押新高考第11題 圓錐曲線綜合-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學臨考題號押題（全解全析）

第第頁押新高考11題圓錐曲線綜合考點4年考題考情分析圓錐曲線綜合2023年新高考Ⅰ卷第16題2023年新高考Ⅱ卷第10題2022年新高考Ⅰ卷第11題2022年新高考Ⅰ卷第16題2022年新高考Ⅱ卷第10題2022年新高考Ⅱ卷第16題圓錐曲線會以單選題、多選題、填空題、解答題4類題型進行考查，多選題難度一般或較難，縱觀近幾年的新高考試題，分別在選填中考查雙曲線的離心率、拋物線綜合、橢圓中的周長及直線方程等知識點，相對難度較大，是高考沖刺復(fù)習的重點復(fù)習內(nèi)容。可以預(yù)測2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以具備難度性的圓錐曲線綜合問題展開命題．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真題第16題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．【答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設(shè)出各點坐標，從而由向量坐標運算求得，，將點代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真題第10題）設(shè)O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設(shè)的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真題第11題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD4．（2022·新高考Ⅰ卷高考真題第16題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.5．（2022·新高考Ⅱ卷高考真題第10題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.6．（2022·新高考Ⅱ卷高考真題第16題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點為，因為，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因為，所以聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點E的橫坐標,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即弦長公式，直線與圓交于A，B兩點，設(shè)，，有：則或：橢圓焦點三角形主要結(jié)論在ΔPF1F2中,記∠F1PF2=θ,橢圓定義可知:

(1).PF1雙曲線焦點三角形主要結(jié)論如圖,F1、F2是雙曲線的焦點,設(shè)P為雙曲線上任意一點,記∠橢圓焦點弦三角形面積公式F1、F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b（2）F1、F2為橢圓的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C交于A、B雙曲線焦點弦三角形面積公式（1）設(shè)直線l過焦點F2且交雙曲線x2a2?y2b2=1（2）F1、F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=（3）F1、F2為雙曲線C:x2a2?y2bS拋物線焦點弦三角形面積公式設(shè)直線l過焦點F且與拋物線y2=2pxp>0交于A、B兩點，直線橢圓中的阿基米德三角形設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦為AB,過A，B兩點做橢圓切線，交于Q點，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦雙曲線中的阿基米德三角形設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1a,b>0的弦為AB,過A，B兩點做雙曲線切線，交于Q點，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

拋物線中的阿基米德三角形拋物線的弦為AB,阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)的定點C,則另一頂點Q的軌跡為一條直線若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點(若直線l方程為:ax+by+底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為a3若阿基米德三角形的底邊過焦點,頂點Q的軌跡為準線,且阿基米德三角形的面積最小值為p在阿基米德三角形中,∠AF?拋物線上任取一點I(不與A,B重合),過I作拋物線切線交QA,QB于S,T,連接1．（2024·浙江·一模）設(shè)是拋物線弧上的一動點，點是的焦點，，則（

）A．B．若，則點的坐標為C．的最小值為D．滿足面積為的點有2個【答案】AB【分析】對于A，直接由拋物線方程即可判斷；對于B，直接由焦半徑先求得點橫坐標，代入拋物線方程驗算其縱坐標即可判斷；對于C，由B選項啟發(fā)，觀察圖象，令即可舉出反例；對于D，由點到直線距離公式將原問題轉(zhuǎn)換為方程的或的正根的個數(shù)和即可判斷.【詳解】對于A，拋物線弧的焦點為，故A正確；對于B，若，解得，所以，即點的坐標為，故B正確；對于C，取，則，因為，所以，即，所以，即，故C錯誤；對于D，直線的斜率為，所以它的方程為，點到它的距離為，注意到，若面積為，則，又，所以或，解得或，所以滿足面積為的點有3個，故D錯誤.故選：AB.2．（2024·重慶·一模）已知拋物線的焦點為為坐標原點，其準線與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線交于不同兩點，則下列說法正確的是（

）A．B．存在C．不存在以為直徑且經(jīng)過焦點的圓D．當?shù)拿娣e為時，直線的傾斜角為或【答案】AD【分析】設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達定理式，將其整體代入即可判斷ACD，求解直線與拋物線相切時的情況即可判斷B.【詳解】對A，由題意得，準線方程為，則，顯然當直線的斜率為0，即直線的方程為，此時不合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得，，解得或，，，，，則，，則，，，則，A正確；對B，當直線與拋物線相切時，最大，則，解得，根據(jù)拋物線對稱性取分析：此時直線方程為，此時直線斜率為1，則，因此不存在，B錯誤；對C，假設(shè)存在以為直徑且經(jīng)過焦點的圓，則，，則，即，,即，即，，滿足或，即存在以為直徑且經(jīng)過焦點的圓，C錯誤；對D，，，此時直線斜率為，則直線的傾斜角為或，故D正確.故選：AD.3．（2024·安徽合肥·一模）已知橢圓的左?右頂點分別為，左焦點為為上異于的一點，過點且垂直于軸的直線與的另一個交點為，交軸于點，則（

）A．存在點，使B．C．的最小值為D．周長的最大值為8【答案】BCD【分析】對于A，判斷與的大小即即可；對于B,設(shè)，，，利用坐標分別求出等式左右驗證即可；對于C，求出，利用二次函數(shù)求最值即可；對于D，利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求的最大值，即可.【詳解】對于A,設(shè)橢圓的上頂點為，則直角三角形中，，則，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，，且，即，又,則，又，故，則B正確；對于C，，，，則當時，取最小值為，故C正確；對于D，設(shè)橢圓的右焦點為,的周長為：,當且僅當三點共線時，等號成立，故D正確，故選：BCD.4．（2024·浙江·模擬預(yù)測）曲線的法線定義：過曲線上的點，且垂直于該點處切線的直線即為該點處的法線.已知點是拋物線上的點，是的焦點，點處的切線與軸交于點，點處的法線與軸交于點，與軸交于點，與交于另一點，點是的中點，則以下結(jié)論正確的是（

）A．點的坐標是B．的方程是C．D．過點的的法線（包括）共有兩條【答案】BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，進而確定切線方程判斷A，利用法線的定義判斷B，利用兩點間距離公式判斷C，分類討論判斷D即可.【詳解】對A，將點代入，得，則，當時，故的方程為，令，則點的坐標是，故A錯誤；對B，的方程為，整理得，故B正確；對C，易得與軸的交點的坐標為，與軸的交點的坐標為，聯(lián)立，解得或.與的另一個交點的坐標為，則，故C正確；對D，易得點的坐標為，設(shè)點為拋物線上一點，當是原點時，處的法線為軸，顯然不過點，當點不是原點時，則處的法線方程為，將點代入得，，又，則，故或過點的的法線（包括）共有兩條，故D正確.故選：BCD5．（2024·遼寧·一模）在平面直角坐標系中，拋物線：的焦點為，點在拋物線上，點在拋物線的準線上，則以下命題正確的是（

）A．的最小值是2B．C．當點的縱坐標為4時，存在點，使得D．若是等邊三角形，則點的橫坐標是3【答案】ABD【分析】A選項，求出及準線方程，由拋物線定義得到，當與點重合時，取的最小值，當與點重合時，取得最小值，得到答案；B選項，在A選項基礎(chǔ)上得到；C選項，求出，假設(shè)存在點，使得，則點為直線與準線的交點，求出直線的方程，得到，求出；D選項，得到，由拋物線定義得到點與點重合，由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合得到，從而求出點的橫坐標.【詳解】A選項，由題意得，準線方程為，設(shè)準線與軸交點為，過點作⊥拋物線的準線，垂足為，由拋物線定義可知，，則，故當與點重合時，取的最小值，顯然，當與點重合時，取得最小值，最小值為，故的最小值為2，A正確；

B選項，由A選項知，當點與點重合時，等號成立，故B正確；C選項，當點的縱坐標為4時，令中的得，，故，假設(shè)存在點，使得，則點為直線與準線的交點，直線的方程為，即，中，令得，故點，此時，此時，C錯誤；D選項，若是等邊三角形，則，

因為，所以，即點與點重合，則⊥軸，則，又，則，所以，故點的橫坐標是，D正確；故選：ABD6．（2024·遼寧·一模）已知拋物線的焦點為，為坐標原點，傾斜角為的直線過點且與交于，兩點，若的面積為，則（

）A．B．C．以為直徑的圓與軸僅有個交點D．或【答案】AC【分析】設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，由求出，即可判斷A，再由弦長公式求出即可判斷B，利用拋物線的幾何意義判斷C，求出、，由即可判斷D.【詳解】依題意，設(shè)直線，，，由，整理得，則，所以，，所以，解得，所以，又，解得，所以，又，所以，故A正確；因為，故B錯誤；因為，又線段的中點到軸的距離為，所以以為直徑的圓與軸相切，即僅有個交點，故C正確；因為，若，則，解得或；若，則，解得或；即、或、，所以或，故D錯誤.故選：AC7．（2024·黑龍江吉林·二模）已知拋物線C：，焦點為F，直線與拋物線C交于A，B兩點，過A，B兩點作拋物線準線的垂線，垂足分別為P，Q，且M為的中點，則（

）A． B．C．梯形的面積是16 D．到軸距離為3.【答案】BD【分析】先判斷得直線經(jīng)過點，再聯(lián)立直線與拋物線方程，得到，進而得到，從而判斷AD，利用兩點求斜率與直線垂直時斜率之積為可判斷B，分別求得，結(jié)合梯形的面積公式可判斷C.【詳解】對于A，由題意得，則直線經(jīng)過點，聯(lián)立，消去，得，設(shè)，則，則，所以，故A錯誤；對于B，由題意得，所以，所以，故B正確；對于C，由題意可得，，所以梯形的面積是，故C錯誤；對于D，因為，所以到軸距離為3，故D正確.故選：BD.8．（2024·山西臨汾·一模）設(shè)是坐標原點，拋物線的焦點為，點，是拋物線上兩點，且.過點作直線的垂線交準線于點，則（

）A．過點恰有2條直線與拋物線有且僅有一個公共點B．的最小值為2C．的最小值為D．直線恒過焦點【答案】BC【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷A選項；根據(jù)得到，然后利用點斜式寫直線的方程即可得到定點，即可判斷D選項；利用韋達定理和弦長公式得到，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值，即可判斷C選項；根據(jù)題意得到點的軌跡，然后求最小值，即可判斷B選項.【詳解】由拋物線的性質(zhì)可知，過點會有3條直線與拋物線有且僅有一個公共點，其中2條直線與拋物線相切，1條斜率為零的直線與拋物線相交，故A錯；設(shè)，，因為，所以，解得，若，則或，此時,當時，直線的方程為，所以直線恒過定點，故D錯；設(shè)直線：，聯(lián)立得，，則，，，所以當時，最小，最小為，故C正確；因為，所以直線為，聯(lián)立得，則，即為準線上的動點，所以當點為時，最小，為2，故B正確.故選：BC.9．（2024·廣東湛江·一模）已知拋物線C：的焦點為F，過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點，設(shè)直線l的斜率為k，則下列選項正確的有（

）A．B．若以線段AB為直徑的圓過點F，則C．若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則D．若以線段AB為直徑的圓與x軸相切，則該圓必與拋物線C的準線相切【答案】ABC【分析】聯(lián)立直線l與拋物線消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判斷A；利用韋達定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦長公式可得弦長可判斷B；若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則解出，再用弦長公式可得弦長可判斷C；由，可得無解可判斷D.【詳解】設(shè)，直線的方程為，，的中點為，由消去并整理得：，得，由題意，，所以，即，所以，則，故A正確；以線段為直徑的圓過點，所以，所以，又，所以，，解得滿足題意.由，得，所以B正確；若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則，又，所以，解得：，所以，故C正確；若以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切，則，即，又，所以無解，所以D錯誤.

故選：ABC.10．（2024·湖南長沙·一模）某彗星的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓.測得軌道的近日點（距離太陽最近的點）與太陽中心的距離為，遠日點（距離太陽最遠的點）與太陽中心的距離為，并且近日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上，則（

）A．軌道的焦距為 B．軌道的離心率為C．軌道的短軸長為 D．當越大時，軌道越扁【答案】BC【分析】根據(jù)條件得到，，再對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，解得，，對于選項A，因為軌道的焦距為，所以選項A錯誤，對于選項B，因為離心率為，所以選項B正確，對于選項C，因為軌道的短軸長為，所以選項C正確，對于選項D，因為，則越大時，離心率越小，則軌道越圓，所以選項D錯誤，故選：BC.11．（2024·湖南常德·三模）過點的直線交拋物線于兩點，線段的中點為，拋物線的焦點為，下列說法正確的是（

）A．以為直徑的圓過坐標原點B．C．若直線的斜率存在，則斜率為D．若，則【答案】ABC【分析】設(shè)，，，將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，利用韋達定理求出，進而得到，代入各選項求解即可.【詳解】由題意可知直線斜率不為，設(shè)，，，聯(lián)立得，則，，，，因為，所以，以為直徑的圓過坐標原點，A說法正確；，B說法正確；因為為線段中點，所以，若直線的斜率存在，則，直線的斜率，C說法正確；若，則，由拋物線的定義可得，D說法錯誤；故選：ABC12．（2024·山東濟南·一模）已知橢圓：的兩個焦點分別為，，是C上任意一點，則（

）A．的離心率為 B．的周長為12C．的最小值為3 D．的最大值為16【答案】BD【分析】首先分析題意，利用橢圓性質(zhì)進行逐個求解，直接求出離心率判斷A，利益橢圓的定義求出焦點三角形周長判斷B，舉反例判斷C，利用基本不等式求最大值判斷D即可.【詳解】由橢圓得則所以，故A錯誤;易知的周長為故B正確；當在橢圓長軸的一個端點時，取得最小值，最小值為，故C錯誤；由基本不等式得，當且僅當時取等，則取得最大值16，故D正確.故選：BD.13．（2024·福建·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為F，準線交x軸于點D，過F的直線交C于A，B兩點，AF的中點M在y軸上的射影為點N，，則（）A． B．∠ADB是銳角C．是銳角三角形 D．四邊形DFMN是菱形【答案】ABD【分析】設(shè)出點，，由題意分析可知三角形為正三角形，聯(lián)立方程組，解出點的坐標，逐項判斷即可.【詳解】由拋物線，可知，，設(shè)點，，則，所以，而，所以，所以，所以三角形為正三角形，所以，又軸，所以，，則，所以，，，所以直線的方程為：，聯(lián)立方程，可得，所以，則，所以，所以，故A正確；，且，，所以四邊形DFMN是菱形，故D正確；由于以為直徑的圓與準線相切，點在圓外，所以∠ADB是銳角，故B正確；，，，所以，，所以，所以為鈍角，所以是鈍角三角形，故C錯誤.故選：ABD.14．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知拋物線E：的焦點為F，點F與點C關(guān)于原點對稱，過點C的直線l與拋物線E交于A，B兩點（點A和點C在點B的兩側(cè)），則下列命題正確的是（

）A．若BF為的中線，則B．若BF為的角平分線，則C．存在直線l，使得D．對于任意直線l，都有【答案】ABD【分析】首先設(shè)直線的方程，并聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達定理，再根據(jù)各項描述，拋物線的定義，即可判斷選項.【詳解】設(shè)題意，設(shè)，不妨令，都在第一象限，，，

聯(lián)立，則，且，即，所以，，則，，如上圖所示，A.若為的中線，則，所以，所以，故，所以，則，則，故A正確；B.若為的角平分線，則，作垂直準線于，則且，所以，即，則，將代入整理，得，則，所以，故B正確；C.若，即，即為等腰直角三角形，此時，即，所以，所以，所以，所以，則此時為同一點，不合題設(shè)，故C錯誤；D.，而，結(jié)合，可得，即恒成立，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標運算.15．（2024·江蘇宿遷·一模）已知正方體的棱長為分別為棱的點，且，若點為正方體內(nèi)部（含邊界）點，滿足：為實數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．點的軌跡為菱形及其內(nèi)部B．當時，點的軌跡長度為C．最小值為D．當時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【分析】由空間向量基本定理，共線定理和線面角的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，因為，由空間向量基本定理可知，所以在菱形內(nèi)，A正確；對于B，取上一點，使得，連接，，易證四邊形和四邊形是平行四邊形，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，當時，,所以，即，在線段上，的軌跡長度為線段的長，即為，B正確；對于C，由知，在菱形內(nèi)，所以的最小值即為點到平面的距離，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，可得設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以到平面的距離為：，故C錯誤；對于D，當時，,分別取的中點，連接，在線段上，，所以，可得，平面的法向量為，，設(shè)與面所成角為，所以，設(shè)，因為，則，則代入化簡可得，當時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，D正確．故選：ABD．【點睛】方法點睛：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：（1）立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動態(tài)角的范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；（2）對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；（3）對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.16．（2024·江蘇宿遷·一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線為拋物線上兩點下列說法正確的是（

）A．若直線過點，則面積的最小值為2B．若直線過點，則點在以線段為直徑的圓外C．若直線過點，則以線段為直徑的圓與直線相切D．過兩點分別作拋物線的切線，若兩切線的交點在直線上，則直線過點【答案】AC【分析】設(shè)出的方程為，代入拋物線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，求得中點的橫坐標和中點到準線的距離，以及面積表達式，可判斷AC；設(shè)出的方程為，代入拋物線的方程由可判斷B；設(shè)直線的方程為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程求出交點P坐標，結(jié)合韋達定理即可判斷D．【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，設(shè)，對AC選項：設(shè)的方程為，代入拋物線，可得，易知，，，故,當?shù)忍柍闪?，故A正確；而，則弦長，設(shè)的中點為，到準線的距離為，所以以為直徑的圓與準線相切，故C正確；對B選項：又設(shè)的方程為，代入拋物線可得，易知，，，，則點在以線段為直徑的圓上，B錯誤；對D選項：不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，則，則點處切線斜率，，則點處切線斜率，則點處切線方程為，同理點處切線方程為，聯(lián)立兩直線求得交點橫坐標為，故，設(shè)直線的方程為，代入拋物線可得，則，故（負值舍去），即直線的方程為，則直線過點，故D錯誤.故選：AC.17．（2024·重慶·一模）已知為坐標原點，拋物線的焦點為，、是拋物線上兩個不同的點，為線段的中點，則（

）A．若，則到準線距離的最小值為B．若，且，則到準線的距離為C．若，且，則到準線的距離為D．若過焦點，，為直線左側(cè)拋物線上一點，則面積的最大值為E．若，則到直線距離的最大值為【答案】ACDE【分析】對于選項A，由可以判斷，對于選項BC，設(shè)、，由條件求出的值即可；對于選項D，首先求出直線的方程，然后過點的直線平行于且與拋物線相切時，點到直線的距離最大，此時的面積最大，然后算出答案即可，對于選項E，由條件求出直線恒過定點即可判斷.【詳解】選項A，記拋物線的準線為，當不過點時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，當過點時，，設(shè)點、、到直線的距離分別為、、，所以，故選項A正確；選項BC，設(shè)、，則，，由可知，，即，整理得，又，所以，所以到準線的距離為，故選項B錯誤C正確；選項D，因為過焦點，，所以，則．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，所以，所以，可得．根據(jù)圖形的對稱性，不妨設(shè)，因為為直線左側(cè)拋物線上一點，由圖象易知當過點的直線平行于且與拋物線相切時，點到直線的距離最大，此時，的面積最大．令，易知此時點在拋物線上方，其對應(yīng)的函數(shù)解析式為，則，解得，則，所以點到直線的距離，此時，故選項D正確；選項E，令、，因為，所以，即．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，所以，解得，所以直線的方程為，即直線恒過定點，易知當時，點到直線的距離最大，最大值為，故選項E正確；故選：ACDE.【點睛】方法點睛：拋物線定義的兩種應(yīng)用：（1）實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線的定義可以實現(xiàn)點與點之間的距離與點到準線的距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題；（2）解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.18．（2024·山西晉城·一模）雙曲線的左、右焦點分別為，，為的右支上一點，分別以線段，為直徑作圓，圓，線段與圓相交于點，其中為坐標原點，則（

）A．B．C．點為圓和圓的另一個交點D．圓與圓有一條公切線的傾斜角為【答案】BCD【分析】由中點中位線性質(zhì)判斷AB；由圓與圓關(guān)系及切線性質(zhì)求得判斷CD.【詳解】的方程可化為，可得，，．由為的中點，為的中點，得，A錯誤．由為的中點，為的中點，得，則，B正確．設(shè)點為圓和圓的另一個交點，連接，由軸，可得，為的中位線，則直線平分線段，則點必在軸上，可得點的坐標為，C正確．如圖，若為圓與圓的一條公切線，，為切點，連接，，過點作，垂足為．由，，得，可得，由軸，且，可得公切線的傾斜角為，D正確．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查雙曲線與圓的綜合應(yīng)用，利用圓與圓位置關(guān)系求解D是關(guān)鍵.19．（2024·山西運城·一模）拋物線的焦點為，、是拋物線上的兩個動點，是線段的中點，過作準線的垂線，垂足為，則（

）A．若，則直線的斜率為或B．若，則C．若和不平行，則D．若，則的最大值為【答案】ABD【分析】設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出的值，可判斷A選項；利用拋物線的焦點弦公式可判斷B選項；利用三角形三邊關(guān)系可判斷C選項；利用余弦定理、基本不等式可判斷D選項.【詳解】易知拋物線的焦點為，對于A選項，若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，因為，則在直線上，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達定理可得，，因為，即，可得，即，所以，，可得，，解得，此時，直線的斜率為，A對；對于B選項，當時，則在直線上，，則，B對；對于C選項，當和不平行時，則、、三點不共線，所以，，C錯；對于D選項，設(shè)，，當時，，由C選項可得，所以，，即，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，D對.故選：ABD.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．20．（2024·廣東廣州·二模）雙曲線具有如下性質(zhì)：雙曲線在任意一點處的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.設(shè)為坐標原點，雙曲線的左右焦點分別為，右頂點到一條漸近線的距離為2，右支上一動點處的切線記為，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的離心率為C．當軸時，D．過點作，垂足為【答案】ACD【分析】由題意求出b的值，即可求得雙曲線漸近線方程，判斷A；根據(jù)離心率定義，求出離心率，判斷B；利用雙曲線定義可判斷C；由題意結(jié)合角平分線性質(zhì)推出，K為的中點，進而結(jié)合三角形中位線以及雙曲線定義求得，判斷D.【詳解】對于A，由雙曲線可知，右頂點，其漸近線方程為，右頂點到一條漸近線的距離為2，不妨取漸近線，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為，A正確；對于B，由于，故雙曲線的離心率為，B錯誤；對于C，，當軸時，將代入中，得，即得，由于P在雙曲線右支上，故，C正確；對于D，連接并延長交的延長線于E，由題意知，為的角平分線，結(jié)合，可知，K為的中點，而O為的中點，故，D正確，故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了雙曲線知識的綜合應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是選項D的判斷，解答時要結(jié)合題中所給性質(zhì)，利用角平分線性質(zhì)推出K為的中點，即可結(jié)合雙曲線定義求得答案.21．（2024·河北·一模）已知，是雙曲線C：的左、右焦點，，為C右支上一點，，的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為r，直線PE與x軸交于點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．D．若的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為【答案】ACD【分析】利用切線性質(zhì)，判斷A，利用內(nèi)切圓的半徑表示三角形的面積，即可判斷B，利用角平分線定理和焦半徑公式，結(jié)合判斷C，根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次方程，即可判斷D.【詳解】A.如圖，作，，，根據(jù)切線長定理，，，，又，所以，，所以，即，故A正確；B.因為，，所以，解得：，，所以，故B錯誤；C.由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，為角平分線，則，即，整理為，即，所以，由A選項的證明可知，，即，故C正確；D.若的內(nèi)切圓與軸相切，則，則由選項AB知，，即，則，即，或（舍），所以雙曲線C的離心率為，故D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用切線長的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，判斷.22．（2024·廣東江門·一模）已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．隨著增大而減小B．曲線的橫坐標取值范圍為C．曲線與直線相交，且交點在第二象限D(zhuǎn)．是曲線上任意一點，則的取值范圍為【答案】AD【分析】首先對、分類討論分別得到曲線方程，畫出曲線圖形，數(shù)形結(jié)合判斷A、B，由雙曲線的漸近線與的關(guān)系判斷C，由點到直線的距離公式得到，即點到直線的距離的倍，求出直線與曲線相切時的值，再由兩平行線將的距離公式求出的最大值，即可判斷D.【詳解】因為曲線，當，時，則曲線為橢圓的一部分；當，時，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；當，時，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；可得曲線的圖形如下所示：由圖可知隨著增大而減小，故A正確；曲線的橫坐標取值范圍為，故B錯誤；因為，所以曲線與直線相交，且交點在第四象限，故C錯誤；因為，即點到直線的距離的倍，當直線與曲線相切時，由，消去整理得，則，解得（舍去）或，又與的距離，所以，所以的取值范圍為，故D正確；故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是分析出曲線的圖形，D選項的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.23．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，，過且傾斜角為的直線與橢圓C交于A，B兩點（點A在第一象限），P是橢圓C上任意一點，則（

）A．a(chǎn)，b滿足 B．的最大值為C．存在點P，使得 D．【答案】ABD【分析】A選項，根據(jù)離心率得到；B選項，設(shè)，，故，計算出；C選項，由橢圓定義及余弦定理，基本不等式得到點P在短軸端點時，最大，且此時，故C錯；D選項，法一：設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，求出，得到結(jié)論；法二：利用橢圓的第二定義進行求解.【詳解】A選項，因為C的離心率，所以，，解得，故A對；B選項，由題意得，設(shè)，則，，因為，，所以，，則，故B對；C選項，設(shè)，，，，則，當且僅當時，等號成立，由于在上單調(diào)遞減，當點P在短軸端點時，最大，且此時，故此時，故C錯；D選項，法一：直線方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立得，因為，所以，，故，故D對.法二：據(jù)橢圓第二定義易知：，其中，即，解得，同理可得.所以成立，故D對.故選：ABD【點睛】結(jié)論點睛：為橢圓上任意一點，為橢圓的焦點，則最大當且僅當為短軸頂點；為橢圓上任意一點，為橢圓的長軸頂點，則最大當且僅當為短軸頂點；為橢圓上任意一點，為橢圓的焦點，若，則橢圓的離心率的取值范圍是.24．（2024·山東菏澤·一模）如圖，過點的直線交拋物線于A，B兩點，連接、，并延長，分別交直線于M，N兩點，則下列結(jié)論中一定成立的有（

）

A． B．以為直徑的圓與直線相切C． D．【答案】ACD【分析】設(shè)出直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理及斜率公式，結(jié)合三角形的面積公式及直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法即可求解.【詳解】對于A，令，聯(lián)立，消可得，則，，，則故，同理，故A正確；對于C，設(shè)與軸交于，，

則，，故C正確；對于D，則，而，所以，故D正確；對于B，中點，即則到直線的距離，以為直徑的圓的半徑，所以，當時相切，當時不相切，故B錯誤.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)出直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理及斜率公式，結(jié)合三角形的面積公式及直線與圓的位置關(guān)系的判斷即可.25．（2024·山東臨沂·一模）已知圓，拋物線的焦點為，為上一點（

）A．存在點，使為等邊三角形B．若為上一點，則最小值為1C．若，則直線與圓相切D．若以為直徑的圓與圓相外切，則【答案】AC【分析】選項A，為等邊三角形需保證，設(shè)定點坐標用兩點間距離公式檢驗即可；選項B，設(shè)定點，將轉(zhuǎn)化為表示，求最小值即可；選項C，由求得點坐標，求得直線所在的直線方程，利用點到直線的距離公式檢驗即可；選項D，設(shè)定點，以為直徑的圓與相外切，需保證，建立關(guān)于的方程，求之即可.【詳解】由已知圓的方程化為，得其圓心，半徑，由于拋物線方程為，其焦點為對于選項A，若為等邊三角形，當且僅當；若點到點的距離為，由拋物線的定義可知，即，代入拋物線方程可得，，故A正確；對于選項B，因為點在拋物線上，為上一點，，由于為上，設(shè)，且，則，當且僅當時，原式取得最小值，的最小值，故B不正確；對于選項C，設(shè)，且，若，即，得，解得，所以此時，不妨取，，此時直線的方程為：，即，則圓心到該直線的距離為，所以此時直線與圓相切，同理可證明的情形也成立，故C正確；對于選項D，設(shè)的中點為，若以為直徑的圓與相外切時，只需保證，設(shè)，且，，得，得方程：（*），其中，反解得：代入上式，化簡可得：，顯然，故D不正確.故選：AC.【點睛】客觀題圓錐曲線的綜合性問題，多數(shù)考查數(shù)形結(jié)合思想，要善于借助圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化條件和問題.26．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與交于A，B兩點，以線段為直徑的與的準線相切于點，則（

）A．直線的方程為 B．點的坐標為C．的周長為 D．直線與相切【答案】AC【分析】A選項，根據(jù)題意得到拋物線方程，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)列出方程，求出，得到直線方程；B選項，求出點的縱坐標為，從而代入求出橫坐標，得到B正確；C選項，由焦點弦公式得到，求出的半徑和周長；D選項，利用圓心到直線距離公式和半徑相比，得到答案.【詳解】A選項，依題意，拋物線的準線方程為，即，所以，即拋物線的方程為，則拋物線的焦點為.設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立消去整理得恒成立，則，則，，又因為線段為的直徑，與的準線相切于點，所以，整理得，即，即，解得，所以直線的方程為，所以A正確；B選項，因為垂直于準線，且，所以點的縱坐標為，代入直線的方程，即，解得，可得點，所以B錯誤；C選項，根據(jù)拋物線的定義可得，所以的半徑為，所以的周長為，所以C選項正確；D選項，圓心到直線的距離為，所以直線與相交，不相切，所以D錯誤.故選：AC.【點睛】結(jié)論點睛：拋物線的相關(guān)結(jié)論，（1）中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切；（2）中，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則以為直徑的圓與軸相切，以為直徑的圓與準線相切.27．（2024·福建漳州·一模）已知雙曲線：（）的左、右焦點分別為，，直線：與雙曲線的右支相交于A，兩點（點A在第一象限），若，則（

）A．雙曲線的離心率為 B．C． D．【答案】AB【分析】設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得，，，利用余弦定理結(jié)合，，進而可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，因為直線：，可知直線過右焦點，斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，設(shè)，由，可得，，，故B正確；在中，可知，由余弦定理可得：，即，解得或（舍去），可得雙曲線的離心率為，，故A正確，D錯誤；在中，可知，由余弦定理，即，解得，故C錯誤；故選：AB.【點睛】方法點睛：1．橢圓、雙曲線離心率（離心率范圍）的求法，求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．2.焦點三角形的作用，在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．28．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，過點且傾斜角為的直線順次交兩條漸近線和的右支于，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．離心率為B．C．D．【答案】BC【分析】對于A項，聯(lián)立直線方程與直線方程、直線方程可求得點、點坐標，由，可知為中點，結(jié)合中點坐標公式可得的值