina=,cosa=,tana=.

1+ta吟1+tan2^1—tan2^

注意（1）上述三個(gè)公式統(tǒng)稱(chēng)為萬(wàn)能公式.

⑵上述公式左右兩邊定義域發(fā)生了變化，由左向右定義域縮小了.

例（1）已知。，夕￡（0，兀），tan2=2fsin（a一4）=百，則cos夕=.

套案—

口木65

解析tan2=7f

ca2x1

2tan24

/.sina=2=5,

1+tan221+(1)

la吟l-@2

3

cosa—

1+ta吟i+?5

?a,夕￡(0,7i),cosa>0,???1￡((),2

.,.a一46(一兀，。

Vsin(a一份=*>。，:,a一夕￡(0

.(公12

..cos(a—

cos[i=cos(—fi)=cos(a—[]—d)=cos(o—￡)cosa+sin(a—/?)sina

=13X1+^X5=56

65-

(2)(2023?寧波質(zhì)檢)已知6sin2a+sinacosa—2cos2a=0,aW悖兀).則tana=

,sin(2a+]J=.

宏安25事一12

答案二26

6sirj2a+sinacosa-2cos2a

解析V6sin2?+sin