安徽省合肥市包河區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數學試題（含答案解析）

安徽省合肥市包河區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下面四個圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是（）

2.已知點A是。。外一點，且。。的半徑為6,則。4的長可能為（）

A.2B.4C.6D.8

3.已知反比例函數y=§（左片0）的圖象經過點（1,6）,那么該反比例函數圖象也一定經

過點（）

A.（3,2）B.（-1,6）C.（-2,3）D.（1,-6）

4.將拋物線>=3/沿著了軸向上平移1個單位后，所得新拋物線的表達式是（）

A.了=尤?+1B.y=x2-lC.y=3x2+1D.y=3x2-l

5.如圖，MN是OO的切線，又是切點，連結OM、ON.若NN=36。,則NMON度

數為（）

A.44°B.64°C.36°D.54°

6.若點/（-2,%），3（-1,%），C。,/）都在二次函數了=*+x+l的圖象上，貝以，％,

力的大小關系是（）

A.yr<y2<y3B.y2<y,<y3c.y2<y3<D.

7.小明準備畫一個二次函數的圖像，他首先列表（如下），但在填寫函數值時，不小心

把其中一個蘸上了墨水（表中停），那么這個被蘸上了墨水的函數值是（）

X-10123

試卷第1頁，共6頁

C.4D.0

8.如圖，某零件的外徑為12cm,用一個交叉卡鉗（AC=BD）可測量零件的內孔直徑

AB.^OA:OC=OB:OD=2,且量得CZ）=5cm,則零件的厚度彳為（）

B.1.5cmC.1cmD.0.5cm

tanfi=1,BC=3,那么/C的長等于（）

9.在RtAABC中,已知44CB=90。，

A.1B.9C.VioD.3A/10

10.如圖，在邊長為1的正方形網格中，點/、B、C、D、￡都在小正方形頂點的位置

上，連接/B、相交于點尸，根據圖中提示添加的輔助線，可以得到cosNBPC的值

等于（）

V2D.2-V2

~T

二、填空題

11.拋物線＞=3（》-2）2+9的頂點坐標為.

12.已知￡=：,那么匕上=.

y2y—

13.已知線段MN的長是10cm,點P是線段MN的黃金分割點，則較長線段"P的長

是cm.

14.如圖，AB為半圓。的直徑，現將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點尸在半

圓上，斜邊過點3,一條直角邊交該半圓于點。.若42=4,則弧80的長

為,當P點為弧三等分點時，扇形尸的面積為.

試卷第2頁，共6頁

AOB

三、解答題

15.計算：(-1)2023+2sin45°-cos30°+sin60°

16.如圖，等邊三角形A4C8的邊長為3,點P為8C上的一點，點。為/C上的一點,

連接4P、PD,ZAPD=60°.

(1)求證：△ABPs^pcD；

(2)若PC=2,求CD的長.

17.如圖，一次函數了=玄+6與反比例函數＞=—的圖像交于尸(2,a)和。(-1,-4)；

(1)求一次函數及反比例函數的表達式；

⑵根據圖像，直接寫出關于X的不等式竺〉Ax+b的解集.

X

18.如圖，在平面直角坐標系中，“BC的頂點都在網格的格點上，按要求解決下列問

題.

試卷第3頁，共6頁

(1)畫出關于y軸的軸對稱圖形△/4G；

(2)以點。為位似中心，在第一象限中出畫出鳥G，使得△451G與△4星。2位似，

且相似比為1:3.

19.為弘揚我國傳統(tǒng)文化，合肥市一年一度的端午節(jié)龍舟賽在政務區(qū)天鵝湖舉行，小剛

在天鵝湖北廣場點尸處觀看500米直道競速賽，如圖所示，賽道為東西方向，賽道

起點/位于點尸的南偏東30。方向上，終點5位于點尸的南偏西60。方向上，AB=500

米，求點尸到賽道的距離(結果保留整數，參考數據：6,1.732)

南

-

20.如圖，為OO的直徑，5。平分入13C,點C、。都在OO上，過點。作?！阓L8C,

交8C的延長線于點￡.

(1)求證：DE是。O的切線.

(2)延長ED交A4的延長線于點E若N尸=30。，48=8,則8E的長為

21.某景區(qū)紀念品超市以50元每個的價格新進一批工藝擺件，經過一段時間的銷售發(fā)

現日銷量y(個)與單個售價x(元)之間的函數關系如下圖.(景區(qū)規(guī)定任何商品的

利潤率不得高于90%)

試卷第4頁，共6頁

(2)該超市要想每天獲得2400元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？

(3)銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？

22.已知：如圖，在“3C中，點。在邊8c上，ZADE=ZB,NEAF=NFDC,DE

與4C交于點F

(2)連接BF,AB2=AF-AC,求證：ADBC=AEBF.

23.如圖，在平面直角坐標系xQy中，拋物線/=#+為+3經過點4(3,0)和8(-1,2),

與y軸交于點C.

(1)求這個拋物線的表達式；

⑵如果點。是拋物線位于第三象限上一點，DC交x軸于點￡,且E為。。的中點.

①求。點坐標；

試卷第5頁，共6頁

②點尸在x軸上，如果NPC/=NDC3,求點尸的坐標.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.B

【分析】根據中心對稱圖形的定義：一個平面圖形，繞一點旋轉180。，與自身完全重合.逐

一進行判斷即可.

【詳解】A、不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、是中心對稱圖形，符合題意；

C、不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選B.

【點睛】本題考查中心對稱圖形.熟練掌握中心對稱圖形的定義是解題的關鍵.

2.D

【分析】本題考查了點與圓的位置關系：若半徑為「，點到圓心的距離為d,則有當d>廠時,

點在圓外；當4=，時，點在圓上，當d<7■時，點在圓內.根據點在圓外，點到圓心的距離

大于圓的半徑6可對各選項進行判斷.

【詳解】解：?：點A是外一點，

OA>6,

的長可能為8,

故選：D.

3.A

【分析】本題主要考查了求反比例函數解析式，反比例函數圖象的性質，先利用待定系數法

求出反比例函數解析式為y=再由反比例函數圖象的性質得到在反比例函數

X

y=%k手0）的圖象上的點橫縱坐標的乘積一定為6,據此可得答案.

【詳解】解：：反比例函數y=勺左*0）的圖象經過點（1,6）,

???左=1x6=6,

.??反比例函數解析式為y=°,

X

?.?反比例函數圖象上的點橫縱坐標一定滿足其解析式，

在反比例函數>=￡（左W0）的圖象上的點橫縱坐標的乘積一定為6,

.??四個選項中只有A選項中的點符合此條件，

答案第1頁，共16頁

故選：A.

4.C

【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，根據平移規(guī)律“上加下減，左加右減”即可求解.

【詳解】解：將拋物線y=3x2沿著了軸向上平移1個單位后，所得新拋物線的表達式是

y=3x2+1,

故選：C.

5.D

【分析】根據切線的性質定理得到NO兒W=90。，再根據直角三角形兩銳角互余即可得到

/MON的度數.此題主要考查了切線的性質定理，熟練掌握切線垂直于過切點的半徑是解

題的關鍵.

【詳解】解：是O。的切線，M是切點，

0M1MN,

：.ZOMN=90°,

ZN=36°,

：.AMON=90°-ZN=54°.

故選：D

6.A

【分析】本題主要考查了比較二次函數值的大小，根據函數解析式的特點，確定其開口方向

和對稱軸，根據開口向下的二次函數，離對稱軸越遠函數值越小即可得到答案.

【詳解】解：???二次函數解析式為了=一/+》+1=-1z一￡|+1,

拋物線開口向下，對稱軸為直線》=:，

2

二離對稱軸越遠，函數值越小，

?.?點4（—2,乃）,3（-1,%），C。,％）都在二次函數了=一/+尤+1的圖象上，

故選：A.

7.D

答案第2頁，共16頁

【分析】利用拋物線的對稱性即可求出拋物線的對稱軸，再利用拋物線的對稱性即可求出結

論.

【詳解】解：由表格可知：拋物線過(0,3)、(2,3)、(3,0)

...拋物線的對稱軸為直線x=^-=l

對應的縱坐標與x=3對應的縱坐標相等，都是0

???這個被蘸上了墨水的函數值是0

故選D.

【點睛】此題考查的是拋物線對稱性的應用，掌握利用拋物線的對稱性求對稱軸是解題關鍵.

8.C

【詳解】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是利用相似三角形的性質求出x的長.求

出“05和△CO。相似，利用相似三角形對應邊成比例列式計算求出再根據外徑的長

度解答.

解：?；OA:OC=OB:OD=2,ZAOB=ZCOD,

AAOBS^COD,

AB:CD=OA:OC=2,

：.AB：5=2f

/B=10(cm),

*.*外徑為為cm,

???10+2x=12,

x=l(cm).

故選：C.

9.A

【分析】本題考查解直角三角形，根據題意，表示出的正切即可解決問題.

【詳解】解：在RbABC中,

tanBn=-4--C-,

BC

又因為tanB=‘，BC=3,

3

答案第3頁，共16頁

所以;=?，

解得AC=1.

故選：A.

10.B

【分析】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質與判定，勾股定理，等腰直角三

角形的性質與判定等等，過點5作LCD于"，先證明/BCD=45。，進而解直角三角形

得至UC”=正，BH=—,CD=6，再證明得到cp=9c￡)=￡l,貝IJ

224

PH=CP-CH=旦,利用勾股定理求出5尸=典

再利用正切的定義求解即可.

44

【詳解】解：如圖所示，過點B作BHLCD于",

?：BC=BD=1,NCBD=9G。,

：.ZBCD=45°,

5V2…一BCR

ACH=BC-cosZBCH=—,BH=BCsin/BCH

22cos/BCD

??,AC//BD,

：.AAPCsABPD,

?CPAC

?.——3,

DPBD

：.CP=-CD=^,

44

5

：.PH=CP-CH=—,

4

：.BP=ylPH2+BH2,

4

V2

cos/BPH=,即cosZ.BPC=，

PBV1055

丁

故選：B.

Ac

5

t;DO

、、、：：

ii、1，/

E

11.（2,9）

答案第4頁，共16頁

【分析】本題考查了二次函數的頂點式；根據拋物線的頂點式可直接得出答案.

【詳解】解：拋物線》=3。-2）2+9的頂點坐標為（2,9）,

故答案為:（2,9）.

12.-

2

【分析】根據比例的性質，設x=5a,貝＞Jy=2a,代入原式即可求解.

【詳解】解：??x?"51

y2

設x=5。，則y=2a.

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了比例的性質，根據比例式用同一個未知數得出X，y的值進而求解

是解題關鍵.

13.575-5

【分析】根據黃金分割點的定義即可進行解答.

【詳解】解：：點尸是線段的黃金分割點，線段血W的長是10cm,線段MP為較長線

段，

二叱=10x避二=造-5,

2

故答案為：575-5,

【點睛】本題考查的是黃金比例，解題的關鍵清楚黃金比例概念以及黃金分割比為業(yè)匚.

2

一5一4

14.兀一?或一萬

33

【分析】連接/Q，OQ,根據圓周角定理求出N8。。，根據弧長公式計算即可得到弧8。的

長；分標的長等于弧/。長的§和萬的長等于弧長的;兩種情況，求出扇形圓心角度

數，根據扇形面積公式進行計算即可得到扇形尸的面積.

【詳解】連接N0,OQ,

答案第5頁，共16頁

/P=45°,

/.ZQAB=ZP=45°,

：.ZQ0B=2ZQAB=90。，

'：OA=OB=-AB=2,

2

.n八人八1,〃4尸90^X2

???弧匹的長為前=B=*

連接OP,

當族的長等于弧4。長的g時,

?.?ZAOQ=180?！狽5。。=90。,

Z^OP=90°x-=30°,

3

???ZPOB=Z180°-ZAOP=150°,

???扇形FOB的面積為國吐I工

3603

當成的長等于弧力。長的g時，

?.?ZAOQ=180°-ABOQ=90。，

：.ZAOP=90°x-=60°

3f

???ZPOB=Z180°-ZAOP=\20°,

???扇形R95的面積為空竺土=3乃，

3603

54

故答案為：兀，—萬或；乃

33

【點睛】本題考查的是弧長的計算、圓周角定理、扇形面積公式、圓心角和弧之間的關系,

掌握相關公式和分類討論是解題的關鍵.

15.-1+72

【分析】本題主要考查了特殊角三角函數值的混合計算，先計算特殊角三角函數值和乘方,

答案第6頁，共16頁

再根據實數的運算法則求解即可.

【詳解】解：(-1)2023+2sin45°-cos30°+sin60°

-1+2X立-其正

222

=—1+5/2?

16.(1)見解析

(2)CD的長為§

【分析】(1)由等邊三角形和乙4尸。=60。得，NB=/C=NAPD=60。,ZAPB+ZCPD=120°,

在zMPB中，ZAPB+ZBAP=nO°,由此可得/3/尸=/。尸￡>.因此

DpAD

(2)由⑴的結論△^尸s△尸CD可得而=拓，從而可以求出線段CQ的長.

【詳解】(1)證明：???等邊三角形45G

???ZB=ZC=60°,

9：ZAPD=60°,

：.ZAPB+ZCPD=120°f

在ZU尸5中，/APB+/BAP=120。,

：.NBAP=/CPD,

：.AABPs^pcD；

(2)解：等邊三角形邊長為3,PC=2,

由(1)得AABPSAPCD,

BP_AB

~CD~~PC"

…CD~29

2

：.CD=-,

3

答：的長為;2.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，三角形的內角和定理的

應用，關鍵是推出A4APSAPCO.

4

17.(1)一次函數的解析式為：J=2x-2反比例函數的解析式為y=—

;x

答案第7頁，共16頁

(2)%<-1或0<x<2

【分析】(1)將。(-1,-4)代入y="，求出根的值，進而求出點P的坐標；將點P和點。的

X

坐標代入一次函數表達式求解即可；

(2)根據圖像判斷即可；

【詳解】(1)(1)將。(一1,一4)代入>=得加=4

X

X

4

將P(2,0)代入y=—,得。=2

???尸(2,2)

將。(T-4)、尸(2⑵代入kH+b得：

[-k+b=-4

[2k+b=2

解得:U\k=-2

故一次函數的解析式為：>=2x-2

(2)解：由圖像可知：

當時，—>kx+b

x

vyi

當0<尤<2時，一>kx+b

x

故關于x的不等式'>Ax+b的解集為：x<-l或0<x<2

x

【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數圖像的性質；熟練掌握函數圖像與函數表達式之

間的關系是解題的關鍵.

18.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查軸對稱及位似，熟練掌握軸對稱及位似的性質是解題的關鍵；

(1)分別得出點4B、。關于y軸的對稱點，然后連線即可；

(2)由(1)及位似的性質可進行作圖

答案第8頁，共16頁

【詳解】（1）解：如圖所示，△44。即為所求.

19.217米.

【分析】過點P作尸垂足為尸，設尸C=尤米，然后分別在RtA4PC和Rtz^CAP中，

利用銳角三角函數的定義求出NC,BC的長，再根據N8=500米，列出關于x的方程，進

行計算即可解答.本題考查了解直角三角形的應用一方向角問題，根據題目的已知條件并結

合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：過點P作尸垂足為P,

設尸C=x米，

在RtZUPC中，ZAPC=30°,

h

A^C=PCtan30°=—x（米）,

3

在Rt^CB尸中，NCPB=60°,

ASC=CP-tan60°=V3x（米），

/5=500米，

AC+BC=500,

——x+VJx=500,

3

，x=125鳳217,

PC=217米,

答案第9頁，共16頁

，點P到賽道48的距離約為217米.

20.⑴見解析

(2)6

【分析】本題考查了切線的判定與性質，含30度角的直角三角形的性質.

(1)連結OD,如圖，先證明ZODB=NEBD得到ODH8E,再利用DE_L8E得到DE,OD,

然后根據切線的判定方法得到結論；

(2)根據含30度角的直角三角形三邊的關系，先在RtAODF中計算出OF=8,則8尸=12,

然后在RtAEFB中可計算出BE的長.

掌握切線的判定方法，是解題的關鍵.

【詳解】(1)證明：連結QD,如圖，

NOBD=ZEBD,

OB=OD,

：.ZODB=NOBD,

ZODB=ZEBD,

OD//BE,

'：DEVBE,

：.DE-OD,

.?.DE是OO的切線；

(2)；AB=8,

OA=OB=OD=4,

'：ODVEF,

：.ZODF=90°,

在RL^OZ)廠中,

答案第10頁，共16頁

?/NF=30°,

：.OF=2OD=8,

尸=09+08=8+4=12,

BEVEF,

：.NE=90°,

在RtZXEFB中，

,/ZF=30°,

：.BE=-BF=6.

2

故答案為：6.

21.(1)y=-2x+260；(2)銷售單價應定為70元；(3)銷售單價為90元時，每天獲得的

利潤最大，最大利潤是3200元

【分析】(1)設丫=1a+1),將點(60,140),(70,120)代入即可求出y與x的函數關系式；

(2)由題意得：利潤=單個利潤x日銷量，根據等量關系列方程，即可求解.

(3)設每天獲得的利潤為W元，由題意得W與x的二次函數關系式，分析二次函數的圖

像與性質，以及二次函數的最值，即可求解.

140=60左+6

【詳解】解：(1)設〉=h+6(左W0,6為常數)將點(60,140),(70,120)代入得

120=70左+6'

斤=-2

解得

6=260

.■.y與x的函數關系式為：y=-2x+260；

(2)由題意得：(尤-50)(-2x+260)=2400,化簡得:x2-180x+7700=0,

解得：石=70,x2=110,

V50x(1+90%)=95,且110>95,

/.x2=110(舍去),

答：銷售單價應定為70元.

(3)設每天獲得的利潤為平元，由題意得少=(x-50)(-2x+260)=-2。-90)2+3200,

?."=-2,拋物線開口向下，

答案第11頁，共16頁

印有最大值，當x=90時，%大值=3200,

答：銷售單價為90元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3200元.

【點睛】本題考查了一次函數和二次函數在實際問題中的應用，明確二次函數的相關性質及

正確列出函數關系式，是解題的關鍵.

22.⑴證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

(1)證明即可得出嚕=當；

ACAE

ARAJ7ARRFADRF

(2)先推導出差=長，證明△/B尸得喂=g,即可證明嘿二黑進而

ACABACBCAEBC

得出結論.

【詳解】(1)證明：?../及尸=/即。,44巫二/?；谻,

NEAF+ZAFE+/E=18。。=NFDC+NDFC+NC,

ZE=ZC,

在VZOE和中，

jZADE=ZB

[ZE=ZC'

???AADEs^4BC,

,AB_AD

"1C~AE；

(2)證明：如圖：

■:AB?=AF?AC,

ABAF

ACAB

丁ABAF=ZCAB，

答案第12頁，共16頁

???/\ABFs&acB,

.AB_BF

??就一葭’

..ABAD

?~AC~^4E'

.AD_BF

??瓦―茄’

AD>BC=AE>BF.

11c

23.=-5X2+—x+3

（2）?（-3,-3）,②（I，0）或（6,0）

【分析】（1）將點4（3,0）和3（-1,2）代入尸/+及+3,求出a和6的值即可；

（2）①先求出點。的坐標，設點。的坐標為，，-;/++,根據點E為。。的中點可

求出一的值，即可求出點。的坐標；②分兩種情況進行討論，當點尸在點/左側時和當點尸

在點N右側時，畫出輔助線，構建全等三角形，根據全等三角形對應邊相等即可進行解答.

【詳解】⑴解：將點工（3,0）和8（7,2）代入廣”+阮+3得:

]_

9a+36+3=02

，解得

Q—b+3=2

b=-