2024年中國(guó)科技大少年班創(chuàng)新班入圍考試數(shù)學(xué)試題答案詳解

中科大少年班及少創(chuàng)班入圍考試數(shù)學(xué)真題

考試時(shí)間：2024年3月9日星期六

本次數(shù)學(xué)考試，其18個(gè)填空題，1個(gè)大題.

1.1-14個(gè)數(shù)填入正方體頂點(diǎn)和各面中心，求證是否可使各面上頂點(diǎn)及中心所填入數(shù)值之和

相等.

2.一只螞蟻從棱長(zhǎng)為1的正方體一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)沿棱爬行，回到原點(diǎn)，最短路程.

3.求cosx+cosy+cos(x+y)取值范圍.

4.e>cx>對(duì)任意x>0均成立，求c的范圍.

5.求(l+x+x-)6的常數(shù)項(xiàng)為.

6.x2+y2-axy+x+y=1是雙曲線，求。的范圍

7.求曲線/+/=2忖-23所圍成的封閉圖形的面積.

1f2]l|I

耳小邪

8.<2lS2=plog-<2'$3=3求(ECS2)U&

9.某復(fù)數(shù)z=a+6i,代表尸點(diǎn)，將麗繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到而，求。點(diǎn)坐標(biāo).

10.若2,萬分別為平面上的向量，A為平面內(nèi)的定點(diǎn)，冏=2,同=3,a萬的夾角為60。,

|萬卜卜a+y同1.求尸點(diǎn)軌跡所圍的面積是多少？

11.z=cos-^-+isin-^-,H>2,neN*,^|1-Z|+|1-Z2|+|1-Z3|H---i-|l-z"-1|

nniiiiii

12.8本不同的書分給5人，其中1個(gè)2本，1個(gè)人3本，剩余三人每人一本，求分配的方

法有多少？

13.甲乙進(jìn)行比賽.每一輪，甲勝率為乙勝率為當(dāng)其中一人比另一人多勝2輪則

獲得最終勝利.則甲獲勝概率為？

14.尸(Z)=尸(5),A和8相互獨(dú)立，尸(455)=0.64,求產(chǎn)⑷

15.下列哪些命題是真命題？

(1)。片0是同>0的充要條件

(2)3aeQja2+leQ

試卷第1頁，共2頁

(3)V4ZGR,3ZJGZ,使得0(。+6<1

(4)若。1為無理數(shù)，則仍為無理數(shù)

7

16.4到天分別為22,23,35,40,45,50,55,求演一|的最小值.

Z=1

17./(x)=sin|+sin|+sin^的最小正周期為？

試卷第2頁，共2頁

1.否

【分析】

將8個(gè)頂點(diǎn)設(shè)為q(i=l,2,…,8),6個(gè)面中心設(shè)為外(左=12…,6),求出6面總和以及所有數(shù)

的和，找出矛盾即可.

【詳解】將8個(gè)頂點(diǎn)設(shè)為q(，=l,2,…,8),6個(gè)面中心設(shè)為4化=1,2,…,6),

8614x15

則￡4+￡%=1+2+…+14=---=105,

i=lk=\'

868

則6面總和為32%+WA=105+2工4.為奇數(shù)，

z=lk=\T

但6面總和應(yīng)該使6的倍數(shù)，矛盾，

綜上：不可使各面上頂點(diǎn)及中心所填入數(shù)值之和相等.

2.16

【分析】

根據(jù)每個(gè)頂點(diǎn)的度為3,且每個(gè)定點(diǎn)的出、入度之和為偶數(shù)，求出最短路徑范圍，再找到具

體走法且其路徑長(zhǎng)恰好為最小值即可得解.

【詳解】將立方體看成一個(gè)平面圖形，則每個(gè)頂點(diǎn)的度為3,但在回到起點(diǎn)的前提下，每個(gè)

頂點(diǎn)的入度與出度之和應(yīng)當(dāng)是一個(gè)偶數(shù)，因此至少為4,這說明了最短路徑長(zhǎng)不小于等=16,

另一方面，設(shè)這個(gè)正方體為/2CD-EFG//,則ABCDHGFEHGCBFEADA的路徑長(zhǎng)為16,

且能遍歷所有棱且回到原出發(fā)點(diǎn)，滿足題意,則最短路徑長(zhǎng)恰為16.

-23

3.

2'

【分析】先利用和差化積公式和二倍角公式,轉(zhuǎn)化成和cos字的式子,在利用換

元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的的值域問題求解.

【詳解】；cosx+cosy+cos(^+v)=2cos"；'cos*.)+2cos?苫；,-1.

設(shè)/=cos言則原式=2/+2fcos寧一1,

此時(shí)把原式看成是關(guān)于cos7的一次函數(shù)，所以函數(shù)的最大最小值必定是cos?=±l時(shí)

22

取得.

當(dāng)cos寧=-1時(shí)，原式=2/-2"le[-l,3],

答案第1頁，共8頁

當(dāng)cos^_^=1時(shí)，原式=2/+2f-le--,3.

2L2

'3'

所以原式的取值范圍為：-2乃?

「

故答案為：-；3,31.

4.(-00,e)

【分析】

根據(jù)題意，分離參數(shù)可得c<■在xe(O,+s)恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)〃x)=1(x>0),轉(zhuǎn)化

為。<[/(尤)L，求導(dǎo)即可得到結(jié)果.

【詳解】由eH>cx,對(duì)任意x>0均成立，可得c<《在xe(0,+oo)恒成立，

構(gòu)造函數(shù)〃x)=?(x>0),即c<[/(x)L，

又/，(x)=e'(：T),令/(x)=0,可得x=l,

當(dāng)xe(O,l)時(shí),T(x)<0,則“X)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，/心)〉0,則〃x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x=l時(shí)，/(x)有極小值，即最小值，

所以c<[/(x)Ln=/'⑴=e,

即c的范圍為(-co,e).

5.141

【分析】以x+婷為整體求出展開式的通項(xiàng)，再利用二項(xiàng)式定理求出常數(shù)項(xiàng).

【詳解】依題意，(1+X+X-)6=[1+(X+廣1)]6的展開式的通項(xiàng)為=&(X+y/€N/W6,

當(dāng)r=o時(shí)，a(x+/y=l,

當(dāng)reN*/46時(shí)，(x+)'展開式的通項(xiàng)(x-l)丘=C^x'-2k,keN,k<r,

于是&尸&《/々3由一2左=0,得k=1則*{2,4,6},

此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為C：C；+C：C；+鹿4=15x2+15x6+20=140,

所以(1+工+”)6的常數(shù)項(xiàng)是1+140=141.

答案第2頁，共8頁

故答案為：141

6.（-00,-2）u（2,3）u（3,+oo）

【分析】考慮雙曲線方程的特點(diǎn)，可求。的取值范圍.

2

【詳解】由x?+V-axy+x+y=1可得x-a孫+/+x+y-1=0

由<?-4>0="<-2或a>2,

a1

1——

22

由一巴1—ROna片3

22

11-1

22

所以。的取值范圍是:（-8,-2）D（2,3）U（3,+8）.

7.271-4

【分析】

首先判斷曲線的對(duì)稱性，從而確定曲線在第一象限內(nèi)與x軸所圍成的圖形，再求出圖形的面

積.

【詳解】對(duì)于曲線，+3/=2國(guó)一2帆，

將y換成-y得/+/=2國(guó)-23,即曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，

將X換成-X得/+=2國(guó)-2M，即曲線關(guān)于丁軸對(duì)稱，

因此只需考慮在第一象限的情形，

當(dāng)x>0,y>0時(shí)曲線即X?+/=2x-2y,即（x-l]+（y+1）~=2,

所以曲線在第一象限內(nèi)與x軸所圍成的圖形是由半徑為行的;圓去掉一個(gè)等腰直角三角形

而形成的圖形，

根據(jù)對(duì)稱性可得曲線—+/=2國(guó)-2可所圍成的封閉圖形為下圖陰影部分，

所以所圍成的封閉圖形的面積S=4xV2xV2=加Y.

答案第3頁，共8頁

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)集合，即可由集合的運(yùn)算求解.

【詳解】由后<2=〃<8,「.8］={4〃<8},

由loga|"<2,，Q〉l或0<4<如，故s2=0,乎］u（l，+°°），

33\）

由U>l°g^^>a>log2,

L3故昆={4a>log32),

因此HcS=0,\-u(l,8),

<J

3

由于2?<32<3癡，ffrLUlog32<log333log32<^^log32<*i

故(HCS2)US3=(O,+8)

9.Q（b,-a）

【分析】

根據(jù)題意，由條件可得P（。，與，然后可得歷與而相隔結(jié)合三角函數(shù)的定義，代入計(jì)

算，即可得到結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閺?fù)數(shù)2=。+歷代表P點(diǎn)，貝”（9）,

將赤繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)］得到OQ,

則網(wǎng)=|麗卜萬底,

答案第4頁，共8頁

71

設(shè)而與X軸正半軸夾角為a,則麗與X軸正半軸夾角為a~~

a.b

日cosa=/,sina=/=,

設(shè)點(diǎn)。(%/),

b

則x=?cosa--=J/+爐-sincr=xjd+4x.

-Ja2+b2

所以0(6,-a).

10.19兀

【分析】

確定點(diǎn)P的軌跡為圓面，求解即可.

【詳解】因?yàn)榫W(wǎng)=陵+明,04x〈”l,

所以卜〃=卜@+了同^a^+hcya-p+y2p2=4x2+6xy+9y2

=(2x+|^j+^-y2,0<x<y<1,

所以x=y=0時(shí)，(|/)=0,當(dāng)x=y=l時(shí)，(|萬『)=19,

所以網(wǎng),

所以P點(diǎn)軌跡是以/為圓心，J歷為半徑的圓面,

所以P點(diǎn)軌跡所圍的面積S=7i-(M『=197i.

2

11,,兀

tan——

2n

【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算，先求出再利用和差化積公式進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)yi,2,…則，=cos%+isin也.

nn

所以：

L左?(2k7t\..2女兀

|l-z|=I1-cos-----l+isin------

答案第5頁，共8頁

因?yàn)?＜儂＜兀,所以sin在＞0.

nn

所以z1=2sin包.

11n

（上一1）兀（上+1）兀（k7i兀）（kn兀）.左萬.兀

?cos-------------cos---------=cos-------------cos——+——=2sin——sin——.

2n2n\2n2nJ（2n2n）2n2n

（2左一1）兀（2左+1）兀

cos---------------cos---------」

..kit.2ATT

..sin——=sin-----=2n2n

n2n2si」

In

所以

（2左-1）兀（%+l）兀兀兀71

n-lcos---------cos-—」cos------cos------------2cos——

￡"i|=2￡sin包n-\

=2X2n2n2n2n_____Z^L

n.兀.71

k=ik=\k=l2sinsm—sin——

￡2n2n

2

71.

tan—

2n

2

故答案為:“兀?

tan——

2n

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用復(fù)數(shù)的三角形式計(jì)算復(fù)數(shù)的乘方和三角函數(shù)的和差化積公式是解決問

題的關(guān)鍵.

12.67200

【分析】

現(xiàn)將8本不同的書分成3,2,1,1,1,再分分給5人，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得出答案.

【詳解】現(xiàn)將8本不同的書分成3,2,1,1,1,

所以有C；-《=56x10=560種方法,

再分給5人,則有A：=120種方法,

所以一共有：560x120=67200.

1?---------------------

【分析】分析甲最終獲得勝利的情況，求出其概率.

【詳解】用A表示事件“第一、二輪甲均獲勝”，則2(/)=/,

答案第6頁，共8頁

用8表示事件“兩輪比賽未決出勝負(fù)”，則必定是前兩輪，甲以勝一負(fù)，則

P（B）=C；0（1-p）=2p（l-p）,則問題回到初始狀態(tài)，

用C表示事件“甲最終獲得勝利”，則P（C|0=P（C）

則

尸（c）=p（/c）+尸（3C）=P（CM）尸（4）+尸（C|3）尸（8）=p2+2p（l-p）尸（c）=>

p2

P（C）=-----7----7

I）1-2P（1-P）-

P2

故答案為：1_2尸0_.）

14.尸（/）=0.4

【分析】

根據(jù)和事件及相互獨(dú)立事件的概率公式即可求解.

【詳解】因?yàn)锳和8相互獨(dú)立，

所以尸（，5）=尸（⑷尸（8）.

又因?yàn)槭?）=尸（8）,P（AuB）=0.64,P（A<JB）=P（A）+P（B）-P（AB）,O<P（^）<1

所以0.64=2尸⑷-仍⑷T，解得：尸⑷=0.4.

15.（1）（2）（3）

【分析】逐一判斷命題的真假即可.

【詳解】對(duì)（1）顯然是成立的，故（1）是真命題；

對(duì)（2）當(dāng)。=0時(shí)，aQ,Ja+\=1e0,故（2）是真命題；

對(duì)（3）取。=加+乙其中機(jī)=[4是不大于。的最大整數(shù)，即。的整數(shù)部分，貝

令b=-m,貝!]a+6=a—機(jī)=te[0,1）,故（3）為真命題；

對(duì)（4）取0=2+0，b=2-C，可以驗(yàn)證（4）是假命題.

故答案為：（1）（2）（3）

16.70

【分析】