2024年高考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編：數(shù)列（原卷版）（廣東專用）

專題08數(shù)列

題型01等差數(shù)列

1.（2024下?廣東?百校聯(lián)考）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和是S“，且％=5,則岳5=.

2.（2024下?廣東?梅州市一模）在3與15之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的3

個數(shù)之和為（）

A.21B.24C.27D.30

3.（2024下?廣東?廣州市二中模擬）已知等差數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn,a4+?i2=34,S19=399,則

數(shù)列｛%｝的公差是（）

A.2B.3C.-5D.5

4.（2024下?廣東?梅州市一模）設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列.已知％=4=4,&=4+1，

4二2a3-4.

（1）求｛%｝和｛4｝的通項公式;

⑵數(shù)列｛4｝和也｝的項從小到大依次排列（相等項計兩項）得到新數(shù)列｛4｝,求｛%｝的前50

項的和.

5.（2024下?廣東?茂名市一模）設(shè)5”為數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知］是首項為:、公

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差為工的等差數(shù)列.

3

（1）求｛4｝的通項公式；

（2n—\\an6W—1

（2）令b“=\~1，，（為數(shù)列也｝的前“項積，證明：-----.

S”；=15

6.（2024下?廣東?深圳市一模）設(shè)Sg為數(shù)列｛%｝的前"項和，已知名=4,S4=20,且為

等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

⑵若數(shù)列也｝滿足4=6，且駕=，設(shè)7；為數(shù)列也｝的前〃項和，集合M=何eN*｝,

an+2I）

求M（用列舉法表示）.

題型02等比數(shù)列

1.（2024下廣東?江門一模）已知｛4｝是等比數(shù)列，a3a5=8%，且。2，&是方程x2-34x+掰=0

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兩根，則加=（）

A.8B.-8C.64D.-64

2.（2024下廣東?廣州市一模）記S“為等比數(shù)列｛a“｝的前〃項和，若則*（）

A.5B.4C.3D.2

（）+1,〃為奇數(shù)

3.（2024下?廣東?佛山禪城一模）已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,%+1=/年/田魴，且

為偶數(shù)

a

bn~。2〃+1-2n-l-

（1）證明也｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列也｝的通項公式；

（2）設(shè)~且數(shù)列｛g｝的前〃項和為北，證明：當(dāng)〃之2時，

b及+1—3

4.（2024下?廣東?梅州市一模）已知數(shù)列｛4｝和｛4｝,其中4=2"”，〃eN*，數(shù)列｛4+4｝的

前〃項和為S".

（1）若%=2〃，求5“；

（2）若｛〃｝是各項為正的等比數(shù)列，Sn=3n,求數(shù)列｛%｝和｛4｝的通項公式.

題型03數(shù)列通項公式

1.（2024下?廣東?東莞模擬）在數(shù)列｛4｝中，q=3,且％,+1=3%+4〃—6（〃eN*）,則｛%｝的

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通項公式為.

2.（2024下?廣東?佛山禪城一模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項之積為滿足%+27；=1（〃EN*），則

°2024二（）

1011101140474048

1012101340494049

3.（2024下?廣東惠州?模擬）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項之積為小滿足%+21=1（〃￡N*）,則出。24=（）

40474048

40494049

1

eN*

4.（2024下?廣東?茂名市一模）數(shù)列｛%｝滿足％=8,an+l='彳（〃），4=—+2

net"+1n

n\Un

若數(shù)列也｝是遞減數(shù)列，則實數(shù)力的取值范圍是（）

—,+00

?I7，J,I8，J）'18?）

題型04數(shù)列前n項和

S+9

1.（2024下?廣東?廣州市一模）已知數(shù)列｛4｝的前“項和=〃2+”，當(dāng)季一取最小值時,

an

n=.

cccxk/左雨川木+甘、3+33+333H-----F333,--3=

2.（2024下?廣東?梅州市一模）'v'.

,、g+2,〃=2左一1*

3.（2024下?廣東?深圳市一模）已知數(shù)列｛4｝滿足%=?=1，4+2=（左eN）,

-an,n=2k

若S”為數(shù)列｛%｝的前〃項和，則850=（）

A.624B.625C.626D.650

4.（2024下?廣東?番禺）已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且成等比數(shù)

列，出?。3=。8?

（1）求數(shù)列｛%｝的前“項和S".

111121

（2）若〃之2,------+――-+—―T+---+-―7^~,求滿足條件的〃的集合.

?2-

1—1d4—13〃-14U

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5.(2024下?廣東?廣州天河區(qū)一模)已知數(shù)列｛%｝中,

111/

a

ax=1,%+—出+—%+???+-%-n+\一1(〃￡N).

23nv7

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

,,+1

⑵令4=2%",記7；為上｝的前〃項和，證明：〃之3時，Tn<??（2-4）.

6.已知數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn,at=1,a2=4,Sn+1+4Sn_x=5Sn(n>2).

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)令6n=廿，求數(shù)列｛%｝的前幾項和7.

°n°n+ln

dK-4--1

3

(2)〃=1—E

7.（2024下?廣東廣州?聯(lián)考）已知數(shù)列｛%｝中，a｝=\,ax+\a,+\a^--■+-an=a?+1-1（?eN,

23n'

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵令b“=2%”，記（為帆｝的前〃項和，證明：心3時，7；<?（2"+1-4）.

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8.（2024下?廣東東莞?聯(lián)考）記S“是等差數(shù)列｛為｝的前〃項和，數(shù)列｛，｝是等比數(shù)列，且滿足

a2=5,54=24,b2=ax-1,65=S3+1.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列｛%｝滿足Cl=1,（%+C?+I）S?=（3M-2地+1（〃eN*）,

（i）求｛g｝的前2〃+l項的和應(yīng)+i；

2M+1

（ii）求ES也+，）.

k=\

題型06數(shù)列新穎題型

1.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在無窮數(shù)列｛%｝中，令T“=a3…冊,若V〃eN*，

則稱｛2｝對前〃項之積是封閉的.

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（1）試判斷：任意一個無窮等差數(shù)列｛4｝對前〃項之積是否是封閉的？

（2）設(shè)｛%｝是無窮等比數(shù)列，其首項q=2,公比為若｛%｝對前〃項之積是封閉的，求出鄉(xiāng)的

兩個值；

（3）證明：對任意的無窮等比數(shù)列｛2｝,總存在兩個無窮數(shù)列也｝和｛%｝,使得

4=4?c“（〃eN*）,其中也｝和｛%｝對前〃項之積都是封閉的.

2.（2024下?廣東?江門一模）將2024表示成5個正整數(shù)為，巧，七，5，毛之和，得到方程

石+/+&+/+/=2024①，稱五元有序數(shù)組（^，/，七送物:^^為方程①的解，對于上述的五元

有序數(shù)組（國,工2，%3，%,毛），當(dāng)時，若0^（西一盯）=/??>1）,則稱（國,工2，工3，5，工5）是

/一密集的一組解.

（1）方程①是否存在一組解（石,%,當(dāng)，％,毛），使得xM~xi1=1，2,3,4）等于同一常數(shù)?若存在，

請求出該常數(shù)；若不存在，請說明理由；

（2）方程①的解中共有多少組是1-密集的？

5

（3）記S=Xx；，問S是否存在最小值?若存在，請求出s的最小值；若不存在，請說明理由.

1=1

3.（2024下?廣東河源?聯(lián)考）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)/（力在x=0處的

〃（“eN*）階導(dǎo)數(shù)都存在時，/（耳=〃0）+〃0b+*^^二^3+-上*先?。鹤ⅲ?/p>

/〃（無）表示〃無）的2階導(dǎo)數(shù)，即為r（x）的導(dǎo)數(shù)，/⑻（X823）表示的〃階導(dǎo)數(shù),該公式也稱

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麥克勞林公式.

(1)根據(jù)該公式估算sin；的值，精確到小數(shù)點后兩位；

Jv4V6v2

⑵由該公式可得：cosx=l-—+-??.當(dāng)X20時，試比較COSX與1—二的大小，并給出證

2!4!6!2

明；

.1____L

⑶設(shè)〃wN*,證明：M(..1>〃4〃+2.

J(n+K)tan----

n+k

4.(2024下?廣東中山?聯(lián)考)記集合5={{?！眪|無窮數(shù)列{%}中存在有限項不為零，〃eN*},對任意

{對}eS,設(shè)變換/({〃“})=%+&x+…+。/"一+…，xeR.定義運算區(qū)：若{%},{，}eS,貝!]

{%}2也}eS,/({%}③也})=/({““}”(也》

⑴若{%}?也}={%}，用%,。2，。3，。4,4也也也表示加4；

⑵證明：({%}⑤也})到％}={%}到也}到c“});

(n+l)2+l171T3-"

...--7——,1<?<1007一,1<?<500(7)(、十口71

⑶右77(H+1)，bn=\[l)，財"}={。“}③也}，證明：d200<-.

0,n>100[0,M>500

5.(2024下?廣東?省一模)數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計算，是計算數(shù)學(xué)的一個重要分支，其主要研

究對象包括向量和矩陣.對于平面向量a=(x,y),其模定義為|a|=^x2+y2.類似地，對于〃行〃列

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、

Cig…Q"(nn、2

的矩陣4,0=，其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂?=YYa2(其中均為矩

a

?31?32/3???3n\

I::::)

陣中第i行第，列的數(shù),Z為求和符號），記作4,我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例

(24)(nn\2t_____________

如對于矩陣42=