2024屆高三年級下冊開學摸底考數(shù)學試卷2（新高考七省地區(qū)專用）（解析版）

2024屆高三下學期開學摸底考（新高考七省地區(qū)專用）02

數(shù)學

一、單項選擇題

1.過點P（T2）且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是（）

A.x-2^+5=0B.x+2y—3=0

C.2x-y+4=0D.2x+y=0

【答案】c

【解析】直線x+2y+3=0的斜率為-g,故所求直線的斜率為2,

所以，過點P（T,2）且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是y-2=2（x+l）,

即2x-y+4=0.

故選：C.

2.一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為1,4,4,4,羽7,8,若該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是眾數(shù)的一

4

倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】由題意該組數(shù)據(jù)共7個數(shù)，7x0.6=4.2,

故第60百分位數(shù)為從小到大第5個數(shù)x,又眾數(shù)為4,

7

故x=-x4=7,

4

14-4x34-7x9-1-8

故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7=5,

故選：B

3.設(shè)S,是等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和，若去=；，則削=（）

）10J?20

3門3—33

A.-B.—C.—D.—

7101114

【答案】B

【解析】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知：S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15,.是等差數(shù)列.

1

由丁二鼻，可設(shè)S5=，?zw0）,貝30=3/,

于是85,810—85,815一$10,820一九,依次為1,2,,3/,4/,,

所以邑o=r+2r+3/+4r=1Or,所以斐=土.

?201U

故選：B.

4.如圖，圓錐形容器的高為3厘米，圓錐內(nèi)水面的高4為1厘米，若將圓錐容器倒置，水

面高為瓦，下列選項描述正確的是()

A.也的值等于1B.色?1,2)

C.%的值等于2D.4?2,3)

【答案】D

【解析】設(shè)圓錐形容器的底面積為S,未倒置前液面的面積為，，

則2=(與雪=：,所以工=白，

Sh99

11419

則水的體積為耳5*3—1*35、2=刃5；

設(shè)倒置后液面面積為邑，則邑=但[=萼=坐，

S{h}2h29

則水的體積為:邑%=等=HS,解得^=^19-2.67.

故選：D.

5.在平面直角坐標系xQy中，已知圓C:(x-ay+(y-a)2=a2g>0),A(-3,0),若圓C上

存在點P,使得|胡|=2|尸。],則正數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,1]B.[L2]

C.[A/3,2]D.[1,3+2^]

【答案】D

【解析】設(shè)尸（x,y）,則由|刑=2歸0],得到"（x+3）2+y2=2次+y2,

整理得到（尤-1）?+丁=4,又點在圓C上，所以（尤-1月+丁=4與圓C有交點,

又（尤-I）?+>2=4的圓心為（1,0）,半徑為r=2,圓C的圓心為（。,a）,半徑為R=a,

所以|2-44J（a-1）2+/42+a,解得lVa<3+26，

故選：D.

6.《紅海行動》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤

僑任務的故事.撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務，并對任務的順序提

出了如下要求：重點任務A必須排在前三位，且任務E、尸必須排在一起，則這六項任務

的不同安排方案共有

A.240種B.188種C.156種D.120種

【答案】D

【解析】當E,F排在前三位時，N[=（A；A；）A；=24,當E,F排后三位時，

憶=（C；A；）（A；A；）=72,當E,F排3,4位時，以=（C；A；）A；A；=24,N=120種，選

D.

已知函數(shù)/尤-肘在0，力上存在最值，且在仁，j

7.'(x)=2sin[0(0>0)上單調(diào),則。的

取值范圍是（）

581117

B.C.D.

2?3

【答案】c

【解析】當0<%<g時，因為G>0,貝!!一:<8-二<二——,

36636

因為函數(shù)”無）在[。，與上存在最值，則?-解得。>2,

2兀g717171

當<X<7T日寸,——<(DX——<71G——

亍666

因為函數(shù)/（X）在[不，兀J上單調(diào),

?？谝?/p>

22

2兀。兀、771

----------->kTi—,

362甘屬310

所以其中keZ^^k--<(D<k+-{k^t),

兀，7兀

TIG)——<E+一,

62

3127

所以:左一：V%+1,解得％

又因為0>0,則左e{o,l,2}.

2

當左=0時，0<GV§；

當左=1時，

58

當左=2時，—4①?一.

23

58一

又因為①>2,因此①的取值范圍是2-3-

一

故選：C.

22

8.設(shè)橢圓宏+方=1(。>6>0)的左、右焦點分別為耳、F2,尸是橢圓上一點,

閥卜叱4尸工=、，則橢圓離心率的取值范圍為()

A\——

B._L9

2,9

V2Vioj_5

D.

c.H丁2'8

【答案】C

【解析】設(shè)耳(-c,0),瑪(c,o),由橢圓的定義可得，|P耳|+|尸劇=2a,

可設(shè)|尸國=f,可得|明|=力，即有(P+l)t=2a,①

由可得電『+|9「=4°2,即為(川+1)產(chǎn)=牝2,②

2

9A+l

由②十①2,可得e=E'令機=4+1可得4=m—lj

一儲+1m2-2m+21?,1

即有7T卞m22J2由

(X+1)3

,4

可得—W機W4,

i45

則根=2時，取得最小值不；根或4時，取得最大值廣

，3o

即有（We2W1,得也WeW叵.

2824

故選：C.

二、多項選擇題

9.設(shè)z,%,%是復數(shù)，則下列命題中正確的是（）

A.若同=1,則z.z=l

B.若忖=2,則z.z=4

C.若五=2i,則團=2團

Z2

D.若2i+Zzklzi-ZzI，則2/Z2=0

【答案】BC

【解析】若|z|=l,設(shè)z=a+歷，所以后+62=1,

則z?z=（a+歷J=a2+2abi-b2^一定為1,故A錯誤;

若忖=2,設(shè)zwz+歷,所以〃2+。2=4,

則z-z=(〃+歷一歷)=〃+/=4不一定為4,故B正確;

若2=2i,設(shè)Z2=〃+4，Z]=(〃+歷)2i=-2〃+2ai,

Z2

2221

則閆=Jo?+廿,|Zj|=V4b+4a=2A/a+b=21z21,故C正確；

22

若|zi+Z2|=|z]—Z2|,設(shè)4=a+歷，z2=c+ch,|Z1+Z2|=^/(^+C)+(/?+6?),

22

\zx-z2\=^(a-c)+(b-d)，所以(a+cJ+S+dy二5一域+優(yōu)一^了，

即ac+bd=U,44=(。+歷)(C+$)=(QC-切)+(a/+bc)i不一定為0,故D錯誤;

故選：BC.

10.已知tana=2tan分，貝lj()

A.,使得a=2月

21

B.若sinacos；0=w，則sin(a-y0)二不

27

C.若sinacos/7=1，貝1cos(20+26)=一石

D.若a,夕則tan(a-6)的最大值為手

【答案】BD

【解析】對于A中，若々=26，可得tana=tan24[2tan?方

1-tanp

因為tano=2tan尸，可得=^^=2tan〃，解得tan/=0,

1-tanp

又因為廣時，tan/>0,所以方程無解，所以A錯誤；

對于B中，因為1@116/=21211/?,可得sin"=2sin',所以sinacos/?=2cosasin/7,

“cosacosp

21

又因為sin。cos/=—,所以cosasin/=—,

則sin(a-7?)=sinacosQ-cosasin/7=(,所以B正確；

3

對于C中，由sin(cr+/?)=sinacos13+cosasin/?=—,

7

則cos(2a+2/3)=1—2sin2(6r+尸)=,所以C錯誤；

對于D中，因為方已]。,，，可得tan〃>0,且tana=2tan￡,

tan/?_m=tana-tan尸=tan?=]<J_="

貝I1+tanciftan[3l+2tan2/71.n2夜4，

i9乙Ay

tanp

當且僅當\=2tan〃時，即tan^=立時，等號成立，

tan尸2

所以tan(a-￡)的最大值為也，所以D正確.

4

故選：BD.

11.已知函數(shù)/(x)=bgi泮，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)“X)值域為R

B.函數(shù)/(X)是增函數(shù)

C.不等式/（3x-l）+/（3x）＜0的解集為3

11

D.+/(-l)+/(O)+/(l)+/=0

2023I2023

【答案】ACD

【解析】對于A,令仁魯，尤武-2,2),又因為彳=1^=一1一三在(一2,2)上遞增，所以

，一X乙一尤尤一乙

te(o,y),由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，〉=l°gj的值域為R,故A正確；

對于B,因為，=營=-1-三在(-2,2)上遞增，>=1°8〃在(0,+8)上遞減，由復合函數(shù)

ZXX，3

2+x

的單調(diào)性可知，/M=logi--為減函數(shù)，故B錯誤；

32-x

2?JQ2_JQ

對于C,因為〃x)=logi^—的定義域為(-2,2),且/(-x)=logi.,

2?2_

/(x)+/(-x)=logl--+10gl—=logll=0,所以“無)為奇函數(shù)，且〃尤)在(-2,2)上

3Z-X32+X3

為減函數(shù)，

不等式〃3x-l)+〃3x)<0等價于/(31)<-/(3%)即f(3x-3x),

3x—1>—3x

1?

等價于—2<3元一1<2,解得:<%<彳，故C正確；

63

—2<3x<2

對于D,因為〃T)+/(X)=。且"0)=0,所以

/(_^+/(_^+---+/H)+/(-i)+/(o)+/(i)+/B)+-+/feh0,故

D正確.

故選：ACD.

三、填空題

12.已知集合U=卜,—8x—9K0,xe},A=卜y=1-x2+8x+9,yez),則

.

【答案】{T6,7,8,9}

【解析】由題意，尤2-8x-9=(x-9)(x+l)40:.-14x49,又xeZ

0」,2,3,4,5,6,7,8,9}

又y=J-x2+8x+9=J-(x-4)~+25

由于04—(無一4)2+25425;.0WJ-(x-4『+25V5,又丁wZ,

.-.A={0,1,2,3,4,5}

故令4={-1,6,7,8,9}

故答案為：{-1,67,8,9}

兀/r八ra_

13.已知向量d6的夾角為二，”6，％,則丁=______

3v>b

【答案】2浮

兀/rr\r

【解析】由向量。)的夾角為三，且力)，3

得(0—人)2=0.6一》2=/同忖一忖=0,

因為,+耳=J(Q+Z?)=y/a2+2a-b+b2=>^4|z?|+2忖+|/?|=

\a-b\=J(a-b)=y/a2-2a-b+b2=J4\b\-2\b\+\b\=6|b|,

叵

故答案為：2,號.

14.若存在正實數(shù)陽，滿足xln]-丁1+%(工+1)2。，則》的最大值為

【答案】-

【解析】存在正實數(shù)x，V滿足xln?-ye'+x(x+l"O,

不等式兩邊同除以了得色lnt-e'+、(x+l)20,

y%y

令2=r>0,則11可-/+520,即Inf+x+lZfe'eA1"'

Xtt

令x+ln/=z,貝！Jz+lNeZ,

令〃z)=z+l—e)則r(z)=l_e'

當z>0時，尸(z)<0,〃z)單調(diào)遞減,

當z<0時，_f(z)>0,〃z)單調(diào)遞增，

故/(z)在z=0處取得極大值，也是最大值，故/(z)W/(O)=O,

即z+1Ky,

綜上，z+1=ez,解得z=0,

VX

故％+ln1=O=>x+ln3=O=>y=—,x>0,

%ex

故，==,當0<x<l時，y=^>0,y==單調(diào)遞增，

當X>1時，y=￡m<0,y=2單調(diào)遞減，

故當％=1時，y=W取得極大值，也是最大值，最大值為L

ee

故答案為：-.

e

四、解答題

15.設(shè)函數(shù)〃x)=lnx+?x+"曲線y=〃x)在點處的切線方程為y=6尤-3.

⑴求。,6；

3

⑵證明：/M>--.

⑴解：函數(shù)“X)的定義域為(O,+e)J'(x)=La.

X

將x=l代入y=6x-3,解得y=3,即/⑴=3,

由切線方程y=6x—3,貝！J切線斜率/'(1)=6.故a+b=3,1+a=6,解得a=5,Z?=—2.

(2)證明:由⑴知/(x)=lnx+5x—2,

33

從而f(%)>等價于xlrix>—5%2+2x——.

設(shè)函數(shù)g(x)=xlm,貝Jg'(x)=l+lnx.

所以當時，g'(x)<0,當xe(：,+co)時，g'(x)>0.

故g(x)在(0,[上單調(diào)遞減，在g,+[上單調(diào)遞增，

從而g(無)在(。,+動上的最小值為g[J=-.

設(shè)函數(shù)/z(x)=-5/+2x-g=-51x-g)_g,

從而g)在(0,+動上的最大值為個)=-|<-|

故g(x)>/](x),gp/(%)>-—.

16.如圖，平面A3CD，平面ABS,四邊形ABC。為矩形，ABS為正三角形,

SA=s/2BC，。為A3的中點.

(1)證明：平面SOC_L平面8DS；

(2)已知四棱錐5-AOCD的體積為亞，求點。到平面SOC的距離.

2

(1)證明：一方面：因為—ABS為正三角形且。為的中點,所以O(shè)SLAB(三線合一),

又因為平面ABCD上平面ABS且平面ABCDc平面ABS=A13,并注意到。Su平面ABS,

所以由面面垂直的性質(zhì)可知OS_L平面ABCD,

又因為BDu平面ABCD,

所以由線面垂直的性質(zhì)可知OS_L3D；

另一方面：由題意不妨設(shè)3C=AD=a,貝l|cr)=AB=AS=」3S=\j2a,

因為ABS為正三角形且。為AB的中點，所以。3=。4=三

2

SO=BScos—=y/2axa，

622

所以tan/ABD=^=-^="，且,BO5

：=正，注意到—AftD與

AB6a2tanZBCO==/

c/5a—2

ZBCO均為銳角，

所以NABD=/3CO,不妨設(shè)BDcCO=E,

D

BS

TT

因為ZCBE+ZBCE=ZCBE+ZABD=ZCBA=-,

71

所以/BEC=—,即3D_LCO.

2

綜合以上兩方面有BOJLOS且即，CO,

注意到OSOC=O,OSu平面SOC,OCu平面SOC,

所有由線面垂直的判定有3￡>工平面SOC,

又因為2￡>u平面8DS,所以平面SOC_L平面BDS.

(2)解：由⑴可知5￡)_L平面SOC,則點。到平面SOC的距離即為。E的長度，

a

一■方面梯形AOCD的面積為S]=亍(OA+CD>A_D=jx——a+^/2axa=—4~7~~>

2212J

h=SO=——a>

2

所以有四棱錐S—AOCD的體積為丫=1'.//=1、逑/'逅。=走

33424

另一方面由題可知四棱錐S-AOCD的體積為y=逅，

2

結(jié)合以上兩方面有立/=Yf,解得0=拒，

42

因為CD〃A5,所以NCDE=NABD,由(1)可知tan/ABO=YZ,

2

所以tan/Cr)E=YZ,所以cos/CDE=，S,

23

所以DE=CD<OSZCDE=8^X^=^^.

33

17.已知甲、乙兩支登山隊均有"名隊員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者a,b,c,d將依次通過

摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊，規(guī)則如下：在一個不透明的箱中放有紅球和黑

球各2個，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回

地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱中；接著由下一名新增登山

愛好者摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復，直至所有新增

登山愛好者均摸球和放球完畢.新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊，否則被分至

乙隊.

⑴求a,b,c三人均被分至同一隊的概率；

⑵記甲，乙兩隊的最終人數(shù)分別為由,%，設(shè)隨機變量X=|4-％求E(X).

解：(1)。，瓦c三人均被分至同一隊，即三人同分至甲隊或乙隊，

記事件A="。被分至甲隊“，事件3='力被分至甲隊“，事件C="c被分至甲隊“，

當。即將摸球時，箱中有2個紅球和2個黑球，則。被分至甲隊即。摸出紅球的概率為

P(A)=1；

當。被分至甲隊時，箱中有2個紅球和3個黑球，則b被分至甲隊即6摸出紅球的概率為

PGB|A)=|;

當a,b均被分至甲隊時，箱中有2個紅球和4個黑球，貝"被分至甲隊即c摸出紅球的概率

為尸(C|A2)=；；

所以P(AB)=P(A)P(B|A)=|x|=|,則P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=|x|=-l,

乙JJJD_LJ

同理知：新增登山愛好者a,%,c均被分至乙隊的概率也為A,

2

所以〃，仇c三人均被分至同一隊的概率為-.

(2)解：由題設(shè)，X可能取值為4,2,0,

7V?V?4

X=4為新增的4名登山愛好者被分至同一隊，則尸(X=4)=2x：::；=白,

4x5x6x7105

X=2為新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊，其余1名被分至另一隊，

設(shè)新增的第k(k=1,2,3,4)名登山愛好者被單獨分至甲隊或乙隊，則

2x3x3x3

[=p(左=l)=2x

4x5x6x7

2x3x3x3

g=p(左=2)=2X

4x5x6x7

2x2x4x34

A=p(4=3)=2X

4x5x6x735

八c/7八c2x2x2x52

R=P(k=4)=2x---------=——,

44x5x6x721

7

所以P(X=2)=[+￡+△+A=話,

X=。為新增的4名登山愛好者中各有2名被分至甲隊和乙隊，則

52

p(X=0)=l—P(X=2)—P(X=4)=布,

4757Q2

所以顏X)=4x」+2x，+0x2^=出.

1051510535

22

國在平面直角坐標系中，已知雙曲線的浙近線方程為x±2y=0,A,5

分別是雙曲線。的左、右頂點.

⑴求。的標準方程；

⑵設(shè)尸是直線x=l上的動點，直線尸分別與雙曲線。交于不同于的點M,N,過

點3作直線的垂線，垂足為。，求當|仞|最大時點P的縱坐標.

22b

解：（1）雙曲線C：LY-=Y=1的漸近線方程為＞=±2%，即法土2y=。，依題意，6=1,

4b2

所以C的標準方程為工-y2=].

4-

⑵由⑴知，4-2,0）,8（2,0）,設(shè)尸（1,%）,加（如％）,"（%2，%），

顯然直線MN不垂直于y軸，否則由雙曲線的對稱性，點尸在》軸上，不符合題意;

設(shè)直線MN:x=Zy+加?w±2,加w±2,0）,

2

由42A2/消去工得（『一4）y之+2tmy+m—4=0,

[x-4y=4

有A=4t2m2-4（?-4）（療-4）=16（?+m2-4）＞0,

.-2tmm2-4丁日小m2-4、

貝mi1~~7,X%=—~~r'于正=------（Z%+%），

t-4r-4m

由RA,“三點共線得直線PA,M4的斜率滿足斗=已，同理，由P,g,N三點共線得

3%+2

X?-2

消去％,得%（玉+2）+3%伍-2）=0,即%（。1+租+2）+3%（仍+加一2）=0,

整理得4。1%+3（〃？-2）%+（〃z+2）%=0，§P

2（蘇-4

（%+%）+3（吁2）%+（加+2）%=。，

m

則0-4）[0-2）%一（加+2）%]=0,因此zn=4或（m—2）必一（m+2）%=0,

/口一（用+2）/一（TYL—2）才

若（機—2）y一（%+2）%=0,又必+%=^^7得產(chǎn)KT'3丁丁

t—4

川-4[m--4tm--4

結(jié)合口，從而=