2024屆臨沂高三一模數(shù)學(xué)試題含答案

2024屆臨沂一模數(shù)學(xué)試題含答

案

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(模擬)

數(shù)學(xué)2024.3

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫(xiě)在答題

卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡

上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知向量a=(3,m),5=(T,f,若?！╞,則m=

A.lB.-lC.9D.-9

2.已知等差數(shù)列1Qn|的前〃項(xiàng)和為Sn，若\+a刈o(hù)=1,則S20M=

A.1012B.1013C.2024D.2025

3.套虛數(shù)單位i是關(guān)于，的方程ax3+bx2+bx+l=0(a,beR)的一個(gè)根，則la+歷|=

A.OB.lC*.^2D.2

4.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有;的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)

13

lh,這些人近視率約為3,其余學(xué)生的近視率約為》,現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近

2o

視的概率大約是

A.yC.1-

516-58

5.(尹1)2+玲+1尸+(彳+1尸+…+(^+1)1°的展開(kāi)式中含4項(xiàng)的系數(shù)為

A.9B.10C.18D.20

1,x>0,

6.已知函數(shù)sgn(x)=e*。，則“6gn(e*-l)+sgn(F+l)=0”是“％>1”的

.T/<0,

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

c.充要條件b.既不充分也不必要條件

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))

7.在同一平面上有相距14公里的4,3兩座炮臺(tái),4在5的正東方.某次演習(xí)時(shí),4向西偏北

6方向發(fā)射炮彈,8則向東偏北。方向發(fā)射炮彈，其中。為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中

18公里外的同一目標(biāo)，接著/I改向向西偏北萬(wàn)方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)

此則B炮臺(tái)與彈著點(diǎn)M的距離為

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

8.將1到30這30個(gè)正整數(shù)分成甲、乙兩組,每組各15個(gè)數(shù)，使得甲組的中位數(shù)比乙組的中

位數(shù)小2,則不同的分組方法數(shù)是

2

A.2(C；3)2B.2C；3C；4C.2Cf4C；4D.2(C；)

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出初選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

2

9.已知函數(shù)/(*)=T-+a(aeR),則

2—1

A./G)的定義域?yàn)?-8,O)U(O,+oo)

B./G)的值域?yàn)镽

C.當(dāng)a=l時(shí),/(*)為奇函數(shù)

D.當(dāng)a=2時(shí)，/(-%)蟲(chóng)％)=2

10.下列結(jié)論正確的是

A.一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中,若所有樣本點(diǎn)?,%.)都在直線y=O.95x+l上，則這組樣本

數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為0.95

B.已知隨機(jī)變屬§?N(3,4),若；=2刀+1,則D⑴)=1

C.在2x2列聯(lián)表中，若每個(gè)數(shù)據(jù)a,b,c,d均變成原來(lái)的2倍，則犬也變成原來(lái)的2倍

2--------其中n=a+6+c+/,)

(X=-(-a--+--6-)--(認(rèn)c+間〃)(”a+,c)(6+，)'丹(d)

D.分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子,若事件4="第一枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，

8="2枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)相同”，則A,B互為獨(dú)立事件

I.已知圓。：/+/-10%+13=0,拋物線W：y2=4X的焦點(diǎn)為F,P為W上一點(diǎn).

A.存在點(diǎn)P,使APFC為等邊三角形

B.若Q為C上一點(diǎn),則IPQ\最小值為1

C.若IPCI=4,則直線。尸與，相切

D.若以P/為直徑的圓與C相外切，則IP川二22-124

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.集合4=伉|3<1|,則4n=

X

工2V2

13.已知FiE是雙曲線。：/-討=1(<1>0/>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)「(",/)(1>0)在。上，

lan42P=2+萬(wàn),貝UC的離心率為.

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截

得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面,垂直于

截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高.球缺是旋轉(zhuǎn)體,可以看做是球冠和其底所在

的圓面所圍成的幾何體.如圖1,一個(gè)球面的半徑為七球冠的高是隊(duì)球冠的表面積公式

是S=2M,與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是V=jTrh2(3R-h).如圖2,已知C,Z＞是以招

7TT

為直徑的圓上的兩點(diǎn)，4/1。。=乙8。。=彳品形惻=6仃,則扇形COD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一

周形成的幾何體的表面積為，體積為.(本題第一空2分,第二空3分)

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)

已知向量a=(cos允,2sinx),〃=(2cosx,』cosx),函數(shù)f(x)=a-b.

J1IT7T

⑴若/沁)=匚，且％0e(不，了)，求cos24o的值；

(2)將/(%)圖象上所有的點(diǎn)向右平移］個(gè)單位，然后再向下平移1個(gè)單位，最后使所

有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的J，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)/三］時(shí)，解不等式g(%)

，Lo3z

16.(15分)

某學(xué)校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)，其中有一個(gè)“擲骰子贏獎(jiǎng)品”的登臺(tái)階游

戲最受歡迎.游戲規(guī)則如下:拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則一次上三級(jí)

臺(tái)階，否則上二級(jí)臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)參加游戲的學(xué)生位于第8、第9或第10級(jí)臺(tái)階

時(shí)游戲結(jié)束.規(guī)定:從平地開(kāi)始，結(jié)束時(shí)望生位于第8級(jí)臺(tái)階可獲得一本課外讀物，位于第

9級(jí)臺(tái)階可獲得一套智力玩具，位于第10級(jí)臺(tái)階則認(rèn)定游戲失敗.

(1)某學(xué)生拋擲三次骰子后，按游帆則位于第X級(jí)臺(tái)階，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X);

(2)甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，求恰有一人獲得獎(jiǎng)品的概率.

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))

17.(15分)

如圖，在直三棱柱ABC-4向加中，4=8C=2，M=3,點(diǎn)分別在棱A4/Cg上,

AD=2DAi,C]E=2EC,F為的中點(diǎn).

(1)在平面48sAi內(nèi)，過(guò)4作一條直線與平面DEF平行,并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)三棱柱ABC-A.B.C,的體積最大時(shí),求平面DEF與平面ABC夾角的余弦值.

18.(17分)

已知函數(shù)/(x)=x2(lnx+a).

(1)若。=1,求曲線丁=/(4)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)討論/(約的單調(diào)性；

(3)若存在陽(yáng),X2e(0,+ao)，且/<一,使得f(%i)=/(%2)，求證

19.(17分)

動(dòng)圓C與圓C1：(X+2)2+/=50和圓。2：(%-2)2+/=2都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心C的軌跡

為￡

(1)求￡的方程；

(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì):若圓錐曲線的方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,

則曲線上一點(diǎn)(%0，%)處的切線方程為：仇*+8(%7+3)+%尹0(40+4)+玖,()+7)+/=0,試

運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題:點(diǎn)P為直線4=8上一點(diǎn)(p不在4軸上)，過(guò)點(diǎn)P作E的兩條切線

R1,P8,切點(diǎn)分別為4,8.

(i)證明:直線48過(guò)定點(diǎn)；

(ii)點(diǎn)4關(guān)于4軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為4',連接4任交工軸于點(diǎn)M,設(shè)△4。2機(jī)43。2M的面積

分別為加,§2,求IS「SzI的最大值.

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（模擬）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.

如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.

寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知向量,=（3,m）,B=l,g］,若則機(jī)=（）

A.lB.-lC.9D.-9

2.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，若。15+電010=1，則52024=（）

A.1012B.1013C,2024D.2025

3.若虛數(shù)單位i是關(guān)于x的方程加+芯+法+i=o（a,beR）的一個(gè)根，則/+歷卜（）

A.OB.lC.V2D.2

4.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有（的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)lh,這些人近視率

13

約為—，其余學(xué)生的近視率約為-，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是（）

28

1727

A.-B.—C.—D.一

51658

5］之+11+…+〔六+1］的展開(kāi)式中含"項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.9B.10C.18D.20

l,x>0

6.已知函數(shù)sgn(x)=<0,x=0,則“sgn(e%—l)+sgn(—%+1)=0”是“X>1”的.()

—1,x<0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.在同一平面上有相距14公里的A5兩座炮臺(tái)，A在5的正東方.某次演習(xí)時(shí)，A向西偏北。方向發(fā)射炮

彈，3則向東偏北。方向發(fā)射炮彈，其中夕為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著A

n

改向向西偏北一方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)M,則8炮臺(tái)與彈著點(diǎn)”的距離為（）

2

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

8.將1到30這30個(gè)正整數(shù)分成甲、乙兩組，每組各15個(gè)數(shù)，使得甲組的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小2,則不同

的分組方法數(shù)是（）

心仁工B.2cle'C.2叱GlD.2（C"

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

2

9.已知函數(shù)1——+€R）,則（）

2'—1

A.f（x）的定義域?yàn)椋ㄒ唤?）。（0,+“）

Bj（x）的值域?yàn)镽

C.當(dāng)。=1時(shí)，為奇函數(shù)

D.當(dāng)a=2時(shí)，f（-x）+f（x）=2

10.下列結(jié)論正確的是（）

A.一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（玉,外）都在直線y=0.95x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)

系數(shù)為0.95

B.已知隨機(jī)變量J~N（3,4）,若J=2〃+l,則D（〃）=l

C.在2x2列聯(lián)表中，若每個(gè)數(shù)據(jù)a,0,c,d均變成原來(lái)的2倍，則力？也變成原來(lái)的2倍

n(ad—be)?

其中〃=a+6+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

D.分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件4="第一枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)“，8="2枚骰子正面向上

的點(diǎn)數(shù)相同”，則AB互為獨(dú)立事件

11.已知圓。：必+產(chǎn)―10%+13=0,拋物線卬：丁=4%的焦點(diǎn)為為卬上一點(diǎn)（）

A.存在點(diǎn)P,使口PFC為等邊三角形

B.若。為。上一點(diǎn)，則|PQ|最小值為1

C.若歸。=4,則直線PF與C相切

D.若以P尸為直徑的圓與C相外切，則「用=22-12百

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.集合A={x|Igx<1},B=<x—>1>,則AcQB=_________.

-xJ

22、

13.已知耳，鳥(niǎo)是雙曲線。：［—1=1??〉01〉0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在C上.

tan/月心尸=2+G，則C的離心率為.

14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠

的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的

高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1,一個(gè)球面的半徑為R,球冠

的高是人，球冠的表面積公式是5=2兀勵(lì)，與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是V=g彷2(3R—丸).如圖2,已知

7T

C,。是以A3為直徑的圓上的兩點(diǎn)，/4。。=/3。。=§,5扇形00。=6兀，則扇形C。。繞直線A3旋轉(zhuǎn)

一周形成的幾何體的表面積為，體積為(本題第一空2分，第二空3分)

圖1圖2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

已知向量G=(cosx,2sin%),B=(2cosx,Gcosx),函數(shù)=

(1)若/(%)=不，且求cos2%0的值；

(2)將/(x)圖象上所有的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，然后再向下平移1個(gè)單位，最后使所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

6

1TTJT1

來(lái)的萬(wàn)，得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)xe時(shí)，解不等式g(x)》Q(chēng).

16.(15分)

某學(xué)校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)，其中有二個(gè)“擲骰子贏獎(jiǎng)品”的登臺(tái)階游戲最受歡迎游.戲規(guī)則如

下：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則一次上三級(jí)臺(tái)階，否則上二級(jí)臺(tái)階，再重復(fù)以上步

驟，當(dāng)參加游戲的學(xué)生位于第8、第9或第10級(jí)臺(tái)階時(shí)游戲結(jié)束規(guī)定：從平地開(kāi)始，結(jié)束時(shí)學(xué)生位于第8級(jí)

臺(tái)階可獲得一本課外讀物，位于第9級(jí)臺(tái)階可獲得一套智力玩具，位于第10級(jí)臺(tái)階則認(rèn)定游戲失敗

（1）某學(xué)生拋擲三次骰子后，按游戲規(guī)則位于第X級(jí)臺(tái)階，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；

（2）甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，求恰有一人獲得獎(jiǎng)品的概率；

17.（15分）

如圖，在直三棱柱ABC—A蜴￡中，48=80=2,44=3,點(diǎn)RE分別在棱AA，CG上，

AD=2%，GE=2EC,F為耳。的中點(diǎn).

（1）在平面內(nèi)，過(guò)A作一條直線與平面平行，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)三棱柱ABC-A4cl的體積最大時(shí)，求平面與平面ABC夾角的余弦值.

18.（17分）

已知函數(shù)/（x）=x2（lnx+a）.

⑴若a=l,求曲線y=/（x）在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論了⑴的單調(diào)性；

（3）若存在為工2e（°，+°°），且芯＜%2，使得/（%）=/（々），求證：＞&2a+1-

19.（17分）

動(dòng)圓C與圓G：（x+2）2+V=50和圓。2：（x-2）2+y2=2都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心c的軌跡為E.

（1）求E的方程；

⑵已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為及2+28盯+Cy2+2￡）x+2Ey+E=0,則曲線上

一點(diǎn)（%,為）處的切線方程為：Axox+B（xoy+yox）+Cyoy+D（xo+x）+E（yQ+y）+F=Q,試運(yùn)用該性

質(zhì)解決以下問(wèn)題：點(diǎn)P為直線x=8上一點(diǎn)（P不在x軸上），過(guò)點(diǎn)P作E的兩條切線PAPB,切點(diǎn)分別

為A,B.

(i)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；

(ii)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'，連接A'B交x軸于點(diǎn)M,設(shè)口AQ"1的面積分別為鳥(niǎo)刀?，求

⑸―Sz|的最大值.

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（模擬）

數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2024.3

說(shuō)明：

一、本解答只給出了一種解法供參考,如考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要

考查內(nèi)容參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情賦分.

二、當(dāng)考生的解答在某一步出錯(cuò)誤時(shí),如果后繼部分的解答未改該題的內(nèi)容與難度，可

視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確答案應(yīng)得分?jǐn)?shù)一半;如

果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤或又出現(xiàn)錯(cuò)誤，就不再給分.

三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

l.B2.A3.C4.C5.A6.B7.D8.B

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.ACD10.BCD11.AC

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.[1,10）13.收14.36（2+73）TT144TT

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.（13分）

解：（1次￡）=4?>

=2cos2x+273-sinxcosx...........................................1分

=cos2x+1+73"sin2x..............................................3分

=2sin（2x+—）+1,................................................4分

6

因?yàn)榧?sin（2%o+￥）+l=],所以sin（2%0+^）=...............5分

56565

-r—?,"TTTT匕廣>v>TTTT51T

又%o￡（7T），所以2%（）+工￡,

。3O20

7r4,

所以cos（2%o+-^）=.....................................................6分

65

所以cos2%（）=cos（2%o+?一;）...........................................7分

數(shù)學(xué)試題答案第1頁(yè)（共6頁(yè)）

7TTTTTTT

=cos(2%o+--)cos--+sin(2%+--)sin--

66066

3-473

io'.............................8分

[TTITTT

(2)由題意知,g(%)=--(2sin(2(%——)+-)+1_1)=sin(2x——)10分

266o

由g(無(wú))-得,里+2/￡71?2%-工言的+2/￡17,4eZ,

2666

.?.工+而W%0工+而,4￡Z,.......................................................................................11分

62

A八,口rTTrA/t=tr5/77TT

令仁0,傳%w[三，才]，令k=-lxE[--,

o2o2

-ryrITTT「TT"]

乂XG----,---,/.XE.---,---.

6363

故不等式g⑴三;的解集為噂4]..............................................13分

26363

16.(15分)

(1)解:隨機(jī)變量X可能取值為6,7,8,9.......................................................................1分

21

由題意得每次擲骰子上兩級(jí)臺(tái)階的概率為了，上三級(jí)臺(tái)階的概率為不，.......2分

則》-6-2(3,；)............................................................................................................3分

9Q

可得P(X=6)=(H)、藥，.............................................4分

124

P(X=7)=C^XyX(y)2=-,..............................................................................5分

122

P(X=8)=C^X(y)2Xy=-,..............................................................................6分

P(X=9)=(g)3=/，.............................................................................................7分

所以X的分布列為

X6789

8421

r

279927

因?yàn)镋(X-6)=3x；=l,所以E(X)=7.

9分

數(shù)學(xué)試題答案第2頁(yè)(共6頁(yè))

（2）解:記甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，恰有一人獲得獎(jiǎng)品的概率為P,

由題意知，位于第10級(jí)臺(tái)階則認(rèn)定游戲失敗，無(wú)法獲得獎(jiǎng)品，所以投擲3次后,學(xué)員站

在第7步臺(tái)階，第四次投擲次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，即位于第10級(jí)臺(tái)階，..........10分

其概1率9吟14，........................................12分

423184

所以P=C；x%x(l-PI)=2x^x彳=^?..................................14分

乙/乙//乙7

甲、乙兩位學(xué)生參加游戲,恰有一人獲得獎(jiǎng)品的概率為黑...................15分

17.(15分)

解:（1）作直線4為即為所求............................................1分

連結(jié)4cl交OE于點(diǎn)M,連結(jié)MB,..............................................................................2分

AD=2DAl,CiE=2EC,

AD=C,E=—AA,=2,

13

又四邊形為平行四邊形,

AM=MCX,......................................................................4分

又BiF=FJ,

MF//AB,,..............................................................5分

又平面DEF,ABt，平面DEF,

峭〃平面OEE.....................................................6分

(2),/SAABC=9x2x2sinZ.ABC=2sin乙ABC

當(dāng)-12C=（時(shí),S^BC取最大值2,即當(dāng)48L2C時(shí),三棱柱48C-4向G的體積最大,

.............................................................................................................................................7分

又：25—42,8與，2（：,以8為坐標(biāo)原點(diǎn),54,5仁8以為￡軸,y軸,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，..................................................................8分

則0(2,0,2),磯0,2,1),歹(0,1,3),

.?.辰=(-2,2,-1),而=(0,-1,2),..........................................................................10分

設(shè)平面的法向量"=(肛y,z),

(n-DE=Qi-2x+2y-z=0,

由]_>，得]

[n-EF=0[-y+2z=Q,

數(shù)學(xué)試題答案第3頁(yè)（共6頁(yè)）

33

取z=l,貝ljy=2,%=5,此時(shí)〃二(5,2,1),..............................................................12分

又平面45。的一個(gè)法向量為m二(0,0,1),..............................................................13分

記平面DEF與平面ABC夾角為。，

加\m-n\12v29一八

貝ljcosg=1一1二------------二^^-...................................14分

\m\\n\fo29

/—+4+1

74

2./29

故平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為..........................15分

18.(17分)

解:⑴當(dāng)。=1時(shí),/■(*)=/(llMC+l),

=1,..........................................................................................................................1分

又/'(g)=g(21nn+3),.....................................................................................................2分

?.*1)=3,.........................................................................................................................3分

.,./(g)在(1,7(1))處的切線方程為3g-y-2=0..........................................................4分

(2)vxe(0,+oo),

/'(%)=2x(lnx+a)+x=x(21nx+2a+l),..........................................................................5分

令W(x)=21nx+2a+l,

W‘(x)=—>0,

X

??.w(?)在(0,+8)上單調(diào)遞增，.........................................6分

1

由W(%)=21n%+2a+l=0得%=6"力，..........................................................................7分

?"(%)在(0?+)上單調(diào)遞減，在(e「T,+8)上單調(diào)遞增...................9分

(3):/“一.)=0,.?.%￡((),e-a)時(shí)

aa

/.0<x1<e--^<%2<e-,...................................................................................................10分

「.In%]<~d---<HY\X2<-a,

BP2(ln%1+a)<-l<2(lnx2+a)<0,..............................................................................11分

由/(陽(yáng))=/(%2)得，

2

lnx1+a)=%2(lnx2+a),

即e1nxi2(]n%i+a)e?”=e1mln%2+a)/,

...e2(i叩+a)?2(]n%]+a)=缶a也+a).zig+a),..............................................................13分

令力i=2(ln/i+a),t2=2(lnx2+a),

設(shè)g(力)=力e]w(-oo,0),

g'(%)=(什l)e'.14分

數(shù)學(xué)試題答案第4頁(yè)(共6頁(yè))

/.ie<-oo,-1)時(shí)若0<0遭")單調(diào)遞減,

te(-l,0)時(shí),g'(t)>0,g⑺單調(diào)遞增，

—

下面證明tj+t2<2，又力2>-1,即證tj<-2—z2<—1,

即證g(G)>g(-2F),

BPiiEg(f2)>g(-2-t2),.................................................15分

令G(t)=g(z)-g(-2-(),ze(-1,0),

G'(t)=g'(t)-g'(-2T)=?+l)(e'-e-2r)>0,

CQ)在(-1,0)上單調(diào)遞增,.........................................16分

C(t)>C(-l)=O,從而得證,

故2(InXj+a)+2(lnx2+?)<-2,

即Inx/2<-2a-1,

2

0<xlx2<e"',

：.—>e2<,+1...........................................................17分

%/2

19.（17分）

（1）解:設(shè)動(dòng)圓C的半徑為r,易知圓J和圓C2的半徑分別為5也,也，

?；C與C],G都內(nèi)切，則

ICC]I=572-r,ICC2I=r-V2,.