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文檔簡(jiǎn)介
2020-2021學(xué)年鹽城一中高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共8小題,共40.0分)
1.命題'勺xeR,x-1>2”的否定是()
A.6/?,%—1<2B.3x6/??%—1<2
C.VxE/?,x—1<2D.VxE/?,%—1<2
2.已知函數(shù)/■(切=[3>4]);邢ix>0有極大值且有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.(0,+oo)B.(l/+oo)C.(-oo/O)D.(-00,1)
3,若復(fù)數(shù)z滿足:iz=3+4i,貝ijz=()
A.-3-4iB.4+3iC.4-3iD.-4+3i
4.設(shè)輟l裨為兩條直線,情拗為兩個(gè)平面,下列四個(gè)命題中正確的是
A.若瞅U覆與雄所成的角相等,則膨密聰
B.若獻(xiàn)臉脩㈱或黏,//然,則微%
C.若澗!I:二解骸亡繇哪爵"海,則辭小番'
D.若嬲1■陽(yáng)版14%尊上腳,則嬲■!■.陽(yáng):
5.在AABC中,“si?M>苴”是“力>受"的().
二獸
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6.設(shè)元=五+石,y=h+c.z=c+a,且{區(qū)瓦可是空間的一個(gè)基底.給出下列向量組:
①夜,無(wú)現(xiàn)②伐,y,辦③0,c,z}.@{x,y,力+方+了.其中可以作為空間的基底的向量組
的個(gè)數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
7.已知兩點(diǎn)4(3,0)、B(0,4),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在線段AB上運(yùn)動(dòng),則xy()
A.無(wú)最小值且無(wú)最大值B.無(wú)最小值但有最大值
C.有最小值但無(wú)最大值D.有最小值且有最大值
8.若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足(b+a2.31na)2+(c-d+2)2=0,且aC(0,1),則(a?c)2+(b?d)2的
最小值為()
A.-eB.-eC.-eD.-e
二、多選題(本大題共4小題,共20.0分)
9.雙曲線E:?—y2=i,圓Q:(x-t)2+y2=(t-2)2?>2),雙曲線E與圓Q有且僅有一個(gè)公
共點(diǎn),貝股取值可以是()
A.2.2B,2.4C.2.5D.2.7
10.如圖,在三棱錐中,VOL^WiABC,0eCD,VA=VB,AD=BD,則下列結(jié)論中一定
成立的是()
A.AC=BC
C.VC1VDD.S&VCD'48=S^ABC,
11.幾名大學(xué)生創(chuàng)業(yè),經(jīng)過調(diào)研,他們選擇了一種技術(shù)產(chǎn)品,生產(chǎn)此產(chǎn)品獲得的月利潤(rùn)p(x)(單位:
萬(wàn)元)與每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)x(單位:萬(wàn)元)有關(guān):當(dāng)每月投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于16萬(wàn)元時(shí),
p(x)=-1X2+6X-20,研發(fā)利潤(rùn)率y=哼X100%,他們現(xiàn)在已投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)9萬(wàn)元,則下列
判斷正確的是()
A.投入9萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)可以獲得最大利潤(rùn)率
B.要再投入6萬(wàn)元研發(fā)經(jīng)費(fèi)才能獲得最大利潤(rùn)
C.要想獲得最大利潤(rùn)率,還需要再投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)1萬(wàn)元
D.要想獲得最大利潤(rùn),還需要再投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)1萬(wàn)元
12.設(shè)數(shù)列{a"的前n項(xiàng)和為5,%=6,an+1+2=an,則()
A.{斯}是等比數(shù)列B.{即}是單調(diào)遞增數(shù)列
C.{〃}是單調(diào)遞減數(shù)列D.Sn的最大值為12
三、單空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.過x軸正半軸上一點(diǎn)P的直線與拋物線必=4x交于兩點(diǎn)4、B,。是原點(diǎn),4、B的橫坐標(biāo)分別為3
和(則下列:
①點(diǎn)P是拋物線y2=4x的焦點(diǎn);
②函?麗=-2;
③過4、B、。三點(diǎn)的圓的半徑為等;
④若三角形04B的面積為S,貝*<S<g;
⑤若加=4而,則;I=3.
在這五個(gè)命題中,正確的是.
14.已知在△ABC中,AB=8,AC=7,BC=5,D是線段AB上一點(diǎn),且滿足ZBOC=f,則8=
4
,CD=.
15.方程)x=8-2x的解為沏,則不等式x三面的最大整數(shù)解是.
16.在數(shù)列{aj中,=2,2an+1=2an+1,則CI5的值為:.
四、解答題(本大題共6小題,共70.0分)
17.數(shù)列{即}的前n項(xiàng)和為Sn,且匕=2與一1,設(shè)匕=2(1臉M+1),neN*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{%?an}的前n項(xiàng)和
18.在四棱錐P-ABC。的底面矩形中,AB=1,AD=3,又已知P41
平面4BCO,PA=1.
(1)求異面直線PE與CD所成角的大?。?/p>
(2)求四棱錐P-48CD的體積.
19.已知函數(shù)/(%)=康'加eR.
(1)若1<》<2時(shí),f(x)>l恒成立,求zn的取值范圍;
n
(口)若771=0時(shí),令出1+1=neN*,Qj=Ve,求證:2lnan>1.
20.如圖,在四棱錐P-4BCD中,底面ABCD為等腰梯形,且4B=2CD=4,乙4BC=60。,點(diǎn)P在
平面ABCO內(nèi)的正投影點(diǎn)F在4C上,若△PAD為等邊三角形,H為4。的中點(diǎn).
(1)求證:FH〃平面PBD;
(2)求二面角8-PC-。的大小.
21.已知橢圓匚9+y2=i,其左右頂點(diǎn)分別為力,B,上下頂點(diǎn)分別為C,D,圓。是以線段4B為直
徑的圓.
(1)求圓。的方程;
(2)若點(diǎn)E,F是橢圓上關(guān)于丁軸對(duì)稱的兩個(gè)不同的點(diǎn),直線CE,DF分別交x軸于點(diǎn)M、N,求證:麗?麗
為定值;
(3)若點(diǎn)P是橢圓廠上不同于點(diǎn)4的點(diǎn),直線4P與圓。的另一個(gè)交點(diǎn)為Q.是否存在點(diǎn)P,使得存=:所?
若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
22.設(shè)函數(shù)/(x)=-i%3+2ax2-3a2%+a(aeR).
(I)當(dāng)。=1時(shí),求曲線y=/(x)在點(diǎn)(3/(3))處的切線方程;
(口)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(HI)若對(duì)于任意的x6(3a,a),都有/(x)<a+l,求a的取值范圍.
參考答案及解析
1.答案:D
解析:
直接利用命題的否定的定義求出結(jié)果.
本題考查的知識(shí)要點(diǎn):命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.
解:命題'勺xCR,x-l>2"的否定是VxWR,x-1<2,
故選:D.
2.答案:4
解析:解:函數(shù)/■(x)=EZ1ATl久>0,在J%+8)上連續(xù),
x>0時(shí),/(%)=x3-ax2+1,
可得/'(%)=3x2-2ax,函數(shù)的極值點(diǎn)為%=0和%=拳
函數(shù)/㈤二七+"好:、。有極大值且有極小值,可得”>0,
所以ae(0,+8)函數(shù)有極大值/(0),極小值f(爭(zhēng).
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+00).
故選:A.
判斷函數(shù)的連續(xù)性,通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的極值,列出不等式求解即可.
考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,屬于中檔題.
3.答案:C
解析:由iz=2+4i,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算可得結(jié)果.
由iz=3+4i,得z=@=^21=4-3i,
I1-1
故選:C.
4.答案:D
解析:試題分析:4選項(xiàng):若闞潞與糜,所成的角相等,則》燔集或相交或異面;8選項(xiàng):若醐臉隰^感搟,
露“豁,則限嘴陽(yáng)或相交或異面;C選項(xiàng):若敏工條格卜二髀瞰蹴版,則徽“到'或相交;D選項(xiàng)正確.
考點(diǎn):直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系.
5.答案:A
解析:在△ABC中,若sinA>理,則里<4(竺.當(dāng)A>%時(shí),若4=%時(shí),sinA=@,所以
S33;署察2
usinA>苴”是“>>%”的充分不必要條件.
6.答案:C
解析:解:,??¥=蒼+石,故乙方茂共面,故他,瓦寺不能作為空間向量的一組基底;
假設(shè)禮歹笈共面,則存在;I,使得m=+
即不+方=;10+5)+〃@+下)=4丘+(71+〃)石+〃了,
1=2
???4+4=0,顯然方程組無(wú)解,故假設(shè)不成立,故看。2不共面,
M=1
??.叵3,為可以作為空間向量的一組基底,
同理可得{瓦下團(tuán),區(qū)少,方+3+引均可作為空間向量的一組基底,
故選:C.
判斷各組向量是否共面得出結(jié)論.
本題考查了空間向量共面的判定,屬于基礎(chǔ)題.
7.答案:D
解析:解:由題意可得48所在直線方程為:+3=1,
...1=3+彳22醫(yī),解得久丁<3,
34y34
當(dāng)且僅當(dāng):=患陵=|且y=2時(shí)取等號(hào).
又點(diǎn)P與4或B重合時(shí)xy取最小值0
故選:D.
由題意可得:+(=1,由基本不等式可得盯的最大值3,P與2或B重合時(shí)孫取最小值0.
本題考查基本不等式求最值,屬基礎(chǔ)題.
8.答案:D
解析:解:??,實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足(/?+M.3)。)2+(c?d+2)2=0,
:.b+Q2?3lna=0,cd+2=0.
2
??2
?b=—3alna,d=—c.
???(a?c)2+(b?d)2=a2c2+36a;na(*),
va6(0,1),
??.(*)>a2-2小2.12a_^2a3\lna\=/(a)?當(dāng)且僅當(dāng)c?=一6。仇@時(shí)取等號(hào).
3222
當(dāng)aG(0,1)時(shí),/(a)=-12alnaff'(Q)=-36alna-12a=-12a(3lna+1),
令/(a)a=e~3-
當(dāng)0VaVeV時(shí),f'(Q)>0,函數(shù)/(a)單調(diào)遞增;當(dāng)<a<1時(shí),/'(a)<0,函數(shù)/(a)單調(diào)遞減?
?,?函數(shù)/(a)最大值,/(e4)=
??.(a-c)2+(b-d)2的最小值為
故選:D.
實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足(b+a2-3/na)2+(c?d+2)2=0,可得b+a2-3Ina=0,cd+2=。.即b=
2
-3aIna,d=一|,代入(a.c)2+(b.d)2=a2c2+36Q;;MQ(*),利用基本不等式可得(*)2層.
2卜.嗎』12a3ga|=r(a),再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.
本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值,考查了推理能力與計(jì)算能力,
屬于難題.
9.答案:ABC
解析:解:設(shè)雙曲線右支上的一點(diǎn)為(x,y),則-t)2+y22弓一2對(duì)任意的(x,y)恒成立,
即是+2)>2t對(duì)任意的x>2恒成立,
所以2<t<2.5,
故選:ABC.
設(shè)雙曲線右支上的一點(diǎn)為(x,y),則Jq_t)2+y2>-2對(duì)任意的(x,y)恒成立,即是+2)>2t
對(duì)任意的x>2恒成立,即可得出答案.
本題考查雙曲線與圓的位置關(guān)系,解題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化成恒成立問題,屬于中檔題.
10.答案:ABD
解析:解:IZ/1=VB,AD=BD,>
B
所以ZB1平面PCD,
又CDu平面IZCD,VCu平面PCD,
所以48J.PC,故8正確;
AB1CD,又AD=BD,所以由線段垂直平分線的性質(zhì)得4C=BC,故A正確;
若VC1VD,由VC14B,得VCJ_平面U4B,則VC1VB,
由題設(shè)條件推導(dǎo)不出UC1VB,故C錯(cuò)誤;
因?yàn)閂。1平面48C,
所以%-4BC=|^A4BC,VO.
因?yàn)锳B,平面VCD,
所以為-ABC=^B-VCD+^A-VCD
11
=]SAVCD,BD+-SAVCD-AD
1
=§SNCD,(BD+AD)
=]SAVC。,4B,
所以[SA.BC,V。=1sAycD-AB,
即SMCDAB=SA48c,V。?故。正確.
故選:ABD.
推導(dǎo)出UOJ■平面4BC,VOLAB,從而ABJ_平面UCD,進(jìn)而1VC;由ABICC,AD=BD,由
線段垂直平分線的性質(zhì)得AC=BC;若VC1VD,則VC1UB,由題設(shè)條件推導(dǎo)不出VC1VB:由
=
^V-ABC^B-VCD+^A-VCD,得到§SAABC',。=.SA/C。,人8,從而SAHC。,=SMBC'?
本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解
能力,是中檔題.
11.答案:BC
解析:解:因?yàn)楫a(chǎn)品的月利潤(rùn)為P(x)=/+6M-20=-式x-15)2+125,(0<x<16),
則當(dāng)x=15時(shí),月利潤(rùn)有最大值為125萬(wàn)元,即在已經(jīng)投入9萬(wàn)元時(shí)需再投入6萬(wàn)元,才能使月利潤(rùn)
最大,故B正確,。錯(cuò)誤,
而利潤(rùn)率y=哼2=-衿:"20=一《X+§)+6,
因?yàn)?>;>0
55x4.
所以1+§N2Jgx.§=4,即y=—(]+弓)+6W-4+6=2,
當(dāng)且僅當(dāng)(x=§,即x=l。萬(wàn)元時(shí),利潤(rùn)率有最大值為2,即在己經(jīng)投入9萬(wàn)元時(shí)再投入1萬(wàn)元,才
能使利潤(rùn)率最大,故4錯(cuò)誤,C正確,
故選:BC.
利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析出月利潤(rùn)取得最大值的條件,即可判斷選項(xiàng)8,。是否正確,再求出利潤(rùn)率
的關(guān)系式,利用基本不等式求出取得最大值的條件,即可判斷選項(xiàng)4,。是否正確.
本題考查了根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型的問題,涉及到基本不等式的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì),考
查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
12.答案:CD
解析:解:根據(jù)題意,數(shù)列{aj中,%i+i+2=c1n,則有an+i-即=-2,
依次分析選項(xiàng):
對(duì)于4,{即}是等差數(shù)列,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,an+1-an=-2,是公差為負(fù)的等差數(shù)列,{〃}是單調(diào)遞增數(shù)列,8錯(cuò)誤;
對(duì)于C,由B的結(jié)論,C正確;
對(duì)于D,{廝}是等差數(shù)列,%=6,d=—2,則即=8—2M,有n=4時(shí),廝=0,
則n=3或4時(shí),Sn最大,且右的最大值為6+4+2=12,。正確;
故選:CD.
根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)是否正確,即可得答案.
本題考查等差數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和的性質(zhì),涉及數(shù)列的遞推公式,屬于基礎(chǔ)題.
13.答案:①③④⑤
解析:解:由圖可得4(3,28),8(}-苧)
①設(shè)P(a,0),過P的直線為y=k(x-a),聯(lián)立拋物線方程消去
y,得_Qal+4)x+k2a2=o,則3*:=。2,。=1,
即P(l,0)即為焦點(diǎn)F,故①對(duì);
@OA-OB=(3,2?&-苧)=3x:_2百x手=-3,
故②錯(cuò);
③治.。="”(2百+爭(zhēng)=竽=也2
4R
=上旦受,R=叵,故③對(duì);
4R3
④S—BO=/竽<g故④對(duì);
⑤若麗=2而,即屈=4而,,=芳=3,故⑤對(duì).
故答案為:①③④⑤
①設(shè)P(a,O),設(shè)直線方程,聯(lián)立拋物線方程,消去y,得到二次方程,由兩根之積,即可得到a;
②求出4B的坐標(biāo),由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,即可得到;
③運(yùn)用兩種方法求出三角形48。的面積,注意面積公式S△ABC=^absinC=~
④由△AB。的面積,即可判斷;
⑤布=4而,即酢=A而,由A,F(xiàn),B的坐標(biāo),即可得到.
本題考查拋物線的定義、性質(zhì)和方程,考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立,消去未知數(shù),得到二次方
程,應(yīng)用韋達(dá)定理求解,同時(shí)考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,和向量共線定理,以及求外接圓
的半徑應(yīng)用面積公式,屬于中檔題.
14.答案:g述
32
解析:
本題主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)
題.在△ABC中,由己知利用余弦定理可求cosB=1,結(jié)合Be(0,7r),可得B的值,在△BCD中,由
正弦定理即可求解C。的值.
解:因?yàn)椤鰽BC中,力B=8,AC=7,BC=5,
口黯+值一582+52-721
所以cosB=一,
2BABC2x8x52
因?yàn)锽e(0,兀),
所以B=條
因?yàn)?。是線段4B上一點(diǎn),且滿足48。。=%
所以在△BCD中,由正弦定理當(dāng)=一/7,可得。。=尊=乎.
sinBsinzBDCv22
2
故答案為:P壁.
32
15.答案:3
解析:解:設(shè)/(%)=仇%+2%-8,
易得f(x)為增函數(shù),
設(shè)/Qo)=o,
由/⑶=Zn3-2<0,/(4)=2ln2>0,
由零點(diǎn)定理得:3<%o<4,
則xSxo的最大整數(shù)解是3,
故答案為:3.
由二次方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系得:方程"%=8-2x的解等價(jià)于函數(shù)/Q)=Inx+2x-8的零
點(diǎn),由零點(diǎn)定理得:/(3)="3-2<0,/(4)=2ln2>0,則3<x0<4,得解.
本題考查了二次方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系及零點(diǎn)定理,屬中檔題.
16.答案:4
解析:解:由2即+1=2即+1,得出1+1-%1=也
又%=2,
數(shù)列{0}是以2為首項(xiàng),以:為公差的等差數(shù)列.
?,?%=%+4d=2+4X3=4.
故答案為:4.
由數(shù)列遞推式得到數(shù)列為等差數(shù)列,并求得公差,然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案.
本題考查了數(shù)列遞推式,考查了等差關(guān)系的確定,是基礎(chǔ)的計(jì)算題.
17.答案:解:(1)當(dāng)九=1時(shí),=2at—1,%=1,
當(dāng)九>2時(shí),Sn=2an-1,Sn_i=2an_1-1;
???an=2an—2Q九_(tái)i,
**,CLfi—1,
??.數(shù)列{&J是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
n
:.an—2一1,
n-1
(2)%=2(log2an+1)=2(log22+1)=2n,
n-1n
bn-an=2n-2=n-2,
???7^=1x21+2x22+3x23+???+n?2n,
27;=1x22+2x23+3x24+-+(n-1)-2n+n-2n+1,
-T=21+22+23+-+2n-n-2n+1=2(1~2,,)-n-2W+1=2n+1-2-n-2n+1,
n1-2
n+1n+1n+1
Tn=-2+1+n-2=(n-l)2+2
解析:(1)當(dāng)n=l時(shí),易得的=1;當(dāng)nN2時(shí),解得冊(cè)=2art_i即an=2an_i(n22),且臼=1,
從而{aj是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列;
n
(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì),得到%=2兀,^bn-an^n-2,利用錯(cuò)位相減法即可取出前n項(xiàng)和.
本題主要考察了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
18.答案:解:(1)???ABCD為矩形,貝MB〃CD,卜
NPB4為異面直線PB與CD所成角./:\\
vPA1平面ABCD,???PALAB,/:\
在Rt由P4=4B=1,可得"B4=45。,/;、
即異面直線PB與CD所成角的大小為45。;
(2)在矩形4BC。中,AB=1,AD=3,
可得S矩形ABCD=1X3=3,
又P4J■平面ABCD,PA=1,
^P-ABCD=§x3xl=L
解析:⑴由已知可得ZB〃CD,則4PB4為異面直線PB與CD所成角,再由已知可得三角形P4B為等
腰直角三角形,則答案可求;
(2)直接由棱錐體積公式求解.
本題考查異面直線所成角與棱錐體積的求法,是基礎(chǔ)的計(jì)算題.
19.答案:解:(1)當(dāng)1<乂<2時(shí),x-l>0,欲使f(x)>l恒成立,即高廿>1恒成立,
只要滿2對(duì)%€。2)恒成立即可.分)
對(duì)于)%—mx2>0,即?n<塔,
X2
???函數(shù)h(x)在(1,迎)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減,
而九(1)=0<h(2)=詈,
???mW0,…(3分)
對(duì)于%—1>m工一巾刀2,即m>”二:+1,令
(3-1).%2一2%(比。-%+1)_%-1-2也3
則w'(X)=
令9(%)=x—1—2伍%則g'(x)=<0,
??.g(x)=x-1-2仇》在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減,則x-1-2lnx<0,從而"(x)<0,
?,?9(%)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減,則<0且當(dāng)x—1時(shí),0(x)t%,
/.m>0,
綜上所述可得:M=0.…(6分)
(D)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明2叫m九>1,
(1)當(dāng)幾=1時(shí),%=?,
:.2lnar=2ZnVe=1,
??.當(dāng)九=1時(shí)命題成立.??,(7分)
(2)假設(shè)幾=k時(shí)命題成立,即2,nQn>1,要證明ri=k+1時(shí)命題成立,即證明2九+】仇以+i>1.
只需證明以+12?—2/+1),
2k+1
"ak+1=f(aQ即證明/(aQ>e-(\
山[。)=(沿'=導(dǎo),
當(dāng)%>1時(shí),易證mx+——1>0,
x
?,?/'(%)>0,函數(shù)/(%)在區(qū)間(1,+8)上為增函數(shù).
由歸納假設(shè)2k團(tuán)回+1>1,得以>e2T>1,
,2一142一比1
£/、、c,2一女、e乙—1屋—1
???/4)>/(〃)=盛/=丁丁
2-(k+12(k+1)2(k+1)
若>e\則必有/(以)>e',故現(xiàn)在證明“e2f)>e-...(9^)
xx
構(gòu)造函數(shù)〃(%)=e-xe2-1?貝%'(%)=e—€2—^e2=ez(ez——1),
v%>0,易證e5-|-l>0,〃'(%)>0,
.,?函數(shù)”(%)在(0,+8)上為增函數(shù),
故u導(dǎo))>u(0)=0,即e條-*-e法-1>0.
則《2-卜)=*1>32-2),
(fc+1
由⑴及題意知/作2-“)=看1>e2-\
綜合(1)(2)知:對(duì)任意的neN*都有2"ma.21成立....(12分)
解析:(I)當(dāng)l<x<2時(shí),%-1>0,欲使/。)>1恒成立,即高£>1恒成立,只要滿足
(Inx-mx2>0對(duì)xe(1,2)恒成立即可,分別構(gòu)造輔助函數(shù),求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,求得加
1%—1>Inx—mx
的取值范圍;
(E)采用數(shù)學(xué)歸納法,當(dāng)n=1時(shí),%=Ve,2lnar=2ln\[e=1,當(dāng)n=1時(shí)命題成立,假設(shè)n=k時(shí)
命題成立,要證明n=k+l時(shí)命題成立,即證明y+Umik+i21,只需證明以+iNe-2(k+i),構(gòu)造
輔助函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求證f(e2->=展1>=吟匚>e2-^\
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值的綜合運(yùn)用,考查數(shù)學(xué)歸納法求證不等式成立,構(gòu)造法求
函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生的歸納推理能力,屬于難題.
20.答案:(1)證明:連接PH,
???△PAD為等邊三角形,H為4。的中點(diǎn),
PH1AD,
???點(diǎn)P在平面4BC0內(nèi)的正投影點(diǎn)尸在4c上,
???PF1平面4BCD,
???ADu平面48C0,PF1AD,
又PHCPF=P,PH、PFu平面PHF,
AADJ■平面PHF,AAD1FH,
在等腰梯形ABCD中,TAB=2CD=4,乙4BC=60。,
:.AD=2,
由余弦定理知,BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosz.BAD=16+4-2x4x2xcos60°=12,
BD2+AD2=AB2,即ADJLBD,
FH//BD,
又FHC平面PB。,BOu平面PBO,
FH〃平面PBC.
(2)解:以D為原點(diǎn),DA,D8所在直線分別為x,y軸,作Dzl平面4BCD,建立如圖所示的空間直角
坐標(biāo)系,則8(0,26,0),C(-l,V3,0),坐0,0,0),
由題意知,AD=CD=2,/.ADC=120°,
???Z.DAC=30°,HF=—AH=—.
33
???△P40是棱長(zhǎng)為2的等邊三角形,PH=g,
PF=VPH2-HF2=小一;竽,
???P(l,乎),
PC=(-2,^^,—BC—(―1,—V3,0)>DC-(―1,V3,0)>
設(shè)平面PBC的法向量為記=(x,y,z),則呼££=°,即一〃十可丫一虧z-1
(沅-BC=0(_x_y/3y=0
令y=l,則x=-g,z=2V2,.-.m=(-73,1,272).
同理可得,平面PCD的法向量為記=(百,1,_夜),
_—?—>Tn-n-3+1-4V2
??,cos<m,n>=———=,…~,..........=------,
|ni|,|?i|V3+1+8x-3+1+22
由圖可知,二面角B-PC-D為鈍角,
二面角B-PC-。的大小為手.
解析:(1)連接P",則P”1AD,由PF_L平面4BC。,知PFJ.4D,從而推出ZD,平面PHF,有4D1FH,
再在等腰梯形ABC。中,結(jié)合余弦定理和勾股定理的逆定理可證進(jìn)而得FH〃BD,最后由
線面平行的判定定理,得證;
(2)以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理求得點(diǎn)P的坐標(biāo),再求得平面P8C和平
面PCD的法向量而與記,然后由cos<記,元>=禹,得解.
本題考查空間中線與面的位置關(guān)系,二面角的求法,熟練掌握線與面平行、垂直的判定定理或性質(zhì)
定理,以及利用空間向量處理二面角的方法是解題的關(guān)鍵,考查空間立體感、推理論證能力和運(yùn)算
能力,屬于中檔題.
21.答案:解:(1)由題意得:做一2,0),8(2,0),
???圓。的圓心為原點(diǎn),半徑為2,
二圓。的方程是+y2=4;
(2)由題意可知:C(0,l),£)(0,-1),設(shè)EQ。,%),則5(一出,、0),(&片1),
???直線CE的方程是:蕓=『,:?點(diǎn)M(含,0),
yo-1xoyo-1
同理點(diǎn)N(我*,0),
22
又???點(diǎn)E(xo,yo)在橢圓會(huì)+y2=1上,.?.£+羽=1
:.OMON=5=純=-4
4
(3)顯然直線4P的斜率存在,設(shè)其方程為:y=/c(x+2),
(y=k(x+2)
聯(lián)立方程[立+y2_],化簡(jiǎn)得:(1+4fc2)%2+16fc2x+16fc2-4=0,
設(shè)P(%i,%),則%i+(-2)=-黑j,
所以|4P|=ViTPiXi-(-2)1=VTFF?高,
因?yàn)閳A心o到直線4P的距離d=喀%,
vl+fc2
所以|42|=2反左=4后,
假設(shè)存在點(diǎn)P,使得加=:麗,則|4Q|=4|4P|,
所以4工=46中?劣,化簡(jiǎn)得:4+4fc2=l+4fc2,此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解,
\1+k2
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