之江教育評價2024屆數(shù)學高一下期末考試模擬試題含解析

之江教育評價2024屆數(shù)學高一下期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，則().A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則使取得最大值時的值為()A．5 B．6 C．7 D．83．已知等差數(shù)列的公差d＞0，則下列四個命題：①數(shù)列是遞增數(shù)列；②數(shù)列是遞增數(shù)列；③數(shù)列是遞增數(shù)列；④數(shù)列是遞增數(shù)列；其中正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．某學校高一、高二年級共有1800人，現(xiàn)按照分層抽樣的方法，抽取90人作為樣本進行某項調查.若樣本中高一年級學生有42人，則該校高一年級學生共有（）A．420人 B．480人 C．840人 D．960人5．甲、乙、丙三人隨意坐下，乙不坐中間的概率為（）A． B． C． D．6．的值為（）A． B． C． D．7．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則一定是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形8．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）①的最大值為2；②的圖象關于對稱；③在區(qū)間上單調遞增；④若實數(shù)m使得方程在上恰好有三個實數(shù)解，，，則；A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④9．如圖2所示，程序框圖的輸出結果是()A．3 B．4 C．5 D．810．設二次函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，且，則實數(shù)的取值范圍是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，2]二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．（理）已知函數(shù)，若對恒成立，則的取值范圍為．12．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中點，則點C到平面的距離等于________.13．某單位共有200名職工參加了50公里徒步活動，其中青年職工與老年職工的人數(shù)比為，中年職工有24人，現(xiàn)采取分層抽樣的方法抽取50人參加對本次活動滿意度的調查，那么應抽取老年職工的人數(shù)為________人.14．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，則的平均數(shù)是________.15．已知函數(shù)，它的值域是__________.16．的值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設二次函數(shù).（1）若對任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍.18．已知向量，向量.（1）求向量的坐標；（2）當為何值時，向量與向量共線.19．如圖，在四棱錐中，，側面底面.（1）求證：平面平面；（2）若，且二面角等于，求直線與平面所成角的正弦值.20．正項數(shù)列的前項和滿足.（I）求的值；（II）證明：當，且時，；（III）若對于任意的正整數(shù)，都有成立，求實數(shù)的最大值.21．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且,記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.(1)若，求序數(shù)的值；(2)若數(shù)列的公差，求數(shù)列的公比及.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

求解一元二次不等式的解集，化簡集合的表示，最后運用集合交集的定義，結合數(shù)軸求出.【詳解】因為，所以，故本題選B.【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的運算，正確求解一元二次不等式的解集、運用數(shù)軸是解題的關鍵.2、D【解析】

由題意求得數(shù)列的通項公式為，令，解得，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得，即又由，即，所以等差數(shù)列的公差為，又由，解得，所以數(shù)列的通項公式為，令，解得，所以使得取得最大值時的值為8，故選D.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的通項公式，以及前n項和最值問題，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質和通項公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3、B【解析】

對于各個選項中的數(shù)列，計算第n+1項與第n項的差，看此差的符號，再根據(jù)遞增數(shù)列的定義得出結論．【詳解】設等差數(shù)列，d＞0∵對于①，n+1﹣n＝d＞0，∴數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．對于②，數(shù)列，得，，所以不一定是正實數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，是假命題．對于③，數(shù)列，得，，不一定是正實數(shù)，故是假命題．對于④，數(shù)列，故數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．故選：B．【點睛】本題考查用定義判斷數(shù)列的單調性，考查學生的計算能力，正確運用遞增數(shù)列的定義是關鍵，屬于基礎題．4、C【解析】

先由樣本容量和總體容量確定抽樣比，用高一年級抽取的人數(shù)除以抽樣比即可求出結果.【詳解】由題意需要從1800人中抽取90人，所以抽樣比為，又樣本中高一年級學生有42人，所以該校高一年級學生共有人.故選C【點睛】本題主要考查分層抽樣，先確定抽樣比，即可確定每層的個體數(shù)，屬于基礎題型.5、A【解析】甲、乙、丙三人隨意坐下有種結果，乙坐中間則有，乙不坐中間有種情況，概率為，故選A.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用.6、B【解析】由誘導公式可得，故選B.7、D【解析】

利用余弦定理、等邊三角形的判定方法即可得出．【詳解】由余弦定理得，則，即，所以.∵∴是等邊三角形.故選D.【點睛】本題考查了余弦定理、等邊三角形的判定方法，考查了推理能力與計算能力，熟練掌握余弦定理是解答本題的關鍵．8、C【解析】

，由此判斷①的正誤，根據(jù)判斷②的正誤，由求出的單調遞增區(qū)間，即可判斷③的正誤，結合的圖象判斷④的正誤.【詳解】因為，故①正確因為，故②不正確由得所以在區(qū)間上單調遞增，故③正確若實數(shù)m使得方程在上恰好有三個實數(shù)解，結合的圖象知，必有此時，另一解為即，，滿足，故④正確綜上可知：命題正確的是①③④故選：C【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質，解決這類問題時首先應把函數(shù)化成三角函數(shù)基本型.9、B【解析】

由框圖可知，①，滿足條件，則；②，滿足條件，則；③，滿足條件，則；④，不滿足條件，輸出；故選B10、D【解析】

求出導函數(shù)，題意說明在上恒成立（不恒等于0），從而得，得開口方向，及函數(shù)單調性，再由函數(shù)性質可解.【詳解】二次函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則，，所以，即函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸是直線．所以f(0)＝f（2），則當時，有．【點睛】實際上對二次函數(shù)，當時，函數(shù)在遞減，在上遞增，當時，函數(shù)在遞增，在上遞減.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：函數(shù)要使對恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需滿足，解得.考點：恒成立問題.12、【解析】

利用等體法即可求解.【詳解】如圖，由ABCD是菱形，，，E是BC的中點，所以,又平面ABCD，所以平面ABCD，即，又，則平面，由平面，所以，所以，設點C到平面的距離為，由即，即，所以.故答案為：【點睛】本題考查了等體法求點到面的距離，同時考查了線面垂直的判定定理，屬于基礎題.13、4【解析】

直接利用分層抽樣的比例關系得到答案.【詳解】青年職工與老年職工的人數(shù)比為，中年職工有24人，故老年職工為，故應抽取老年職工的人數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查了分層抽樣的相關計算，意在考查學生的計算能力.14、5【解析】

根據(jù)平均數(shù)的定義計算．【詳解】由題意，故答案為：5.【點睛】本題考查求新數(shù)據(jù)的均值．掌握均值定義是解題關鍵．實際上如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是．15、【解析】

由反余弦函數(shù)的值域可求出函數(shù)的值域.【詳解】，，因此，函數(shù)的值域為.故答案為：.【點睛】本題考查反三角函數(shù)值域的求解，解題的關鍵就是依據(jù)反余弦函數(shù)的值域進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關系式、二倍角公式，結合根式運算，化簡求得表達式的值.【詳解】依題意，由于，所以故答案為：【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式、二倍角公式，考查根式運算，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）是關于m的一次函數(shù)，計算得到答案.（2）易知，討論和兩種情況計算得到答案.【詳解】（1）對任意實數(shù)，恒成立，即對任意實數(shù)恒成立，是關于m的一次函數(shù)，，解得或，所以實數(shù)x的取值范圍是.（2）存在，使得成立，即，顯然.（i）當時，要使成立，即需成立，即需成立.，(當且僅當時等號成立)，，.（ii）當時，要使成立，即需成立，即需成立，，（當且僅當時等號成立），.綜上得實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】本題考查了恒成立問題和存在性問題，意在考查學生的綜合應用能力.18、（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)向量坐標運算公式計算；（2）求出的坐標，根據(jù)向量共線與坐標的關系列方程解出k;試題解析：（1）（2），∵與共線，∴∴19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由得，，由側面底面得側面，由面面垂直的判定即可證明；（2）由側面，可得，得是二面角的平面角，，推得為等腰直角三角形，取的中點，連接可得，由平面平面，得平面，證明平面，得點到平面的距離等于點到平面的距離，，再利用求解即可【詳解】（1）證明：由可得，因為側面底面，交線為底面且則側面，平面所以，平面平面；（2）由側面可得，，則是二面角的平面角，由可得，為等腰直角三角形取的中點，連接可得因為平面平面，交線為平面且所以平面，點到平面的距離為.因為平面則平面所以點到平面的距離等于點到平面的距離，.設，則在中，；在中，設直線與平面所成角為即所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定，二面角及線面角的求解，考查空間想象能與運算求解能力，關鍵是線面平行的性質得到點D到面的距離,是中檔題20、（I）；（II）見解析；（III）的最大值為1【解析】

（I）直接令中的n=1即得的值；（II）由題得時，，化簡即得證；（III）用累加法可得：，再利用項和公式求得，再求的范圍得解.【詳解】（I）（II）因為，所以時，，化簡得：；（III）因為，用累加法可得：，由，得，當時，上式也成立,因為，則，所以是單調遞減數(shù)列，所以，又因為，所以，即，的最大值為1.【點睛】本題主要考查項和公式求數(shù)列的通項，考查數(shù)列的恒成立問題，意在考查學