319291199 主題 集合中的新定義題 講義【一題 一析 一法 一得】-2021-2022學年高一上學期數(shù)學滬教版(2020)必修第一冊期末復習

【學生版】主題集合中的新定義題一題：緊扣教材與貼近試題的（典型例題）；例題：給定數(shù)集，若對于任意，有，且，則稱集合為閉集合；（1）判斷集合是否為閉集合，并給出證明；（2）若集合為閉集合，則是否一定為閉集合?請說明理由；（3）若集合為閉集合，且，證明：；一析：細辯精析與規(guī)范解答的（細析詳解）；【提示】（1）根據(jù)特值，但是，判斷不為閉集合，設，可證出，，為閉集合；（2）取特例，，集合為閉集合，但不為閉集合即可；（3）用反正正法，若，因為，存在且，故，同理，因為，存在且，故，若，則由為閉集合，，與矛盾，同理可知若，，與矛盾，即可證明；【解析】【說明】本題主要考查了集合子集、真子集，反證法，考查了學生分析推理能力，屬于難題一法：通過體驗與收獲最佳的（方法歸納）；1、對于集合題的通法：（1）認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解集合問題的兩個先決條件；（2）解題時注意區(qū)分兩大關系：一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系．（3）易忘空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身．（4）運用數(shù)軸圖示法易忽視端點是實心還是空心．（5）在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導致解題錯誤；2、集合中的新定義問題對于以“集合為背景”的新定義問題，建議：首先，正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準確提取信息是解決這類問題的前提，剝去新定義、新法則、新運算的外表，利用所學的集合性質等知識將陌生的集合轉化為我們熟悉的集合，是解決這類問題的突破口；其次，合理利用集合性質：運用集合的性質（如：元素的性質、集合的運算性質等）是破解新定義型集合問題的關鍵；在解題時要善于從題設條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質的一些因素，并合理利用；題型有：一、緊扣“新”定義：分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題的關鍵所在。二、把握“新”性質：用好集合的性質（概念、元素的性質、運算性質等）是破解新定義型集合問題的基礎，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之處用好集合的性質。三、遵守“新”法則：準確把握新定義的運算法則，將其轉化為集合的交集、并集與補集的運算即可。綜上，解決集合的新定義問題，關鍵還是：要正確理解與轉化新定義；要合理利用已有的集合的表示、關系、運算與性質，進行學習過程的類比，對應知識與方法的等價轉化。一得：實踐練習與得到合理的（收獲拓展）；【2020年高考浙江卷】設集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（）A．若S有4個元素，則S∪T有7個元素B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素C．若S有3個元素，則S∪T有4個元素D．若S有3個元素，則S∪T有5個元素【說明】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.【教師版】主題集合中的新定義題一題：緊扣教材與貼近試題的（典型例題）；例題：給定數(shù)集，若對于任意，有，且，則稱集合為閉集合；（1）判斷集合是否為閉集合，并給出證明；（2）若集合為閉集合，則是否一定為閉集合?請說明理由；（3）若集合為閉集合，且，證明：；一析：細辯精析與規(guī)范解答的（細析詳解）；【提示】（1）根據(jù)特值，但是，判斷不為閉集合，設，可證出，，為閉集合；（2）取特例，，集合為閉集合，但不為閉集合即可；（3）用反正正法，若，因為，存在且，故，同理，因為，存在且，故，若，則由為閉集合，，與矛盾，同理可知若，，與矛盾，即可證明；【解析】（1）因為，但是4+4=8，所以，不為閉集合；任取，設，則且，所以，同理，，故B為閉集合；（2）結論：不一定.令，，則由（1）可知，A，B為閉集合，但2，3∈AB，2+3=5AB，因此，AB不為閉集合；（3）證明：（反證法）若；則因為，存在且，故,同理，因為，存在且，故，因為，所以，或,若，則由為閉集合，，與矛盾,若，則由為閉集合，，與矛盾，綜上，存在，使得；【說明】本題主要考查了集合子集、真子集，反證法，考查了學生分析推理能力，屬于難題一法：通過體驗與收獲最佳的（方法歸納）；1、對于集合題的通法：（1）認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解集合問題的兩個先決條件；（2）解題時注意區(qū)分兩大關系：一是元素與集合的從屬關系；二是集合與集合的包含關系．（3）易忘空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身．（4）運用數(shù)軸圖示法易忽視端點是實心還是空心．（5）在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導致解題錯誤；2、集合中的新定義問題對于以“集合為背景”的新定義問題，建議：首先，正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準確提取信息是解決這類問題的前提，剝去新定義、新法則、新運算的外表，利用所學的集合性質等知識將陌生的集合轉化為我們熟悉的集合，是解決這類問題的突破口；其次，合理利用集合性質：運用集合的性質（如：元素的性質、集合的運算性質等）是破解新定義型集合問題的關鍵；在解題時要善于從題設條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質的一些因素，并合理利用；題型有：一、緊扣“新”定義：分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題的關鍵所在。二、把握“新”性質：用好集合的性質（概念、元素的性質、運算性質等）是破解新定義型集合問題的基礎，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質的一些因素，在關鍵之處用好集合的性質。三、遵守“新”法則：準確把握新定義的運算法則，將其轉化為集合的交集、并集與補集的運算即可。綜上，解決集合的新定義問題，關鍵還是：要正確理解與轉化新定義；要合理利用已有的集合的表示、關系、運算與性質，進行學習過程的類比，對應知識與方法的等價轉化。一得：實踐練習與得到合理的（收獲拓展）；【2020年高考浙江卷】設集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（）A．若S有4個元素，則S∪T有7個元素B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素C．若S有3個元素，則S∪T有4個元素D．若S有3個元素，則S∪T有5個元素【答案】A【解析】首先利用排除法：若取，則，此時，包含4個元素，排除選項D；若取，則，此時，包含5個元素，排除選項C；若取，則，此時，包含7個元素，排除選項B；下面來說明選項A的正確性：設集合，且，，則，且，則，同理，，，，，若，則，則，故即，又，故，所以，故，此時，故，矛盾，舍.若，則，故即，又，故，所以，故，此時.若，則，故，故，即，故，此時即中有7個元