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活頁作業(yè)(二十)幾何概型(25分鐘,60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2016·高考全國卷Ⅰ)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10min的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析:設(shè)小明到達時間為y,當(dāng)y在7:50至8:00,或8:20至8:30時,小明等車時間不超過10min,因此所求概率P=eq\f(20,40)=eq\f(1,2).故選B.答案:B2.如圖,矩形ABCD中,點E為邊CD的中點,若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q,則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析:△ABE的面積是矩形ABCD面積的一半,由幾何概型,點Q取自△ABE內(nèi)部的概率為eq\f(1,2).答案:C3.(2015·高考山東卷)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x,則事件“-1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.1解析:先利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式,再根據(jù)幾何概型的概率公式求出概率.不等式-1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))≤1可化為logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2),即eq\f(1,2)≤x+eq\f(1,2)≤2,解得0≤x≤eq\f(3,2).故由幾何概型的概率公式得P=eq\f(\f(3,2)-0,2-0)=eq\f(3,4).答案:A4.如圖,在正方形圍欄內(nèi)均勻撒米粒,一只小雞在其中隨意啄食,此刻小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(π,3)解析:設(shè)事件A={小雞正在正方形的內(nèi)切圓中},則事件A的幾何區(qū)域為內(nèi)切圓的面積S=πR2(2R為正方形的邊長),全體基本事件的幾何區(qū)域為正方形的面積,由幾何概型的概率公式可得P(A)=eq\f(πR2,2R2)=eq\f(π,4),即小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率為eq\f(π,4).答案:B5.在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個數(shù),則這兩個數(shù)的平方和也在[0,1]內(nèi)的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,10)C.eq\f(π,20) D.eq\f(π,40)解析:設(shè)在[0,1]內(nèi)取出的數(shù)為a,b,若a2+b2也在[0,1]內(nèi),則有0≤a2+b2≤1.如右圖,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為邊長為1的正方形,滿足a2+b2在[0,1]內(nèi)的點在eq\f(1,4)的單位圓內(nèi)(如陰影部分所示),故所求概率為eq\f(\f(1,4)π,1)=eq\f(π,4).答案:A二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當(dāng)指針指向陰影所示區(qū)域時甲勝,否則乙勝,則甲獲勝的概率是________________.解析:轉(zhuǎn)盤共分為8部分,陰影占5部分,故甲獲勝概率為eq\f(5,8).答案:eq\f(5,8)7.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,在正方體內(nèi)隨機取點M,點M落在三棱柱ABC-A1B1C1解析:∵V正方體=a3,V三棱柱=eq\f(1,2)a3,∴所求概率P=eq\f(1,2).答案:eq\f(1,2)8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)有一個內(nèi)切球O,則在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任取點M,點M在球O解析:設(shè)正方體邊長為1,則V正方體=1,其內(nèi)切球半徑為eq\f(1,2),故V球=eq\f(4,3)πR3=eq\f(π,6).故所求概率P=eq\f(V球,V正方體)=eq\f(π,6).答案:eq\f(π,6)三、解答題(每小題10分,共20分)9.設(shè)A為圓周上一定點,在圓周上等可能地任取一點與A連接,求弦長超過半徑的eq\r(2)倍的概率.解:如圖所示,在⊙O上有一定點A,任取一點B與A連接,則弦長超過半徑的eq\r(2)倍,即為∠AOB的度數(shù)大于90°,而小于270°.記“弦長超過半徑的eq\r(2)倍”為事件C,則C表示的范圍是∠AOB∈(90°,270°).∵270°-90°=180°.∴試驗的的全部結(jié)果是圓周長,滿足要求的結(jié)果是半圓周長,則由幾何概型的概率公式,得P(C)=eq\f(1,2).10.平面上畫了一些彼此相距2a的平行線,把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個平面上,求硬幣不與任一條平行線相碰的概率解:設(shè)事件A為“硬幣不與任一條平行線相碰”.為了確定硬幣的位置,由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM,垂足為M,參看圖,這樣線段OM長度(記作|OM|)的取值范圍是[0,a],只有當(dāng)r<|OM|≤a時,硬幣不與平行線相碰,其長度范圍是(r,a].所以P(A)=eq\f(r,a]的長度,[0,a]的長度)=eq\f(a-r,a).(20分鐘,40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.如下四個游戲盤(各正方形邊長和圓的直徑都是單位1),如果撒一粒黃豆落在陰影部分,那么可中獎.小明希望中獎,則應(yīng)選擇的游戲盤是()解析:P(A)=eq\f(3,8),P(B)=eq\f(2,6)=eq\f(1,3),P(C)=eq\f(1-\f(π,4),1)=1-eq\f(π,4),P(D)=eq\f(1,π),則P(A)最大,故選A.答案:A2.(2013·高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P,使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2),則eq\f(AD,AB)=()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析:如圖,不妨設(shè)AB=1,AD=x,則eq\f(AD,AB)=x.由圖形的對稱性和題意知,點P應(yīng)在EF之間(BE=AB,AF=AB),EF=eq\f(1,2),DE=CF=eq\f(1,4).當(dāng)點P在點E時,BP最大為eq\r(x2+\f(9,16)),∴x2+eq\f(9,16)=1.∴x=eq\f(\r(7),4).答案:D二、填空題(每小題5分,共10分)3.《廣告法》對插播廣告的時間有一定的規(guī)定,某人對某臺的電視節(jié)目做了長期的統(tǒng)計后得出結(jié)論,他任意時間打開電視機看該臺節(jié)目,看不到廣告的概率為eq\f(9,10),那么該臺每小時約有________________min的廣告.解析:60×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(9,10)))=6(min).答案:64.設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2,,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是________.解析:平面區(qū)域D的面積為4,到原點距離大于2的點位于圖中陰影部分,其面積為4-π,所以所求概率為eq\f(4-π,4).答案:eq\f(4-π,4)三、解答題(每小題10分,共20分)5.如圖,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在線段OB上任取一點C,試求:(1)△AOC為鈍角三角形的概率;(2)△AOC為銳角三角形的概率.解:如題圖,由平面幾何知識可知,當(dāng)AD⊥OB時,OD=1;當(dāng)OA⊥AE時,OE=4,BE=1.(1)當(dāng)且僅當(dāng)點C在線段OD或BE上時,△AOC為鈍角三角形,記“△AOC為鈍角三角形”為事件M,則P(M)=eq\f(OD+BE,OB)=eq\f(1+1,5)=0.4,即△AOC為鈍角三角形的概率為0.4.(2)當(dāng)且僅當(dāng)點C在線段DE上時,△AOC為銳角三角形,記“△AOC為銳角三角形”為事件N,則P(N)=eq\f(DE,OB)=eq\f(3,5)=0.6.6.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率.(2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個數(shù),b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率.解:設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實根”.當(dāng)a≥0,b≥0時,方程x2+2ax+b2=0有實根的充要條件是a≥b.(1)基本事件共有12個:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一個數(shù)表示a的取值,第二個數(shù)表示b的取值.事件A包含9個基本事件:(0,0),(1,

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