高中數(shù)學(xué)人教B版選修2-2第二章-2.2.2-反證法課件

為數(shù)學(xué)打開(kāi)一扇天窗讓學(xué)生插上智慧翅膀x2

x2－(2x－2)=x2－2x＋2=x2－2x＋1＋1=(x－1)2＋1>0∴x2>2x－2.例1求證:2x－2與你能比較的大小嗎?>不等式證明(1)比較法:差值步驟:①作差②變形③定號(hào)關(guān)鍵!(配方、因式分解、通分…)證明:…………….作差…………….變形…………….定號(hào)問(wèn)題:x2>xyO2x－2x21－2例1求證:2x－2y=y=函數(shù)y=x2的圖像在函數(shù)y=2x－2圖像的上方.幾何意義:例2求證:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)a2＋b2－ab－a－b

＋1222222=()≥0證明:∴a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.分組配方,變形為平方和結(jié)構(gòu).證明:=a2b2＋5－2ab＋a2＋4a=(ab－1)2＋(a＋2)2≥0(a2b2＋5)－(2ab－a2－4a)=(a2b2－2ab＋(a2＋4a＋4)＋1

)

∴a2b2＋5≥2ab－a2－4a.練習(xí)1.求證:a2b2＋5≥2ab－a2－4a.2.若x,y,z∈R,a,b,c∈R+,求證:≥2(xy+yz+zx)－2(xy+yz+zx)≥0證明:≥2(xy+yz+zx).－2xy－2yz－2zx練習(xí)例2求證:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)a2＋b2－ab－a－b

＋1222222=()≥0證明:∴a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.≥0證明2:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.1:例2求證:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)a2＋b2－ab－a－b

＋1222222=()≥0證明:∴a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.1:例2求證:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2≥2aba2＋12≥2ab2＋12≥2b2a2＋2b2＋2≥2ab＋2a＋2b

a2＋b2≥ab＋a＋b

－1證明3:a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)=a2＋b2－ab－a－b＋1相加≥0證明2:…………a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.a2＋b2≥2ab重要不等式:例2求證:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)證明=a2＋b2－ab－a－b＋1=a2－(b＋1)a＋

(b2－b＋1)=a2＋b2－ab－a－b＋1=a2－(b＋1)a＋

(b2－b＋1)≥0∴a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.4:(看著a的二次函數(shù))f(a)=主元思想例2求證:a2＋b2≥ab＋a＋b

－1a2＋b2－(ab＋a＋b

－1)證明=a2＋b2－ab－a－b＋1=a2－(b＋1)a＋

(b2－b＋1)=a2＋b2－ab－a－b＋15:a△=－4(b2－b＋1)

(b＋1)2=－3(b－1)2≤0.∴f(a)≥0,二次項(xiàng)系數(shù)是1,函數(shù)思想(看著a的二次函數(shù))f(a)=∴a2＋b2≥ab＋a＋b

－1.主元思想=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c

－c2a例3設(shè)a>b>c,求證:ab2＋bc2＋ca2<a2b＋b2c

＋c2a.ab2＋bc2＋ca2－(a2b＋b2c

＋c2a)=ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)－－＋不行!=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c

－c2a=b2(a－c)＋c2(b－a)＋a2(c－b)－－＋不行!a>b>ca－b>0b－c>0a－c>0分析:主元思想,可把零亂的字母歸類,然后對(duì)式子進(jìn)行有序管理.=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c

－c2a例3設(shè)a>b>c,求證:ab2＋bc2＋ca2<a2b＋b2c

＋c2a.a>b>ca－b>0b－c>0a－c>0ab2＋bc2＋ca2－(a2b＋b2c

＋c2a)－＋＋=(c

－b)a2＋(b－c)(b＋c)a=

(c

－b)11-b-c=(c

－b)(a－b)(a－c)<0證明:=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c

－c2a＋(b2－c2)a

＋bc(c－b)=(c

－b)(a－b)(a－c)<0[a2∴ab2＋bc2＋ca2<a2b＋b2c

＋c2a.因式分解(或變形)為積(或商)的形式,且符號(hào)可定.f(a)==

(c

－b)a2＋bc(c－b)以a為主變?cè)?b＋c)a＋bc]=(c

－b)(a－b)(a－c)=ab2＋bc2＋ca2－a2b－b2c

－c2a例3設(shè)a>b>c,求證:ab2＋bc2＋ca2<a2b＋b2c

＋c2a.a>b>ca－b>0b－c>0a－c>0證明:c－b<0,ab2＋bc2＋ca2－(a2b＋b2c

＋c2a)f(a)=二次項(xiàng)系數(shù):△=－4bc(c－b)2

(b2－c2)2=(b－c)4=(c

－b)a2＋(b2－c2)a

＋bc(c－b)a看著a的二次函數(shù)>0.∴f(a)<0,

即ab2＋bc2＋ca2<a2b＋b2c

＋c2a.以a為主變?cè)獙W(xué)生完成bc∵a>b,?并非一定要求整個(gè)函數(shù)圖像都在x軸的下方3.設(shè)a,b,c∈[0,2],證明:4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca.a

f(a)==(b－c)2=(b－2)2＋(c－2)24a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca.練習(xí)(4a＋b2＋c2＋abc)－(2ab＋2bc＋2ca)≥0≥0f(a)≥0證明:a02f(a)aaaa=(4＋bc－2b－2c)＋b2＋c2－2bc以a為主變?cè)?f(0)=f(2)=b2＋c2－2bcb2＋c2－4b－4c＋8小結(jié)(差值)比較法函數(shù)平方和式子的積商(關(guān)鍵!)方法配方因式分解通分…結(jié)果①作差②變形③定號(hào)步驟:主元思想函數(shù)思想思想:

本節(jié)課到此結(jié)束,請(qǐng)同學(xué)們課后再做好復(fù)習(xí)與作業(yè)。謝謝!再見(jiàn)!Homework:見(jiàn)后3.

已知a,b,m都是正數(shù),并且a<b,求證:4.已知a,b都是正數(shù),并且a

b,求證:a5+b5>a2b3+a3b22.求證:x2+3>3x6.己知函數(shù)f(x)=x2＋ax＋b,非負(fù)實(shí)數(shù)p,q滿足p＋q=1,證明:pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy).5.已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1.求證:a2+b2+c2≥1.已知1<x<3,M=3x2－x＋1,N=4x2－5x＋4,則()AM<NBM=N

C

M>NDM與N大小不確定作業(yè)證明:5.已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1.求證:a2+b2+c2≥(3a2+3b2+3c2－1)a2+b2+c2－[3a2+3b2+3c2=－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc]－(a+b+c)2]==[(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2][3a2+3b2+3c2=≥0∴a2+b2+c2≥解答:小結(jié)(差值)比較法綜合法分析法一題多解多題一解二次函數(shù)平方和式子的積商關(guān)鍵!舉三反一是為了舉一反三直接法間接法方法配方因式分解通分…結(jié)果①作差②變形③定號(hào)不管內(nèi)容,不論成敗,只作平臺(tái),給同仁們提供一個(gè)交流探討的機(jī)會(huì),所以獻(xiàn)丑了,占用了大家的寶貴時(shí)間.題中變量:從例1的一個(gè)增加到例3的三個(gè);解題方法:從最基本的配方、因式分解到主元思想、函數(shù)思想.關(guān)于層次感近年來(lái),對(duì)習(xí)題課的類型教學(xué)有些不同看法,在應(yīng)試教育下,為數(shù)眾多的老師熱衷于給學(xué)生講習(xí)題類型,但是,常常只是“羅列式”,沒(méi)有歸納、總結(jié)、升華,或者歸納總結(jié)升華得不十分得法、到位;另一種相反的觀點(diǎn)是,課改之后要淡化類型.關(guān)于“類型”我認(rèn)為:第一:類型是認(rèn)識(shí)過(guò)程中的重要中介產(chǎn)品,心理學(xué)上叫圖式,專家和新手之間的重要差別之一就是P133議應(yīng)該說(shuō)這節(jié)課條理清晰,讓同學(xué)可以形成一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu).現(xiàn)在有為數(shù)不少的老師,在選擇例題時(shí)是拉在籃里便是菜..筆者曾經(jīng)聽(tīng)過(guò)一節(jié)課,這位老師在一系列例題中突然夾了一個(gè)和主題不相干的題目,事后我問(wèn)她這道題,你的意圖是什么?她回答說(shuō)我在做題目的時(shí)候覺(jué)得這道題蠻好的,我就加進(jìn)去了.相比這種情況,老師對(duì)例題的選擇是有思考的,例題有一定的典型性,難度也適當(dāng).但是老師過(guò)于強(qiáng)調(diào)模仿,下面的話,老師在課堂上說(shuō)過(guò)兩遍以后遇到這樣的類型就不怕了.這樣的話,我關(guān)于層次感這樣的話,我在其他老師嘴里也經(jīng)常聽(tīng)到.看來(lái),老師企圖依靠把典型題目讓大家做個(gè)遍,來(lái)達(dá)到提高質(zhì)量的目的,這樣恐怕免不了還是要走進(jìn)題海的路子,我們常常說(shuō),為了讓學(xué)生跳出題海,老師首先要跳進(jìn)題海,老師跳進(jìn)題海做什么?是要去蕪存精,還要理岀頭緒.去蕪存精就是要選擇典型的題目.理岀頭緒則是要根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律.安排出乛個(gè)題目的屋次.這是兩件很見(jiàn)功力的事情.這節(jié)課的選題還是可以的,可以改進(jìn)的地方,主要就是應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律安排一個(gè)合理的層次,首先,老師指出今天的求值和過(guò)去的求值不同,那就是過(guò)去求值是已知x.Y的值,求關(guān)于xY的代數(shù)式的值.關(guān)于層次感今天的己知條件不那么具體,而只是知道了某個(gè)關(guān)于xY的條件.學(xué)生固然可以意會(huì)兩者的差別,如果點(diǎn)明今天講的是條件求值,以有別于以前學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單求值題是大有益,因?yàn)檫@有利于學(xué)生形成更好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).第二,點(diǎn)明條件求值的主題后,怎么么辦?不應(yīng)該急著就事論事地解這道題,而應(yīng)該是組織大家思考能不能轉(zhuǎn)化為普通求值.這樣的思考,符合化未知為己知的化歸思想,有利于學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平的提高.因此,把能夠求出xY的值的例1(2)提前比較合適,因?yàn)樗腔癁楹?jiǎn)單求值題解決.這個(gè)次序上的調(diào)整,符合了這類問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知規(guī)律.如果這樣選擇,安排和講解例題不需要做很多的題目,不需要機(jī)械的模仿,學(xué)生可以容易地掌握這方面的知識(shí)技能,而且對(duì)各種方法的來(lái)龍去脈乛為什么要用這種方法?怎么想到用這種方法的?怎樣用這種方法?乛比較清晰,不但知其然,亅而且知其所以然了,關(guān)于層次感也就是說(shuō)可以幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).而要做到這樣的安排,關(guān)鍵在于教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解.正因?yàn)?老師對(duì)這段數(shù)學(xué)知識(shí)理解上還不夠深刻,所以她的這節(jié)習(xí)題課,盡管比拉在籃里便是菜式習(xí)題課好得多,但還沒(méi)有完全跳出羅列十模仿的框框..教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解深不深,或者說(shuō)數(shù)學(xué)功底好不好,這話不容易講清楚,陳景潤(rùn)是大數(shù)學(xué)家,但做不好老師,我認(rèn)識(shí)有位老師,在上級(jí)的解數(shù)學(xué)題的測(cè)試中表現(xiàn)良好,但就是教不好書(shū)面臨換崗的局面.所以,對(duì)數(shù)學(xué)理解深刻,未必就是求學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)好,或者會(huì)做數(shù)學(xué)題.關(guān)于層次感張奠宙教授說(shuō)數(shù)學(xué)有三種形態(tài),原始形態(tài),學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài).原始形態(tài)是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造時(shí)的數(shù)學(xué),彎彎曲曲的,學(xué)術(shù)形態(tài)則是數(shù)學(xué)家表達(dá)自己成果的形態(tài),板起面孔的,而教育形態(tài)則是用學(xué)生容易接受的方式整理的.又是有利于學(xué)生發(fā)展的形態(tài).我想,我們通常所說(shuō)的教師對(duì)數(shù)學(xué)理解,本質(zhì)上是對(duì)數(shù)學(xué)的教育形態(tài)掌握得比較好,運(yùn)用得比較得當(dāng),這就要求我們研究每章每節(jié)的雙基要求和結(jié)構(gòu),重點(diǎn)難點(diǎn),以及學(xué)生容易造成錯(cuò)誤的地方.P121:目前,大多數(shù)老師奉行的是題海戰(zhàn)術(shù).弄得學(xué)生很累很苦,而且還是摸不著頭腦,而W老師認(rèn)真鉆研了相關(guān)的內(nèi)容,她肯定做了很多的題目,把這些題目理出了思路,不等式證明有多種方法,第一種是比較法,比較法的關(guān)鍵是變形,而變形又常用三種方法!變形為完全平方的和,變形為某些式子的積(或商)(這些式子的符號(hào)可定).把它作為一次或二次函數(shù)來(lái)處理。這顯出了W老師的數(shù)學(xué)功底是很好的.根據(jù)這些,W老師選擇的例題就很有典型性了.典型的題目,應(yīng)該是反映這類問(wèn)題的本質(zhì),,而且最好有多種解法.運(yùn)用一題多解可激發(fā)學(xué)生的興趣,活躍了學(xué)生的思維。而且一題多解,不完全是技巧視野比較寬?譬如例l的幾何解釋,例2的證明3和涉及了主元思想.如果大家都像W老師那樣.例題講究典型性,又有方法的歸納,關(guān)鍵點(diǎn)的點(diǎn)撥,又進(jìn)行一題多解培養(yǎng)思維的靈活性,還需要題海戰(zhàn)術(shù)嗎?有句話叫為了讓學(xué)生跳出題海,要求我們教師先跳進(jìn)題海，其實(shí)先跳進(jìn)題海是第一步跳進(jìn)去了還要思考整理.關(guān)于這節(jié)課不要一個(gè)人講，而是調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，大家一起來(lái)思考討論，有些老師為活躍而活躍，其實(shí)學(xué)生課堂的活躍不活躍，不是看形式，而是看思維的狀態(tài)。老師有放有收，在指導(dǎo)下放，活躍老師的勞動(dòng)是創(chuàng)長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。努力，終會(huì)有所收獲，功夫不負(fù)有心人。以銅為鏡，可以正衣冠；以古為鏡，可以知興替；以人為鏡，可以明得失。前進(jìn)的路上，要不斷反思、關(guān)照自己的不足，學(xué)習(xí)更多東西，更進(jìn)一步。窮則獨(dú)善其身，達(dá)則兼濟(jì)天下。現(xiàn)代社會(huì)，有很多人，鉆進(jìn)錢(qián)眼，不惜違法亂紀(jì)；做人，窮，也要窮的有骨氣！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有堅(jiān)忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修煉才華和能力，更重要的是要能堅(jiān)持下來(lái)。士不可以不弘毅，任重而道遠(yuǎn)。仁以為己任，不亦重乎?死而后已，不亦遠(yuǎn)乎?心中有理想，腳下的路再遠(yuǎn)，也不會(huì)迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此謂不朽。任何事業(yè)，學(xué)業(yè)的基礎(chǔ)，都要以自身品德的修煉為根基。飯疏食，飲水，曲肱而枕之，樂(lè)亦在其中矣。不義而富且貴，于我如浮云。財(cái)富如浮云，生不帶來(lái)，死不帶去，真正留下的，是我們對(duì)這個(gè)世界的貢獻(xiàn)。英雄者，胸懷大志，腹有良策，有包藏宇宙之機(jī)，吞吐天地之志者也英雄氣概，威壓八萬(wàn)里，體恤弱小，善德加身。老當(dāng)益壯，寧移白首之心；窮且益堅(jiān)，不墜青云之志老去的只是身體，心靈可以永遠(yuǎn)保持豐盛。樂(lè)民之樂(lè)者，民亦樂(lè)其樂(lè)；憂民之憂者，民亦憂其憂。做領(lǐng)導(dǎo)，要能體恤下屬，一味打壓，盡失民心。勿以惡小而為之，勿以善小而不為。越是微小的事情，越見(jiàn)品質(zhì)。學(xué)而不知道，與不學(xué)同；知而不能行，與不知同。知行合一，方可成就事業(yè)。以家為家，以鄉(xiāng)為鄉(xiāng)，以國(guó)為國(guó)，以天下為天下。若是天下人都能互相體諒，紛擾世事可以停歇。志不強(qiáng)者智不達(dá)，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越強(qiáng)，相應(yīng)的，逼迫自己所學(xué)的，也就越多。臣心一片磁針石，不指南方不肯休。忠心，也是很多現(xiàn)代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。為人謀而不忠乎?與朋友交而不信乎?傳不習(xí)乎?若人人皆每日反省自身，世間又會(huì)多出多少君子。人人好公，則天下太平；人人營(yíng)私，則天下大亂。給世界和身邊人，多一點(diǎn)寬容，多一份擔(dān)當(dāng)。為天地立心，為生民立命，為往圣繼絕學(xué)，為萬(wàn)世開(kāi)太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老將至，貧賤于我如浮云。淡看世間事，心情如浮云天行健，君子以自強(qiáng)不息。地勢(shì)坤，君子以厚德載物。君子，生在世間，當(dāng)靠自己拼搏奮斗。博學(xué)之，審問(wèn)之，慎思之，明辨之，篤行之。進(jìn)學(xué)之道，一步步逼近真相，逼近更高。百學(xué)須先立志。天下大事，不立志，難成！海納百川，有容乃大；壁立千仞，無(wú)欲則剛做人，心胸要寬廣。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不憂，勇者不懼。”真正努力精進(jìn)者，不會(huì)把時(shí)間耗費(fèi)在負(fù)性情緒上。好學(xué)近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。力行善事，有羞恥之心，方可成君子。操千曲爾后曉聲，觀千劍爾后識(shí)器做學(xué)問(wèn)和學(xué)技術(shù)，都需要無(wú)數(shù)次的練習(xí)。第一個(gè)青春是上帝給的；第二個(gè)的青春是靠自己努力當(dāng)眼淚流盡的時(shí)候，留下的應(yīng)該是堅(jiān)強(qiáng)。人總是珍惜未得到的，而遺忘了所擁有的。誰(shuí)傷害過(guò)你，誰(shuí)擊潰過(guò)你，都不重要。重要的是誰(shuí)讓你重現(xiàn)笑容。幸運(yùn)并非沒(méi)有恐懼和煩惱；厄運(yùn)并非沒(méi)有安慰與希望。你不要一直不滿人家，你應(yīng)該一直檢討自己才對(duì)。不滿人家，是苦了你自己。最深的孤獨(dú)不是長(zhǎng)久的一個(gè)人，而是心里沒(méi)有了任何期望。要銘記在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一個(gè)過(guò)往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福卻很短暫。一個(gè)人的價(jià)值，應(yīng)該看他貢獻(xiàn)什么，而不應(yīng)當(dāng)看他取得什么。做個(gè)明媚的女子。不傾國(guó)，不傾城，只傾其所有過(guò)的生活。生活就是生下來(lái)，活下去。人生最美的是過(guò)程，最難的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真愛(ài)，最后悔的是錯(cuò)過(guò)。兩個(gè)人在一起能過(guò)就好好過(guò)！不能過(guò)就麻利點(diǎn)分開(kāi)。當(dāng)一個(gè)人真正覺(jué)悟的一刻，他放下追尋外在世界的財(cái)富，而開(kāi)始追尋他內(nèi)心世界的真正財(cái)富。人若軟弱就是自己最大的敵人。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不轉(zhuǎn)牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。烏云總會(huì)被驅(qū)散的，即使它籠罩了整個(gè)地球。心態(tài)便是黑暗中的那一盞明燈，可以照亮整個(gè)世界。生活不是單行線，一條路走不通，你可以轉(zhuǎn)彎。給我一場(chǎng)車(chē)禍。要么失憶。要么死。有些人說(shuō)：我愛(ài)你、又不是說(shuō)我只愛(ài)你一個(gè)。生命太過(guò)短暫，今天放棄了明天不一定能得到。刪掉了關(guān)于你的一切，唯獨(dú)刪不掉關(guān)于你的回憶。任何事都是有可能的。所以別放棄，相信自