2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷及解析

2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題

卡相應(yīng)位置上.

1、（5.00分）已知集合人={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么AAB=、

2、（5.00分）若復(fù)數(shù)z滿足i?z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為、

3、（5.00分）已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5

位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為、

899

9011

4、（5.00分）一個(gè)算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S的值

為、

：/-I；

：；

：S-1

；WMe7<6

*I

：I-H2；

!

；S-2S

?EndWhile

：PrintS\

：_______________J

5、（5.00分）函數(shù)f（x）=Ji"2*-］的定義域?yàn)椤?/p>

6、（5.00分）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活

動(dòng),則恰好選中2名女生的概率為、

7、（5.00分）已知函數(shù)丫=$仍（2x+6）（-2L<4）<2L）的圖象關(guān)于直線x=2L對(duì)

223

稱，則6的值為、

22

8、（5.00分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線工彳-與1（a>0,b>0）的

ab

右焦點(diǎn)F（c,0）到一條漸近線的距離為返c,則其離心率的值為、

2

9、（5.00分）函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）（x?R）,且在區(qū)間（-2,2］上，

cos.x，0<x42

f(x)=,則f(f(15))的值為_______

|x-H^-|>-2<x40

10、（5.00分）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面

11、（5.00分）若函數(shù)f（x）=2x3-ax2+l（aER）在（0,+°°）內(nèi)有且只有一個(gè)

零點(diǎn)，則f（x）在［-1,1］上的最大值與最小值的和為、

12、（5.00分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線I：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),

B（5,0）,以AB為直徑的圓C與直線I交于另一點(diǎn)D、若凝?CD=O,則點(diǎn)A的

橫坐標(biāo)為、

13、（5.00分）在^ABC中，角A,B,（:所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,

ZABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為、

14、（5.00分）已知集合A={x|x=2n-1,n￡N*},B={x|x=2n,n?N*}、將AUB

的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an},記Sn為數(shù)列{aj的前n項(xiàng)和，

則使得Sn>12am成立的n的最小值為、

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)

應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15、（14.00分）在平行六面體ABCD-AiBiJDi中，AAi=AB,ABi±BiC^

求證：（1）AB〃平面AiBC

（2）平面ABBiAi，平面AiBC、

DG

&

4B

16、（14.00分）已知a,B為銳角，tana=&,cos（a+p）=-

35

（1）求cos2a的值；

（2）求tan（a-0）的值、

17、（14.00分）某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓0的一段圓弧前

（P為此圓弧的中點(diǎn)）和線段MN構(gòu)成、已知圓0的半徑為40米，點(diǎn)P到MN

的距離為50米、現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為

矩形ABCD,大棚n內(nèi)的地塊形狀為ACDP,要求A,B均在線段MN上，C,D

均在圓弧上、設(shè)0C與MN所成的角為6、

（1）用6分別表示矩形ABCD和4CDP的面積，并確定sine的取值范圍；

（2）若大棚?內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚n內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的

單位面積年產(chǎn)值之比為4：3、求當(dāng)e為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)

值最大、

18、（16.00分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過點(diǎn)（?,1）,焦點(diǎn)

%（-0）,F2（?,0）,圓。的直徑為FF2、

（1）求橢圓C及圓0的方程；

（2）設(shè)直線I與圓。相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P、

①若直線I與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直線I與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)、若aOAB的面積為邁，求直線I的方程、

7

19、(16.00分)記「(x),g'(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)、若存在

XoGR,滿足f(X。)=g(Xo)且f'(X。)=g'(Xo),則稱X。為函數(shù)f(x)與g(x)

的一個(gè)"S點(diǎn)"、

(1)證明：函數(shù)f(x)=*與8(x)=x?+2x-2不存在"S點(diǎn)”；

(2)若函數(shù)f(x)=ax?-1與g(x)=lnx存在"S點(diǎn)"，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)-、對(duì)任意a>0,判斷是否存在b>0,

x

使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在"S點(diǎn)"，并說明理由、

20、(16.00分)設(shè)｛aj是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，｛b#是首項(xiàng)為％,公

比為q的等比數(shù)列、

(1)設(shè)ai=0,bi=l,q=2,若|an-bnWbi對(duì)n=l,2,3,4均成立，求d的取

值范圍；

(2)若ai=bi>0,mGN*,qG(1,，證明：存在d?R,使得|an-bn|W

%對(duì)n=2,3,...?m+1均成立，并求d的取值范圍(用b。m,q表示)、

數(shù)學(xué)II(附加題)【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題,

并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟A［選修4-1：幾何證明選講］(本小題滿分10分)

21、(10.00分)如圖，圓。的半徑為2,AB為圓。的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一

點(diǎn)，過P作圓。的切線，切點(diǎn)為C、若PC=2?,求BC的長(zhǎng)、

B.［選修4-2：矩陣與變換］（本小題滿分10分）

22、（10.00分）已知矩陣人=23、

.12_

（1）求A的逆矩陣AN

（2）若點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P，（3,1）,求點(diǎn)P的坐標(biāo)、

C.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本小題滿分0分）

23、在極坐標(biāo)系中，直線I的方程為psin（2L-0）=2,曲線C的方程為p=4cos0,

6

求直線I被曲線C截得的弦長(zhǎng)、

D.［選修4-5：不等式選講］（本小題滿分。分）

24、若x,y,z為實(shí)數(shù),且x+2y+2z=6,求x?+y2+z2的最小值、

【必做題】第25題、第26題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)

作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

25、如圖，在正三棱柱ABC-AiBG中，AB=AA1=2,點(diǎn)P,Q分別為A^Bi，BC的

中點(diǎn)、

（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；

（2）求直線CCi與平面AQG所成角的正弦值、

4iG

26、設(shè)nGN*,對(duì)1,2n的一個(gè)排歹！JiR……in，如果當(dāng)s<t時(shí)，<is>it,

則稱(is，it)是排列6……in的一個(gè)逆序,排列川2……in的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為

其逆序數(shù)、例如：對(duì)1,2,3的一個(gè)排列231,只有兩個(gè)逆序(2,1)，(3,1),

則排列231的逆序數(shù)為2、記力(k)為1,2,…，n的所有排列中逆序數(shù)為k的

全部排列的個(gè)數(shù)、

(1)求f3(2),f4(2)的值；

(2)求力(2)(n>5)的表達(dá)式(用n表示)、

參考答案與試題解析

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題

卡相應(yīng)位置上.

1、（5.00分）已知集合人={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么AAB={1>

8}、

題目分析：直接利用交集運(yùn)算得答案、

試題解答：解：：A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8）,

，AnB={0,1,2,8}A{-1,1,6,8}={1,8},

故答案為：{1,8}、

點(diǎn)評(píng)：本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題、

2、（5.00分）若復(fù)數(shù)z滿足i?z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為2、

題目分析：把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案、

試題解答：解：由i?z=l+2i,

得片班=（l+2i）（T）*j,

i-i2

Az的實(shí)部為2、

故答案為：2、

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題、

3、（5.00分）已知5位裁判給某運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5

位裁判打出的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為90、

899

9011

題目分析：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算它們的平均數(shù)即可、

試題解答：解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，

這5位裁判打出的分?jǐn)?shù)為89、89、90、91、91,

它們的平均數(shù)為L(zhǎng)x（89+89+90+91+91）=90、

5

故答案為：90、

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用莖葉圖計(jì)算平均數(shù)的問題，是基礎(chǔ)題、

4、（5.00分）一個(gè)算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S的值為

8、

：1-1；

:!

!S-1

；WhileZ<6?

：六土2；

!

；S-2S

；EndWhile

：PrintS

題目分析：模擬程序的運(yùn)行過程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的S值、

試題解答：解：模擬程序的運(yùn)行過程如下；

1=1,S=l,

1=3,S=2,

1=5,S=4,

1=7,S=8,

此時(shí)不滿足循環(huán)條件，則輸出S=8、

故答案為：8、

點(diǎn)評(píng):本題考查了程序語言的應(yīng)用問題,模擬程序的運(yùn)行過程是解題的常用方法、

5、（5.00分）函數(shù)f（x）1的定義域?yàn)棰?8）、

題目分析：解關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式，求出x的范圍即可、

試題解答：解：由題意得：lOg^l,

解得：x,2,

函數(shù)f（x）的定義域是［2,+8）、

故答案為：［2,+8）、

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查求函數(shù)的定義域問題，是一道基礎(chǔ)題、

6、（5.00分）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活

動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為0.3、

題目分析：（適合理科生）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù),

共有C52=10種，其中全是女生的有C3?=3種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可，

（適合文科生），設(shè)2名男生為a,b,3名女生為A,B,C,則任選2人的種數(shù)

為ab,aA,aB,aC,bA,bB,Be,AB,AC,BC共10種，其中全是女生為AB,

AC,BC共3種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可

試題解答：解：（適合理科生）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)

服務(wù)，

共有C52=10種，其中全是女生的有C3?=3種，

故選中的2人都是女同學(xué)的概率P=A=0.3,

10

（適合文科生），設(shè)2名男生為a,b,3名女生為A,B,C,

則任選2人的種數(shù)為ab,aA,aB,aC,bA,bB,Be,AB,AC,BC共10種，

其中全是女生為AB,AC,BC共3種，

故選中的2人都是女同學(xué)的概率P=-0.3,

10

故答案為：0.3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概率的問題，采用排列組合或一一列舉法，屬于基礎(chǔ)題、

7、（5.00分）已知函數(shù)丫=$仍（2x+e）（-2L＜4）＜2L）的圖象關(guān)于直線x=2L對(duì)

223

稱，則巾的值為_4_、

題目分析：根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可、

試題解答：解：：y=sin（2x+6）（-2L＜（j）＜2L）的圖象關(guān)于直線x=2L對(duì)稱，

223

.,.2x2L+4）=kn+2L,kez,

32

即4）=kn-

6

-2L＜4）＜2L,

22

?,.當(dāng)k=0時(shí)，4）=-―,

6

故答案為：-2L、

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性建立方程關(guān)

系是解決本題的關(guān)鍵、

22

8、(5.00分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線3-工_=1(a>0,b>0)的

ab

右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為五,則其離心率的值為2、

2

題目分析：利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離列出方程，轉(zhuǎn)化求解即

可、

22

試題解答：解：雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近

2,2

ab

線y=h(的距離為叵，

a2

be

可得：/a=b=線,

可2

可得?2七2=盟2，即c=2a,

所以雙曲線的離心率為：e=￡=2、

a

故答案為：2、

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力、

9、(5.00分)函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(x?R),且在區(qū)間(-2,2]上,

cos.x,0<x42

f(x)=，則f(f(15))的值為_乂2_、

|x+yl.-2<x<02

題目分析：根據(jù)函數(shù)的周期性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可、

試題解答：解：由f(x+4)=f(x)得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，

貝I]f(15)=f(16-1)=f(-1)=|-1+L\=L,

22

f(1)-cos(兀Y1)-COSK

22242

即f(f(15))=返，

2

故答案為：返

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)的周期性結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式利

用轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵、

10、(5.00分)如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面

體的體積為1、

題目分析：求出多面體中的四邊形的面積，然后利用體積公式求解即可、

試題解答：解：正方體的棱長(zhǎng)為2,中間四邊形的邊長(zhǎng)為：血，

八面體看做兩個(gè)正四棱錐，棱錐的高為1,

多面體的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為：2Xgx&Xj^Xl=&、

33

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力、

11、(5.00分)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+l(a?R)在(0,+°°)內(nèi)有且只有一個(gè)

零點(diǎn)，則f(x)在［-1,1］上的最大值與最小值的和為-3、

題目分析：推導(dǎo)出f'(x)=2x(3x-a),xG(0,+°°),當(dāng)aWO時(shí)，「(x)=2x

(3x-a)>0,f(0)=1,f(x)在(0,+8)上沒有零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，fz(x)

=2x(3x-a)>0的解為x>2,f(x)在(0,旦)上遞減，在(旦，+°°)遞增，

333

由f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，解得a=3,從而f(x)=2x3-3X2+1,f(x)=6x(x-1),

XG[-1,1],利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和、

試題解答：解：?函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a?R)在(0,+?=)內(nèi)有且只有一個(gè)

零點(diǎn)，

?*.f(x)=2x(3x-a),x￡(0,+0°),

①當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)=2x(3x-a)>0,

函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，f(0)=1,f(x)在(0,+8)上沒有零

點(diǎn)，舍去；

②當(dāng)a>0時(shí)，「(x)=2x(3x-a)>0的解為x>旦，

3

Af(x)在(0,A)上遞減，在(2,+8)遞增，

33

又f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，

3

.?」(且)=-J_+l=0,解得a=3,

327

f(x)=2x3-3X2+1,F(x)=6x(x-1),xG[-1,1],

V(x)>0的解集為(-1,0),

f(x)在(-1,0)上遞增，在(0,1)上遞減，

f(-1)=-4,f(0)=1,f(1)=0,

.*.f(X)min=f(-1)=-4,f(X)max=f(°)=1，

Af(X)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為：

f(X)max+f(X)min=-4+1=-3、

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維

能力和綜合應(yīng)用能力，是中檔題、

12、(5.00分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線I：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，

B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線I交于另一點(diǎn)D、若凝?而=0,則點(diǎn)A的

橫坐標(biāo)為3、

題目分析：設(shè)A(a,2a),a>0,求出C的坐標(biāo)，得到圓C的方程，聯(lián)立直線方

程與圓的方程，求得D的坐標(biāo)，結(jié)合彘?而=0求得a值得答案、

試題解答：解：設(shè)A(a,2a),a>0,

VB(5,0),：.Ca),

2

則圓C的方程為(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0、

聯(lián)立［k2x,解得口(1,2)、

((x-5)(x-a)+y(y-2a)=C

2

=

?*,AB，CD=(5-a,-2aA(2-a)—乙；葭，+2a'_4a=0、

乙乙

解得：a=3或a=-1、

又a>0,a=3、

即A的橫坐標(biāo)為3、

故答案為：3、

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查圓的方程的求法，是中檔題、

13、(5.00分)在^ABC中，角A,B,(:所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,

ZABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為9、

題目分析:根據(jù)面積關(guān)系建立方程關(guān)系，結(jié)合基本不等式1的代換進(jìn)行求解即可、

試題解答：解：由題意得Zcsinl20°=\sin60°+Lsin60°,

222

即ac=a+c,

得J_+L=l,

ac

得4a+c=(4a+c)(1+1)=￡+至+5N2-&&+5=4+5=9,

acacVac

當(dāng)且僅當(dāng)￡■=至，即c=2a時(shí)，取等號(hào)，

ac

故答案為：9、

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用1的代換結(jié)合基本不等式是解決本

題的關(guān)鍵、

14、(5.00分)已知集合A={x|x=2n-1,n@N*},B={x|x=2n,n?N*}、將AUB

的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an},記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，

則使得Sn>12am成立的n的最小值為27、

題目分析：采用列舉法，驗(yàn)證n=26,n=27即可、

試題解答：解：利用列舉法可得：當(dāng)n=26時(shí)，AUB中的所有元素從小到大依次

排列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛an｝,

所以數(shù)列屈｝的前26項(xiàng)分別1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23.25,...41,

2,4,8,16,32、

526=2111+n,)_+4(1_:)=4n+62=503,327=43,=>12a27=516,不符合題意、

21_2

當(dāng)n=27時(shí)，AUB中的所有元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛an｝,

所以數(shù)列｛aj的前26項(xiàng)分別1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23.25,...41,

43,2,4,8,16,32、

$27=22(1+43)2。二眇)到6,a=45^12a28=540,符合題意，

21^2

故答案為：27、

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合、數(shù)列的求和，屬于中檔題、

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)

應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15、(14.00分)在平行六面體ABCD-AiBiJDi中，AAi=AB,AB」BG、

求證：(1)AB〃平面AiBiC；

(2)平面ABBiAi，平面AiBC、

AB//A[Bi

題目分析：(1)由AB不在平面A]BiC內(nèi)nAB〃平面AiBC

A]B]U平面A[B]C

(2)可得四邊形ABB1A1是菱形，ABi±AiB,

由ABi，BiCQABi，BC=ABi，面AiBC,0平面ABBiA^L平面AfC、

試題解答：證明：(1)平行六面體ABCD-AiBiJDi中，AB〃AiBi，

AB〃AiBi，ABC平面AiBiC,〃平面AiB^CoAB〃平面AfiC；

(2)在平行六面體ABCD-AiBiJDi中，AAi=AB,=四邊形ABB^Ai是菱形，±

ABi±AiB>

在平行六面體ABCD-AiBRiDi中，AAi=AB,ABi±BiCi=>ABi±BC>

'ABjAiB,ABilBC

A[BPlBC=B

A】BU面ARC,BCU面A]BC

臺(tái)ABi，面AiBC,且ABiC平面ABBiAi=平面ABBiA1，平面A^BC、

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行六面體的性質(zhì)，及空間線面平行、面面垂直的判定，屬于

中檔題、

16、(14.00分)已知a,0為銳角，tana=9,cos(a+0)=-"國、

(1)求cos2a的值;

(2)求tan(a-0)的值、

題目分析：(1)由已知結(jié)合平方關(guān)系求得sina,cosa的值，再由倍角公式得cos2a

的值；

(2)由(1)求得tan2a,再由cos(a+0)=-Y￡求得tan(a+0),利用tan(a

5

-P)=tan[2a-(a+p)],展開兩角差的正切求解、

sina_4

.”4

sinCI=—

cosa35

試題解答：解：(1)由J22，解得，

sin'a+cos2a=ig寸rr3

cosa=—

、a為銳角5

22

??cos2a=cosa-sina

(2)由(1)得，sin2a=2sinacosa=^，則tan2a=sm2a二衛(wèi)

25cos2a7

.a,pe(o,2L),/.a+pe(0,n),

2

/.sin(a+B)=Vl-cos2(a+P

□

則tan(a+0)=sin(a+])

cos(a+B)-/

tan(a-p)=tan[2a-(a+0)]=.tan2a-tan(a+B)2

l+tan2atan(a+B)H

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

的應(yīng)用，是中檔題、

17、(14.00分)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧前

(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成、已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN

的距離為50米、現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為

矩形ABCD,大棚n內(nèi)的地塊形狀為^CDP,要求A,B均在線段MN上，C,D

均在圓弧上、設(shè)OC與MN所成的角為6、

(1)用6分別表示矩形ABCD和4CDP的面積，并確定sine的取值范圍；

(2)若大棚?內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚n內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的

單位面積年產(chǎn)值之比為4：3、求當(dāng)e為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)

值最大、

題目分析：(1)根據(jù)圖形計(jì)算矩形ABCD和4CDP的面積，求出sine的取值范圍;

(2)根據(jù)題意求出年總產(chǎn)值y的解析式，構(gòu)造函數(shù)f(6),

利用導(dǎo)數(shù)求f(6)的最大值，即可得出6為何值時(shí)年總產(chǎn)值最大、

試題解答：解：(I)s矩形ABCD=(40sine+10)?80cos6

=800(4sin0cos0+cos0),

SCDP=—e8Ocos0(40-4Osin0)

A2

=1600(cos0-cosQsinQ),

當(dāng)B、N重合時(shí)，6最小，止匕時(shí)sin6=l_；

4

當(dāng)C、P重合時(shí)，6最大，此時(shí)sin6=l,

...sine的取值范圍是[L,1)；

4

(2)設(shè)年總產(chǎn)值為y,甲種蔬菜單位面積年產(chǎn)值為4t,乙種蔬菜單位面積年產(chǎn)

值為3t,

則y=3200t(4sin0cos0+cos0)+4800t(cos0-cos0sin6)

=8000t(sin0cos0+cos0),其中sin6￡[L,1)；

4

設(shè)f(0)=sin0cos0+cos0,

則f(0)=cos20-sin20-sin0

=-2sin20-sin0+l；

令「(e)=o,解得sine=L,此時(shí)cose=YA；

262

當(dāng)sinceU_,1)時(shí)，f(e)>0,f(6)單調(diào)遞增；

42

當(dāng)sinBG[L,1)時(shí)，f，⑹<o,f(0)單調(diào)遞減;

2

.?.e=2L時(shí)，f(e)取得最大值，即總產(chǎn)值y最大、

6

答：(1)S矩形ABCD=800(4sin0cos0+cos0),

SACDP=1600(cos0-cos0sin0),

sinew[L1)；

4

e=2L時(shí)總產(chǎn)值y最大、

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了構(gòu)造函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)

的最值問題，是中檔題、

18、(16.00分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過點(diǎn)(?,1),焦點(diǎn)

%(-、巧，圓。的直徑為、

0),F2(A/3-0)，F(xiàn)1F2

(1)求橢圓C及圓O的方程；

(2)設(shè)直線I與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P、

①若直線I與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直線I與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)、若4OAB的面積為邁，求直線I的方程、

7

題目分析：(1)由題意可得c/際、—+^—=1-又a2-b2=c2=3,解得a=2,b=l

a24b2

即可、

2

(2)①可設(shè)直線I的方程為丫=1?<+|11,(k<0,m>0)、可得」_=3,即m^S+Sk2'

1+k2

222

由［尸kx+m,可得(4|<2+1)x2+8kmx+4m-4=0,△=(8km)-4(4k+l)

IX2++4，=4

(4m2-4)=0,解得k=-\［2,m=3、即可

22

②設(shè)A(xi，yi),B(X2，y2),聯(lián)立直線與橢圓方程得(41?+1)x+8kmx+4m-

4=0,

O到直線I的距離

△OAB的面積為

S卷X睡M?而X丹,乂引X而X6早，

24k2+1Vl+k224儲(chǔ)+17

解得k=-、而，(正值舍去)，m=3、Q、即可

22

試題解答：解：(1)由題意可設(shè)橢圓方程為三+91,(a>b>O)，

a2b2

:焦點(diǎn)Fi(-?,0),F2(A/3，0),c=V5、

~~--=i，Xa2-b2=c2=3,

2^,21

a4b

解得a=2,b=l、

2

22

???橢圓C的方程為：A_+y2=1,圓。的方程為:x+y=3>

(2)①可知直線I與圓O相切，也與橢圓C,且切點(diǎn)在第一象限，

...可設(shè)直線I的方程為y=kx+m,(k<0,m>0)^

-2

由圓心(0,0)到直線I的距離等于圓半徑會(huì)，可得」~3,即mJ3+3k2、

1+k2

由［y=kx+m,可得(41^+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

lx2+4y2=4

△=(8km)2-4(4k2+l)(4m2-4)=0,

可得m2=4k2+l,.\3k2+3=4k2+l,結(jié)合k<0,m>0,解得k=-料,m=3、

_22

將k=-6，m=3代入,x+y_3可得*2_2^/^+2=0，

y=kx+m

解得x=J^,y=l,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(祀，1)、

②設(shè)A（Xi，yl，B（X2，丫2）,

'k<0,m>0

由，in2=3+3k2=k<-料、

A>0

聯(lián)立直線與橢圓方程得（41?+1）x2+8kmx+4m2-4=0,

—_W4k2+l-in2

=J（X]+X2）2_4X[

x2-Xi

“24k2+1

O到直線I的距離d=嚴(yán)|,

AB=GX2』幻震『EG，

△OAB的面積為

1、,4八2-2、/I----pv/--2V6

S.納空宣?必xyx----2----xVl+k2xV3__'

24kZ+l24kJ+l7

解得k=-巡，(正值舍去)，m=3近、

.*.y=-粕X+3A/^為所求、

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的方程，直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題、

19、(16.00分)記f，(x),g'(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)、若存在

X°WR,滿足f(Xo)=g(Xo)且f'(Xo)=g'(Xo),則稱Xo為函數(shù)f(x)與g(x)

的一個(gè)"S點(diǎn)"、

(1)證明：函數(shù)f(x)=*與8(x)=x?+2x-2不存在"S點(diǎn)”；

(2)若函數(shù)f(x)=ax?-1與g(x)=lnx存在"S點(diǎn)"，求實(shí)數(shù)a的值;

(3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)=bJ、對(duì)任意a>0,判斷是否存在b>0,

使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在"S點(diǎn)"，并說明理由、

題目分析：(1)根據(jù)"S點(diǎn)"的定義解兩個(gè)方程，判斷方程是否有解即可；

(2)根據(jù)"S點(diǎn)”的定義解兩個(gè)方程即可；

(3)分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合兩個(gè)方程之間的關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可、

試題解答：解：(1)證明：f'(x)=1,g'(x)=2x+2,

，2

則由定義得x=x+2X-2,得方程無解，則f(x)=*與8(x)=x?+2x-2不存在"S

、l=2x+2

八占、、”，.

(2)f(x)=2ax,g'(x)=-L,x>0,

x

由「(x)=g'(x)得L=2ax,得

f(JZZ)=-y=g(JZZ)="ylna2,得a=-|-；

(3)f(x)=-2x,gz(x)=上'邑【x二(xWO),

62

2Xn

由f'(Xo)=g'(Xo),假設(shè)b>0,得b「0=-——L>o,得O<Xo〈l,

Xo-l

x0Q22

22

由f(x0)=g(Xo),得-x0+a=-^~=---—,得a=x0-——,

xoxo-1xo-1

232

令h(x)=x2-"x-a=r+,：>x+ax-a_,(a>Q?0<x<l),

X-l1-X

設(shè)m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<l),

則m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,

又m(x)的圖象在(0,1)上連續(xù)不斷，

則m(x)在(0,1)上有零點(diǎn)，

則h(x)在(0,1)上有零點(diǎn)，

則存在b>0,使f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)存在"S"點(diǎn)、

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件建立兩個(gè)方程組，判斷方程組是否有

解是解決本題的關(guān)鍵、

20、(16.00分)設(shè)｛aj是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，｛>｝是首項(xiàng)為民,公

比為q的等比數(shù)列、

(1)設(shè)ai=O,bi=l,q=2,若4-bnWbi對(duì)n=l,2,3,4均成立，求d的取

值范圍；

（2）若ai=bi>0,mGN*,qG（1,妒］，證明：存在d?R,使得|an-bn|W

%對(duì)n=2,3,m+1均成立，并求d的取值范圍（用m,q表示）、

題目分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解不等式組即可；

（2）根據(jù)數(shù)列和不等式的關(guān)系，利用不等式的關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列和函數(shù)，判斷數(shù)

列和函數(shù)的單調(diào)性和性質(zhì)進(jìn)行求解即可、

試題解答：解：（1）由題意可知In-bnlWl對(duì)任意n=l,2,3,4均成立，

,.*31=0,q=2,

f|o-l|<l

|d-2|<l

|2d-4|<f

.|3d-8|<l

n

證明：(2)Van=ai+(n-1)d,bn=bi?qS

若存在dGR,使得4-bnWbI對(duì)n=2,3,m+1均成立,

貝11bi+(n-1)d-bi?qn<LWbi，(n=2,3,m+1),

n-1cb<qk]

即^..-bi<d^-....,(n=2,3,m+1),

n-1n-1

VqG(1,步],.,.貝I]1<qnTWqmW2,(n=2,3,m+1),

n-1

n-1門hv_2_>0,

n-ln-1

因此取d=0時(shí)，|an-bnlWbi對(duì)n=2,3,m+1均成立,

n-1cn-l

下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列—｝的最小值,

n-1n-l

n門n-10nnn-1./nn-1\n.

①當(dāng)2WnWm時(shí)，口一2_q-2=nq-q-nq+2n=n(q-q+2n)

nn-ln(n-l)n(n-l)

1

當(dāng)lVqW?蔡時(shí)，有qVqmW2,

從而n(qn-qnl)-qn+2>0,

n-1門

因此當(dāng)2WnWm+l時(shí)，數(shù)列｛色_2｝單調(diào)遞增,

n-l

n-1弓m

故數(shù)列｛§_二2｝的最大值為工znl、

n-1m

②設(shè)f(x)=2X(1-x),當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)=(In2-1-xln2)2x<0,

：.f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)<f(0)=1,

n

---1

)()

當(dāng)2WnWm時(shí),_nq(n-l)~(1_1=f1<1,

qnTn2nn

n-1

n-1

因此當(dāng)2WnWm+l時(shí)，數(shù)歹（J｛^—｝單調(diào)遞遞減,

n-l

n-1mk（

故數(shù)列｛3_｝的最小值為幺，L”

n-1nin

??.d的取值范圍是d?［＞"*-2）,吆二、

IDID

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列以及不等式的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)

算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大、

數(shù)學(xué)II（附加題）【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題,

并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟.A.［選修4-1：幾何證明選講］（本小題滿分10分）

21、（10.00分）如圖，圓。的半徑為2,AB為圓。的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一

點(diǎn)，過P作圓。的切線，切點(diǎn)為C、若PC=2?,求BC的長(zhǎng)、

題目分析：連接OC,由題意，CP為圓。的切線，得到垂直關(guān)系，由線段長(zhǎng)度及

勾股定理，可以得到P0的長(zhǎng)，即可判斷aCOB是等邊三角形，BC的長(zhǎng)、

試題解答：解：連接0C,

因?yàn)镻C為切線且切點(diǎn)為C,

所以O(shè)CLCP、

因?yàn)閳A。的半徑為2,PC=2A/5，

所以BO=OC=2,p（j=J0,2+cp2=4,

所以COS/COPV，

所以NCOP=60°,

所以ACOB為等邊三角形，

所以BC=BO=2、

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與直線的位置關(guān)系，切線的應(yīng)用，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題

的能力、

B.［選修4-2：矩陣與變換］（本小題滿分10分）

22、（10.00分）已知矩陣人=23、

.12_

（1）求A的逆矩陣A%

（2）若點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)V（3,1）,求點(diǎn)P的坐標(biāo)、

23

題目分析：（1）矩陣A=求出det（A）=1WO,A可逆，然后求解A的逆

Ll2j

矩陣A】、

X3X3

(2)設(shè)P(x,y),通過23.求出,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)、

Ll2JLyJL1JLyJ-1

23

試題解答:解：（1）矩陣A=,det(A)=2X2-1X3=17^0,所以A可逆,

.12_

從而：A的逆矩陣A12-3

-12

x,所以「卜

(2)設(shè)P(x,y),則23-i33

Ll2JLyJL1J-L-1

因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,-1）、

點(diǎn)評(píng)：本題矩陣與逆矩陣的關(guān)系，逆矩陣的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是基本

知識(shí)的考查、

C.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(本小題滿分0分)

23、在極坐標(biāo)系中，直線I的方程為psin(2L-0)=2,曲線C的方程為p=4cos0,

6

求直線I被曲線C截得的弦長(zhǎng)、

題目分析：將直線I、曲線C的極坐標(biāo)方程利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，利

用直線與圓的相交弦長(zhǎng)公式即可求解、

試題解答：解：,曲線C的方程為p=4cos&p2=4pcos&=>x2+y2=4x,

曲線C是圓心為C(2,0),半徑為r=2得圓、

,直線I的方程為psin(2L-0)=2,.".XpCQS0-噂_psin8=2,

622

??.直線I的普通方程為：x-倔=4、

圓心C到直線I的距離為2

V1+3

?.?直線I被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2,yr2_d2=274^1=2V3'

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的相交弦長(zhǎng)關(guān)系、點(diǎn)

到直線的距離公式，屬于中檔題、

D.［選修4-5:不等式選講］(本小題滿分0分)

24、若x,y,z為實(shí)數(shù),且x+2y+2z=6,求x?+y2+z2的最小值、

題目分析：根據(jù)柯西不等式進(jìn)行證明即可、

試題解答：解：由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+22)N(x+2y+2z)2,

"."x+2y+2z=6,x2+y2+z2^4

是當(dāng)且僅當(dāng)三時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)x=2,y=A,z=A,

122333

x2+y2+z2的最小值為4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明，利用柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵、，

【必做題】第25題、第26題，每題1