北京市第三十九中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

北京市第三十九中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．一組數(shù)據(jù)0，1，2，3，4的方差是A． B． C．2 D．42．在正三棱錐中，，則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．3．在中，設(shè)角，，的對邊分別是，，，且，則一定是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．在中，角的對邊分別是，若，則（）A．5 B． C．4 D．35．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A．－4 B． C． D．6．已知圓錐的底面半徑為，母線與底面所成的角為，則此圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．7．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)）,則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則的最大值是（）A．50 B．100 C．150 D．2008．某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，則應(yīng)抽取三年級的學(xué)生人數(shù)為（）A．80 B．40 C．60 D．209．為三角形ABC的一個內(nèi)角,若,則這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形10．已知直線3x?y+1=0的傾斜角為α，則A． B．C．? D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則這個圓錐的表面積等于______．12．已知，且這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則_______________.13．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________.14．若6是-2和k的等比中項，則______.15．已知，則_________．16．在數(shù)列中，，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱柱中，底面，，，，分別為的中點，為側(cè)棱上的動點（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若為線段的中點，求證：平面；（Ⅲ）試判斷直線與平面是否能夠垂直．若能垂直，求的值；若不能垂直，請說明理由18．已知為等邊角形，.點滿足，，.設(shè).試用向量和表示;若,求的值.19．設(shè)向量，，其中，，且．（1）求實數(shù)的值；（2）若，且，求的值．20．有同一型號的汽車100輛，為了解這種汽車每耗油所行路程的情況，現(xiàn)從中隨機地抽出10輛，在同一條件下進(jìn)行耗油所行路程的試驗，得到如下樣本數(shù)據(jù)(單位：km)：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分組如下：(1)完成上面的頻率分布表；(2)根據(jù)上表，在坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖.21．若（1）化簡；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

先求得平均數(shù)，再根據(jù)方差公式計算?！驹斀狻繑?shù)據(jù)的平均數(shù)為：方差是＝2，選C?！军c睛】方差公式，代入計算即可。2、B【解析】

利用正三棱錐的性質(zhì)，作出側(cè)棱與底面所成角，利用直角三角形進(jìn)行計算.【詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因為是正三棱錐，所以面，所以為側(cè)棱與底面所成角，因為，所以，所以，故選B.【點睛】本題考查線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.3、C【解析】

利用二倍角公式化簡已知表達(dá)式，利用余弦定理化角為邊的關(guān)系，即可推出三角形的形狀．【詳解】解：因為，所以，即，由余弦定理可知：，所以．所以三角形是直角三角形．故選：．【點睛】本題考查三角形的形狀的判斷，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．4、D【解析】

已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．5、A【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得:即可求出【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以又因為當(dāng)時，，所以，所以，選A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)中的奇偶性。其中奇函數(shù)主要有以下幾點性質(zhì)：1、圖形關(guān)于原點對稱。2、在定義域上滿足。3、若定義域包含0，一定有。6、B【解析】

首先計算出母線長，再利用圓錐的側(cè)面積（其中為底面圓的半徑，為母線長），即可得到答案．【詳解】由于圓錐的底面半徑，母線與底面所成的角為，所以母線長，故圓錐的側(cè)面積；故答案選B【點睛】本題考查圓錐母線和側(cè)面積的計算，解題關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的側(cè)面積的計算公式，即（其中為底面圓的半徑，為母線長），屬于基礎(chǔ)題7、B【解析】

根據(jù)調(diào)和數(shù)列定義知為等差數(shù)列，再由前20項的和為200知，最后根據(jù)基本不等式可求出的最大值?！驹斀狻恳驗閿?shù)列為調(diào)和數(shù)列，所以，即為等差數(shù)列又，又大于0所以【點睛】本題考查了新定義“調(diào)和數(shù)列”的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)及其前n項公式、基本不等式的性質(zhì)，屬于難題。8、B【解析】試題分析：方法一:由條件可知三年級的同學(xué)的人數(shù)為,所以應(yīng)抽人數(shù)為,方法二:由條件可知樣本中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1,因此應(yīng)抽取三年級的學(xué)生人數(shù)為,答案選B.考點：分層抽樣9、B【解析】試題分析：由,兩邊平方得,即,又,則,所以為第三、四象限角或軸負(fù)半軸上的角,所以為鈍角．故正確答案為B．考點：1．三角函數(shù)的符號、平方關(guān)系;2．三角形內(nèi)角．10、A【解析】

由題意利用直線的傾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等變換，求出要求式子的值．【詳解】直線3x-y+1=0的傾斜角為α，∴tanα=3，

∴，

故選A．【點睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率，三角恒等變換，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)圓錐軸截面的定義結(jié)合正三角形的性質(zhì)，可得圓錐底面半徑長和高的大小，由此結(jié)合圓錐的表面積公式，能求出結(jié)果．【詳解】∵圓錐的軸截面是正三角形，邊長等于2∴圓錐的高，底面半徑.∴這個圓錐的表面積：.故答案為．【點睛】本題給出圓錐軸截面的形狀，求圓錐的表面積，著重考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓錐的軸截面等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、5【解析】

試題分析：由題意得，為等差數(shù)列時，一定為等差中項，即，為等比數(shù)列時，-2為等比中項，即，所以.考點：等差，等比數(shù)列的性質(zhì)13、1．98.【解析】

本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題．【詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為，其中高鐵個數(shù)為11+21+11=41，所以該站所有高鐵平均正點率約為．【點睛】本題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．14、-18【解析】

根據(jù)等比中項的性質(zhì)，列出等式可求得結(jié)果.【詳解】由等比中項的性質(zhì)可得，，得.故答案為：-18【點睛】本題主要考查等比中項的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

在分式中分子分母同時除以，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為正切來進(jìn)行計算.【詳解】由題意得，原式，故答案為.【點睛】本題考查弦的分式齊次式的計算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要應(yīng)用于以下兩種題型：（1）弦的次分式齊次式：當(dāng)分式是關(guān)于角的次分式齊次式，在分子分母中同時除以，可以將分式化為切的分式來求解；（2）弦的二次整式：當(dāng)代數(shù)式是關(guān)于角弦的二次整式時，先除以，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角弦的二次分式齊次式，然后在分式分子分母中同時除以，可實現(xiàn)弦化切.16、-1【解析】

首先根據(jù)，得到是以，的等差數(shù)列.再計算其前項和即可求出，的值.【詳解】因為，.所以數(shù)列是以，的等差數(shù)列.所以.所以，，.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷和等差數(shù)列的前項和的計算，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）直線BC1與平面APM不能垂直，詳見解析【解析】

（Ⅰ）由等腰三角形三線合一得；由線面垂直性質(zhì)可得；根據(jù)線面垂直的判定定理知平面；由面面垂直判定定理證得結(jié)論；（Ⅱ）取中點，可證得，；利用線面平行判定定理和面面平行判定定理可證得平面平面；根據(jù)面面平行性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅲ）假設(shè)平面，由線面垂直性質(zhì)可知，利用相似三角形得到，從而解得長度，可知滿足垂直關(guān)系時，不在棱上，則假設(shè)錯誤，可得到結(jié)論.【詳解】（Ⅰ），為中點平面，平面又平面平面，平面又平面平面平面（Ⅱ）取中點，連接分別為的中點且四邊形為平行四邊形又平面，平面平面分別為的中點又分別為的中點又平面，平面平面平面，平面平面又平面平面（Ⅲ）假設(shè)平面，由平面得：設(shè)，當(dāng)時，∽由已知得：，，，解得：假設(shè)錯誤直線與平面不能垂直【點睛】本題考查立體幾何中面面垂直、線面平行關(guān)系的證明、存在性問題的求解；涉及到線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定、面面平行的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用；處理存在性問題時，常采用假設(shè)法，通過假設(shè)成立構(gòu)造方程，判斷是否滿足已知要求，從而得到結(jié)論.18、(1)；；(2).【解析】

（1）根據(jù)向量線性運算法則可直接求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論將已知等式化為；根據(jù)等邊三角形邊長和夾角可將等式變?yōu)殛P(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】（1）（2）為等邊三角形且，即：，解得：【點睛】本題考查平面向量線性運算、數(shù)量積運算的相關(guān)知識；關(guān)鍵是能夠?qū)⒌仁睫D(zhuǎn)化為已知模長和夾角的向量的數(shù)量積運算的形式，根據(jù)向量數(shù)量積的定義求得結(jié)果.19、（1）（2）【解析】

（1）利用向量模的坐標(biāo)求法可得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及兩角差的余弦公式的逆應(yīng)用可得，進(jìn)而求出，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】（1）由知所以．又因為，所以．因為，所以，所以．又因為，所以．（2）由（1）知．由，得，即．因為，所以，所以．所以，因此．【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、兩角差的余弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）通過所給數(shù)據(jù)算出頻數(shù)和頻率值，并填入表格中；（2）計算每組數(shù)中的頻率除以組距的值，再畫出直方圖.【詳解】(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[12.45,12.95)20.2[12.95,13.45)