2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-定角定高（專項(xiàng)訓(xùn)練）（原卷版+解析）

05定角定高(專項(xiàng)訓(xùn)練)

1.(2023?雁塔區(qū)校級(jí)二模)如圖，在四邊形A3CD中，AB=AD=CD=4,AD

乙6=60°,點(diǎn)E、R分別為邊3C、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NE4R=60°,

則的面積的最小值是.

2.(2023春?和平區(qū)期中)如圖，四邊形A3CD中，ZBAD=135°,48=60°,

ZD=120°,AD=5,AB=6,E、R分別為邊3c及射線CD上的動(dòng)點(diǎn)，Z

EAF=45°,ZVIER面積的最小值.

3.【問題提出】

(1)如圖①，已知點(diǎn)A是直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)5,C均在直線/上，于點(diǎn)

。且AD=4,ZBAC=45°.求3c的最小值；

【問題探究】

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，ZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD

=2,點(diǎn)E,R分別為A3,AD上的點(diǎn)，且CELCE求四邊形AEB面積的

最大值；

【問題解決】

(3)如圖③，某園林對(duì)一塊矩形花圃ABCD進(jìn)行區(qū)域劃分，點(diǎn)K為3C的中

點(diǎn)，點(diǎn)”，N分別為A3,DC上的點(diǎn)，且NMKN=120°,MK,?V將花圃分

為三個(gè)區(qū)域.已知AB=7機(jī)，BC=12m,現(xiàn)計(jì)劃在和中種植甲

花，在其余區(qū)域種植乙花，試求種植乙花面積的最大值.

D

圖①

4.(2023?渭濱區(qū)二模)問題提出

(1)如圖①，已知線段A3,請(qǐng)以A3為斜邊，在圖中畫出一個(gè)直角三角形；

(2)如圖②，已知點(diǎn)A是直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)3、C均在直線/上，且

AD=3,NA4c=60°,求△ABC面積的最小值；

問題解決

(3)如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，

在四邊形A3CD中，ZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=6m,點(diǎn)、E、F

分別為A3、AD上的點(diǎn)，若保持CELCE那么四邊形AECR的面積是否存在

最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖①圖②圖③

05定角定高（專項(xiàng)訓(xùn)練）

1.（2023?雁塔區(qū)校級(jí)二模）如圖，在四邊形A3CD中，AB=AD=CD=4,AD

〃3C,乙6=60°,點(diǎn)E、R分別為邊3C、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NE4R=60°,

則△AER的面積的最小值是.

【答案】473

【解答】解：將△ADR繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至必43〃,

由旋轉(zhuǎn)得：BM=DF,AM=AF,NA3航=/。=120°,ZMAB=ZFAD,

VZABC=60°,

AZABM+ZABC=1S0°,

：.M,B、E共線，

ZMAE=ZMAB+ZBAE=ZFAD+ZBAE=60°,

Z￡AF=60°,AE^AE,

.".AFAE^AMAE(SAS),

ZMEA=ZFEA,

過A作AH±BC于H,作AK±EF于K,

AH=AK=AB,sin60°=2?,

作△AEP的外接圓O。，連接。4、OE、OF,

過。作ON1EF于N,

,：ZEAF=6Q°,

AZEOF=120°,

AZNOF=60°,

設(shè)ER=2x,則NF=x,

RtaONF中，ON=?x,0F=R&X,

33

ON+OA=OF+ON=g,

'：OA+ON^AK,

:.Mx沁如,

???SAA￡F=■^EF*AK=2x?2^3=2百xN4百，

...AAEF面積的最小值是473.

2.（2023春?和平區(qū)期中）如圖，四邊形A3CD中，ZBAD=135°,ZB=60°,

ZD=120°,AD=5,AB=6,E、R分別為邊3c及射線CD上的動(dòng)點(diǎn)，Z

EAF=45°,ZVIER面積的最小值.

【答案】挈

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AML5C于M,過點(diǎn)E作于H,AN

LCD,交CD的延長線于N,

AZBAM=3Q°,

AM—3y13,

VZADC=120°,

AZADN=60°,

AZNAD=30°,

.\DN=1AD=^-,AN=^-,

222

VZBAD=135°,ZEAF=45°,ZBAM=3Q°,

AZMAE+ZDAF^60°,

又；ZADN=ZDAF+ZDFA=60°,

ZMAE=ZAFD,

又,：/AME=/N=90°,

...AAFNsAEAM,

???AE-ME,

AFAN

設(shè)ME=x,則AE=1yAM2+蹉2=427+*2,

：.AF=^-=,

ME

VZ￡AF=45°,HE±AF,

：.HE=亞AE=亞XJ27+2,

22v

...△4后/面積=1*4R><“石=^^><()=sVlx(2L+),

288x

?.?當(dāng)a,。為正數(shù)時(shí)，(。-。)220,

.14+/=2ab,

：.Z\AM面積一5娓義(27+p*娓X2XJ2Lp",

8x8Vx

...AAEF面積的最小值為駕巨，

4

故答案為駕反.

4

3.【問題提出】

(1)如圖①，已知點(diǎn)A是直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)3,。均在直線/上，A。，/于點(diǎn)

。且AD=4,ZBAC=45°.求3c的最小值；

【問題探究】

(2)如圖②，在四邊形A3CD中，ZA=45°,ZB=ZD=9Q°,CB=CD

=2,點(diǎn)E,R分別為A3,AD上的點(diǎn)，且CELCE求四邊形AECR面積的

最大值；

【問題解決】

(3)如圖③，某園林對(duì)一塊矩形花圃A3CD進(jìn)行區(qū)域劃分，點(diǎn)K為的中

點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別為A3,DC上的點(diǎn)，且NM?V=120°,MK,?V將花圃分

為三個(gè)區(qū)域.已知A3=7m,BC=12m,現(xiàn)計(jì)劃在和中種植甲

花，在其余區(qū)域種植乙花，試求種植乙花面積的最大值.

【解答】解：(1)如圖①中，作△ABC的外接圓O。，連接OA.OB、0C,

過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,則OA=OB=OC,BE=CE=1

2

AZBOC=90°,ZOBC=ZOCB=45°

設(shè)OA=OB=OC=r,

則OE=J^-r,BC=2BE=Q,

'：AO+OE^AD,AD=4,

r+^-^-r^4,

2

解得：8+4^2?

:.BC=近48近+8,

.?.3C最小值為8A/2+8

VSAABC=1BCMD,

2

.,.△ABC面積的最小值為：-lx(872+8)X4=16&+16；

(3)分別延長AB、DC交于點(diǎn)M,如圖②所示：則△ADM、△CBA/均為等

腰直角三角形，

"：CB=CD=2,

：.BM=2,CM=2如,AD=DM=2+2近,

=2222

???S四邊形ABCQ=SaADMiS/^CBMIDM-1BC=1X(2+2A/2)-1X2=4+4

2222

加，

VZBCD=360°-ZA-ZCDA-ZCBA=360°-45°-90°-90°=

135°,

.?.將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到△CDE',則4、。、三點(diǎn)共線，

S四邊形AECF=S四邊形ABCD-(SACB￡+5ACDF)-S四邊形ABCD-SACE1F,

S四邊形ABCD為定值，

，當(dāng)S”F取得最小值時(shí)，S四邊形AEB取得最大值，

VZE'CF=135°-90°=45°,

??.以E'R為斜邊作等腰RtZXOE'E則△CE'R的外接圓是以點(diǎn)。為圓心，

OF長為半徑的圓，過點(diǎn)0作0UDF于點(diǎn)J.

設(shè)△CE'尸的外接圓半徑為〃72,則E'F=42r,

又,：0J+0C2CD,

...衛(wèi)工廠+廠三2,

2

.,.廠三4-2加,

當(dāng)點(diǎn)。在CD上時(shí)，E'尸最短，此時(shí)F=?r=4如-4,

??SACE'F最小=*(4a-4)X2=4a-4,

S四邊形AEC尸最大=S四邊形43CD-S/\CE'尸最小=4+4近-(4&-4)=8.

(3)如圖③中，將△BKM繞點(diǎn)K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△KCM',此時(shí)N,C,M'

共線，作△KMVT的外接圓O。，連接OK,ON,OM',過點(diǎn)。作0H1NM，

于點(diǎn)H.

'：OK+OH^KC,

r+—r^6,

2

/.尸24,

：.NM'三亞=4正，

：./\KNM'的面積的最小值為/X4%X6=12?(m2),

4BMK的面積+ZXKCN的面積的最小值為12如,

五邊形AMKND的面積的最大值=7X12-12我=(84-12?)(m2),

，種植乙花面積的最大值為(84-12V3)(m2).

4.(2023?渭濱區(qū)二模)問題提出

(1)如圖①，已知線段A3,請(qǐng)以A3為斜邊，在圖中畫出一個(gè)直角三角形;

(2)如圖②，已知點(diǎn)A是直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)3、C均在直線/上，A。，/且

AD=3,NB4c=60°,求△ABC面積的最小值；

問題解決

(3)如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，

在四邊形A3CD中，ZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=6m,點(diǎn)、E、F

分別為A3、AD上的點(diǎn)，若保持CELCR那么四邊形AECR的面積是否存在

最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)以為直徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、5重合)

C,連接AC、BC,如圖①所示：

則NAC3=90°,

ARtAACB即為所求；

(2)i^AABC的外接圓O。，連接。4、OB、0C,過點(diǎn)0作于點(diǎn)E,

如圖②所示：

則NBOC=2NB4C,OA=OB=OC,BE=CE=^BC,

2

VZBAC=6Q°,

：.NBOC=120°,ZOBC=ZOCB=30°,

設(shè)OA^OB=OC^r,

則OE=lr,BC=2BE=Mr,

2

'：AO+OE^AD,AD=3,

r+—r^3,

2

解得：檜2,

.,.BC最小值為2?,

"：S^ABC=^BC'AD,

2

.,.△ABC面積的最小值為：工X2我X3=3?；

2

(3)四邊形AECE的面積存在最大值，理由如下：

分別延長A3、DC交于點(diǎn)”，如圖③所示：

則△ADM、均為等腰直角三角形，

"：CB=CD=6m,

:.BM=6m,CM=6y/2m,AD—DM—(6+6&)m,

，S四邊形ABCD=SAADM-SACBM=LDM2-13c2=_Lx(6+6^2)2~Ax62=

2222

(36+36V^)/，

V