2020-2021學(xué)年鹽城某中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年鹽城一中高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.命題'勺xeR,x-1>2”的否定是()

A.6/?,%—1<2B.3x6/??%—1<2

C.VxE/?,x—1<2D.VxE/?,%—1<2

2.已知函數(shù)/■(切=[3>4])；邢ix>0有極大值且有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,+oo)B.(l/+oo)C.(-oo/O)D.(-00,1)

3,若復(fù)數(shù)z滿足：iz=3+4i,貝ijz=()

A.-3-4iB.4+3iC.4-3iD.-4+3i

4.設(shè)輟l裨為兩條直線，情拗為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中正確的是

A.若瞅U覆與雄所成的角相等，則膨密聰

B.若獻(xiàn)臉脩㈱或黏，//然,則微%

C.若澗!I：二解骸亡繇哪爵"海，則辭小番'

D.若嬲1■陽(yáng)版14%尊上腳，則嬲■!■.陽(yáng)：

5.在AABC中，“si?M>苴”是“力>受"的().

二獸

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.設(shè)元=五+石，y=h+c.z=c+a,且{區(qū)瓦可是空間的一個(gè)基底.給出下列向量組：

①夜，無(wú)現(xiàn)②伐,y,辦③0，c,z}.@{x,y,力+方+了.其中可以作為空間的基底的向量組

的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

7.已知兩點(diǎn)4(3,0)、B(0,4),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則xy()

A.無(wú)最小值且無(wú)最大值B.無(wú)最小值但有最大值

C.有最小值但無(wú)最大值D.有最小值且有最大值

8.若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足(b+a2.31na)2+(c-d+2)2=0,且aC(0,1),則(a?c)2+(b?d)2的

最小值為()

A.-eB.-eC.-eD.-e

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.雙曲線E：?—y2=i,圓Q：（x-t）2+y2=（t-2）2?>2）,雙曲線E與圓Q有且僅有一個(gè)公

共點(diǎn)，貝股取值可以是（）

A.2.2B,2.4C.2.5D.2.7

10.如圖，在三棱錐中，VOL^WiABC,0eCD,VA=VB,AD=BD,則下列結(jié)論中一定

成立的是（）

A.AC=BC

C.VC1VDD.S&VCD'48=S^ABC,

11.幾名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過調(diào)研，他們選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品，生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤(rùn)p（x）（單位:

萬(wàn)元）與每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)x（單位：萬(wàn)元）有關(guān)：當(dāng)每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于16萬(wàn)元時(shí),

p（x）=-1X2+6X-20,研發(fā)利潤(rùn)率y=哼X100%,他們現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)9萬(wàn)元，則下列

判斷正確的是（）

A.投入9萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)可以獲得最大利潤(rùn)率

B.要再投入6萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大利潤(rùn)

C.要想獲得最大利潤(rùn)率，還需要再投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)1萬(wàn)元

D.要想獲得最大利潤(rùn)，還需要再投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)1萬(wàn)元

12.設(shè)數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和為5,%=6,an+1+2=an,則（）

A.｛斯｝是等比數(shù)列B.｛即｝是單調(diào)遞增數(shù)列

C.｛〃｝是單調(diào)遞減數(shù)列D.Sn的最大值為12

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.過x軸正半軸上一點(diǎn)P的直線與拋物線必=4x交于兩點(diǎn)4、B,。是原點(diǎn)，4、B的橫坐標(biāo)分別為3

和(則下列：

①點(diǎn)P是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)；

②函?麗=-2;

③過4、B、。三點(diǎn)的圓的半徑為等；

④若三角形04B的面積為S,貝*<S<g；

⑤若加=4而，則；I=3.

在這五個(gè)命題中，正確的是.

14.已知在△ABC中，AB=8,AC=7,BC=5,D是線段AB上一點(diǎn)，且滿足ZBOC=f,則8=

4

,CD=.

15.方程)x=8-2x的解為沏，則不等式x三面的最大整數(shù)解是.

16.在數(shù)列｛aj中，=2,2an+1=2an+1,則CI5的值為：.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為Sn,且匕=2與一1,設(shè)匕=2(1臉M+1)，neN*.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%?an｝的前n項(xiàng)和

18.在四棱錐P-ABC。的底面矩形中，AB=1,AD=3,又已知P41

平面4BCO,PA=1.

(1)求異面直線PE與CD所成角的大?。?/p>

(2)求四棱錐P-48CD的體積.

19.已知函數(shù)/(%)=康'加eR.

(1)若1<》<2時(shí)，f(x)>l恒成立，求zn的取值范圍；

n

(口)若771=0時(shí)，令出1+1=neN*,Qj=Ve，求證：2lnan>1.

20.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面ABCD為等腰梯形，且4B=2CD=4,乙4BC=60。，點(diǎn)P在

平面ABCO內(nèi)的正投影點(diǎn)F在4C上，若△PAD為等邊三角形，H為4。的中點(diǎn).

(1)求證：FH〃平面PBD；

(2)求二面角8-PC-。的大小.

21.已知橢圓匚9+y2=i,其左右頂點(diǎn)分別為力，B,上下頂點(diǎn)分別為C,D,圓。是以線段4B為直

徑的圓.

(1)求圓。的方程；

(2)若點(diǎn)E,F是橢圓上關(guān)于丁軸對(duì)稱的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線CE,DF分別交x軸于點(diǎn)M、N,求證:麗?麗

為定值；

(3)若點(diǎn)P是橢圓廠上不同于點(diǎn)4的點(diǎn)，直線4P與圓。的另一個(gè)交點(diǎn)為Q.是否存在點(diǎn)P,使得存=：所?

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

22.設(shè)函數(shù)/(x)=-i%3+2ax2-3a2%+a(aeR).

(I)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(3/(3))處的切線方程；

(口)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(HI)若對(duì)于任意的x6(3a,a),都有/(x)<a+l,求a的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：

直接利用命題的否定的定義求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

解：命題'勺xCR,x-l>2"的否定是VxWR,x-1<2,

故選：D.

2.答案：4

解析：解：函數(shù)/■(x)=EZ1ATl久>0,在J%+8)上連續(xù)，

x>0時(shí)，/(%)=x3-ax2+1,

可得/'(%)=3x2-2ax,函數(shù)的極值點(diǎn)為％=0和%=拳

函數(shù)/㈤二七+"好:、。有極大值且有極小值，可得”>0，

所以ae(0,+8)函數(shù)有極大值/(0),極小值f(爭(zhēng).

綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+00).

故選：A.

判斷函數(shù)的連續(xù)性，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值，列出不等式求解即可.

考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題.

3.答案：C

解析：由iz=2+4i,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算可得結(jié)果.

由iz=3+4i,得z=@=^21=4-3i,

I1-1

故選：C.

4.答案：D

解析:試題分析：4選項(xiàng)：若闞潞與糜,所成的角相等，則》燔集或相交或異面;8選項(xiàng)：若醐臉隰^感搟,

露“豁,則限嘴陽(yáng)或相交或異面；C選項(xiàng)：若敏工條格卜二髀瞰蹴版，則徽“到'或相交；D選項(xiàng)正確.

考點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系.

5.答案：A

解析：在△ABC中，若sinA>理，則里<4(竺.當(dāng)A>%時(shí)，若4=%時(shí)，sinA=@,所以

S33;署察2

usinA>苴”是“>>%”的充分不必要條件.

6.答案：C

解析：解：,??￥=蒼+石，故乙方茂共面，故他，瓦寺不能作為空間向量的一組基底；

假設(shè)禮歹笈共面，則存在；I,使得m=+

即不+方=；10+5)+〃@+下)=4丘+(71+〃)石+〃了，

1=2

???4+4=0,顯然方程組無(wú)解，故假設(shè)不成立，故看。2不共面，

M=1

??.叵3,為可以作為空間向量的一組基底，

同理可得｛瓦下團(tuán)，區(qū)少，方+3+引均可作為空間向量的一組基底，

故選：C.

判斷各組向量是否共面得出結(jié)論.

本題考查了空間向量共面的判定，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：D

解析：解：由題意可得48所在直線方程為：+3=1,

...1=3+彳22醫(yī)，解得久丁<3,

34y34

當(dāng)且僅當(dāng):=患陵=|且y=2時(shí)取等號(hào).

又點(diǎn)P與4或B重合時(shí)xy取最小值0

故選：D.

由題意可得：+(=1,由基本不等式可得盯的最大值3,P與2或B重合時(shí)孫取最小值0.

本題考查基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題.

8.答案：D

解析：解：??,實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足(/?+M.3)。)2+(c?d+2)2=0,

:.b+Q2?3lna=0,cd+2=0.

2

??2

?b=—3alna,d=—c.

???(a?c)2+(b?d)2=a2c2+36a；na(*),

va6(0,1),

??.(*)>a2-2小2.12a_^2a3\lna\=/(a)?當(dāng)且僅當(dāng)c?=一6。仇@時(shí)取等號(hào).

3222

當(dāng)aG(0,1)時(shí)，/(a)=-12alnaff'(Q)=-36alna-12a=-12a(3lna+1),

令/(a)a=e~3-

當(dāng)0VaVeV時(shí)，f'(Q)>0，函數(shù)/(a)單調(diào)遞增；當(dāng)<a<1時(shí)，/'(a)<0,函數(shù)/(a)單調(diào)遞減?

?,?函數(shù)/(a)最大值，/(e4)=

??.(a-c)2+(b-d)2的最小值為

故選：D.

實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足(b+a2-3/na)2+(c?d+2)2=0,可得b+a2-3Ina=0,cd+2=。.即b=

2

-3aIna,d=一|,代入(a.c)2+(b.d)2=a2c2+36Q；；MQ(*),利用基本不等式可得(*)2層.

2卜.嗎』12a3ga|=r(a)，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，

屬于難題.

9.答案:ABC

解析：解：設(shè)雙曲線右支上的一點(diǎn)為(x,y),則-t)2+y22弓一2對(duì)任意的(x,y)恒成立,

即是+2)>2t對(duì)任意的x>2恒成立，

所以2<t<2.5,

故選：ABC.

設(shè)雙曲線右支上的一點(diǎn)為(x,y),則Jq_t)2+y2>-2對(duì)任意的(x,y)恒成立，即是+2)>2t

對(duì)任意的x>2恒成立，即可得出答案.

本題考查雙曲線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化成恒成立問題，屬于中檔題.

10.答案：ABD

解析：解：IZ/1=VB,AD=BD,>

B

所以ZB1平面PCD,

又CDu平面IZCD,VCu平面PCD,

所以48J.PC,故8正確；

AB1CD,又AD=BD,所以由線段垂直平分線的性質(zhì)得4C=BC,故A正確；

若VC1VD,由VC14B,得VCJ_平面U4B,則VC1VB,

由題設(shè)條件推導(dǎo)不出UC1VB,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)閂。1平面48C,

所以%-4BC=|^A4BC,VO.

因?yàn)锳B，平面VCD,

所以為-ABC=^B-VCD+^A-VCD

11

=]SAVCD,BD+-SAVCD-AD

1

=§SNCD，(BD+AD)

=]SAVC。,4B，

所以[SA.BC,V。=1sAycD-AB,

即SMCDAB=SA48c,V。?故。正確.

故選：ABD.

推導(dǎo)出UOJ■平面4BC,VOLAB,從而ABJ_平面UCD,進(jìn)而1VC；由ABICC,AD=BD,由

線段垂直平分線的性質(zhì)得AC=BC；若VC1VD,則VC1UB,由題設(shè)條件推導(dǎo)不出VC1VB：由

=

^V-ABC^B-VCD+^A-VCD,得到§SAABC'，。=.SA/C。,人8，從而SAHC。,=SMBC'?

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是中檔題.

11.答案：BC

解析：解：因?yàn)楫a(chǎn)品的月利潤(rùn)為P(x)=/+6M-20=-式x-15)2+125,(0<x<16),

則當(dāng)x=15時(shí)，月利潤(rùn)有最大值為125萬(wàn)元，即在已經(jīng)投入9萬(wàn)元時(shí)需再投入6萬(wàn)元，才能使月利潤(rùn)

最大，故B正確，。錯(cuò)誤，

而利潤(rùn)率y=哼2=-衿："20=一《X+§)+6，

因?yàn)?>；>0

55x4.

所以1+§N2Jgx.§=4,即y=—（］+弓）+6W-4+6=2,

當(dāng)且僅當(dāng)(x=§，即x=l。萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)率有最大值為2,即在己經(jīng)投入9萬(wàn)元時(shí)再投入1萬(wàn)元，才

能使利潤(rùn)率最大，故4錯(cuò)誤，C正確,

故選：BC.

利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析出月利潤(rùn)取得最大值的條件，即可判斷選項(xiàng)8,。是否正確，再求出利潤(rùn)率

的關(guān)系式，利用基本不等式求出取得最大值的條件，即可判斷選項(xiàng)4,。是否正確.

本題考查了根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型的問題，涉及到基本不等式的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考

查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.答案：CD

解析：解：根據(jù)題意，數(shù)列｛aj中，％i+i+2=c1n，則有an+i-即=-2,

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4,｛即｝是等差數(shù)列，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，an+1-an=-2,是公差為負(fù)的等差數(shù)列，｛〃｝是單調(diào)遞增數(shù)列，8錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由B的結(jié)論，C正確；

對(duì)于D,｛廝｝是等差數(shù)列，%=6,d=—2,則即=8—2M,有n=4時(shí)，廝=0,

則n=3或4時(shí)，Sn最大，且右的最大值為6+4+2=12,。正確；

故選：CD.

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案.

本題考查等差數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和的性質(zhì)，涉及數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：①③④⑤

解析：解：由圖可得4(3,28)，8(｝-苧)

①設(shè)P(a,0),過P的直線為y=k(x-a),聯(lián)立拋物線方程消去

y,得_Qal+4)x+k2a2=o,則3*：=。2,。=1,

即P(l,0)即為焦點(diǎn)F,故①對(duì)；

@OA-OB=(3,2?&-苧)=3x：_2百x手=-3，

故②錯(cuò)；

③治.。="”(2百+爭(zhēng)=竽=也2

4R

=上旦受，R=叵,故③對(duì)；

4R3

④S—BO=/竽＜g故④對(duì)；

⑤若麗=2而，即屈=4而，，=芳=3,故⑤對(duì).

故答案為：①③④⑤

①設(shè)P(a,O),設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，消去y,得到二次方程，由兩根之積，即可得到a；

②求出4B的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到；

③運(yùn)用兩種方法求出三角形48。的面積，注意面積公式S△ABC=^absinC=~

④由△AB。的面積，即可判斷；

⑤布=4而，即酢=A而，由A，F(xiàn),B的坐標(biāo)，即可得到.

本題考查拋物線的定義、性質(zhì)和方程，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，得到二次方

程，應(yīng)用韋達(dá)定理求解，同時(shí)考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，和向量共線定理，以及求外接圓

的半徑應(yīng)用面積公式，屬于中檔題.

14.答案：g述

32

解析：

本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)

題.在△ABC中，由己知利用余弦定理可求cosB=1,結(jié)合Be(0,7r),可得B的值，在△BCD中，由

正弦定理即可求解C。的值.

解：因?yàn)椤鰽BC中，力B=8,AC=7,BC=5,

口黯+值一582+52-721

所以cosB=一,

2BABC2x8x52

因?yàn)锽e(0,兀),

所以B=條

因?yàn)?。是線段4B上一點(diǎn)，且滿足48。。=%

所以在△BCD中，由正弦定理當(dāng)=一/7,可得。。=尊=乎.

sinBsinzBDCv22

2

故答案為：P壁.

32

15.答案：3

解析:解：設(shè)/(%)=仇%+2%-8,

易得f(x)為增函數(shù)，

設(shè)/Qo)=o,

由/⑶=Zn3-2<0,/(4)=2ln2>0,

由零點(diǎn)定理得：3<%o<4,

則xSxo的最大整數(shù)解是3,

故答案為：3.

由二次方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系得：方程"%=8-2x的解等價(jià)于函數(shù)/Q)=Inx+2x-8的零

點(diǎn)，由零點(diǎn)定理得：/(3)="3-2<0,/(4)=2ln2>0,則3<x0<4,得解.

本題考查了二次方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系及零點(diǎn)定理，屬中檔題.

16.答案:4

解析：解：由2即+1=2即+1,得出1+1-%1=也

又％=2,

數(shù)列｛0｝是以2為首項(xiàng)，以:為公差的等差數(shù)列.

?,?%=%+4d=2+4X3=4.

故答案為:4.

由數(shù)列遞推式得到數(shù)列為等差數(shù)列，并求得公差，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案.

本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

17.答案：解：(1)當(dāng)九=1時(shí)，=2at—1,%=1,

當(dāng)九>2時(shí)，Sn=2an-1,Sn_i=2an_1-1；

???an=2an—2Q九_(tái)i，

**,CLfi—1，

??.數(shù)列｛&J是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

n

:.an—2一1,

n-1

(2)%=2(log2an+1)=2(log22+1)=2n,

n-1n

bn-an=2n-2=n-2,

???7^=1x21+2x22+3x23+???+n?2n,

27；=1x22+2x23+3x24+-+(n-1)-2n+n-2n+1,

-T=21+22+23+-+2n-n-2n+1=2(1~2，，)-n-2W+1=2n+1-2-n-2n+1,

n1-2

n+1n+1n+1

Tn=-2+1+n-2=（n-l）2+2

解析：（1）當(dāng)n=l時(shí)，易得的=1；當(dāng)nN2時(shí)，解得冊(cè)=2art_i即an=2an_i（n22）,且臼=1,

從而｛aj是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；

n

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，得到%=2兀，^bn-an^n-2,利用錯(cuò)位相減法即可取出前n項(xiàng)和.

本題主要考察了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

18.答案：解：(1)???ABCD為矩形，貝MB〃CD,卜

NPB4為異面直線PB與CD所成角./：\\

vPA1平面ABCD,???PALAB,/：\

在Rt由P4=4B=1,可得"B4=45。，/；、

即異面直線PB與CD所成角的大小為45。；

(2)在矩形4BC。中，AB=1,AD=3,

可得S矩形ABCD=1X3=3，

又P4J■平面ABCD,PA=1,

^P-ABCD=§x3xl=L

解析：⑴由已知可得ZB〃CD,則4PB4為異面直線PB與CD所成角，再由已知可得三角形P4B為等

腰直角三角形，則答案可求；

(2)直接由棱錐體積公式求解.

本題考查異面直線所成角與棱錐體積的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

19.答案：解：(1)當(dāng)1<乂<2時(shí)，x-l>0,欲使f(x)>l恒成立，即高廿>1恒成立，

只要滿2對(duì)%€。2)恒成立即可.分)

對(duì)于)％—mx2>0,即?n<塔，

X2

???函數(shù)h(x)在(1,迎)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減，

而九(1)=0<h(2)=詈,

???mW0,…(3分)

對(duì)于％—1>m工一巾刀2,即m>”二：+1,令

（3-1）.%2一2%（比。-%+1）_%-1-2也3

則w'（X）=

令9(%)=x—1—2伍％則g'(x)=<0,

??.g(x)=x-1-2仇》在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則x-1-2lnx<0,從而"(x)<0,

?,?9(%)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則<0且當(dāng)x—1時(shí)，0(x)t%,

/.m>0,

綜上所述可得：M=0.…(6分)

(D)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明2叫m九>1,

(1)當(dāng)幾=1時(shí)，%=?,

:.2lnar=2ZnVe=1,

??.當(dāng)九=1時(shí)命題成立.??,(7分)

(2)假設(shè)幾=k時(shí)命題成立，即2，nQn>1,要證明ri=k+1時(shí)命題成立，即證明2九+】仇以+i>1.

只需證明以+12？—2/+1),

2k+1

"ak+1=f(aQ即證明/(aQ>e-(\

山［。)=(沿'=導(dǎo)，

當(dāng)%>1時(shí)，易證mx+——1>0,

x

?,?/'(%)>0,函數(shù)/(%)在區(qū)間(1,+8)上為增函數(shù).

由歸納假設(shè)2k團(tuán)回+1>1,得以>e2T>1，

,2一142一比1

￡/、、c，2一女、e乙—1屋—1

???/4)>/(〃)=盛/=丁丁

2-(k+12(k+1)2(k+1)

若>e\則必有/(以)>e'，故現(xiàn)在證明“e2f)>e-...(9^)

xx

構(gòu)造函數(shù)〃(%)=e-xe2-1?貝％'(%)=e—€2—^e2=ez(ez——1),

v%>0,易證e5-|-l>0,〃'(％)>0,

.,?函數(shù)”(%)在(0,+8)上為增函數(shù)，

故u導(dǎo))>u(0)=0,即e條-*-e法-1>0.

則《2-卜)=*1>32-2)，

(fc+1

由⑴及題意知/作2-“)=看1>e2-\

綜合(1)(2)知：對(duì)任意的neN*都有2"ma.21成立....(12分)

解析：（I）當(dāng)l<x<2時(shí)，%-1>0,欲使/。）>1恒成立，即高￡>1恒成立，只要滿足

（Inx-mx2>0對(duì)xe（1,2）恒成立即可，分別構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得加

1%—1>Inx—mx

的取值范圍；

（E）采用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n=1時(shí)，%=Ve,2lnar=2ln\[e=1,當(dāng)n=1時(shí)命題成立，假設(shè)n=k時(shí)

命題成立，要證明n=k+l時(shí)命題成立，即證明y+Umik+i21，只需證明以+iNe-2（k+i）,構(gòu)造

輔助函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求證f（e2->=展1>=吟匚>e2-^\

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值的綜合運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)歸納法求證不等式成立，構(gòu)造法求

函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的歸納推理能力，屬于難題.

20.答案：（1）證明：連接PH,

???△PAD為等邊三角形，H為4。的中點(diǎn)，

PH1AD,

???點(diǎn)P在平面4BC0內(nèi)的正投影點(diǎn)尸在4c上，

???PF1平面4BCD,

???ADu平面48C0,PF1AD,

又PHCPF=P,PH、PFu平面PHF,

AADJ■平面PHF,AAD1FH,

在等腰梯形ABCD中，TAB=2CD=4,乙4BC=60。，

:.AD=2,

由余弦定理知，BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosz.BAD=16+4-2x4x2xcos60°=12,

BD2+AD2=AB2,即ADJLBD,

FH//BD,

又FHC平面PB。，BOu平面PBO,

FH〃平面PBC.

(2)解：以D為原點(diǎn)，DA,D8所在直線分別為x,y軸，作Dzl平面4BCD,建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，則8(0,26,0)，C(-l,V3,0)，坐0,0,0),

由題意知，AD=CD=2,/.ADC=120°,

???Z.DAC=30°,HF=—AH=—.

33

???△P40是棱長(zhǎng)為2的等邊三角形，PH=g,

PF=VPH2-HF2=小一；竽,

???P(l,乎),

PC=(-2,^^,—BC—(―1,—V3,0)>DC-(―1,V3,0)>

設(shè)平面PBC的法向量為記=(x,y,z),則呼￡￡=°,即一〃十可丫一虧z-1

(沅-BC=0(_x_y/3y=0

令y=l,則x=-g,z=2V2,.-.m=(-73,1,272).

同理可得，平面PCD的法向量為記=(百,1,_夜)，

_—?—>Tn-n-3+1-4V2

??,cos<m,n>=———=,…~，..........=------,

|ni|,|?i|V3+1+8x-3+1+22

由圖可知，二面角B-PC-D為鈍角，

二面角B-PC-。的大小為手.

解析：(1)連接P"，則P”1AD,由PF_L平面4BC。，知PFJ.4D,從而推出ZD，平面PHF,有4D1FH,

再在等腰梯形ABC。中，結(jié)合余弦定理和勾股定理的逆定理可證進(jìn)而得FH〃BD,最后由

線面平行的判定定理，得證；

(2)以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求得平面P8C和平

面PCD的法向量而與記，然后由cos<記，元>=禹，得解.

本題考查空間中線與面的位置關(guān)系，二面角的求法，熟練掌握線與面平行、垂直的判定定理或性質(zhì)

定理，以及利用空間向量處理二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運(yùn)算

能力，屬于中檔題.

21.答案：解：(1)由題意得：做一2,0),8(2,0),

???圓。的圓心為原點(diǎn)，半徑為2,

二圓。的方程是+y2=4；

(2)由題意可知：C(0,l),￡)(0,-1),設(shè)EQ。,%)，則5(一出,、0)，(&片1)，

???直線CE的方程是：蕓=『，：?點(diǎn)M(含,0),

yo-1xoyo-1

同理點(diǎn)N(我*,0),

22

又???點(diǎn)E(xo，yo)在橢圓會(huì)+y2=1上，.?.￡+羽=1

：.OMON=5=純=-4

4

(3)顯然直線4P的斜率存在，設(shè)其方程為：y=/c(x+2),

(y=k(x+2)

聯(lián)立方程［立+y2_］，化簡(jiǎn)得：(1+4fc2)%2+16fc2x+16fc2-4=0,

設(shè)P(%i，%)，則%i+(-2)=-黑j，

所以|4P|=ViTPiXi-(-2)1=VTFF?高，

因?yàn)閳A心o到直線4P的距離d=喀%,

vl+fc2

所以|42|=2反左=4后，

假設(shè)存在點(diǎn)P,使得加=：麗,則|4Q|=4|4P|,

所以4工=46中?劣，化簡(jiǎn)得：4+4fc2=l+4fc2,此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，

\1+k2