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專(zhuān)題10平行四邊形的存在性問(wèn)題一、知識(shí)導(dǎo)航考慮到求證平行四邊形存在,必先了解平行四邊形性質(zhì):(1)對(duì)應(yīng)邊平行且相等;(2)對(duì)角線(xiàn)互相平分.這是圖形的性質(zhì),我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中:(1)對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為:,可以理解為點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A,點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D,移動(dòng)路徑完全相同.(2)對(duì)角線(xiàn)互相平分轉(zhuǎn)化為:,可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn).【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣,但其實(shí)可以化為統(tǒng)一:,→.當(dāng)AC和BD為對(duì)角線(xiàn)時(shí),結(jié)果可簡(jiǎn)記為:(各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加)以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析,而我們要求證的是平行四邊形存在性問(wèn)題,此處當(dāng)有一問(wèn):若坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D滿(mǎn)足“A+C=B+D”,則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形?反例如下:之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)”并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化,故存在反例.雖有反例,但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題,另外,還需注意對(duì)對(duì)角線(xiàn)的討論:(1)四邊形ABCD是平行四邊形:AC、BD一定是對(duì)角線(xiàn).(2)以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形:對(duì)角線(xiàn)不確定需要分類(lèi)討論.二、典例精析平行四邊形存在性問(wèn)題通??煞譃椤叭ㄒ粍?dòng)”和“兩定兩動(dòng)”兩大類(lèi)問(wèn)題.三定一動(dòng)已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)D使得以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.思路1:利用對(duì)角線(xiàn)互相平分,分類(lèi)討論:設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:(1)BC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,可得;(2)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得;(3)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得.當(dāng)然,如果對(duì)這個(gè)計(jì)算過(guò)程非常熟悉的話(huà),也不用列方程解,直接列算式即可.比如:,,.(此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減)兩定兩動(dòng)已知A(1,1)、B(3,2),點(diǎn)C在x軸上,點(diǎn)D在y軸上,且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求C、D坐標(biāo).【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,n),又A(1,1)、B(3,2).(1)當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得,故C(4,0)、D(0,3);(2)當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得,故C(2,0)、D(0,-1);(3)當(dāng)AD為對(duì)角線(xiàn)時(shí),,解得,故C(-2,0)、D(0,1).【動(dòng)點(diǎn)綜述】“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣,“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中,橫縱坐標(biāo)都不確定,需要用兩個(gè)字母表示,這樣的我們姑且稱(chēng)為“全動(dòng)點(diǎn)”,而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線(xiàn)或者拋物線(xiàn)上,用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo),稱(chēng)為“半動(dòng)點(diǎn)”.從上面例子可以看出,雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同,但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).若把一個(gè)字母稱(chēng)為一個(gè)“未知量”也可理解為:全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量×2.找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量,都是根據(jù)圖形決定的,像平行四邊形,只能有2個(gè)未知量.究其原因,在于平行四邊形兩大性質(zhì):(1)對(duì)邊平行且相等;(2)對(duì)角線(xiàn)互相平分.但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式:,兩個(gè)等式,只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù),即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問(wèn)題最多只能存在2個(gè)未知量.由圖形性質(zhì)可知未知量,由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì),由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問(wèn)題.三、中考真題演練1.(2023·山東淄博·中考真題)如圖,一條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn),其中為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)在第一象限內(nèi),對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn),且的面積為18
(1)求該拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)設(shè)為線(xiàn)段的中點(diǎn),為直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,,將沿翻折,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.問(wèn)是否存在點(diǎn),使得以,,,為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2.(2023·廣東廣州·中考真題)已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.(1)若,求n的值;(2)拋物線(xiàn)與x軸交于兩點(diǎn)M,N(M在N的左邊),與y軸交于點(diǎn)G,記拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為E.①m為何值時(shí),點(diǎn)E到達(dá)最高處;②設(shè)的外接圓圓心為C,與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F,當(dāng)時(shí),是否存在四邊形為平行四邊形?若存在,求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.3.(2023·山東·中考真題)如圖,直線(xiàn)交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),交軸負(fù)半軸于點(diǎn).為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn),作軸的垂線(xiàn),垂足為,直線(xiàn)交軸于點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)若,當(dāng)為何值時(shí),四邊形是平行四邊形?4.(2023·山東聊城·中考真題)如圖①,拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn),,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;(2)點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上,若以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn),AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);5.(2023·山東棗莊·中考真題)如圖,拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),并交x軸于另一點(diǎn)B,點(diǎn)M是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),直線(xiàn)AM與軸交于點(diǎn)D.
(1)求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式;(3)若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),問(wèn)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以D,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.6.(2023·甘肅武威·中考真題)如圖1,拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn),與直線(xiàn)交于點(diǎn),點(diǎn)在軸上.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿線(xiàn)段方向勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止.(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;(2)當(dāng)時(shí),請(qǐng)?jiān)趫D1中過(guò)點(diǎn)作交拋物線(xiàn)于點(diǎn),連接,,判斷四邊形的形狀,并說(shuō)明理由.7.(2023·四川巴中·中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)
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