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文檔簡介
2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計70分.請把答案填寫在答題
卡相應(yīng)位置上.
1、(5.00分)已知集合人={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么AAB=、
2、(5.00分)若復(fù)數(shù)z滿足i?z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位,則z的實部為、
3、(5.00分)已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示,那么這5
位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為、
899
9011
4、(5.00分)一個算法的偽代碼如圖所示,執(zhí)行此算法,最后輸出的S的值
為、
:/-I;
:;
:S-1
;WMe7<6
*I
:I-H2;
!
;S-2S
?EndWhile
:PrintS\
:_______________J
5、(5.00分)函數(shù)f(x)=Ji"2*-]的定義域為、
6、(5.00分)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活
動,則恰好選中2名女生的概率為、
7、(5.00分)已知函數(shù)丫=$仍(2x+6)(-2L<4)<2L)的圖象關(guān)于直線x=2L對
223
稱,則6的值為、
22
8、(5.00分)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線工彳-與1(a>0,b>0)的
ab
右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為返c,則其離心率的值為、
2
9、(5.00分)函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(x?R),且在區(qū)間(-2,2]上,
cos.x,0<x42
f(x)=,則f(f(15))的值為_______
|x-H^-|>-2<x40
10、(5.00分)如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面
11、(5.00分)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+l(aER)在(0,+°°)內(nèi)有且只有一個
零點,則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為、
12、(5.00分)在平面直角坐標系xOy中,A為直線I:y=2x上在第一象限內(nèi)的點,
B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線I交于另一點D、若凝?CD=O,則點A的
橫坐標為、
13、(5.00分)在^ABC中,角A,B,(:所對的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,
ZABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為、
14、(5.00分)已知集合A={x|x=2n-1,n£N*},B={x|x=2n,n?N*}、將AUB
的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an},記Sn為數(shù)列{aj的前n項和,
則使得Sn>12am成立的n的最小值為、
二、解答題:本大題共6小題,共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時
應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15、(14.00分)在平行六面體ABCD-AiBiJDi中,AAi=AB,ABi±BiC^
求證:(1)AB〃平面AiBC
(2)平面ABBiAi,平面AiBC、
DG
&
4B
16、(14.00分)已知a,B為銳角,tana=&,cos(a+p)=-
35
(1)求cos2a的值;
(2)求tan(a-0)的值、
17、(14.00分)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓0的一段圓弧前
(P為此圓弧的中點)和線段MN構(gòu)成、已知圓0的半徑為40米,點P到MN
的距離為50米、現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚,大棚I內(nèi)的地塊形狀為
矩形ABCD,大棚n內(nèi)的地塊形狀為ACDP,要求A,B均在線段MN上,C,D
均在圓弧上、設(shè)0C與MN所成的角為6、
(1)用6分別表示矩形ABCD和4CDP的面積,并確定sine的取值范圍;
(2)若大棚?內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚n內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的
單位面積年產(chǎn)值之比為4:3、求當(dāng)e為何值時,能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)
值最大、
18、(16.00分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C過點(?,1),焦點
%(-0),F2(?,0),圓。的直徑為FF2、
(1)求橢圓C及圓0的方程;
(2)設(shè)直線I與圓。相切于第一象限內(nèi)的點P、
①若直線I與橢圓C有且只有一個公共點,求點P的坐標;
②直線I與橢圓C交于A,B兩點、若aOAB的面積為邁,求直線I的方程、
7
19、(16.00分)記「(x),g'(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)、若存在
XoGR,滿足f(X。)=g(Xo)且f'(X。)=g'(Xo),則稱X。為函數(shù)f(x)與g(x)
的一個"S點"、
(1)證明:函數(shù)f(x)=*與8(x)=x?+2x-2不存在"S點”;
(2)若函數(shù)f(x)=ax?-1與g(x)=lnx存在"S點",求實數(shù)a的值;
(3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)-、對任意a>0,判斷是否存在b>0,
x
使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在"S點",并說明理由、
20、(16.00分)設(shè){aj是首項為a1,公差為d的等差數(shù)列,{b#是首項為%,公
比為q的等比數(shù)列、
(1)設(shè)ai=0,bi=l,q=2,若|an-bnWbi對n=l,2,3,4均成立,求d的取
值范圍;
(2)若ai=bi>0,mGN*,qG(1,,證明:存在d?R,使得|an-bn|W
%對n=2,3,...?m+1均成立,并求d的取值范圍(用b。m,q表示)、
數(shù)學(xué)II(附加題)【選做題】本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩小題,
并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩小題評分.解答時應(yīng)寫出文
字說明、證明過程或演算步驟A[選修4-1:幾何證明選講](本小題滿分10分)
21、(10.00分)如圖,圓。的半徑為2,AB為圓。的直徑,P為AB延長線上一
點,過P作圓。的切線,切點為C、若PC=2?,求BC的長、
B.[選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分)
22、(10.00分)已知矩陣人=23、
.12_
(1)求A的逆矩陣AN
(2)若點P在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點P,(3,1),求點P的坐標、
C.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](本小題滿分0分)
23、在極坐標系中,直線I的方程為psin(2L-0)=2,曲線C的方程為p=4cos0,
6
求直線I被曲線C截得的弦長、
D.[選修4-5:不等式選講](本小題滿分。分)
24、若x,y,z為實數(shù),且x+2y+2z=6,求x?+y2+z2的最小值、
【必做題】第25題、第26題,每題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)
作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
25、如圖,在正三棱柱ABC-AiBG中,AB=AA1=2,點P,Q分別為A^Bi,BC的
中點、
(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;
(2)求直線CCi與平面AQG所成角的正弦值、
4iG
26、設(shè)nGN*,對1,2n的一個排歹!JiR……in,如果當(dāng)s<t時,<is>it,
則稱(is,it)是排列6……in的一個逆序,排列川2……in的所有逆序的總個數(shù)稱為
其逆序數(shù)、例如:對1,2,3的一個排列231,只有兩個逆序(2,1),(3,1),
則排列231的逆序數(shù)為2、記力(k)為1,2,…,n的所有排列中逆序數(shù)為k的
全部排列的個數(shù)、
(1)求f3(2),f4(2)的值;
(2)求力(2)(n>5)的表達式(用n表示)、
參考答案與試題解析
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計70分.請把答案填寫在答題
卡相應(yīng)位置上.
1、(5.00分)已知集合人={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么AAB={1>
8}、
題目分析:直接利用交集運算得答案、
試題解答:解::A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8),
,AnB={0,1,2,8}A{-1,1,6,8}={1,8},
故答案為:{1,8}、
點評:本題考查交集及其運算,是基礎(chǔ)的計算題、
2、(5.00分)若復(fù)數(shù)z滿足i?z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位,則z的實部為2、
題目分析:把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案、
試題解答:解:由i?z=l+2i,
得片班=(l+2i)(T)*j,
i-i2
Az的實部為2、
故答案為:2、
點評:本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題、
3、(5.00分)已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示,那么這5
位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為90、
899
9011
題目分析:根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)計算它們的平均數(shù)即可、
試題解答:解:根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知,
這5位裁判打出的分數(shù)為89、89、90、91、91,
它們的平均數(shù)為Lx(89+89+90+91+91)=90、
5
故答案為:90、
點評:本題考查了利用莖葉圖計算平均數(shù)的問題,是基礎(chǔ)題、
4、(5.00分)一個算法的偽代碼如圖所示,執(zhí)行此算法,最后輸出的S的值為
8、
:1-1;
:!
!S-1
;WhileZ<6?
:六土2;
!
;S-2S
;EndWhile
:PrintS
題目分析:模擬程序的運行過程,即可得出程序運行后輸出的S值、
試題解答:解:模擬程序的運行過程如下;
1=1,S=l,
1=3,S=2,
1=5,S=4,
1=7,S=8,
此時不滿足循環(huán)條件,則輸出S=8、
故答案為:8、
點評:本題考查了程序語言的應(yīng)用問題,模擬程序的運行過程是解題的常用方法、
5、(5.00分)函數(shù)f(x)1的定義域為⑵+8)、
題目分析:解關(guān)于對數(shù)函數(shù)的不等式,求出x的范圍即可、
試題解答:解:由題意得:lOg^l,
解得:x,2,
函數(shù)f(x)的定義域是[2,+8)、
故答案為:[2,+8)、
點評:本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查求函數(shù)的定義域問題,是一道基礎(chǔ)題、
6、(5.00分)某興趣小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活
動,則恰好選中2名女生的概率為0.3、
題目分析:(適合理科生)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù),
共有C52=10種,其中全是女生的有C3?=3種,根據(jù)概率公式計算即可,
(適合文科生),設(shè)2名男生為a,b,3名女生為A,B,C,則任選2人的種數(shù)
為ab,aA,aB,aC,bA,bB,Be,AB,AC,BC共10種,其中全是女生為AB,
AC,BC共3種,根據(jù)概率公式計算即可
試題解答:解:(適合理科生)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)
服務(wù),
共有C52=10種,其中全是女生的有C3?=3種,
故選中的2人都是女同學(xué)的概率P=A=0.3,
10
(適合文科生),設(shè)2名男生為a,b,3名女生為A,B,C,
則任選2人的種數(shù)為ab,aA,aB,aC,bA,bB,Be,AB,AC,BC共10種,
其中全是女生為AB,AC,BC共3種,
故選中的2人都是女同學(xué)的概率P=-0.3,
10
故答案為:0.3
點評:本題考查了古典概率的問題,采用排列組合或一一列舉法,屬于基礎(chǔ)題、
7、(5.00分)已知函數(shù)丫=$仍(2x+e)(-2L<4)<2L)的圖象關(guān)于直線x=2L對
223
稱,則巾的值為_4_、
題目分析:根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性建立方程關(guān)系進行求解即可、
試題解答:解::y=sin(2x+6)(-2L<(j)<2L)的圖象關(guān)于直線x=2L對稱,
223
.,.2x2L+4)=kn+2L,kez,
32
即4)=kn-
6
-2L<4)<2L,
22
?,.當(dāng)k=0時,4)=-―,
6
故答案為:-2L、
6
點評:本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用正弦函數(shù)的對稱性建立方程關(guān)
系是解決本題的關(guān)鍵、
22
8、(5.00分)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線3-工_=1(a>0,b>0)的
ab
右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為五,則其離心率的值為2、
2
題目分析:利用雙曲線的簡單性質(zhì),以及點到直線的距離列出方程,轉(zhuǎn)化求解即
可、
22
試題解答:解:雙曲線(a>0,b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近
2,2
ab
線y=h(的距離為叵,
a2
be
可得:/a=b=線,
可2
可得?2七2=盟2,即c=2a,
所以雙曲線的離心率為:e=£=2、
a
故答案為:2、
點評:本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力、
9、(5.00分)函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(x?R),且在區(qū)間(-2,2]上,
cos.x,0<x42
f(x)=,則f(f(15))的值為_乂2_、
|x+yl.-2<x<02
題目分析:根據(jù)函數(shù)的周期性,進行轉(zhuǎn)化求解即可、
試題解答:解:由f(x+4)=f(x)得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù),
貝I]f(15)=f(16-1)=f(-1)=|-1+L\=L,
22
f(1)-cos(兀Y1)-COSK
22242
即f(f(15))=返,
2
故答案為:返
2
點評:本題主要考查函數(shù)值的計算,根據(jù)函數(shù)的周期性結(jié)合分段函數(shù)的表達式利
用轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵、
10、(5.00分)如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面
體的體積為1、
題目分析:求出多面體中的四邊形的面積,然后利用體積公式求解即可、
試題解答:解:正方體的棱長為2,中間四邊形的邊長為:血,
八面體看做兩個正四棱錐,棱錐的高為1,
多面體的中心為頂點的多面體的體積為:2Xgx&Xj^Xl=&、
33
點評:本題考查幾何體的體積的求法,考查空間想象能力以及計算能力、
11、(5.00分)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+l(a?R)在(0,+°°)內(nèi)有且只有一個
零點,則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為-3、
題目分析:推導(dǎo)出f'(x)=2x(3x-a),xG(0,+°°),當(dāng)aWO時,「(x)=2x
(3x-a)>0,f(0)=1,f(x)在(0,+8)上沒有零點;當(dāng)a>0時,fz(x)
=2x(3x-a)>0的解為x>2,f(x)在(0,旦)上遞減,在(旦,+°°)遞增,
333
由f(x)只有一個零點,解得a=3,從而f(x)=2x3-3X2+1,f(x)=6x(x-1),
XG[-1,1],利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和、
試題解答:解:?函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a?R)在(0,+?=)內(nèi)有且只有一個
零點,
?*.f(x)=2x(3x-a),x£(0,+0°),
①當(dāng)aWO時,f'(x)=2x(3x-a)>0,
函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,f(0)=1,f(x)在(0,+8)上沒有零
點,舍去;
②當(dāng)a>0時,「(x)=2x(3x-a)>0的解為x>旦,
3
Af(x)在(0,A)上遞減,在(2,+8)遞增,
33
又f(x)只有一個零點,
3
.?」(且)=-J_+l=0,解得a=3,
327
f(x)=2x3-3X2+1,F(x)=6x(x-1),xG[-1,1],
V(x)>0的解集為(-1,0),
f(x)在(-1,0)上遞增,在(0,1)上遞減,
f(-1)=-4,f(0)=1,f(1)=0,
.*.f(X)min=f(-1)=-4,f(X)max=f(°)=1,
Af(X)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為:
f(X)max+f(X)min=-4+1=-3、
點評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值,導(dǎo)數(shù)的運算及其應(yīng)用,同時考查邏輯思維
能力和綜合應(yīng)用能力,是中檔題、
12、(5.00分)在平面直角坐標系xOy中,A為直線I:y=2x上在第一象限內(nèi)的點,
B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線I交于另一點D、若凝?而=0,則點A的
橫坐標為3、
題目分析:設(shè)A(a,2a),a>0,求出C的坐標,得到圓C的方程,聯(lián)立直線方
程與圓的方程,求得D的坐標,結(jié)合彘?而=0求得a值得答案、
試題解答:解:設(shè)A(a,2a),a>0,
VB(5,0),:.Ca),
2
則圓C的方程為(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0、
聯(lián)立[k2x,解得口(1,2)、
((x-5)(x-a)+y(y-2a)=C
2
=
?*,AB,CD=(5-a,-2aA(2-a)—乙;葭,+2a'_4a=0、
乙乙
解得:a=3或a=-1、
又a>0,a=3、
即A的橫坐標為3、
故答案為:3、
點評:本題考查平面向量的數(shù)量積運算,考查圓的方程的求法,是中檔題、
13、(5.00分)在^ABC中,角A,B,(:所對的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,
ZABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為9、
題目分析:根據(jù)面積關(guān)系建立方程關(guān)系,結(jié)合基本不等式1的代換進行求解即可、
試題解答:解:由題意得Zcsinl20°=\sin60°+Lsin60°,
222
即ac=a+c,
得J_+L=l,
ac
得4a+c=(4a+c)(1+1)=£+至+5N2-&&+5=4+5=9,
acacVac
當(dāng)且僅當(dāng)£■=至,即c=2a時,取等號,
ac
故答案為:9、
點評:本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,利用1的代換結(jié)合基本不等式是解決本
題的關(guān)鍵、
14、(5.00分)已知集合A={x|x=2n-1,n@N*},B={x|x=2n,n?N*}、將AUB
的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an},記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,
則使得Sn>12am成立的n的最小值為27、
題目分析:采用列舉法,驗證n=26,n=27即可、
試題解答:解:利用列舉法可得:當(dāng)n=26時,AUB中的所有元素從小到大依次
排列,構(gòu)成一個數(shù)列{an},
所以數(shù)列屈}的前26項分別1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23.25,...41,
2,4,8,16,32、
526=2111+n,)_+4(1_:)=4n+62=503,327=43,=>12a27=516,不符合題意、
21_2
當(dāng)n=27時,AUB中的所有元素從小到大依次排列,構(gòu)成一個數(shù)列{an},
所以數(shù)列{aj的前26項分別1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23.25,...41,
43,2,4,8,16,32、
$27=22(1+43)2。二眇)到6,a=45^12a28=540,符合題意,
21^2
故答案為:27、
點評:本題考查了集合、數(shù)列的求和,屬于中檔題、
二、解答題:本大題共6小題,共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時
應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15、(14.00分)在平行六面體ABCD-AiBiJDi中,AAi=AB,AB」BG、
求證:(1)AB〃平面AiBiC;
(2)平面ABBiAi,平面AiBC、
AB//A[Bi
題目分析:(1)由AB不在平面A]BiC內(nèi)nAB〃平面AiBC
A]B]U平面A[B]C
(2)可得四邊形ABB1A1是菱形,ABi±AiB,
由ABi,BiCQABi,BC=ABi,面AiBC,0平面ABBiA^L平面AfC、
試題解答:證明:(1)平行六面體ABCD-AiBiJDi中,AB〃AiBi,
AB〃AiBi,ABC平面AiBiC,〃平面AiB^CoAB〃平面AfiC;
(2)在平行六面體ABCD-AiBiJDi中,AAi=AB,=四邊形ABB^Ai是菱形,±
ABi±AiB>
在平行六面體ABCD-AiBRiDi中,AAi=AB,ABi±BiCi=>ABi±BC>
'ABjAiB,ABilBC
A[BPlBC=B
A】BU面ARC,BCU面A]BC
臺ABi,面AiBC,且ABiC平面ABBiAi=平面ABBiA1,平面A^BC、
點評:本題考查了平行六面體的性質(zhì),及空間線面平行、面面垂直的判定,屬于
中檔題、
16、(14.00分)已知a,0為銳角,tana=9,cos(a+0)=-"國、
(1)求cos2a的值;
(2)求tan(a-0)的值、
題目分析:(1)由已知結(jié)合平方關(guān)系求得sina,cosa的值,再由倍角公式得cos2a
的值;
(2)由(1)求得tan2a,再由cos(a+0)=-Y£求得tan(a+0),利用tan(a
5
-P)=tan[2a-(a+p)],展開兩角差的正切求解、
sina_4
.”4
sinCI=—
cosa35
試題解答:解:(1)由J22,解得,
sin'a+cos2a=ig寸rr3
cosa=—
、a為銳角5
22
??cos2a=cosa-sina
(2)由(1)得,sin2a=2sinacosa=^,則tan2a=sm2a二衛(wèi)
25cos2a7
.a,pe(o,2L),/.a+pe(0,n),
2
/.sin(a+B)=Vl-cos2(a+P
□
則tan(a+0)=sin(a+])
cos(a+B)-/
tan(a-p)=tan[2a-(a+0)]=.tan2a-tan(a+B)2
l+tan2atan(a+B)H
點評:本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
的應(yīng)用,是中檔題、
17、(14.00分)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧前
(P為此圓弧的中點)和線段MN構(gòu)成、已知圓O的半徑為40米,點P到MN
的距離為50米、現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚,大棚I內(nèi)的地塊形狀為
矩形ABCD,大棚n內(nèi)的地塊形狀為^CDP,要求A,B均在線段MN上,C,D
均在圓弧上、設(shè)OC與MN所成的角為6、
(1)用6分別表示矩形ABCD和4CDP的面積,并確定sine的取值范圍;
(2)若大棚?內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚n內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的
單位面積年產(chǎn)值之比為4:3、求當(dāng)e為何值時,能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)
值最大、
題目分析:(1)根據(jù)圖形計算矩形ABCD和4CDP的面積,求出sine的取值范圍;
(2)根據(jù)題意求出年總產(chǎn)值y的解析式,構(gòu)造函數(shù)f(6),
利用導(dǎo)數(shù)求f(6)的最大值,即可得出6為何值時年總產(chǎn)值最大、
試題解答:解:(I)s矩形ABCD=(40sine+10)?80cos6
=800(4sin0cos0+cos0),
SCDP=—e8Ocos0(40-4Osin0)
A2
=1600(cos0-cosQsinQ),
當(dāng)B、N重合時,6最小,止匕時sin6=l_;
4
當(dāng)C、P重合時,6最大,此時sin6=l,
...sine的取值范圍是[L,1);
4
(2)設(shè)年總產(chǎn)值為y,甲種蔬菜單位面積年產(chǎn)值為4t,乙種蔬菜單位面積年產(chǎn)
值為3t,
則y=3200t(4sin0cos0+cos0)+4800t(cos0-cos0sin6)
=8000t(sin0cos0+cos0),其中sin6£[L,1);
4
設(shè)f(0)=sin0cos0+cos0,
則f(0)=cos20-sin20-sin0
=-2sin20-sin0+l;
令「(e)=o,解得sine=L,此時cose=YA;
262
當(dāng)sinceU_,1)時,f(e)>0,f(6)單調(diào)遞增;
42
當(dāng)sinBG[L,1)時,f,⑹<o,f(0)單調(diào)遞減;
2
.?.e=2L時,f(e)取得最大值,即總產(chǎn)值y最大、
6
答:(1)S矩形ABCD=800(4sin0cos0+cos0),
SACDP=1600(cos0-cos0sin0),
sinew[L1);
4
e=2L時總產(chǎn)值y最大、
6
點評:本題考查了解三角形的應(yīng)用問題,也考查了構(gòu)造函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)
的最值問題,是中檔題、
18、(16.00分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C過點(?,1),焦點
%(-、巧,圓。的直徑為、
0),F2(A/3-0),F(xiàn)1F2
(1)求橢圓C及圓O的方程;
(2)設(shè)直線I與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P、
①若直線I與橢圓C有且只有一個公共點,求點P的坐標;
②直線I與橢圓C交于A,B兩點、若4OAB的面積為邁,求直線I的方程、
7
題目分析:(1)由題意可得c/際、—+^—=1-又a2-b2=c2=3,解得a=2,b=l
a24b2
即可、
2
(2)①可設(shè)直線I的方程為丫=1?<+|11,(k<0,m>0)、可得」_=3,即m^S+Sk2'
1+k2
222
由[尸kx+m,可得(4|<2+1)x2+8kmx+4m-4=0,△=(8km)-4(4k+l)
IX2++4,=4
(4m2-4)=0,解得k=-\[2,m=3、即可
22
②設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),聯(lián)立直線與橢圓方程得(41?+1)x+8kmx+4m-
4=0,
O到直線I的距離
△OAB的面積為
S卷X睡M?而X丹,乂引X而X6早,
24k2+1Vl+k224儲+17
解得k=-、而,(正值舍去),m=3、Q、即可
22
試題解答:解:(1)由題意可設(shè)橢圓方程為三+91,(a>b>O),
a2b2
:焦點Fi(-?,0),F2(A/3,0),c=V5、
~~--=i,Xa2-b2=c2=3,
2^,21
a4b
解得a=2,b=l、
2
22
???橢圓C的方程為:A_+y2=1,圓。的方程為:x+y=3>
(2)①可知直線I與圓O相切,也與橢圓C,且切點在第一象限,
...可設(shè)直線I的方程為y=kx+m,(k<0,m>0)^
-2
由圓心(0,0)到直線I的距離等于圓半徑會,可得」~3,即mJ3+3k2、
1+k2
由[y=kx+m,可得(41^+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
lx2+4y2=4
△=(8km)2-4(4k2+l)(4m2-4)=0,
可得m2=4k2+l,.\3k2+3=4k2+l,結(jié)合k<0,m>0,解得k=-料,m=3、
_22
將k=-6,m=3代入,x+y_3可得*2_2^/^+2=0,
y=kx+m
解得x=J^,y=l,故點P的坐標為(祀,1)、
②設(shè)A(Xi,yl,B(X2,丫2),
'k<0,m>0
由,in2=3+3k2=k<-料、
A>0
聯(lián)立直線與橢圓方程得(41?+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
—_W4k2+l-in2
=J(X]+X2)2_4X[
x2-Xi
“24k2+1
O到直線I的距離d=嚴|,
AB=GX2』幻震『EG,
△OAB的面積為
1、,4八2-2、/I----pv/--2V6
S.納空宣?必xyx----2----xVl+k2xV3__'
24kZ+l24kJ+l7
解得k=-巡,(正值舍去),m=3近、
.*.y=-粕X+3A/^為所求、
點評:本題考查了橢圓的方程,直線與圓、橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題、
19、(16.00分)記f,(x),g'(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)、若存在
X°WR,滿足f(Xo)=g(Xo)且f'(Xo)=g'(Xo),則稱Xo為函數(shù)f(x)與g(x)
的一個"S點"、
(1)證明:函數(shù)f(x)=*與8(x)=x?+2x-2不存在"S點”;
(2)若函數(shù)f(x)=ax?-1與g(x)=lnx存在"S點",求實數(shù)a的值;
(3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)=bJ、對任意a>0,判斷是否存在b>0,
使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在"S點",并說明理由、
題目分析:(1)根據(jù)"S點"的定義解兩個方程,判斷方程是否有解即可;
(2)根據(jù)"S點”的定義解兩個方程即可;
(3)分別求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合兩個方程之間的關(guān)系進行求解判斷即可、
試題解答:解:(1)證明:f'(x)=1,g'(x)=2x+2,
,2
則由定義得x=x+2X-2,得方程無解,則f(x)=*與8(x)=x?+2x-2不存在"S
、l=2x+2
八占、、”,.
(2)f(x)=2ax,g'(x)=-L,x>0,
x
由「(x)=g'(x)得L=2ax,得
f(JZZ)=-y=g(JZZ)="ylna2,得a=-|-;
(3)f(x)=-2x,gz(x)=上'邑【x二(xWO),
62
2Xn
由f'(Xo)=g'(Xo),假設(shè)b>0,得b「0=-——L>o,得O<Xo〈l,
Xo-l
x0Q22
22
由f(x0)=g(Xo),得-x0+a=-^~=---—,得a=x0-——,
xoxo-1xo-1
232
令h(x)=x2-"x-a=r+,:>x+ax-a_,(a>Q?0<x<l),
X-l1-X
設(shè)m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<l),
則m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,
又m(x)的圖象在(0,1)上連續(xù)不斷,
則m(x)在(0,1)上有零點,
則h(x)在(0,1)上有零點,
則存在b>0,使f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在"S"點、
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)條件建立兩個方程組,判斷方程組是否有
解是解決本題的關(guān)鍵、
20、(16.00分)設(shè){aj是首項為a1,公差為d的等差數(shù)列,{>}是首項為民,公
比為q的等比數(shù)列、
(1)設(shè)ai=O,bi=l,q=2,若4-bnWbi對n=l,2,3,4均成立,求d的取
值范圍;
(2)若ai=bi>0,mGN*,qG(1,妒],證明:存在d?R,使得|an-bn|W
%對n=2,3,m+1均成立,并求d的取值范圍(用m,q表示)、
題目分析:(1)根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式,解不等式組即可;
(2)根據(jù)數(shù)列和不等式的關(guān)系,利用不等式的關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列和函數(shù),判斷數(shù)
列和函數(shù)的單調(diào)性和性質(zhì)進行求解即可、
試題解答:解:(1)由題意可知In-bnlWl對任意n=l,2,3,4均成立,
,.*31=0,q=2,
f|o-l|<l
|d-2|<l
|2d-4|<f
.|3d-8|<l
n
證明:(2)Van=ai+(n-1)d,bn=bi?qS
若存在dGR,使得4-bnWbI對n=2,3,m+1均成立,
貝11bi+(n-1)d-bi?qn<LWbi,(n=2,3,m+1),
n-1cb<qk]
即^..-bi<d^-....,(n=2,3,m+1),
n-1n-1
VqG(1,步],.,.貝I]1<qnTWqmW2,(n=2,3,m+1),
n-1
n-1門hv_2_>0,
n-ln-1
因此取d=0時,|an-bnlWbi對n=2,3,m+1均成立,
n-1cn-l
下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列—}的最小值,
n-1n-l
n門n-10nnn-1./nn-1\n.
①當(dāng)2WnWm時,口一2_q-2=nq-q-nq+2n=n(q-q+2n)
nn-ln(n-l)n(n-l)
1
當(dāng)lVqW?蔡時,有qVqmW2,
從而n(qn-qnl)-qn+2>0,
n-1門
因此當(dāng)2WnWm+l時,數(shù)列{色_2}單調(diào)遞增,
n-l
n-1弓m
故數(shù)列{§_二2}的最大值為工znl、
n-1m
②設(shè)f(x)=2X(1-x),當(dāng)x>0時,F(xiàn)(x)=(In2-1-xln2)2x<0,
:.f(x)單調(diào)遞減,從而f(x)<f(0)=1,
n
---1
)()
當(dāng)2WnWm時,_nq(n-l)~(1_1=f1<1,
qnTn2nn
n-1
n-1
因此當(dāng)2WnWm+l時,數(shù)歹(J{^—}單調(diào)遞遞減,
n-l
n-1mk(
故數(shù)列{3_}的最小值為幺,L”
n-1nin
??.d的取值范圍是d?[>"*-2),吆二、
IDID
點評:本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列以及不等式的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生的運
算能力,綜合性較強,難度較大、
數(shù)學(xué)II(附加題)【選做題】本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩小題,
并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩小題評分.解答時應(yīng)寫出文
字說明、證明過程或演算步驟.A.[選修4-1:幾何證明選講](本小題滿分10分)
21、(10.00分)如圖,圓。的半徑為2,AB為圓。的直徑,P為AB延長線上一
點,過P作圓。的切線,切點為C、若PC=2?,求BC的長、
題目分析:連接OC,由題意,CP為圓。的切線,得到垂直關(guān)系,由線段長度及
勾股定理,可以得到P0的長,即可判斷aCOB是等邊三角形,BC的長、
試題解答:解:連接0C,
因為PC為切線且切點為C,
所以O(shè)CLCP、
因為圓。的半徑為2,PC=2A/5,
所以BO=OC=2,p(j=J0,2+cp2=4,
所以COS/COPV,
所以NCOP=60°,
所以ACOB為等邊三角形,
所以BC=BO=2、
點評:本題主要考查圓與直線的位置關(guān)系,切線的應(yīng)用,考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題
的能力、
B.[選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分)
22、(10.00分)已知矩陣人=23、
.12_
(1)求A的逆矩陣A%
(2)若點P在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點V(3,1),求點P的坐標、
23
題目分析:(1)矩陣A=求出det(A)=1WO,A可逆,然后求解A的逆
Ll2j
矩陣A】、
X3X3
(2)設(shè)P(x,y),通過23.求出,即可得到點P的坐標、
Ll2JLyJL1JLyJ-1
23
試題解答:解:(1)矩陣A=,det(A)=2X2-1X3=17^0,所以A可逆,
.12_
從而:A的逆矩陣A12-3
-12
x,所以「卜
(2)設(shè)P(x,y),則23-i33
Ll2JLyJL1J-L-1
因此點P的坐標為(3,-1)、
點評:本題矩陣與逆矩陣的關(guān)系,逆矩陣的求法,考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,是基本
知識的考查、
C.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](本小題滿分0分)
23、在極坐標系中,直線I的方程為psin(2L-0)=2,曲線C的方程為p=4cos0,
6
求直線I被曲線C截得的弦長、
題目分析:將直線I、曲線C的極坐標方程利用互化公式可得直角坐標方程,利
用直線與圓的相交弦長公式即可求解、
試題解答:解:,曲線C的方程為p=4cos&p2=4pcos&=>x2+y2=4x,
曲線C是圓心為C(2,0),半徑為r=2得圓、
,直線I的方程為psin(2L-0)=2,.".XpCQS0-噂_psin8=2,
622
??.直線I的普通方程為:x-倔=4、
圓心C到直線I的距離為2
V1+3
?.?直線I被曲線C截得的弦長為2,yr2_d2=274^1=2V3'
點評:本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的相交弦長關(guān)系、點
到直線的距離公式,屬于中檔題、
D.[選修4-5:不等式選講](本小題滿分0分)
24、若x,y,z為實數(shù),且x+2y+2z=6,求x?+y2+z2的最小值、
題目分析:根據(jù)柯西不等式進行證明即可、
試題解答:解:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+22)N(x+2y+2z)2,
"."x+2y+2z=6,x2+y2+z2^4
是當(dāng)且僅當(dāng)三時,不等式取等號,此時x=2,y=A,z=A,
122333
x2+y2+z2的最小值為4
點評:本題主要考查不等式的證明,利用柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵、,
【必做題】第25題、第26題,每題1
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