第07講離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征（教師版）

第07講離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第21題,12分求離散型隨機(jī)變量的均值利用全概率公式求概率2022年全國(guó)甲卷（理），第19題,12分寫(xiě)出簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量分布列求離散型隨機(jī)查量的均值/2021年新I卷，第18題,12分寫(xiě)出簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量分布列求離散型隨機(jī)查量的均值/2021年新Ⅱ卷，第21題,12分求離散型隨機(jī)查量的均值均值的實(shí)際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2020年新I卷，第12題,5分利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題對(duì)數(shù)的運(yùn)算2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握離散型隨機(jī)變量的定義2.會(huì)表示離散型隨機(jī)變量的分布列3.會(huì)計(jì)算離散型隨機(jī)變量的均值和方差【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合離散型隨機(jī)變量的分布列及均值方差在大題中考查，需重點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．離散型隨機(jī)變量定義隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.3．離散型隨機(jī)變量均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.4．離散型隨機(jī)變量方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱(chēng)D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱(chēng)其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．考點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量分布列1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，甲組研究新產(chǎn)品成功的概率為，乙組研究新產(chǎn)品成功的概率為，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品，乙組研發(fā)新產(chǎn)品，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤(rùn)120萬(wàn)元，不成功則會(huì)虧損50萬(wàn)元；若新產(chǎn)品研發(fā)成功，企業(yè)可獲得利潤(rùn)100萬(wàn)元，不成功則會(huì)虧損40萬(wàn)元，求該企業(yè)獲利萬(wàn)元的分布列．【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析.【分析】（1）依據(jù)題設(shè)，結(jié)合獨(dú)立事件的概率的乘法公式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)題設(shè)求出所有可能取值的概率即可得其分布列.【詳解】（1）因?yàn)榧住⒁覂蓚€(gè)研發(fā)小組研究新產(chǎn)品成功的概率分別為為和，且相互獨(dú)立，所以，恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（2）根據(jù)題意，的可能取值有.，所以分布列為：2．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動(dòng)興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級(jí)之間的球類(lèi)大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個(gè)年級(jí)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個(gè)年級(jí)各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場(chǎng)的對(duì)陣同學(xué)），比賽時(shí)一個(gè)年級(jí)領(lǐng)先另一個(gè)年級(jí)兩場(chǎng)就算勝利（即每?jī)蓚€(gè)年級(jí)的比賽不一定打滿5場(chǎng)），若兩個(gè)年級(jí)之間打成則第5場(chǎng)比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，且隊(duì)員、年級(jí)之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求高二年級(jí)與高一年級(jí)比賽時(shí)，高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場(chǎng)打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概率．(2)若獲勝年級(jí)積3分，被打敗年級(jí)積0分，求高三年級(jí)獲得積分的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)前兩局平局的情況下，后面分兩種情況計(jì)算高二年級(jí)最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概率即可；（2）由題可知高三年級(jí)獲得積分的的取值可為0，3，6，分別計(jì)算概率從而可得分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場(chǎng)打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高高一年級(jí)的事件為，則（2）根據(jù)題意得高三年級(jí)獲得積分的的取值可為0，3，6的分布列為0361．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應(yīng)屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績(jī)通過(guò)了某重點(diǎn)大學(xué)的初試，即將參加該重點(diǎn)大學(xué)組織的復(fù)試．已知甲，乙，丙三名同學(xué)通過(guò)復(fù)試的概率分別為，，p，復(fù)試是否通過(guò)互不影響，且甲，乙，丙三名同學(xué)都沒(méi)有通過(guò)復(fù)試的概率為．(1)求p的值；(2)設(shè)甲，乙，丙三名同學(xué)中通過(guò)復(fù)試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式結(jié)合對(duì)立事件的概率，列式計(jì)算，可得答案.（2）確定隨機(jī)變量X的取值，求得每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列.【詳解】（1）因?yàn)榧?，乙，丙三名同學(xué)都沒(méi)有通過(guò)復(fù)試的概率為，所以，則．（2）由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3．，，，．所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P2．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實(shí)脫貧攻堅(jiān)根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問(wèn)題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有支教經(jīng)驗(yàn)．(1)求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動(dòng)中恰有兩次被抽選到的概率；(2)求第一次抽取到無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)的分布列；【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式即可求解，（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式即可求解概率，進(jìn)而可求解分布列.【詳解】（1）5名優(yōu)秀教師中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到的概率為，則三次抽取中，“甲”恰有兩次被抽取到的概率為；（2）X表示第一次抽取到的無(wú)支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)，X的可能取值有0，1，2．；；．所以分布列為：X012P考點(diǎn)二、離散型隨機(jī)變量的均值1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）類(lèi)．【分析】（1）通過(guò)題意分析出小明累計(jì)得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類(lèi)似，找出先回答類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)椋孕∶鲬?yīng)選擇先回答類(lèi)問(wèn)題．2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計(jì)概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.(3)

計(jì)算出各自獲得最高成績(jī)的概率，再根據(jù)其各自的最高成績(jī)可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大..并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的，比賽次數(shù)越多，對(duì)丙越有利.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．【詳解】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為0102030期望.4．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)【答案】（1）①次；②分布列見(jiàn)解析；期望為；（2）．【分析】（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出，即可得解.【詳解】（1）①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.5．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn1+qn1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）（2）【分析】（1）直接根據(jù)操作，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)操作，依次求，即得遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列求得，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.【詳解】（1），，.（2），，因此，從而，即.又的分布列為012故.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關(guān)系、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)學(xué)期望公式，考查綜合分析求解能力，屬難題.6．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲乙兩家公司要進(jìn)行公開(kāi)招聘，招聘分為筆試和面試，通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否通過(guò)相互獨(dú)立，若小明報(bào)考甲公司，每門(mén)科目通過(guò)的概率均為；報(bào)考乙公司，每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為，，其中．(1)若，分別求出小明報(bào)考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的概率；(2)招聘規(guī)則要求每人只能報(bào)考一家公司，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)小明更希望通過(guò)乙公司的筆試時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求得小明報(bào)考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的概率；（2）分別求得小明報(bào)考甲、乙兩公司通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望，列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而求得的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)小明報(bào)考甲公司恰好通過(guò)一門(mén)筆試科目為事件A，小明報(bào)考乙公司恰好通過(guò)一門(mén)筆試科目為事件，根據(jù)題意可得，

.（2）設(shè)小明報(bào)考甲公司通過(guò)的科目數(shù)為X，報(bào)考乙公司通過(guò)的科目數(shù)為，根據(jù)題意可知，，則，，，，，則隨機(jī)變量的分布列為Y0123P，若，則，故，即的取值范圍是7．（2023秋·江蘇南京·高三南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某市正在創(chuàng)建全國(guó)文明城市，學(xué)校號(hào)召師生利用周末從事創(chuàng)城志愿活動(dòng)．高三（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng)，志愿活動(dòng)共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宣傳員、文明監(jiān)督員三項(xiàng)可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為；每名男生至少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為．每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得綜合評(píng)價(jià)10分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不影響，求(1)在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生的概率；(2)記隨機(jī)選取的兩人得分之和為X，求X的期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求得答案；（2）方法一：根據(jù)女生參加活動(dòng)的人數(shù)確定變量的可能取值，計(jì)算每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，可得變量的分布列，即可求得期望；方法二：分別計(jì)算出一名女生和一名男生參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望，設(shè)恰有Y名女生參加活動(dòng)，則男生有名參加活動(dòng)，，計(jì)算出變量Y的期望，即可求X的期望.【詳解】（1）設(shè)“有女生參加活動(dòng)”為事件A，“恰有一名女生參加活動(dòng)”為事件B．則，，所以．（2）方法一:“選取的兩人中女生人數(shù)為i”記為事件，，則，，．由題意知X的可能值為，“得分為分”分別記為事件，，，，，則，，；，，；，，．；；；；，所以X的分布列為X2030405060P所以．方法二：根據(jù)題意，一名女生參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望為，一名男生參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望為．設(shè)恰有Y名女生參加活動(dòng)，則男生有名參加活動(dòng)，，則，，．所以Y的分布列為Y012P則有，所以．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了條件概率的計(jì)算，比較基礎(chǔ)，第二問(wèn)考查隨機(jī)變量的期望的求解，求解的思路并不困難，但難點(diǎn)在于要根據(jù)變量的取值的可能情況，計(jì)算每種情況相應(yīng)的概率，計(jì)算較復(fù)雜，計(jì)算量較大，需要思維縝密，計(jì)算仔細(xì)。8．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于今年在我國(guó)成都舉行．某體校田徑隊(duì)正在積極備戰(zhàn)，考核設(shè)有100米、400米和1500米三個(gè)項(xiàng)目，需要選手依次完成考核，成績(jī)合格后的積分分別記為，和，總成績(jī)?yōu)槔塾?jì)積分和．考核規(guī)定：項(xiàng)目考核逐級(jí)進(jìn)階，即選手只有在低一級(jí)里程項(xiàng)目考核合格后，才能進(jìn)行下一級(jí)較高里程項(xiàng)目的考核，否則考核終止．對(duì)于100米和400米項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目選手必須考核2次，且全部達(dá)標(biāo)才算合格；對(duì)于1500米項(xiàng)目，選手必須考核3次，但只要達(dá)標(biāo)2次及以上就算合格．已知選手甲三個(gè)項(xiàng)目的達(dá)標(biāo)率依次為，，，選手乙三個(gè)項(xiàng)目的達(dá)標(biāo)率依次為，，，每次考核是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立．(1)用表示選手甲考核積分的總成績(jī)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)證明：無(wú)論，和取何值，選手甲考核積分總成績(jī)的數(shù)學(xué)期望值都大于選手乙考核積分總成績(jī)的數(shù)學(xué)期望值．【答案】(1)分布列見(jiàn)詳解，(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）先求甲通過(guò)每項(xiàng)的概率，進(jìn)而根據(jù)題意求分布列和期望；（2）先求乙通過(guò)每項(xiàng)的概率，進(jìn)而根據(jù)題意求分布列和期望，利用作差法比較大小.【詳解】（1）對(duì)于選手甲：記“100米成績(jī)合格”、“400米成績(jī)合格”、“1500米成績(jī)合格”分別為事件、、，則，由題意可得：的可能取值有，則有：，，，可得的分布列為：0所以.（2）對(duì)于選手乙：記“100米成績(jī)合格”、“400米成績(jī)合格”、“1500米成績(jī)合格”分別為事件、、，則，用表示選手乙考核積分的總成績(jī)，由題意可得：的可能取值有，則有：，，，可得的分布列為：0所以，因?yàn)椋揖鶠檎龜?shù)，則，即，所以無(wú)論，和取何值，選手甲考核積分總成績(jī)的數(shù)學(xué)期望值都大于選手乙考核積分總成績(jī)的數(shù)學(xué)期望值.1．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙足球愛(ài)好者為了提高球技，兩人輪流進(jìn)行點(diǎn)球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分，設(shè)甲、乙每次踢球命中的概率均為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．(1)經(jīng)過(guò)1輪踢球，記甲的得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求經(jīng)過(guò)3輪踢球累計(jì)得分后，甲得分高于乙得分的概率．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；期望為(2)【分析】（1）先分別求甲、乙進(jìn)球的概率，進(jìn)而求甲得分的分布列和期望；（2）根據(jù)題意得出甲得分高于乙得分的所有可能情況，結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)分析運(yùn)算.【詳解】（1）記一輪踢球，甲進(jìn)球?yàn)槭录嗀，乙進(jìn)球?yàn)槭录﨎，A，B相互獨(dú)立，由題意得：，，甲的得分X的可能取值為，，，所以X的分布列為：X01p.（2）經(jīng)過(guò)三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分，甲3輪各得1分的概率為，甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分的概率為，甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分的概率為，甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分的概率為，所以經(jīng)過(guò)三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙的概率.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）手工刺繡是中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式，用針和線把人的設(shè)計(jì)和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術(shù)，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)記為工序A，工序，工序.經(jīng)過(guò)試驗(yàn)測(cè)得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現(xiàn)某單位推出一項(xiàng)手工刺繡體驗(yàn)活動(dòng)，報(bào)名費(fèi)30元，成功通過(guò)三道工序最終的獎(jiǎng)勵(lì)金額是200元，為了更好地激勵(lì)參與者的興趣，舉辦方推出了一項(xiàng)工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在著手前付費(fèi)聘請(qǐng)技術(shù)員，若某一道工序沒(méi)有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序.每位技術(shù)員只完成其中一道工序，每聘請(qǐng)一位技術(shù)員需另付費(fèi)100元，制作完成后沒(méi)有接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)的退還一半的聘請(qǐng)費(fèi)用.(1)若小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員，求他成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員，求他最終獲得收益的期望值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）記事件M為“小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員成功完成三道工序”，分別討論小李完成工序的情況并計(jì)算各類(lèi)情況的概率最后求和即可；（2）設(shè)小李最終收益為X，列出其所有取值，并計(jì)算概率求期望值即可.【詳解】（1）記事件M為“小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員成功完成三道工序”，當(dāng)技術(shù)員完成工序A時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：,當(dāng)技術(shù)員完成工序B時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：,當(dāng)技術(shù)員完成工序C時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：,當(dāng)技術(shù)員沒(méi)參與補(bǔ)救時(shí)，小李成功完成三道工序的概率為：，故小李成功完成三道工序的概率為；（2）設(shè)小李最終收益為X，小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員參與比賽，有如下幾種情況：兩位技術(shù)員都參與補(bǔ)救但仍未成功完成三道工序，此時(shí)，；兩位技術(shù)員都參與補(bǔ)救并成功完成三道工序，此時(shí)，；只有一位技術(shù)員參與補(bǔ)救后成功完成三道工序，此時(shí)，;技術(shù)員最終未參與補(bǔ)救仍成功完成三道工序，此時(shí)，；故.3．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為了宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成．(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，3(3)選擇小宇，理由見(jiàn)解析【分析】（1）小明至少正確完成其中3道題包含兩種情況：一是小明正確完成3道題，二是小明正確完成4道題，然后由互斥事件的概率公式求解即可；（2）由題意得X的可能取值為2，3，4，然后求各自對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）分別計(jì)算出他們兩人至少完成其中3道題的概率，通過(guò)比較概率的大小可得答案.【詳解】（1）記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，則．（2）X的可能取值為2，3，4，，，X的分布列為；X234P數(shù)學(xué)期望．（3）由（1）知，小明進(jìn)入決賽的概率為；記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B，則；因?yàn)?，故小宇進(jìn)決賽的可能性更大，所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽．4．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？既＃┘?、乙兩選手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即.(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說(shuō)明該結(jié)論的實(shí)際含義.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析，比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利【分析】（1）先寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）先根據(jù)已知不等式列式求解，再根據(jù)單調(diào)性定義作差證明單調(diào)遞增說(shuō)明結(jié)論.【詳解】（1），即采用3局2勝制，所有可能取值為，，的分布列如下表：23所以的數(shù)學(xué)期望為.（2）采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，，得.（ii）由（i）知.局比賽中恰好甲贏了局的概率為，局比賽中恰好甲贏了局的概率為，則局比賽中甲至少贏局的概率為.考慮局比賽的前局：如果這局比賽甲至少贏局，則無(wú)論后面結(jié)果如何都勝利，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場(chǎng)至少贏一局，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場(chǎng)都贏，其概率為，因此局里甲最終獲勝的概率為：，因此，即數(shù)列單調(diào)遞增.該結(jié)論的實(shí)際意義是：比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.5．（2023·河北唐山·遷西縣第一中學(xué)?？级＃┰谝粋€(gè)不透明袋子中放入除顏色外完全相同的2個(gè)白色球和2個(gè)黑色球，從中任意取出一個(gè)球，若是黑色球，則用2個(gè)同樣的白色球替換黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，則把該白色球放回袋子中．(1)求第4次恰好取完兩個(gè)黑色球的概率；(2)若取到兩個(gè)黑色球或者取球數(shù)達(dá)到5次就停止取球，設(shè)停止取球時(shí)取球次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）前三次取球中有一次取到黑色球，則第4次取球恰好是第二次取到黑色球，求其概率即可；（2）X的所有可能取值為2，3，4，5，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，然后利用期望的公式求解取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意知，前三次取球中有一次取到黑色球，故第4次取球恰好是第二次取到黑色球的概率．（2）由題意可知，X的所有可能取值為2，3，4，5，，，，，故X的分布列為X2345P.6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級(jí)兩個(gè)級(jí)部A、B進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，由A部、B部爭(zhēng)奪最后的綜合冠軍．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒(méi)有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求，并求當(dāng)取最大值時(shí)p的值；(2)當(dāng)時(shí)，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）求出X可能取值，并求出對(duì)應(yīng)的概率，得到期望，配方后得到期望最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的p的值；（2）先得到雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為，比分為2∶1或1∶2的概率均為，考慮和兩種情況，分別求出概率，相加即可.【詳解】（1）X可能取值為2，3．；．故，即，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．（2）當(dāng)時(shí)，雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為；比分為2∶1或1∶2的概率均為．，則或．即獲勝方兩天均為2∶0獲勝，不妨設(shè)A部勝，概率為，同理B部勝，概率為，故；即獲勝方前兩天的比分為2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加賽，不妨設(shè)最終A部獲勝，當(dāng)前兩天的比分為2∶0和2∶1時(shí)，先從兩天中選出一天，比賽比分為2∶1，三場(chǎng)比賽前兩場(chǎng)，A部一勝一負(fù)，第三場(chǎng)比賽A獲勝，另外一天比賽比分為2：0，故概率為，當(dāng)前兩天比分為2∶0和0∶2，附加賽A獲勝時(shí)，兩天中選出一天，比賽比分為2：0，概率為，故最終A部獲勝的概率為，同理B部勝，概率為，故．所以．7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某知識(shí)測(cè)試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A，B，C，D，并且規(guī)定若第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為；第題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為.(1)若第二題只選了“C”一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)Y表示第n題得分，求證：.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率，表示第題正確選項(xiàng)為，繼而可求，再由全概率公式計(jì)算第二題得分分布列的各種情況，并根據(jù)公式計(jì)算期望；（2）根據(jù)（1）中由第一題到第二題正確選項(xiàng)數(shù)概率的計(jì)算理解，由全概率公式可以得出一般性的結(jié)論化簡(jiǎn)可得，可知為等比數(shù)列,求通項(xiàng)可得；（3）根據(jù)（2）求出的可得，在利用全概率公式即可求得的分布列，計(jì)算出,則結(jié)論可證.【詳解】（1）設(shè)事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，事件表示正確選項(xiàng)為個(gè)，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率，表示第題正確選項(xiàng)為個(gè)的概率.設(shè)事件表示選項(xiàng)“C”為第二題的一個(gè)正確選項(xiàng)，用隨機(jī)變量表示第二題得分.依題得，可能取值為.因?yàn)?，，所以所以的分布列?所以.（2）依題得，，所以，又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以，.（3）由（2）可知，，.依題得，可能取值為.，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：高中階段的馬爾科夫鏈類(lèi)型的概率問(wèn)題解決關(guān)鍵是利用全概率公式找到概率的遞推式，然后用數(shù)列手段去處理求解.考點(diǎn)三、離散型隨機(jī)變量的方差1．（2023·江西吉安·泰和縣第二中學(xué)校考一模）袋中有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，5個(gè)黃球，這10個(gè)小球除顏色外完全相同.(1)從袋中任取3個(gè)球，求恰好取到2個(gè)黃球的概率；(2)從袋中任取2個(gè)球，記取到紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布列、期望和方差.【答案】(1)；(2)的分布列見(jiàn)解析，期望為，方差為.【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)結(jié)合題意寫(xiě)出可能的取值，分別求出相應(yīng)的概率即可得到的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.【詳解】(1)從袋中任取3個(gè)球，共有種情況，若從袋中任取3個(gè)球中，恰好取到2個(gè)黃球共有種，故從袋中任取3個(gè)球，求恰好取到2個(gè)黃球的概率為；(2)由題意可知，可能取值為，0，1，2，，，，故的分布列如下表：012從而期望，方差.2．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測(cè)）甲?乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽，計(jì)分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得1分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.7，乙贏機(jī)器人的概率為0.6.求：(1)在一輪比賽中，甲的得分ξ的分布列；(2)在兩輪比賽中，甲的得分的期望和方差.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)，.【分析】（1）根據(jù)已知條件可得的可能取值為，利用相互獨(dú)立事件的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可求得分布列.（2）根據(jù)已知條件可得的可能取值為，利用相互獨(dú)立事件的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望和方差.【詳解】（1）由題意可知，的可能取值為，，，，所以分的分布列為：101（2）由題意可知，的可能取值為，，，，，，所以的分布列為21012所以，.3．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）某公司計(jì)劃在2023年年初將200萬(wàn)元用于投資，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇.項(xiàng)目一：新能源汽車(chē).據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為.(1)針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由；(2)若市場(chǎng)預(yù)期不變，該投資公司按照（1）中選擇的項(xiàng)目長(zhǎng)期投資（每一年的利潤(rùn)和本金繼續(xù)用作投資），問(wèn)大約在哪一年的年底總資產(chǎn)（利潤(rùn)+本金）可以翻兩番？（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)建議該投資公司選擇項(xiàng)目一進(jìn)行投資，理由見(jiàn)解析(2)大約在2030年年底總資產(chǎn)可以翻兩番【分析】（1）分別計(jì)算出兩個(gè)項(xiàng)目的期望和方差，比較后得到結(jié)論；（2）設(shè)年后總資產(chǎn)可以翻兩番，根據(jù)題意列出方程，求出答案.【詳解】（1）若投資項(xiàng)目一，設(shè)獲利為萬(wàn)元，則的分布列為6030若投資項(xiàng)目二，設(shè)獲利為萬(wàn)元，則的分布列為100060，，，，，這說(shuō)明雖然項(xiàng)目一?項(xiàng)目二獲利的均值相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一進(jìn)行投資.（2）假設(shè)年后總資產(chǎn)可以翻兩番，依題意，，即，兩邊取對(duì)數(shù)，得，，，大約在2030年年底總資產(chǎn)可以翻兩番.4．（2023·山東東營(yíng)·東營(yíng)市第一中學(xué)?？级＃┠掣咝！爸参餇I(yíng)養(yǎng)學(xué)專(zhuān)業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.株高增量（單位：厘米）第1組雞冠花株數(shù)92092第2組雞冠花株數(shù)416164第3組雞冠花株數(shù)1312132假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為厘米的概率；(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，(3)【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，得厘米的總數(shù)，由古典概型概率公式可得結(jié)果；（2）首先估計(jì)各組雞冠花增量為厘米的概率，然后可確定所有可能的取值，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望；（3）由兩點(diǎn)分布方差計(jì)算公式可求得，，的值，由此可得大小關(guān)系．【詳解】（1）設(shè)事件為“從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為厘米,所以估計(jì)為；（2）設(shè)事件為“從第2組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，設(shè)事件為“從第3組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)為，估計(jì)為，根據(jù)題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2.3，且；；；，則的分布列為：0123所以.（3）理由如下：，所以；，所以；，所以；所以.1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）某小組共人，利用假期參加義工活動(dòng)．已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為的人數(shù)分別為.現(xiàn)從這人中隨機(jī)選出人作為該組代表參加座談會(huì)．(1)設(shè)為事件“選出的人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為”，求事件發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析；期望為，方差為【分析】（1）利用古典概型概率計(jì)算公式，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算求得事件發(fā)生的概率.（2）利用古典概型概率計(jì)算公式，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算的分布列并求得數(shù)學(xué)期望、方差.【詳解】（1）由已知得.（2）的可能取值為，，.所以隨機(jī)變量X的分布列為X012P..2．（2023秋·福建寧德·高三福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.(3)設(shè)用表示甲學(xué)校的總得分，比較和的大?。ㄖ苯訉?xiě)出結(jié)果）.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，的期望為(3)【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可以求出甲學(xué)校獲勝2場(chǎng)或者3場(chǎng)的概率，可以得到甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）乙學(xué)校的總得分的值可取0，10，20，30，分別求出取上述值時(shí)的概率，可得分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）求甲學(xué)校的總得分的分布列，再求得和的大小，即可得大小.【詳解】（1）甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，，，可以得到兩個(gè)學(xué)校每場(chǎng)比賽獲勝的概率如下表：第一場(chǎng)比賽第二場(chǎng)比賽第三場(chǎng)比賽甲學(xué)校獲勝概率乙學(xué)校獲勝概率甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場(chǎng)比賽中至少獲勝2場(chǎng)，①甲學(xué)校3場(chǎng)全勝，概率為：，②甲學(xué)校3場(chǎng)獲勝2場(chǎng)敗1場(chǎng)，概率為：，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：；（2）乙學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，，，，則的分布列為：0102030的期望；（3）甲學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，，，，則的分布列為：0102030的期望；故，由（2）可得，故.3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）某公司為活躍氣氛提升士氣，年終擬通過(guò)抓鬮兌獎(jiǎng)的方式對(duì)所有員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的鬮的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)鬮，鬮上所標(biāo)的面值之和為該員工獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金額.(1)若袋中所裝的4個(gè)鬮中有1個(gè)所標(biāo)的面值為800元，其余3個(gè)均為200元，求①員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為1000元的概率；②員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)額的預(yù)算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)鬮只能由標(biāo)有面值200元和800元的兩種鬮或標(biāo)有面值400元和600元的兩種鬮組成.為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)鬮的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由.【答案】(1)①；②分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：元(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可；②寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式計(jì)算期望即可；（2）先根據(jù)題意可確定方案（800，800，200，200）和方案（400，400，600，600），分別求出兩種方案的期望與方差，比較兩者即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X，①，∴員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為1000元的概率為；②X所有可能的取值為400，1000，，，∴X的分布列為X4001000P∴員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為元；（2）根據(jù)公司預(yù)算，每個(gè)員工的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為1000元，所以先尋找期望為1000元的可能方案，對(duì)于面值由800元和200元組成的情況，如果選擇（200，200，200，800）的方案，因?yàn)?000元是面值之和的最大值，所以期望不可能為1000元，如果選擇（800，800，800，200）的方案，因?yàn)?000元是面值之和的最小值，所以期望不可能為1000元，因此可能的方案是（800，800，200，200）記為方案1，對(duì)于面值600元和400元的情況，同理排除（600，600，600，400）和（400，400，400，600）的方案，所以可能的方案是（400，400，600，600）記為方案2，對(duì)于方案1，設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為，可取，，，，∴的期望為，方差，對(duì)于方案2，設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為，可取，，，，∴的期望為，方差，由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額都符合預(yù)算要求，但方案2的方差比方案1小，所以應(yīng)選擇方案2.4．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷(xiāo)活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由題意兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，然后求出相應(yīng)的概率即可；（2）確定ξ的所有可能取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，得出分布列，進(jìn)一步求解均值和方差即可．【詳解】（1）兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)離開(kāi)的概率分別為1－－＝，1－－＝．兩人都付0元的概率為P1＝×＝，兩人都付40元的概率為P2＝×＝，兩人都付80元的概率為P3＝×＝，則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．（2）ξ的所有可能取值為0，40，80，120，160，則P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝．所以ξ的分布列為ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、解答題1．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考一模）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知“星隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中猜對(duì)1個(gè)成語(yǔ)的概率為．(1)求的值；(2)記“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)成語(yǔ)的總數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式，列式求解（2）猜對(duì)謎語(yǔ)的總數(shù)為0，,1，2，3，4，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式，列舉出這四種情況下的概率，即可列表求解.【詳解】（1）“星隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中猜對(duì)1個(gè)成語(yǔ)的概率為，所以，解得．（2）設(shè)表示事件“甲在兩輪中猜對(duì)個(gè)成語(yǔ)”，表示事件“乙在兩輪中猜對(duì)個(gè)成語(yǔ)”，根據(jù)獨(dú)立性假定，得，，，，，，的可能取值為0，1，2，3，4，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234．2．（2023·四川南充·閬中中學(xué)?？级＃┲袊?guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日至22日在北京人民大會(huì)堂順利召開(kāi)．某部門(mén)組織相關(guān)單位采取多種形式學(xué)習(xí)宣傳和貫徹黨的二十大精神．其中“學(xué)習(xí)二十大”進(jìn)行競(jìng)賽．甲、乙兩單位在聯(lián)合開(kāi)展主題學(xué)習(xí)及知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中通過(guò)此欄目進(jìn)行比賽，比賽規(guī)則是：每一輪比賽中每個(gè)單位派出一人代表其所在單位答題，兩單位都全部答對(duì)或者都沒(méi)有全部答對(duì)則均記0分；一單位全部答對(duì)而另一單位沒(méi)有全部答對(duì)，則全部答對(duì)的單位記1分，沒(méi)有全部答對(duì)的單位記－1分，設(shè)每輪比賽中甲單位全部答對(duì)的概率為，乙單位全部答對(duì)的概率為，甲、乙兩單位答題相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響．(1)經(jīng)過(guò)1輪比賽，設(shè)甲單位的記分為X，求X的分布列和期望；(2)若比賽采取3輪制，試計(jì)算第3輪比賽后甲單位累計(jì)得分低于乙單位累計(jì)得分的概率．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；期望為(2)【分析】(1)根據(jù)題意，X的取值可能為－1，0，1，分別寫(xiě)出每一個(gè)概率，列表格，用可計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.(2)第3輪比賽后，甲單位累計(jì)得分低于乙單位的3輪計(jì)分有四種情況（不按先后順序）：－1，－1，－1；－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0，分別計(jì)算出概率相加.【詳解】（1）由題意X的取值可能為－1，0，1，則，，那么X的分布列為：X－101P（2）第3輪比賽后，甲單位累計(jì)得分低于乙單位的3輪計(jì)分有四種情況（不按先后順序）；－1，－1，－1;－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0．所以．3．（2023·上海楊浦·同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┠硨W(xué)校最近考試頻繁，為了減輕同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力，班上決定進(jìn)行一次減壓游戲.班主任把8個(gè)小球(只是顏色不同)放入一個(gè)袋子里，其中白色球與黃色球各3個(gè)，紅色球與綠色球各1個(gè).現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球得分比賽，摸到白球每個(gè)記1分，黃球每個(gè)記2分，紅球每個(gè)記3分，綠球每個(gè)記4分，規(guī)定摸球人得分不低于8分為獲勝，否則為負(fù).并規(guī)定如下：①一個(gè)人摸球，另一人不摸球；②摸球的人摸出的球后不放回；③摸球的人先從袋子中摸出1球；若摸出的是綠色球，則再?gòu)拇永锩?個(gè)球；若摸出的不是綠色球，則再?gòu)拇永锩?個(gè)球，摸球人的得分為兩次摸出的球的記分之和.(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了綠色球，求該局甲獲勝的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了紅色球，求該局乙得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）如果甲先摸出了綠色球，則甲還可以再摸兩次，分摸到1個(gè)紅球和摸到兩個(gè)黃球兩種情況討論，結(jié)合古典概型及組合即可得解；（2）如果乙第一次摸出了紅色球，則可以再?gòu)拇忻?個(gè)球，寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有可能取值，分別求出求概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式即可求出期望；【詳解】（1）記“甲第一次摸出了綠色球，甲獲勝”為事件，則.（2）如果乙第一次摸出紅球，則可以再?gòu)拇永锩?個(gè)小球，則得分情況有：6分，7分，8分，9分，10分，11分，，，，，，，所以的分布列為：67891011所以的數(shù)學(xué)期望.4．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校組織“消防”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)題目．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)題目中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一道題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得40分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得60分，否則得0分已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.7，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.5，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)小明應(yīng)選擇先回答A類(lèi)問(wèn)題，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由X的所有可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列；（2）分別計(jì)算先回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望和先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望，比較即可.【詳解】（1）由已知可得，X的所有可能取值為0，40，100，則；；．所以X的分布列為X040100P（2）由（1）可知小明先回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望為．若小明先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，60，100，，，，則Y的期望為，因?yàn)?，所以為使累?jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答A類(lèi)問(wèn)題．5．（2023·山東煙臺(tái)·校聯(lián)考三模），第二組每道題答對(duì)的概率均為，兩組題至少答對(duì)3題才可獲得一枚紀(jì)念章.(1)記甲同學(xué)在一輪比賽答對(duì)的題目數(shù)為，請(qǐng)寫(xiě)出的分布列，并求；(2)若甲同學(xué)進(jìn)行了10輪答題，試問(wèn)獲得多少枚紀(jì)念章的概率最大.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)4【分析】（1）由題意可得可取0，1，2，3，4，進(jìn)而分別求出概率即可求解；（2）先求得每一輪獲得紀(jì)念章的概率，由每一輪相互獨(dú)立，則每一輪比賽可視為二項(xiàng)分布，進(jìn)而可得，，，由，解出即可求解.【詳解】（1）由題意，可取0，1，2，3，4.,，，，，則的分布列為：01234.（2）每一輪獲得紀(jì)念章的概率為，每一輪相互獨(dú)立，則每一輪比賽可視為二項(xiàng)分布，設(shè)10輪答題獲得紀(jì)念章的數(shù)量為，則，，.由，得，解得，又，得，則獲得4枚紀(jì)念章的概率最大.6．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某公司為了讓職工業(yè)余時(shí)間加強(qiáng)體育鍛煉，修建了一個(gè)運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部，公司隨機(jī)抽查了200名職工在修建運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部前后每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，得到以下頻數(shù)分布表：表一（運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部修建前）時(shí)間（分鐘）人數(shù)36588125表二（運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部修建后）時(shí)間（分鐘）人數(shù)18638336(1)分別求出修建運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部前和修建運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部后職工每天運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間（同一時(shí)間段的數(shù)據(jù)取該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）﹔(2)運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部?jī)?nèi)有一套與室溫調(diào)節(jié)有關(guān)的設(shè)備，內(nèi)有2個(gè)完全一樣的用電器A，只有這2個(gè)用電器A都正常工作時(shí)，整套設(shè)備才正常工作，且2個(gè)用電器AA有M，N兩種品牌，M品牌的銷(xiāo)售單價(jià)為1000元，正常工作壽命為11個(gè)月或12個(gè)月（概率均為）；N品牌的銷(xiāo)售單價(jià)為400元，正常工作壽命為5個(gè)月或6個(gè)月（概率均為）.現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案：方案1：購(gòu)置2個(gè)M品牌用電器﹔方案2：購(gòu)置1個(gè)M品牌用電器和2個(gè)N品牌用電器（其中1個(gè)N品牌用電器不能正常工作時(shí)則使用另一個(gè)N品牌用電器）.試求兩種方案各自設(shè)備性價(jià)比（設(shè)備正常運(yùn)行時(shí)間與購(gòu)置用電器A的成本比）的分布列，并從性價(jià)比的數(shù)學(xué)期望角度考慮，選擇哪種方案更實(shí)惠?【答案】(1)分鐘，分鐘.(2)選擇方案2更實(shí)惠.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的概念直接求解；（2）根據(jù)分布列以及數(shù)學(xué)期望的求解方法即可比較兩個(gè)方案的性價(jià)比，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）修建運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部前職工每天運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間為,修建運(yùn)動(dòng)俱樂(lè)部后職工每天運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間為.（2）若采用方案1，設(shè)設(shè)備正常工作時(shí)間為（單位：月），則可能的取值為11,12，則,,所以隨機(jī)變量的分布列如下，1112所以,所以方案1的性價(jià)比為，若采用方案2，設(shè)設(shè)備正常工作時(shí)間為（單位：月），則可能的取值為10,11,12，則,,所以,所以隨機(jī)變量的分布列如下，101112所以,所以方案2的性價(jià)比為，所以方案2的性價(jià)比更高，選擇方案2更實(shí)惠.7．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中學(xué)階段是學(xué)生身體發(fā)育最重要的階段，長(zhǎng)時(shí)間熬夜學(xué)習(xí)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康．某校為了解甲、乙兩班學(xué)生每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，得到他們最近一周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)的樣本數(shù)據(jù)：甲班813283239乙班1225

262831如果學(xué)生平均每周自我慗夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)超過(guò)26小時(shí)，則稱(chēng)為“過(guò)度熬夜”．(1)請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計(jì)甲、乙兩班的學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均值；(2)從甲班、乙班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù)，記“過(guò)度熬夜”的學(xué)生總數(shù)為，寫(xiě)出的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)分布列見(jiàn)解析；期望為2【分析】（1）由表即可估計(jì)甲、乙兩班的學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均值；（2）計(jì)算取不同值時(shí)的概率，即可得出的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意，甲班樣本數(shù)據(jù)的平均值為：，乙班樣本數(shù)據(jù)的平均值為：，∴甲班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24小時(shí)，乙班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24.4小時(shí)．（2）由題意及（1）得，從甲班、乙班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生，∴的可能取值為0，1，2，3，4．，，，，．的分布列是：X01234P.8．（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測(cè)）某超市每天以4元/千克購(gòu)進(jìn)某種有機(jī)蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6點(diǎn)以前所購(gòu)進(jìn)的有機(jī)蔬菜沒(méi)有全部銷(xiāo)售完，則對(duì)未售出的有機(jī)蔬菜降價(jià)處理，以2元/千克出售，并且降價(jià)后能夠把剩余所有的有機(jī)蔬菜全部處理完畢，且當(dāng)天不再進(jìn)貨．該超市整理了過(guò)去兩個(gè)月（按60天計(jì)算）每天下午6點(diǎn)前這種有機(jī)蔬菜的日銷(xiāo)售量（單位：千克），得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．（注：視頻率為概率，）每天下午6點(diǎn)前的銷(xiāo)售量/千克250300350400450天數(shù)10105(1)求1天下午6點(diǎn)前的銷(xiāo)售量不少于350千克的概率；(2)在接下來(lái)的2天中，設(shè)為下午6點(diǎn)前的銷(xiāo)售量不少于350千克的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)的分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能值為，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解．【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得1天下午6點(diǎn)前的銷(xiāo)售量不小于350千克的概率為．（2）解：依題意，1天下午6點(diǎn)前的銷(xiāo)售量不少于350千克的概率，隨機(jī)變量的可能值為，可得：，，，所以隨機(jī)變量的分布為：012所以的數(shù)學(xué)期望．9．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為了推進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，加強(qiáng)自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造?智能制造，把我國(guó)制造業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)搞上去，推動(dòng)我國(guó)經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強(qiáng)，許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一些中小型工廠的規(guī)模不大，在選擇管理軟件時(shí)都要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).某一小型工廠自己沒(méi)有管理軟件的高級(jí)技術(shù)員，欲購(gòu)買(mǎi)管理軟件服務(wù)公司的管理軟件，并讓其提供服務(wù)，某一管理軟件服務(wù)公司有如下兩種收費(fèi)方案.方案一：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元，對(duì)于提供的軟件服務(wù)，每次另外收費(fèi)200元；方案二：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元，若每月提供的軟件服務(wù)不超過(guò)15次，不另外收費(fèi)，若超過(guò)15次，超過(guò)部分的軟件服務(wù)每次另外收費(fèi)500元.（1）設(shè)管理軟件服務(wù)公司月收費(fèi)為y元，每月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)為x，試寫(xiě)出兩種方案中y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）該工廠對(duì)該管理軟件服務(wù)公司為另一個(gè)工廠過(guò)去20個(gè)月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從服務(wù)次數(shù)為13次和14次的月份中任選3個(gè)月求這3個(gè)月，恰好是1個(gè)13次服務(wù)?2個(gè)14次服務(wù)的概率；（3）依據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，把頻率視為概率從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇哪種方案更合適，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：；（2）；（3）從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意可得方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：y=（2）記選擇的3個(gè)月恰好是1個(gè)13次服務(wù)?2個(gè)14次服務(wù)為事件A，根據(jù)條形圖，利用組合數(shù)可得P(A)==，即求.（3）根據(jù)方案分別列出方案一與方案二中月收費(fèi)的分布列，根據(jù)分布列求出數(shù)學(xué)期望，比較均值即可求解.【詳解】解：（1）由題意知，方案一：中管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=200x+4800，x∈N，方案二：當(dāng)，時(shí)，，所以管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系為：y=（2）記選擇的3個(gè)月恰好是1個(gè)13次服務(wù)?2個(gè)14次服務(wù)為事件A，則P(A)==.（3）對(duì)于方案一，設(shè)管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)為ξ元，由條形統(tǒng)計(jì)圖得ξ的取值為7400，7600，7800，8000，8200，P(ξ=7400)=0.1，P(ξ=7600)=0.4，P(ξ=7800)=0.1，P(ξ=8000)=0.2，P(ξ=8200)=0.2，∴ξ的分布列為：ξ74007600780080008200PE(ξ)=7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2=7800.對(duì)于方案二，設(shè)管理軟件服務(wù)公式的月收費(fèi)為η元，由條形統(tǒng)計(jì)圖得η的可能取值為7600，8100，8600，P(η=7600)=0.6，P(η=8100)=0.2，P(η=8600)=0.2，∴η的分布列為：η760081008600PE(η)=7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2=7900.∵E(ξ)<E(η)，∴從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適.10．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）某獵人發(fā)現(xiàn)在距離他100米處的位置有一只獵物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為，為了有更大的概率擊中獵物，獵人準(zhǔn)備多次射擊.假設(shè)每次射擊結(jié)果之間相互獨(dú)立，獵人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比.(1)如果獵人第一次射擊沒(méi)有擊中藥物，則獵人經(jīng)過(guò)調(diào)整后進(jìn)行第二次射擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時(shí)獵物和他之間的距離增加了50米；如果第二次射擊仍然沒(méi)有擊中獵物，則第三次射擊時(shí)獵物和他之間的距離又增加了50米，如此進(jìn)行下去，每次射擊如果沒(méi)有擊中，則下一次射擊時(shí)獵物和他之間的距離都會(huì)增加50米，當(dāng)獵人擊中獵物或發(fā)現(xiàn)某次射擊擊中的概率小于時(shí)就停止射擊，求獵人停止射擊時(shí)射擊次數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.(2)如果獵人直接連續(xù)射擊，由于射擊速度很快，可以認(rèn)為在射擊期間獵物和獵人之間的距離保持不變，如果希望至少擊中獵物一次的概率超過(guò)98%，至少要連續(xù)射擊多少次?附:.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)5次．【分析】（1）設(shè)第i次射擊擊中獵物的概率為，獵人和獵物之間的距離為，則(k為常數(shù))，由，，求出和符合題意，由射擊次數(shù)X的所有取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望；（2）利用對(duì)立事件，計(jì)算至少擊中一次的概率，列不等式借助對(duì)數(shù)式的運(yùn)算計(jì)算射擊次數(shù).【詳解】（1）因?yàn)楂C人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比，設(shè)第i次射擊擊中獵物的概率為，獵人和獵物之間的距離為，則(k為常數(shù))，∵，，∴，∴，∴，，．當(dāng)時(shí)，，停止射擊．設(shè)獵人的射擊次數(shù)為X，則X的所有取值為1，2，3，4，，，，∴X的分布列為x1234P∴X的數(shù)學(xué)期望為.（2）記“第i次射擊擊中獵物”為事件，i=1，2，…，則n次連續(xù)射擊至少擊中獵物一次的概率為，故，所以至少要連續(xù)射擊5次．【能力提升】一、解答題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）A，B，C三個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題A，B，C分別加2分，4分，5分，答錯(cuò)任一題減2分；②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完三題，若累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局，若累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；③每位參加者按問(wèn)題A，B，CA，B，C回答正確的概率依次為，，，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.(1)求在甲同學(xué)進(jìn)入下一輪的條件下，答了兩題的概率；(2)用表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答對(duì)的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）記甲同學(xué)進(jìn)入下一輪為事件E，答了兩題為事件F，結(jié)合題意，分別求出，代入條件概率的計(jì)算公式即可求解；（2）由題意先求出的可能取值，然后分別計(jì)算每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望的計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）記答對(duì)A，B，C分別為事件，，，甲同學(xué)進(jìn)入下一輪為事件E，答了兩題為事件F，則，，所以，即在甲同學(xué)進(jìn)入下一輪的條件下，答了兩題的概率為.（2）由題意知的可能取值為0，1，2.，，，所以的分布列為012P數(shù)學(xué)期望.2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）哈六中舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽和決賽兩階段進(jìn)行.初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)學(xué)年派出兩名同學(xué)，且每名同學(xué)都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過(guò)的同學(xué)才具備參與決賽的資格.高三學(xué)年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過(guò)第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過(guò)第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學(xué)所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.(1)若高三學(xué)年獲得決賽資格的同學(xué)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問(wèn)題放入兩個(gè)紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中依次抽取2道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)求分布列的步驟求出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求出數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)貝葉斯公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）依題意得甲獲得決賽資格的概率為，乙獲得決賽資格的概率為，的所有可能取值為，，，，所以的分布列為：012所以.（2）記“甲從箱中抽出的是道選擇題”，“乙從箱中抽取的第一題是選擇題”，則，，，，，，所以.甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率為.3．（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┯捎赬病毒正在傳染蔓延，對(duì)人的身體健康造成危害，某校擬對(duì)學(xué)生被感染病毒的情況進(jìn)行摸底調(diào)查，首先從兩個(gè)班共100名學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，并對(duì)這20人進(jìn)行逐個(gè)抽血化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果如下：.已知指數(shù)不超過(guò)8表示血液中不含病毒；指數(shù)超過(guò)8表示血液中含病毒且該生已感染病毒.(1)從已獲取的20份血樣中任取2份血樣混合，求該混合血樣含病毒的概率；(2)已知該校共有1020人，現(xiàn)在學(xué)校想從還未抽血化驗(yàn)的1000人中，把已感染病毒的學(xué)生全找出.方案A：逐個(gè)抽血化驗(yàn)；方案B：按40人分組，并把同組的40人血樣分成兩份，把其中的一份血樣混合一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)混合血液含病毒，再分別對(duì)該組的40人的另一份血樣逐份化驗(yàn)；方案C：將方案中的40人一組改為4人一組，其他步驟與方案相同.如果用樣本頻率估計(jì)總體頻率，且每次化驗(yàn)需要不少的費(fèi)用.試通過(guò)計(jì)算回答：選用哪一種方案更合算？（可供參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）確定不含病毒的有份，含有病毒的有份，，計(jì)算得到答案.（2）設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用為，分別計(jì)算方案所需要的費(fèi)用分別為，，，對(duì)比得到答案.【詳解】（1）分血樣中，不含病毒的有份，含有病毒的有份，混合血樣含病毒的概率（2）設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用為，每個(gè)人感染病毒的概率為，方案：費(fèi)用為；方案：每組化驗(yàn)次數(shù)的分布列為：,故總費(fèi)用為；方案：每組化驗(yàn)次數(shù)的分布列為：,故總費(fèi)用為；綜上所述：選用方案更合算.4．（2023·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取五場(chǎng)三勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得三場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主”，設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)在比賽進(jìn)行4場(chǎng)結(jié)束的條件下，求甲隊(duì)獲勝的概率；(2)賽事主辦方需要預(yù)支球隊(duì)費(fèi)用萬(wàn)元．假設(shè)主辦方在前3場(chǎng)比賽每場(chǎng)收入100萬(wàn)元，之后的比賽每場(chǎng)收入200萬(wàn)元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預(yù)支球隊(duì)費(fèi)用）的期望高于萬(wàn)元？【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出比賽4場(chǎng)結(jié)束的概率，然后利用條件概率公式即可解答；（2）先由題意列出比賽收入的分布列，從而求出期望值，進(jìn)而根據(jù)題意確定的值.【詳解】（1）記事件為“比賽進(jìn)行4場(chǎng)結(jié)束”；事件為“甲最終獲勝”，事件表示“第場(chǎng)甲獲勝”，事件為“比賽進(jìn)行4場(chǎng)結(jié)束甲獲勝”；事件為“比賽進(jìn)行4場(chǎng)結(jié)束乙獲勝”．則，因?yàn)楦鲌?chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以，，因?yàn)榛コ?，所以．又因?yàn)?，所以由條件概率計(jì)算公式得.（2）設(shè)主辦方本次比賽總收入為萬(wàn)元，由題意：的可能取值為：．，，，則隨機(jī)變量的分布列為：300500700所以．設(shè)主辦方本次比賽獲利為萬(wàn)元，則，所以，由題意：，所以預(yù)支球隊(duì)的費(fèi)用應(yīng)小于261萬(wàn)元．5．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙足球愛(ài)好者決定加強(qiáng)訓(xùn)練提高球技，兩人輪流進(jìn)行定位球訓(xùn)練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進(jìn)球另一人不進(jìn)球，進(jìn)球者得1分，不進(jìn)球者得分；兩人都進(jìn)球或都不進(jìn)球，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．(1)經(jīng)過(guò)一輪踢球，記甲的得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)若經(jīng)過(guò)兩輪踢球，用表示經(jīng)過(guò)第2輪踢球后，甲累計(jì)得分高于乙累計(jì)得分的概率，求．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）先根據(jù)題意求得甲進(jìn)球與乙進(jìn)球的概率，再結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式求得的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）分析甲累計(jì)得分高于乙累計(jì)得分的情況，從而得解.【詳解】（1）記一輪踢球甲進(jìn)球?yàn)槭录嗀，乙進(jìn)球?yàn)槭录﨎，由題意知A，B相互獨(dú)立，由題意得：，甲得分的可能取值為，則，，，所以的分布列為：01所以（2）根據(jù)題意，經(jīng)過(guò)第2輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的情況有三種，分別是：甲兩輪中第1輪得0分，第2輪得1分，此時(shí)乙第1輪得0分，第2輪得分；或者甲第1輪得1分，第2輪得0分，此時(shí)乙第1輪得分，第2輪得0分；或者甲兩輪各得1分，此時(shí)乙兩輪各得分；于是.6．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃?021年奧運(yùn)會(huì)我國(guó)射擊項(xiàng)目收獲豐盛，在我國(guó)射擊也是一項(xiàng)歷史悠久的運(yùn)動(dòng).某射擊運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者甲來(lái)到靶場(chǎng)練習(xí).(1)已知用于射擊打靶的某型號(hào)槍支彈夾中一共有發(fā)子彈，甲每次打靶的命中率均為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若某種型號(hào)的槍支彈巢中一共可裝填6發(fā)子彈，現(xiàn)有一槍支其中有發(fā)為實(shí)彈，其余均為空包彈，現(xiàn)規(guī)定：每次射擊后，都需要在下一次射擊之前填充一發(fā)空包彈，假設(shè)每次射擊相互獨(dú)立且均隨機(jī)，在進(jìn)行次射擊后，記彈巢中空包彈的發(fā)數(shù)為，①當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出數(shù)學(xué)期望與的關(guān)系；②求出關(guān)于的表達(dá)式.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出的所有可能值，再求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）①按第次射出是空包彈和實(shí)彈求出對(duì)應(yīng)的概率及空包彈數(shù)，進(jìn)而求出即可；②利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式作答.【詳解】（1）依題意，的所有可能取值為，，，所以的分布列為012……的數(shù)學(xué)期望，顯然，兩式相減得，所以.（2）①第次射擊后，包含兩種情況：第次射出空包彈和第次射出實(shí)彈，第次射擊前，剩余空包彈的期望是，若第次射出空包彈，則此時(shí)對(duì)應(yīng)的概率為，因?yàn)樯鋼艉笠畛湟话l(fā)空包彈，則此時(shí)空包彈的數(shù)量為，若第次射出實(shí)彈，則此時(shí)對(duì)應(yīng)的概率為，此時(shí)空包彈的數(shù)量為，所以.②當(dāng)時(shí)，彈巢中有發(fā)空包彈，即，由，得，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此，而當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.7．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃楸Ｗo(hù)未成年人身心健康，保障未成年人合法權(quán)益，培養(yǎng)有理想、有道德、有文化、有紀(jì)律的社會(huì)主義建設(shè)者，《未成年人保護(hù)法》針對(duì)監(jiān)護(hù)缺失、校園欺凌、煙酒損害、網(wǎng)絡(luò)沉迷等問(wèn)題，進(jìn)一步壓實(shí)監(jiān)護(hù)人、學(xué)校、住宿經(jīng)營(yíng)者及網(wǎng)絡(luò)服務(wù)提供者等主體責(zé)任，加大對(duì)未成年人的保護(hù)力度.某中學(xué)為宣傳《未成年人保護(hù)法》，特舉行一次未成年人保護(hù)法知識(shí)競(jìng)賽，比賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競(jìng)賽中，小組兩人分別答兩題，若答對(duì)題數(shù)不少于3，則被稱(chēng)為“優(yōu)秀小組”，已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且同學(xué)甲和同學(xué)乙答對(duì)每道題的概率分別為.(1)若，則在第一輪競(jìng)賽中，求他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；(2)當(dāng)，且每輪比賽互不影響時(shí)，如果甲、乙同學(xué)組成的小組在此次活動(dòng)中獲得“優(yōu)秀小組”的期望值為9，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競(jìng)賽？【答案】(1)(2)理論上至少要進(jìn)行19輪競(jìng)賽【分析】（1）由題意可知獲“優(yōu)秀小組”的情況包含三種情況，分別計(jì)算概率，再求和；（2）首先計(jì)算甲乙同學(xué)獲得“優(yōu)秀小組”的概率P，通過(guò)基本不等式求的范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析P的最大值，結(jié)合二