2024屆四川省眉山市彭山區(qū)高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆四川省眉山市彭山區(qū)高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知a,b,,且,,則()A． B． C． D．3．中，若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．直角三角形4．已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足①數(shù)列{an}必為等比數(shù)列；②p=1時(shí)，S5=3132；③正確的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．45．函數(shù)y=2cosx-1A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－16．若實(shí)數(shù)a＞b，則下列結(jié)論成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B． C．ln2a＞ln2b D．a(chǎn)x2＞bx27．已知直線與直線垂直，則（）A． B． C．或 D．或8．已知等比數(shù)列，若，則()A． B． C．4 D．9．已知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量＝，＝(cosA，sinA)，若與夾角為，則acosB＋bcosA＝csinC，則角B等于()A． B． C． D．10．不等式的解集為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知滿足約束條件，則的最大值為__12．設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且滿足.則______.13．已知圓錐如圖所示，底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則此圓錐的外接球的表面積為___．14．已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線于交、兩點(diǎn)，若，則的離心率為__________．15．圓上的點(diǎn)到直線4x+3y－12=0的距離的最小值是16．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列通項(xiàng)___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）證明函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（2）求函數(shù)的值域；（3）令，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).18．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，且，，求△ABC的面積的最大值．19．一汽車廠生產(chǎn)，，三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有類轎車10輛．轎車轎車轎車舒適型100150標(biāo)準(zhǔn)型300450600（1）求的值；（2）用分層抽樣的方法在類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)得分?jǐn)?shù)，

記這8輛轎車的得分的平均數(shù)為，定義事件，且函數(shù)沒有零點(diǎn)，求事件發(fā)生的概率．20．已知，，且向量與的夾角為．（1）若，求；（2）若與垂直，求．21．已知向量.（1）若，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且與的夾角為，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

通過對(duì)兩函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，變成我們熟悉的函數(shù)模型，比如反比例、一次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)及三角函數(shù),看圖直接判斷【詳解】由，作圖如下：共6個(gè)交點(diǎn)，所以答案選擇D【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題與函數(shù)零點(diǎn)、方程根可以作相應(yīng)等價(jià)，用函數(shù)零點(diǎn)及方程根本題不現(xiàn)實(shí)，所以我們更多去考慮分別作圖象，直接看交點(diǎn)個(gè)數(shù).2、A【解析】

利用不等式的基本性質(zhì)以及特殊值法，即可得到本題答案.【詳解】由不等式的基本性質(zhì)有，，故A正確，B不正確；當(dāng)時(shí)，，但，故C、D不正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)正弦定理，得到，進(jìn)而得到，再由兩角和的正弦公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以，又因此，所以，即三角形為直角三角?故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形形狀的判斷，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.4、C【解析】

由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{an}為首項(xiàng)為p【詳解】Sn+an=2pn?2時(shí)，Sn-1+a相減可得2an-an-1=0，即有數(shù)列由①可得p=1時(shí)，S5|a|a5|+|由①可得am·a可得p=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，以及等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．5、B【解析】

根據(jù)余弦函數(shù)有界性確定最值.【詳解】因?yàn)?1≤cosx≤1，所以【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)有界性以及函數(shù)最值，考查基本求解能力，屬基本題.6、C【解析】

特值法排除A,B,D,單調(diào)性判斷C【詳解】由題意，可知：對(duì)于A：當(dāng)a、b都是負(fù)數(shù)時(shí)，很明顯a2＜b2，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：當(dāng)a為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)時(shí)，則有，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴l(xiāng)n2a＞ln2b，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：當(dāng)x＝0時(shí)，結(jié)果不成立，故選項(xiàng)D不正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)應(yīng)用，特殊值技巧的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值大小的比較．本題屬中檔題．7、D【解析】

由垂直，可得，即可求出的值.【詳解】直線與直線垂直，，解得或.故選D.【點(diǎn)睛】對(duì)于直線：和直線：，①；②.8、D【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公比，進(jìn)而求得的值.【詳解】∵，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)向量夾角求得角的度數(shù)，再利用正弦定理求得即得解.【詳解】由已知得：所以所以由正弦定理得：所以又因?yàn)樗砸驗(yàn)樗运怨蔬xB.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積和正弦定理，屬于中檔題.10、D【解析】

把不等式化為，即可求解不等式的解集，得到答案．【詳解】由題意，不等式可化為，解得或，即不等式的解集為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟記一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可得，當(dāng)直線過時(shí)，直線在軸上的截距最大，所以有最大值為．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、4【解析】

解法1有題設(shè)及余弦定理得.故.解法2如圖4，過點(diǎn)作，垂足為.則，.由題設(shè)得.又，聯(lián)立解得，.故.解法3由射影定理得.又，與上式聯(lián)立解得，.故.13、【解析】

根據(jù)圓錐的底面和外接球的截面性質(zhì)可得外接球的球心在上，再根據(jù)勾股定理可得求的半徑．【詳解】由圓錐的底面和外接球的截面性質(zhì)可得外接球的球心在上，設(shè)球心為，球的半徑為，則，圓，因?yàn)?所以，所以，，則有.解得，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的外接球，關(guān)鍵是會(huì)找到球心求出半徑，通常結(jié)合勾股定理求．屬于難題．14、【解析】如圖所示，由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為θ，則tanθ=．又tanθ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．答案：點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率的值（或范圍）時(shí)，可將條件中提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量的方程或不等式，再根據(jù)和轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值（或取值范圍）．15、【解析】

計(jì)算出圓心到直線的距離，減去半徑，求得圓上的點(diǎn)到直線的最小距離.【詳解】圓的圓心為，半徑.圓心到直線的距離為，故最小距離為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓上的點(diǎn)到直線距離最小值的求法，考查點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】分析：在已知遞推式兩邊同除以，可得新數(shù)列是等差數(shù)列，從而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，再得．詳解：∵，∴兩邊除以得，，即，∵，∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴，∴．故答案為．點(diǎn)睛：在求數(shù)列公式中，除直接應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式外，還有一種常用方法：對(duì)遞推式化簡(jiǎn)變形，可構(gòu)造出新數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再由等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)論．這是一種轉(zhuǎn)化與化歸思想，必須掌握．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)【解析】

（1）求出函數(shù)定義域后直接用定義法即可證明；（2）由題意得，對(duì)兩邊同時(shí)平方得，求出的取值范圍即可得解；（3）轉(zhuǎn)化條件得，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可得解.【詳解】（1）證明：令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)榱?，由，可得，所以，，故即，所以函?shù)在定義域上單調(diào)遞增.（2）由，，故，，當(dāng)時(shí)，，有，可得：，故，由，可得，故函數(shù)的值域?yàn)?，?）由（2）知，則，令，則，令，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，故函數(shù)也沒有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，，故函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，又由函數(shù)單調(diào)遞增，可得函數(shù)也只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸，又，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，故函數(shù)也沒有零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明、值域的求解和零點(diǎn)問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和分類討論思想，屬于中檔題.18、(1),(2)【解析】

（1）利用二倍角公式、輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn),，然后根據(jù)單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的的公式求解單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)計(jì)算出的值，再利用余弦定理計(jì)算出的最大值則可求面積的最大值，注意不等式取等號(hào)條件.【詳解】解:（1）∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,（2）由（1）知得（舍）或∴有余弦定理得即∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)∴【點(diǎn)睛】（1）輔助角公式：；（2）三角形中，已知一邊及其對(duì)應(yīng)角時(shí)，若要求解面積最大值，在未給定三角形形狀時(shí)，可選用余弦定理求解更方便，若是給定三角形形狀，這時(shí)選用正弦定理并需要對(duì)角的范圍作出判斷.19、（1）400；（2）；（3）【解析】

（1）由分層抽樣按比例可得；（2）把5個(gè)樣本編號(hào)，用列舉法列出任取2輛的所有基本事件，得出至少有1輛舒適型轎車的基本事件，計(jì)數(shù)后可得概率．（3）求出，確定事件所含的個(gè)數(shù)后可得概率．【詳解】（1）由題意，解得；（2）C類產(chǎn)品中舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型產(chǎn)品數(shù)量比為，因此5人樣品中舒適型抽取了2輛，標(biāo)準(zhǔn)型抽取了3輛，編號(hào)為，任取2輛的基本事件有：共10個(gè)，其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有共7個(gè)，所求概率為．（3）由題意，滿足的有共6個(gè)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，則，解得，再去掉，還有4個(gè)，∴所求概率為．【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，考查古典概型，解題關(guān)鍵是用列舉法寫出所有的基本事件．20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算的值；（2）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出cosθ的值