土體動力分析有限單元法課件

12土動力學(xué)與土工抗震工程于玉貞清華大學(xué)水利水電工程系巖土工程研究所3基巖地基地震波土壩結(jié)構(gòu)特性地基特性地震特性地基及土工結(jié)構(gòu)物動力分析抗震措施安全評價適用于水平成層地基或土工結(jié)構(gòu)物適用于任意地基或土工結(jié)構(gòu)物結(jié)構(gòu)簡化剪切層集中質(zhì)量系有限單元求解區(qū)域時域：如逐步積分法頻域：利用傅立葉變換振型疊加法42-4土體動力分析有限單元法5一、基本格式二、特殊處理基本概念基本方程質(zhì)量矩陣阻尼矩陣邊界條件2-4土體動力分析有限單元法6一、基本格式2-4土體動力分析有限單元法1.基本概念基巖地基地震波土壩動力反應(yīng)微分方程：如以位移為基本未知量，則是表示位移場隨時間變化規(guī)律的微分方程。介質(zhì)密度：ρ剪切模量：G泊松比：ν相對位移：u,v,w坐標(biāo)：x,y,z微分方程邊界條件初始條件地震動力反應(yīng)分析求解：土工結(jié)構(gòu)物在地震動作用下，應(yīng)力場、位移場等隨時間的變化過程yzxo幾何物理量相對速度：相對加速度：為簡便，以下將“相對”二字省略7體應(yīng)變：動力方程－位移時空分布的微分方程：拉普拉斯算子：拉梅常數(shù)：應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（虎克定律）幾何條件動力平衡方程yzxo2-4土體動力分析有限單元法基巖地基地震波土壩解析解：要求每一點均滿足微分方程和定解條件，僅適用于結(jié)構(gòu)、荷載和邊界條件極其簡單的情況復(fù)雜的情況：有效途徑之一是有限單元法一、基本格式1.基本概念只考慮水平向地震動荷載82-4土體動力分析有限單元法基巖地基地震波土壩一、基本格式1.基本概念2、單元參量近似：對每個單元體，以結(jié)點處的某參量（如位移）為基本未知量，單元體內(nèi)的參量用結(jié)點處參量的某種組合來描述；3、單元力學(xué)特性分析：單元內(nèi)的其它參量（如應(yīng)變、應(yīng)力、速度、加速度等）用基本參量表示，并代入到相關(guān)的公式；1、土工結(jié)構(gòu)物空間離散化：將土工結(jié)構(gòu)物和地基分割成在有限個結(jié)點處連接起來的單元的離散體—網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸小于波長的1/12；95、整體動力平衡方程建立：將所有單元體的動力平衡關(guān)系進(jìn)行集成，建立土工結(jié)構(gòu)物和地基的整體動力平衡關(guān)系，并考慮邊界條件進(jìn)行修正；4、單元動力平衡方程建立：利用虛功原理、最小勢能原理或變分法等，建立單元體的動力平衡關(guān)系；6、線性代數(shù)方程組求解：將歷時分成若干時段，逐步求解線性方程組，可解得基本未知量及其它參量?；鶐r地基地震波土壩2-4土體動力分析有限單元法一、基本格式1.基本概念10基巖地基地震波土壩2-4土體動力分析有限單元法一、基本格式1.基本概念總應(yīng)力法按經(jīng)驗性公式計算超靜孔隙水壓力按兩相體理論計算超靜孔隙水壓力方法分類有效應(yīng)力法11位移：坐標(biāo)：[N]：形函數(shù)矩陣等參元[B]：應(yīng)變矩陣[D]：彈性矩陣[S]＝[D][B]：應(yīng)力矩陣結(jié)點信息單元內(nèi)信息相對位移：{u}e坐標(biāo)：{x}e相對速度：相對加速度：位移：{u}坐標(biāo)：{x}速度：加速度：應(yīng)變：{ε}應(yīng)力：{σ}以結(jié)點信息表示單元體內(nèi)信息：應(yīng)變：應(yīng)力：速度：加速度：2-4土體動力分析有限單元法一、基本格式2.基本方程基巖地震波地基土壩12利用虛功原理建立單元動力基本方程；只考慮水平向地震動荷載2-4土體動力分析有限單元法一、基本格式2.基本方程任意結(jié)點虛位移單元體內(nèi)虛位移為W

：外力在單元體上所作的虛功ΔE

：單元體的應(yīng)變能的增量W

＝ΔE虛功原理：基巖地震波地基土壩13外力在單元體上所作的虛功W包括：Ωe－單元的體積慣性力：阻尼力：地震動荷載：以上三項之和為外力在單元體上所作的虛功W：2-4土體動力分析有限單元法一、基本格式2.基本方程

b－單位體積的阻尼系數(shù){l}=[100]T基巖地震波地基土壩14虛位移在單元體內(nèi)引起的虛應(yīng)變：單元體的應(yīng)變能的增量ΔE為單元體：W＝ΔE該式對任意結(jié)點虛位移成立2-4土體動力分析有限單元法一、基本格式2.基本方程基巖地震波地基土壩15單元剛度矩陣單元質(zhì)量矩陣單元阻尼矩陣單元地震動荷載系數(shù)列陣2-4土體動力分析有限單元法一、基本格式2.基本方程基巖地震波地基土壩16整體動力基本方程整體剛度矩陣整體質(zhì)量矩陣整體阻尼矩陣整體地震動荷載系數(shù)列陣基于逐步積分的整體動力基本方程求解：線性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法2-4土體動力分析有限單元法一、基本格式2.基本方程基巖地震波地基土壩單元動力基本方程17一、基本格式二、特殊處理基本概念基本方程質(zhì)量矩陣阻尼矩陣邊界條件2-4土體動力分析有限單元法181.質(zhì)量矩陣協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣集中質(zhì)量矩陣[ψ]為函數(shù)ψi的矩陣，ψi在分配給結(jié)點i的區(qū)域不為0，其它區(qū)域為0二、特殊處理2-4土體動力分析有限單元法質(zhì)量插值函數(shù)與荷載的插值函數(shù)一致，單元的動能和勢能互相協(xié)調(diào)；精度較高分配給結(jié)點的區(qū)域不能互相交錯－對角陣對常應(yīng)變單元，單元數(shù)目相同時，二者精度相近簡單，對有些問題，如梁、板、殼等，因可省去轉(zhuǎn)動慣性項，運動方程的自由度數(shù)量可顯著減少采用高次單元時，求取集中質(zhì)量矩陣較困難，并可能大大影響精度19舉例－三角形常應(yīng)變單元協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣集中質(zhì)量矩陣質(zhì)量m2-4土體動力分析有限單元法二、特殊處理1．質(zhì)量矩陣20二、特殊處理（1）阻尼對動力反應(yīng)影響很大（2）結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)確定困難（3）常根據(jù)理論與經(jīng)驗相結(jié)合的辦法求?。缛鹄絻?yōu)點：（1）簡單（2）使得有阻尼和無阻尼的振型一致（3）積累了豐富經(jīng)驗2.阻尼矩陣2-4土體動力分析有限單元法21二、特殊處理任取兩振型i，j，相應(yīng)的特征值分別為ωi、ωj和

λi

、λj，可得：2．阻尼矩陣瑞利阻尼公式α、β如何確定？各階阻尼比可通過求取特征值來確定，也可根據(jù)試驗或經(jīng)驗確定兩組特征方程式2-4土體動力分析有限單元法22二、特殊處理假定

λi

=λj=

λ：2．阻尼矩陣瑞利阻尼公式α、β如何確定？僅取一階：2-4土體動力分析有限單元法23err<errtol?EndBegin特征方程的解法－迭代法1

問題：需要矩陣求逆YesNo二、特殊處理2．阻尼矩陣或2-4土體動力分析有限單元法24Beginerr<errtol?EndYesNo特征方程的解法－迭代法2二、特殊處理2．阻尼矩陣2-4土體動力分析有限單元法25利用[K]的對稱正定性利用迭代法1求解特征方程的解法－迭代法3二、特殊處理2．阻尼矩陣2-4土體動力分析有限單元法26已求取了第一振型的特征值及相應(yīng)的特征向量對第二振型…………對第N振型二、特殊處理2．阻尼矩陣2-4土體動力分析有限單元法27一、基本格式二、特殊處理基本概念基本方程質(zhì)量矩陣阻尼矩陣邊界條件2-4土體動力分析有限單元法28二、特殊處理3.邊界條件基巖地基地震波土壩地震波地基中傳播地基運動結(jié)構(gòu)物振動相互作用實際：廣泛區(qū)域計算：有限區(qū)域人工邊界地基地震波建筑物可能人為增加反射2-4土體動力分析有限單元法29人工邊界條件(ABC：ArtificialBoundaryCondition)

截斷邊界：邊界遠(yuǎn)離所研究的結(jié)構(gòu)截斷邊界＋吸收層：在人工邊界處施加較薄的吸收層施加一維自由場：在較遠(yuǎn)處，假定結(jié)構(gòu)物對地基中的動力特性無影響粘性邊界：在邊界上設(shè)置阻尼器吸收外行波的能量透射邊界：使外行波能自由透過而不發(fā)生反射二、特殊處理3．邊界條件人工邊界的種類基巖地基地震波土壩廖振鵬，《工程波動理論導(dǎo)論》沈聚敏等，《抗震工程學(xué)》2-4土體動力分析有限單元法30條件：足夠遠(yuǎn)：L≥cT/2，c為無限介質(zhì)內(nèi)的最大波速，T為計算歷時截斷邊界＋吸收層二、特殊處理3．邊界條件基巖地基地震波土壩截斷邊界優(yōu)點：簡單、容易處理缺點：計算范圍大；精度較低；有任意性缺點：比較遠(yuǎn)處加吸收層，計算范圍仍然較大；人為確定參數(shù)，難以定量分析；有任意性優(yōu)點：簡單、容易處理，比單純截斷邊界計算范圍小2-4土體動力分析有限單元法31缺點：僅適用于較簡單邊界條件；沒有考慮結(jié)構(gòu)的影響；僅適用于豎直傳播的SH波。二、特殊處理3．邊界條件施加一維自由場優(yōu)點：直觀、簡單基巖地基地震波結(jié)構(gòu)物邊界A邊界B一維自由場A一維自由場B方法：

（1）在距結(jié)構(gòu)物較遠(yuǎn)處，假定結(jié)構(gòu)物對地基運動影響較小，則可認(rèn)為地基是自由場；（2）利用剪切層法或集中質(zhì)量法等分析兩側(cè)邊界的運動，將其時程運動作為邊界條件施加于兩側(cè)。2-4土體動力分析有限單元法32對于P波、S波，無量綱參數(shù)a、b均取1－標(biāo)準(zhǔn)粘性邊界二、特殊處理3．邊界條件粘性邊界ijui,fivi,giuj,fjvj,gjθlxyr,vS,vP

ρ:土的密度vS:剪切波速vP:壓縮波速2-4土體動力分析有限單元法33優(yōu)點：概念明確，處理方法簡單；與截斷邊界相比，可減小計算域的尺寸；與吸收層相比，可定量設(shè)定阻尼的大小二、特殊處理3．邊界條件粘性邊界ijui,fivi,giuj,fjvj,gjθlxyr,vS,vP缺點：邊界距離仍較大，波長的3/4或1/2；入射波與邊界近乎平行時，精度較低，網(wǎng)格也不宜過小2-4土體動力分析有限單元法34二、特殊處理3．邊界條件在邊界上施加位移約束位移約束等于入射波位移相當(dāng)于地震波可自由通過邊界：只有入射波，沒有反射波位移約束用已知的位移表示2-4土體動力分析有限單元法地基地震波建筑物透射邊界35透射邊界3．邊界條件計算區(qū)域ccΔtεθcaΔtcΔt/cosθQbxya人工邊界入射波沿x軸的視傳播假定波動沿y軸方向不變化f為某函數(shù)Dt為時間離散步長如果點b在t+Dt時刻的位移用點Q在t時刻的位移代替，則入射波將穿過人工邊界而不發(fā)生任何反射。導(dǎo)出與入射角θ無關(guān)的透射公式在包含不同波速的波動問題中導(dǎo)出統(tǒng)一的透射公式采用人工波速ca二、特殊處理2-4土體動力分析有限單元法363．邊界條件計算區(qū)域ccΔtεθcaΔtcΔt/cosθQbxya人工邊界誤差為：Δ1u(·)是與原入射波傳播方向和傳播速度相同的波，稱為一階誤差波—透射邊界二、特殊處理2-4土體動力分析有限單元法373．邊界條件由此可導(dǎo)出二階誤差波，重復(fù)該處理m次，可推廣為物理意義：任意階誤差波Δmu(·)在任一點x和任一時刻t的值可以通過將x和t分別倒退caΔt和Δt來近似。近似誤差為：計算區(qū)域ccΔtεθcaΔtcΔt/cosθQbxya人工邊界—透射邊界二、特殊處理2-4土體動力分析有限單元法383．邊界條件計算區(qū)域ccΔtεθcaΔtcΔt/cosθQbxya人工邊界在邊界點x=xb處，可得N階透視公式高階誤差波暫態(tài)波統(tǒng)一透射公式—透射邊界二、特殊處理2-4土體動力分析有限單元法393．邊界條件計算區(qū)域ccΔtεθcaΔtcΔt/cosθQ