17 微專題：平面向量“極化恒等式”的推導(dǎo)與應(yīng)用 講義-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊(cè)

【學(xué)生版】微專題：平面向量“極化恒等式”的推導(dǎo)與應(yīng)用極化恒等式是高等數(shù)學(xué)《泛函分析》中的知識(shí)內(nèi)容；把極化恒等式降維至二維平面，則可以非常巧妙地建立向量和幾何長(zhǎng)度（數(shù)量）之間的關(guān)聯(lián)，從而實(shí)現(xiàn)向量與幾何、向量和代數(shù)的精妙結(jié)合。而且，由于極化恒等式本身所具有的作為代數(shù)與幾何橋梁的特點(diǎn)，在近幾年全國(guó)各地高考命題中迅速成為創(chuàng)新問(wèn)題的熱點(diǎn)，也隨之出現(xiàn)了不少非常巧妙的向量試題；極化恒等式及其拓展1、極化恒等式：；（1）等式推導(dǎo)：【證明】（2）幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的eq\f(1,4)；2、平行四邊形模式：如圖，平行四邊形，是對(duì)角線交點(diǎn)；則；【證明】ABCM3、三角形模式：如圖，在中，設(shè)為的中點(diǎn)，ABCM則；（1）推導(dǎo)過(guò)程：（2）三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問(wèn)題都是用它解決；（3）記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；【典例】例1、如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則的值是；【解析1】【解析2】【解析3】【說(shuō)明】本題考查了利用由極化恒等式求平面向量數(shù)量積的值；關(guān)鍵是：理解極化恒等式的圖形特征；例2、（1）已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是________.（2）在面積S＝2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________.【說(shuō)明】本題考查了借助極化恒等式求平面向量數(shù)量積最值或范圍：關(guān)鍵是：通過(guò)轉(zhuǎn)化后；借助向量的代數(shù)與幾何表示，數(shù)形結(jié)合地求最值；例3、（1）在△ABC中，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4，則BC邊上的中線AM的長(zhǎng)是________；（2）設(shè)點(diǎn)P為正三角形△ABC的邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，sin∠PAC的值為【歸納】極化恒等式的作用和使用范圍1、極化恒等式的作用：建立了向量的數(shù)量積與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化。2、極化恒等式的適用范圍：（1）共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題可直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的數(shù)量積問(wèn)題可通過(guò)向量的平移，等價(jià)轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題。極化恒等式使用方法在確定求數(shù)量積的兩個(gè)向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的情況下，極化恒等式的一般步驟如下：第一步：取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；第二步：利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；第三步：利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長(zhǎng)度，從而求出數(shù)量積，如需進(jìn)一步求數(shù)量積范圍，可以用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長(zhǎng)的最值(范圍)?！炯磿r(shí)練習(xí)】1、如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，則eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(3,4)B.－eq\f(8,9)C.－eq\f(1,4)D.－eq\f(4,9)2、在△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝eq\f(1,4)AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則()A.∠ABC＝90°B.∠BAC＝90°C.AB＝AC D.AC＝BC3、在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.4、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))的值為_(kāi)_______.5、已知P是邊長(zhǎng)為4的正三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為6、在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB為鈍角，M，N是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝1，若的最小值為，求cos∠ACB的值；【學(xué)生版】微專題：平面向量“極化恒等式”的推導(dǎo)與應(yīng)用極化恒等式是高等數(shù)學(xué)《泛函分析》中的知識(shí)內(nèi)容；把極化恒等式降維至二維平面，則可以非常巧妙地建立向量和幾何長(zhǎng)度（數(shù)量）之間的關(guān)聯(lián)，從而實(shí)現(xiàn)向量與幾何、向量和代數(shù)的精妙結(jié)合。而且，由于極化恒等式本身所具有的作為代數(shù)與幾何橋梁的特點(diǎn)，在近幾年全國(guó)各地高考命題中迅速成為創(chuàng)新問(wèn)題的熱點(diǎn)，也隨之出現(xiàn)了不少非常巧妙的向量試題；極化恒等式及其拓展1、極化恒等式：；（1）等式推導(dǎo)：【證明】借助平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型；設(shè)，則由向量的數(shù)量積運(yùn)算，得（1）（2）如果將上面（1）（2）兩式相減，即可能得：；（2）幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的eq\f(1,4)；2、平行四邊形模式：如圖，平行四邊形，是對(duì)角線交點(diǎn)；則；【證明】借助平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型；設(shè)，則由向量的數(shù)量積運(yùn)算，得（1）（2）ABCM如果將上面（1）（2）兩式相減，得，即ABCM3、三角形模式：如圖，在中，設(shè)為的中點(diǎn)，則；（1）推導(dǎo)過(guò)程：因?yàn)椋?又因?yàn)?，即所以，?）三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問(wèn)題都是用它解決；（3）記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；【典例】例1、如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則的值是；【提示】注意：題設(shè)“在中，是的中點(diǎn)”與極化恒等式的關(guān)聯(lián)；【答案】；【解析1】設(shè)，由極化恒等式得，解之得可得，，因此；【解析2】由極化恒等式：，解得，故；【解析3】分點(diǎn)恒等式（拆分，基向量），；，；由又因?yàn)?，其中，化?jiǎn)得；【說(shuō)明】本題考查了利用由極化恒等式求平面向量數(shù)量積的值；關(guān)鍵是：理解極化恒等式的圖形特征；例2、（1）已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是________.（2）在面積S＝2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________.【提示】注意：借助“極化恒等式”的圖形特征進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；【答案】（1）[－2，6]；（2）2eq\r(3)；【解析】（1）取AB的中點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq\r(3)；又由極化恒等式得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝PD2－eq\f(1,4)AB2＝PD2－3，因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，PDmax＝3，當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，PDmin＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－2，6]；（2）取BC的中點(diǎn)為D，連接PD，則由極化恒等式得eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(\o(BC,\s\up6(→))2,4)＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\f(h2,4)＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2(其中h為A點(diǎn)向BC邊作的高)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(PD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))時(shí)取等號(hào).由上可知eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\f(h2,4)＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥2eq\r(\f(h2,4)·\f(3,4)\o(BC,\s\up6(→))2)≥eq\r(3)S＝2eq\r(3)；答案2eq\r(3)；【說(shuō)明】本題考查了借助極化恒等式求平面向量數(shù)量積最值或范圍：關(guān)鍵是：通過(guò)轉(zhuǎn)化后；借助向量的代數(shù)與幾何表示，數(shù)形結(jié)合地求最值；例3、（1）在△ABC中，BC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4，則BC邊上的中線AM的長(zhǎng)是________；（2）設(shè)點(diǎn)P為正三角形△ABC的邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，sin∠PAC的值為【提示】注意：用好極化恒等式解答向量中的長(zhǎng)度與角度；【答案】（1）eq\f(5,2)；（2）；【解析】（1）由極化恒等式：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(2eq\o(AM,\s\up6(→)))2－eq\o(BC,\s\up6(→))2]，eq\o(AM,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(4eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2)＝eq\f(25,4)，即|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)，所以BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為eq\f(5,2)；答案：eq\f(5,2)；（2）取邊的中點(diǎn)為，連接線段，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為；由極化恒等式可得：；則當(dāng)取最小值時(shí)，也取最小值，又；此時(shí)，點(diǎn)在上靠近的四等點(diǎn)；在中，余弦定理可得，由正弦定理可得：；【說(shuō)明】本題考查了自覺(jué)利用極化恒等式直接或整合解三角形等知識(shí)求其他的長(zhǎng)度與角度等幾何量；【歸納】極化恒等式的作用和使用范圍1、極化恒等式的作用：建立了向量的數(shù)量積與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化。2、極化恒等式的適用范圍：（1）共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題可直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）不共起點(diǎn)和不共終點(diǎn)的數(shù)量積問(wèn)題可通過(guò)向量的平移，等價(jià)轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的兩向量的數(shù)量積問(wèn)題。極化恒等式使用方法在確定求數(shù)量積的兩個(gè)向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)的情況下，極化恒等式的一般步驟如下：第一步：取第三邊的中點(diǎn)，連接向量的起點(diǎn)與中點(diǎn)；第二步：利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差；第三步：利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長(zhǎng)度，從而求出數(shù)量積，如需進(jìn)一步求數(shù)量積范圍，可以用點(diǎn)到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長(zhǎng)的最值(范圍)?！炯磿r(shí)練習(xí)】1、如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，則eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(3,4)B.－eq\f(8,9)C.－eq\f(1,4)D.－eq\f(4,9)【答案】B：【解析】方法1：∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，圓O的半徑為1，∴|eq\o(FO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)，∴eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＝eq\o(FO,\s\up6(→))2＋eq\o(FO,\s\up6(→))·(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＋eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋0－1＝－eq\f(8,9).方法2：OF＝eq\f(1,3)，由極化恒等式得eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝OF2－eq\f(1,4)DE2＝eq\f(1,9)－1＝－eq\f(8,9).2、在△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝eq\f(1,4)AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則()A.∠ABC＝90°B.∠BAC＝90°C.AB＝AC D.AC＝BC【答案】C；（2013·浙江卷）；【解析】取BC邊中點(diǎn)D，由極化恒等式得eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2，eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))＝eq\o(P0D,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2，由eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，得eq\o(PD,\s\up6(→))2≥eq\o(P0D,\s\up6(→))2，即|eq\o(PD,\s\up6(→))|≥|eq\o(P0D,\s\up6(→))|，D到AB的最短距離為P0D，∴eq\o(DP0,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，設(shè)AB的中點(diǎn)為P′，又P0B＝eq\f(1,4)AB，∴DP∥CP，∴CP⊥AB，故AB＝AC.3、在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝____