《平面向量的運(yùn)算》平面向量及其應(yīng)用(第3課時(shí)向量的數(shù)乘運(yùn)算)課件

6.2平面向量的運(yùn)算6.2.3

向量的數(shù)乘運(yùn)算1.向量的數(shù)乘運(yùn)算定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.規(guī)定：(1)|λa|=|λ||a|.(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.【思考】向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是什么？提示：數(shù)乘向量的結(jié)果仍是一個(gè)向量，它既有大小又有方向.2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則(1)λ(μa)=λμa；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地，我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.【思考】這里的條件“λ，μ為實(shí)數(shù)”能省略嗎？為什么？提示：不能，數(shù)乘向量中的λ，μ都是實(shí)數(shù)，只有λ，μ都是實(shí)數(shù)時(shí)，運(yùn)算律才成立.3.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.4.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.【思考】(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉嗎？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0，λ存在，但不唯一，若a=0，b≠0，則λ不存在.(2)反之，“若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？提示：成立.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)-3a的方向與6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的

(a≠0). (

)(2)a與-λa的方向相反. (

)(3)若a，b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a=λb.(

)提示：(1)√.因?yàn)?3<0，所以-3a與a方向相反且|-3a|=3|a|.所以6a與a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a與6a方向相反且模是6a的模的.(2)×.當(dāng)λ<0時(shí)，a與-λa的方向相同.(3)×.若b=0時(shí)不成立.2.下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是 (

)①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.

A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.因?yàn)?-3)·2a=-6a，故①正確；②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正確；③中，左=a+2b-2b-a=0≠0，故③錯(cuò)誤.類型一向量的線性運(yùn)算【典例】1.(2019·臨沂高一檢測(cè))化簡(jiǎn)

[(2a+8b)-(4a-2b)]的結(jié)果是 (

)

A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，則x=________.

【思維·引】1.類比實(shí)數(shù)運(yùn)算中合并同類項(xiàng)的方法化簡(jiǎn).2.利用解方程的方法求解.【解析】1.選B.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.2.因?yàn)?x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.答案：0【內(nèi)化·悟】1.向量的線性運(yùn)算的主要方法是什么？提示：去括號(hào)，合并“同類項(xiàng)”.2.解含有向量的方程時(shí)，可以把向量當(dāng)成普通未知量求解嗎？提示：可以.【類題·通】向量線性運(yùn)算的方法(1)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)是向量的系數(shù).(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.【習(xí)練·破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，則2a-3b+c等于 (

)A.10d B.-10d

C.20d D.-20d【解析】選B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.【加練·固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，得6x-2y=2b.與5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x=

a+

b.所以y=3x-b=3=a-b.類型二用已知向量表示相關(guān)向量【典例】1.(2019·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1+λ2的值為_______.

2.如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點(diǎn)分別為K，L，且=e1，=e2，試用e1，e2表示【思維·引】1.先用向量表示向量，然后計(jì)算“系數(shù)”和.2.先把視為未知量，再利用已知條件找等量關(guān)系，列方程(組)，通過解方程(組)求出【解析】1.由已知

所以λ1=-，λ2=，從而λ1+λ2=.答案：

2.設(shè)=x，=y，則=e1=x-y，=e2=x-y，由解得即==【內(nèi)化·悟】分析切入問題時(shí)，對(duì)條件應(yīng)怎樣理解？提示：看作是用向量、表示向量的結(jié)果.【類題·通】(1)由已知量表示未知量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律.(2)當(dāng)直接表示較困難時(shí)，應(yīng)考慮設(shè)出未知向量，表示出已知向量，建立方程組，利用方程(組)求解.【習(xí)練·破】如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分別是DC和AB的中點(diǎn)，已知=a，=b，試用a，b表示【解析】(方法一)連接CN，則AN

DC，所以四邊形ANCD是平行四邊形.=-b，又因?yàn)?0，所以=b-a，所以=-b+a=a-b.(方法二)因?yàn)?0，即：a++(-a)+(-b)=0，所以=b-a，又因?yàn)樵谒倪呅蜛DMN中，有=0，即：b+

a+

+(-

a)=0，所以

=

a-b.【加練·固】如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=b，又試用a、b表示【解析】因?yàn)?a-b，所以(a-b)，所以=b+(a-b)=b+a-b=a+

b.又由=+=a+b，得=a+b.所以=(a+b)-(a+b)

=a-b.類型三向量共線定理及應(yīng)用角度1求參數(shù)問題【典例】(2019·天水高一檢測(cè))設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量a=2e1-e2，與向量b=e1+λe2(λ∈R)共線，則當(dāng)且僅當(dāng)λ的值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-【思維·引】利用向量共線定理解答.【解析】選D.因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)u，使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以

解得λ=-.【素養(yǎng)·探】本題主要考查向量共線條件的應(yīng)用，突出考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.【解析】因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)u，使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以所以m+n=0.角度2三點(diǎn)共線問題【典例】設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】利用向量共線定理解答.【證明】由題意，得=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2，所以與共線，且有公共端點(diǎn)B，所以A，B，C三點(diǎn)共線.【類題·通】關(guān)于向量共線定理的應(yīng)用(1)向量共線定理：b與a(a≠0)共線與b=λa是一個(gè)等價(jià)定理，因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.(2)證明三點(diǎn)共線，往往要轉(zhuǎn)化為證明過同一點(diǎn)的兩個(gè)有向線段表示的向量共線，必須說明構(gòu)造的兩個(gè)向量有公共點(diǎn)，否則兩向量所在的直線可能平行，解題時(shí)常常會(huì)因忽視對(duì)公共點(diǎn)的說明而丟分.【發(fā)散·拓】關(guān)于A，B，C三點(diǎn)共線條件的變形式平面上三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)α，β，使得=α+β，其中α+β=1，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).【延伸·練】已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若求x+y的值.【解析】設(shè)λ則則所以x+y=1+λ-λ=1.【習(xí)練·破】已知非零向量e1，e2不共線.(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值.【解析】(1)因?yàn)?e1+e2，=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5所以，共線，且有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)閗e1+e2與e1+ke2共線，所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，即(k-λ)e1=(λk-1)e2，由于e1與e2不共線，只能有所以k=±1.長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。努力，終會(huì)有所收獲，功夫不負(fù)有心人。以銅為鏡，可以正衣冠；以古為鏡，可以知興替；以人為鏡，可以明得失。前進(jìn)的路上，要不斷反思、關(guān)照自己的不足，學(xué)習(xí)更多東西，更進(jìn)一步。窮則獨(dú)善其身，達(dá)則兼濟(jì)天下。現(xiàn)代社會(huì)，有很多人，鉆進(jìn)錢眼，不惜違法亂紀(jì)；做人，窮，也要窮的有骨氣！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有堅(jiān)忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修煉才華和能力，更重要的是要能堅(jiān)持下來。士不可以不弘毅，任重而道遠(yuǎn)。仁以為己任，不亦重乎?死而后已，不亦遠(yuǎn)乎?心中有理想，腳下的路再遠(yuǎn)，也不會(huì)迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此謂不朽。任何事業(yè)，學(xué)業(yè)的基礎(chǔ)，都要以自身品德的修煉為根基。飯疏食，飲水，曲肱而枕之，樂亦在其中矣。不義而富且貴，于我如浮云。財(cái)富如浮云，生不帶來，死不帶去，真正留下的，是我們對(duì)這個(gè)世界的貢獻(xiàn)。英雄者，胸懷大志，腹有良策，有包藏宇宙之機(jī)，吞吐天地之志者也英雄氣概，威壓八萬里，體恤弱小，善德加身。老當(dāng)益壯，寧移白首之心；窮且益堅(jiān)，不墜青云之志老去的只是身體，心靈可以永遠(yuǎn)保持豐盛。樂民之樂者，民亦樂其樂；憂民之憂者，民亦憂其憂。做領(lǐng)導(dǎo)，要能體恤下屬，一味打壓，盡失民心。勿以惡小而為之，勿以善小而不為。越是微小的事情，越見品質(zhì)。學(xué)而不知道，與不學(xué)同；知而不能行，與不知同。知行合一，方可成就事業(yè)。以家為家，以鄉(xiāng)為鄉(xiāng)，以國(guó)為國(guó)，以天下為天下。若是天下人都能互相體諒，紛擾世事可以停歇。志不強(qiáng)者智不達(dá)，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越強(qiáng)，相應(yīng)的，逼迫自己所學(xué)的，也就越多。臣心一片磁針石，不指南方不肯休。忠心，也是很多現(xiàn)代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。為人謀而不忠乎?與朋友交而不信乎?傳不習(xí)乎?若人人皆每日反省自身，世間又會(huì)多出多少君子。人人好公，則天下太平；人人營(yíng)私，則天下大亂。給世界和身邊人，多一點(diǎn)寬容，多一份擔(dān)當(dāng)。為天地立心，為生民立命，為往圣繼絕學(xué)，為萬世開太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老將至，貧賤于我如浮云。淡看世間事，心情如浮云天行健，君子以自強(qiáng)不息。地勢(shì)坤，君子以厚德載物。君子，生在世間，當(dāng)靠自己拼搏奮斗。博學(xué)之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之。進(jìn)學(xué)之道，一步步逼近真相，逼近更高。百學(xué)須先立志。天下大事，不立志，難成！海納百川，有容乃大；壁立千仞，無欲則剛做人，心胸要寬廣。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不憂，勇者不懼?！闭嬲M(jìn)者，不會(huì)把時(shí)間耗費(fèi)在負(fù)性情緒上。好學(xué)近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。力行善事，有羞恥之心，方可成君子。操千曲爾后曉聲，觀千劍爾后識(shí)器做學(xué)問和學(xué)技術(shù)，都需要無數(shù)次的練習(xí)。第一個(gè)青春是上帝給的；第二個(gè)的青春是靠自己努力當(dāng)眼淚流盡的時(shí)候，留下的應(yīng)該是堅(jiān)強(qiáng)。人總是珍惜未得到的，而遺忘了所擁有的。誰傷害過你，誰擊潰過你，都不重要。重要的是誰讓你重現(xiàn)笑容。幸運(yùn)并非沒有恐懼和煩惱；厄運(yùn)并非沒有安慰與希望。你不要一直不滿人家，你應(yīng)該一直檢討自己才對(duì)。不滿人家，是苦了你自己。最深的孤獨(dú)不是長(zhǎng)久的一個(gè)人，而是心里沒有了任何期望。要銘記在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一個(gè)過往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福卻很短暫。一個(gè)人的價(jià)值，應(yīng)該看他貢獻(xiàn)什么，而不應(yīng)當(dāng)看他取得什么。做個(gè)明媚的女子。不傾國(guó)，不傾城，只傾其所有過的生活。生活就是生下來，活下去。人生最美的是過程，最難的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真愛，最后悔的是錯(cuò)過。兩個(gè)人在一起能過就好好過！不能過就麻利點(diǎn)分開。當(dāng)一個(gè)人真正覺悟的一刻，他放下追尋外在世界的財(cái)富，而開始追尋他內(nèi)心世界的真正財(cái)富。人若軟弱就是自己最大的敵人。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不轉(zhuǎn)牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。烏云總會(huì)被驅(qū)散的，即使它籠罩了整個(gè)地球。心態(tài)便是黑暗中的那一盞明燈，可以照亮整個(gè)世界。生活不是單行線，一條路走不通，你可以轉(zhuǎn)彎。給我一場(chǎng)車禍。要么失憶。要么死。有些人說：我愛你、又不是說我只愛你一個(gè)。生命太過短暫，今天放棄了明天不一定能得到。刪掉了關(guān)于你的一切，唯獨(dú)刪不掉關(guān)于你的回憶。任何事都是有可能的。所以別放棄，相信自己，你可以做到的。、相信自己，堅(jiān)信自己的目標(biāo)，去承受常人承受不了的磨難與挫折，不斷去努力、去奮斗，成功最終就會(huì)是你的！既然愛，為什么不說出口，有些東西失去了，就在也回不來了！對(duì)于人來說，問心無愧是最舒服的枕頭。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人當(dāng)人；在人之下，要把自己當(dāng)人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待陽光，人就會(huì)從卑微中站起來，帶著封存夢(mèng)想去擁抱藍(lán)天。成功需要成本，時(shí)間也是一