大學(xué)數(shù)學(xué)中的經(jīng)濟(jì)問題

大學(xué)數(shù)學(xué)中的經(jīng)濟(jì)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的過程中,資源的有效配置和資源的合理利用始終是研究的主題,或者說經(jīng)濟(jì)學(xué)就是研究人類社會(huì)如何有效配置和合理利用稀缺的經(jīng)濟(jì)資源從而最大限度滿足人類欲望的一門學(xué)科。而且數(shù)量關(guān)系無處不在，像投入量、產(chǎn)出量、成本、價(jià)格、利潤(rùn)、本金、利率等等。這不可避免地會(huì)涉及到效率和最優(yōu)化問題,而關(guān)于效率和最優(yōu)化問題的研究不僅有定性分析,更重要的應(yīng)有定量分析。數(shù)學(xué)作為定量分析的重要工具,以其嚴(yán)密性、客觀性正好適應(yīng)了這一要求,并且不斷推動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)走向精密化、準(zhǔn)確化。所以數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)是緊密相連的，而大學(xué)數(shù)學(xué)中很多的知識(shí)都能用到經(jīng)濟(jì)學(xué)中。比如數(shù)學(xué)分析中的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)可用來研究經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本，邊際利潤(rùn)，或者彈性函數(shù)，最值分析。若成本函數(shù)為C(x),則成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為邊際成本函數(shù)，經(jīng)濟(jì)學(xué)的解釋為近似等于當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)，若再增加一個(gè)單位產(chǎn)量所需增加的成本。若收入函數(shù)為，則收入函數(shù)對(duì)產(chǎn)量x的變化率稱為邊際收入，記成MR(x)，邊際收入表示在x的水平上再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的收入。若利潤(rùn)函數(shù)L(x)對(duì)產(chǎn)量x的變化率稱為邊際利潤(rùn)，記成ML(x)。邊際利潤(rùn)表示在x的水平上再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤(rùn)。彈性在經(jīng)濟(jì)上又可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比。對(duì)于y=f(x),它的彈性函數(shù)為。函數(shù)彈性的實(shí)際意義就是當(dāng)自變量在x的水平上增加一個(gè)百分點(diǎn)時(shí)，因變量y大約增加的百分點(diǎn)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)為需求的價(jià)格彈性，經(jīng)濟(jì)學(xué)的解釋是表示某商品當(dāng)價(jià)格變化一定的百分比以后引起需求量的反映程度。若需求的價(jià)格彈性為-1時(shí)，稱為單位彈性，此時(shí)商品需求量的變動(dòng)與價(jià)格變動(dòng)按相同百分比進(jìn)行；當(dāng)需求的價(jià)格彈性小于-1時(shí)，稱為高彈性，商品需求量變動(dòng)的百分比高于價(jià)格變動(dòng)的百分比，說明需求量對(duì)價(jià)格的變動(dòng)較敏感；當(dāng)需求的價(jià)格彈性大于-1時(shí)，稱為低彈性，說明商品需求量變動(dòng)的百分比低于價(jià)格變動(dòng)的百分比，即價(jià)格變動(dòng)對(duì)需求影響不大。在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)常有收益最大、成本最低、效益最好等要求，實(shí)際上都是經(jīng)濟(jì)函數(shù)中的極值或最值問題，而涉及到的便是導(dǎo)數(shù)問題，由目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到極值點(diǎn)，便可算出經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最值問題。在翻閱經(jīng)濟(jì)學(xué)案例時(shí)，也能從中看出微分方程也可運(yùn)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)中。通過研究經(jīng)濟(jì)變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律而建立的某一經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式,便是建立了微分方程。而我們可通過求解微分方程分析出變量之間的聯(lián)系，得到未來的一段時(shí)間變量的變化情況。我們可用微分方程建立商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量之間的函數(shù)關(guān)系、預(yù)測(cè)可再生資源的產(chǎn)量,預(yù)測(cè)商品的銷售量、分析關(guān)于國(guó)民收入等問題。對(duì)國(guó)民收入來說，通常分為消費(fèi)和儲(chǔ)蓄兩部分，儲(chǔ)蓄用于投資，可以增加生產(chǎn)，生產(chǎn)增加后消費(fèi)、儲(chǔ)蓄增加，又可以反過來促進(jìn)生產(chǎn)。即是說產(chǎn)出轉(zhuǎn)化儲(chǔ)蓄，儲(chǔ)蓄化為投資，投資增加產(chǎn)出，任一時(shí)刻產(chǎn)出都與前一時(shí)刻產(chǎn)出狀態(tài)有關(guān)，因此是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題。記國(guó)民收入為Y(t),消費(fèi)為C(t),儲(chǔ)蓄為I(t),k為邊際資本產(chǎn)出比，s為邊際儲(chǔ)蓄傾向，1－s為邊際消費(fèi)傾向假設(shè)：1.產(chǎn)出增長(zhǎng)率與資本投入成正比；2.儲(chǔ)蓄全部用于投資；3.消費(fèi)、儲(chǔ)蓄比例不變；4.產(chǎn)出增長(zhǎng)速度與儲(chǔ)蓄成正比。則可建立模型：基本方程：Y=C+II=sYC=(1-s)Y根據(jù)假設(shè),代入前式得微分方程方程的解為：這是一個(gè)持續(xù)增長(zhǎng)的生產(chǎn)函數(shù)，要求增加的產(chǎn)出全部被需求吸收作為近幾年來異軍突起的行業(yè)—保險(xiǎn)業(yè)，其中涉及到了很多的概率論知識(shí)，在保險(xiǎn)中概率論得到了最強(qiáng)勢(shì)的發(fā)揮。保險(xiǎn)學(xué)正是利用了大數(shù)定律和中心極限定律等概率論知識(shí)才得以建立和發(fā)展。譬如最普通的人壽保險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司欲對(duì)10000人進(jìn)行20年的人壽承保，若在20年內(nèi)死亡每位每人收取a元保費(fèi)，若在20年內(nèi)死亡每人可領(lǐng)取b元補(bǔ)償。那么保險(xiǎn)公司可先搜集大量樣本，用大數(shù)法則測(cè)算出20年中每百人死亡平均概率P，再通過100Pb<=10000a求出使公司基本盈利相對(duì)應(yīng)的保費(fèi)a。除了保險(xiǎn)，還有彩票都需要用到概率論，雖然有幸運(yùn)兒得到巨額獎(jiǎng)金，但是彩票中心最后一定是獲得豐厚的利潤(rùn)的，彩票的售價(jià)和得獎(jiǎng)金額都是需要事先通過計(jì)算出得獎(jiǎng)的概率，再求得益的期望來計(jì)算出來的，都是以彩票中心的利益為主。而且得到獎(jiǎng)的概率是非常低的，比如說：雙色球頭獎(jiǎng)為投注號(hào)碼由6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼組成。紅色球號(hào)碼從1-33中選擇6個(gè)；藍(lán)色球號(hào)碼從1-16中選擇1個(gè)。頭獎(jiǎng)可能性情況：(33×32×31×30×29×28)/(1×2×3×4×5×6)×16=1107568×16=17721088，由此可計(jì)算出雙色球的中獎(jiǎng)概率為1/17721088=0.0000056%。概率是如此的低，所以那些想要一夜巨富的人可能終其一生都不能得到。而在數(shù)學(xué)模型中，很多背景都是在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中進(jìn)行的，比如數(shù)學(xué)模型中最常見到的最優(yōu)化問題，經(jīng)濟(jì)學(xué)中資本家追求用最少利益得到最大利潤(rùn)，這就避無可避的要在很多方案中尋求最優(yōu)解決方案。而其中涉及到的變量隨著另一些變量的變化而變化，導(dǎo)致了問題的復(fù)雜，而用數(shù)學(xué)模型可以簡(jiǎn)化問題，將復(fù)雜的變量關(guān)系轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)關(guān)系，也可利用已有的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)定理推導(dǎo)新的結(jié)果，擯除一切瑣碎干擾，更深入的得到僅憑直覺無法或不易得出的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象之間更深層次的本質(zhì)聯(lián)系。運(yùn)用數(shù)學(xué)模型討論經(jīng)濟(jì)問題，可以不走或少走彎路，將討論集中于前提假設(shè)、論證過程及模型原理問題上來，從而避免了許多無謂的爭(zhēng)執(zhí)，也使得在深層次上發(fā)現(xiàn)似乎不相關(guān)的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)變成可能。于是可在數(shù)學(xué)建模中可用線性規(guī)劃，拉格朗日乘子法運(yùn)用軟件，圖像來得到最優(yōu)化結(jié)果。將經(jīng)濟(jì)學(xué)的復(fù)雜問題解決清楚。我們還可通過數(shù)學(xué)建模的手段對(duì)對(duì)未來一定時(shí)期內(nèi)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的趨勢(shì)和狀況進(jìn)行描述、分析，并作出估計(jì)和推斷。目的在于通過對(duì)客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象歷史規(guī)律的探討和現(xiàn)狀的研究，求得對(duì)未來經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的了解，以減少不確定性因素對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的影響，合理的使用人力、物力、財(cái)力，獲得最大經(jīng)濟(jì)效益。預(yù)測(cè)方法主要有三種：時(shí)間序列的趨勢(shì)預(yù)測(cè)；回歸預(yù)測(cè)；投入產(chǎn)出預(yù)測(cè)。其中線性回歸分析法是經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)的常用數(shù)學(xué)方法，即利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定變量之間的線性關(guān)系，并參考這種函數(shù)關(guān)系來預(yù)測(cè)未來經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)。線性回歸是數(shù)學(xué)建模中非常重要的手段，對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的預(yù)測(cè)非常有用的，為商人做出正確的決策起著非常重要的作用。而且在經(jīng)濟(jì)學(xué)界和數(shù)學(xué)界都赫赫有名的數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)大師——約翰納什，通過數(shù)學(xué)模型把日常生活中生動(dòng)的經(jīng)濟(jì)問題分析并深化研究，總結(jié)出了著名的納什均衡，這個(gè)著名的經(jīng)濟(jì)論斷成為經(jīng)濟(jì)學(xué)界堅(jiān)實(shí)的理論基石，為以后研究更個(gè)領(lǐng)域的博弈問題提供了理論基礎(chǔ)。除了上述最優(yōu)價(jià)格模型，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的金融工程中的期貨期權(quán)理論，彈性理論，最優(yōu)化和影子價(jià)格都是在數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用下才能得到更簡(jiǎn)潔的答案。數(shù)學(xué)模型使經(jīng)濟(jì)學(xué)從定性研究向定量研究轉(zhuǎn)化，是解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中復(fù)雜問題的有力工具。數(shù)學(xué)分析中的的導(dǎo)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)也在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著很重要的應(yīng)用，比如說：利息的計(jì)算，連續(xù)復(fù)利問題，貸款還款問題。假設(shè)x銀行提供每年支付四次，復(fù)利為年利率8%的帳戶，則t年后的余額為多少？而一年支付四次，復(fù)利8%表示每年要加四次(每三個(gè)月一次)利息，每次要加上當(dāng)前余額的8%／4＝2%，因此，如果同樣存入100元，則在年末，已計(jì)入四次復(fù)利，該帳戶將擁有元，所以余額B為：一年后：B＝，二年后：B＝，t年后：B＝.則如果年率為r的利息一年支付n次，那么當(dāng)初始存款為P元時(shí)，t年后余額At為，當(dāng)n趨于無窮時(shí)，則復(fù)利計(jì)息變成連續(xù)的了(即連續(xù)復(fù)利)。1997年3月，1996年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者JamesMirrcless在波蘭給數(shù)學(xué)家作了一次學(xué)術(shù)報(bào)告。主持人以幽默的方式介紹他時(shí)說：“諾貝爾獎(jiǎng)沒有數(shù)學(xué)家的份，不過，數(shù)學(xué)家已找到了摘取諾貝爾桂冠的途徑——那就是把自己變成經(jīng)濟(jì)學(xué)家！”這都說明了數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)是息息相關(guān)的，在經(jīng)濟(jì)