2024屆廣東省惠州市八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2024屆廣東省惠州市八上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.如果代數(shù)式（x-2）（x2+mx+l）的展開式不含x2項(xiàng)，那么m的值為（）

11

A.2B.—D.——

22

2.已知AABC的六個(gè)元素，下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中標(biāo)出了某些元素，則與AABC全等的三角形是（)

D.乙和丙

2

A.2a2-4a=a(2a-4)B.―々2+2ab—Z72=—(a—人)

C.2x3y-3x2y2+x2y=x2y(2x-3y)D.x2+y2=(x+y)2

4.如圖，數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是1和若A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,則點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為（）

A.273-1B.1+73C.2+6D.273+1

5.在平面直角坐標(biāo)系中，下列各點(diǎn)位于x軸上的是（）

A.（1,-2）B.（3,0）C.（-1,3）D.(0,-4)

6.若分式”|有意義，則。滿足的條件是（）

Q—2

A.aw2或-2B.aw2C.aw—2D.a=2

如圖，用4張全等的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形,用兩種方法表示圖中陰影部分的面積可得出一個(gè)代數(shù)恒等式,若長(zhǎng)方

形的長(zhǎng)和寬分別為a、b,則這個(gè)代數(shù)恒等式是（)

A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a-b)2=(a+b)2-4ab

C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.(a-b)2=a2-ab+b2

8.如圖，正五邊形A5CDE,5G平分NA5C,DG平分正五邊形的外角NEDF,則NG=()

A.36°

B.54°

C.60°

D.72°

9.某通訊公司就上寬帶網(wǎng)推出A,B,C三種月收費(fèi)方式.這三種收費(fèi)方式每月所需的費(fèi)用y（元）與上網(wǎng)時(shí)間x（h）的

函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.每月上網(wǎng)時(shí)間不足25h時(shí)，選擇A方式最省錢B.每月上網(wǎng)費(fèi)用為60元時(shí)，B方式可上網(wǎng)的時(shí)間比A方式多

C.每月上網(wǎng)時(shí)間為35h時(shí)，選擇B方式最省錢D.每月上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)70h時(shí)，選擇C方式最省錢

10.若把分式——21中的”和y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（）

工一丁

A.擴(kuò)大10倍B.不變C.縮小10倍D.縮小20倍

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.計(jì)算的結(jié)果是.

12.定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”.已知在“等對(duì)角四邊形ABCD”中,

ZDAB=60°,ZABC=90°,AB=4,CD=2,則邊BC的長(zhǎng)是

13.圖1是小慧在“天貓?雙11”活動(dòng)中購(gòu)買的一張多檔位可調(diào)節(jié)靠椅.檔位調(diào)節(jié)示意圖如圖2所示，己知兩支腳

AB=AC=1O分米，3。=12分米，。為AC上固定連接點(diǎn)，靠背8=10分米.檔位為I檔時(shí)，OD//AB,檔位為

n檔時(shí)，o。'，AC.當(dāng)靠椅由i檔調(diào)節(jié)為n檔時(shí)，靠背頂端。向后靠的水平距離(即所)為分米.

14.某種商品的進(jìn)價(jià)為150元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為225元，由于銷售情況不好，商店準(zhǔn)備降價(jià)出售，但要保證利潤(rùn)不低于

10%,如果商店要降X元出售此商品，請(qǐng)列出不等式.

15.如圖，在aABC中，NC=NABC,BE1AC,垂足為點(diǎn)E,ZkBDE是等邊三角形，若AD=4,則線段BE的長(zhǎng)

為.

16.如圖，AB〃CD,BP和CP分另Ij平分NABC和NDCB,AD過(guò)點(diǎn)P,且與AB垂直.若AD=6,則點(diǎn)P到BC的距

離是.

17.使代數(shù)式扃不有意義的x的取值范圍是

18.如圖，直線%=日+6過(guò)點(diǎn)A(0,2),且與直線為=如交于點(diǎn)P(Lm),則不等式組kx+b＞機(jī)1-2的解

集是_________

三、解答題(共66分)

31?2

19.(10分)已知點(diǎn)A在x軸正半軸上，以Q4為邊作等邊AQ4B,A(%,0),其中x是方程--------=------的解.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo).

(2)如圖1,點(diǎn)C在丁軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊AACD,連。6并延長(zhǎng)交V軸于點(diǎn)E,求/BEO

的度數(shù).

(3)如圖2,若點(diǎn)歹為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)b在點(diǎn)A的右邊，連FB,以EB為邊在第一象限內(nèi)作等邊AEBG,

連G4并延長(zhǎng)交了軸于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，GH-A尸的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求出其變化

的范圍.

20.(6分)取一副三角板按圖(1)拼接，固定三角板ADC(4D=60,NACD=30),將三角板

ABC(ZBAC=ZBCA=45)繞點(diǎn)A依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為"的角(0<a<45°)得到,圖⑵所

示.試問(wèn)：

(1)當(dāng)。為多少時(shí)，能使得圖(2)中AB//CD?說(shuō)出理由,

(2)

(2)連接瓦)，假設(shè)40與CD交于與交于口，當(dāng)(0WaW45°)時(shí)，探索“6M+NC4M+NBDC值

的大小變化情況，并給出你的證明.

21.(6分)如圖，平面直角坐標(biāo)系xoy中4(-4,6),5(-1,2),C(-4,1).

(1)作出△A5C關(guān)于直線x=l對(duì)稱的圖形△A1B1G并寫出△A131G各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將△A151C1向左平移2個(gè)單位，作出平移后的△A282C2,并寫出252c2各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)觀察△ABC和△△282c2,它們是否關(guān)于某直線對(duì)稱？若是，請(qǐng)指出對(duì)稱軸，并求△A3C的面積.

22.(8分)已知在等邊三角形ABC的三邊上，分別取點(diǎn)。，瓦戶.

⑴如圖1,若AD=BE=CF,求證:一￡>￡8名二跳C;

⑵如圖2,若ED，AB于點(diǎn)，AC于￡EE，5c于￡,且AB=15,求CE的長(zhǎng);

⑶如圖3,若AD=CF,ED=EF，求證：DEF為等邊三角形.

圖3

23.(8分)如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,NB=NC,AF與DE交于點(diǎn)G,求證：GE=GF.

D

24.(8分)如圖，AABC中，AB=AC,NA=50°,點(diǎn)。、E、尸分別在AB、BC、AC上，且6￡>=CE,BE=CF.

求ND石尸的度數(shù).

25.（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AD=4,BC=LZA=30°,ZB=90°,NADC=120°,求CD的長(zhǎng).

D

26.(10分)某校學(xué)生利用春假時(shí)間去距離學(xué)校10hn的靜園參觀。一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了20%加后，其余學(xué)

生乘汽車沿相同路線出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)。已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度和汽車的

速度。

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、A

【分析】根據(jù)“代數(shù)式(x-2)(x2+mx+l)的展開式不含六項(xiàng)”可知必系數(shù)等于0,所以將代數(shù)式整理計(jì)算后合并同

類項(xiàng)，即可得出/的系數(shù)，令其等于。解答即可.

【詳解】%3+mx2+x-2x2-2mx-2

=x3+(m-2)x2+(l-2m)x-2

???代數(shù)式不含X?項(xiàng)

.,.m-2=0,解得m=2

故答案選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是多項(xiàng)式的乘法和不含某項(xiàng)的問(wèn)題，知道不含某項(xiàng)，代表某項(xiàng)的系數(shù)為0是解題的關(guān)鍵.

2^D

【分析】根據(jù)全等三角形的判定ASA,SAS,AAS,SSS,看圖形中含有的條件是否與定理相符合即可.

【詳解】甲、邊a、c夾角不是50°?.甲錯(cuò)誤；

乙、兩角為58°、50°,夾邊是a,符合ASA,.?.乙正確；

丙、兩角是50°、72°,72°角對(duì)的邊是a,符合AAS,...丙正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)全等三角形的判定的理解和掌握，能熟練地根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵.

3^B

【分析】根據(jù)因式分解的方法對(duì)各式進(jìn)行判斷即可得出答案.

【詳解】A、2a2-4a=2a(a-2),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

-a2+2ab-b2=-(a-b)2,此選項(xiàng)正確;

C、2x3y-3x2y2+x2y=x2y(2x-3y+l),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D、x2+y2無(wú)法分解因式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練掌握乘法公式是解題關(guān)鍵.

4、A

【解析】設(shè)點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是x.根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，即對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離相等，即可列方程求解.數(shù)軸

上兩點(diǎn)間的距離等于數(shù)軸上表示兩個(gè)點(diǎn)的數(shù)的差的絕對(duì)值，即較大的數(shù)減去較小的數(shù).

設(shè)點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是x.

則有x-百=6-1

x=x=26-1

故選A.

5、B

【分析】根據(jù)x軸上點(diǎn)的特點(diǎn)解答即可.

【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中X軸上點(diǎn)的特點(diǎn)是：所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為0,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題是一道基礎(chǔ)題，考查平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握平面直角坐標(biāo)系的基本特征即可.

6、B

【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不能為0進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】???分式”|有意義，

a—2

.?.aTWO,

，aWl.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

考查了分式有意義的條件，解題關(guān)鍵是熟記：當(dāng)分母不為0時(shí)，分式有意義.

7、B

【解析】根據(jù)圖形的組成以及正方形和長(zhǎng)方形的面積公式，知：大正方形的面積-小正方形的面積=4個(gè)矩形的面積.

【詳解】由圖形可知，圖中最大正方形面積可以表示為：(a+b)2

這個(gè)正方形的面積也可以表示為：S陰+4ab

(a+b)2=Ssj+4ab

?*.S(a+b)2-4ab

故選B.

【點(diǎn)睛】

考查了完全平方公式的幾何背景，能夠正確找到大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)是難點(diǎn).解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找

到所求的量的等量關(guān)系.

8、B

【分析】先求出正五邊形一個(gè)的外角，再求出內(nèi)角度數(shù)，然后在四邊形BCDG中，利用四邊形內(nèi)角和求出NG.

【詳解】?.?正五邊形外角和為360°,.?.外角/瓦甲=2=72,

5

內(nèi)角ZABC=NC=NCDE=180-72=108，

?..3G平分NABC,OG平分正五邊形的外角尸

AZCBG=-ZABC=54,ZEDG=-ZEDF=36

22

在四邊形BCDG中，NCBG+NC+NCDE+NEDF+NG=360

ZG=360-(NCBG+NC+NCDE+NEDF)=360-(54+108+108+36)=54

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查多邊形角度的計(jì)算，正多邊形可先計(jì)算外角，再計(jì)算內(nèi)角更加快捷簡(jiǎn)便.

9、D

【分析】A、觀察函數(shù)圖象，可得出：每月上網(wǎng)時(shí)間不足25h時(shí)，選擇A方式最省錢，結(jié)論A正確；

B、觀察函數(shù)圖象，可得出：當(dāng)每月上網(wǎng)費(fèi)用N50元時(shí)，B方式可上網(wǎng)的時(shí)間比A方式多，結(jié)論B正確；

C、利用待定系數(shù)法求出：當(dāng)xN25時(shí)，yA與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出當(dāng)x=35

時(shí)yA的值，將其與50比較后即可得出結(jié)論C正確；

D、利用待定系數(shù)法求出：當(dāng)它50時(shí)，yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出當(dāng)x=70

時(shí)yB的值，將其與120比較后即可得出結(jié)論D錯(cuò)誤.

綜上即可得出結(jié)論.

【詳解】A、觀察函數(shù)圖象，可知：每月上網(wǎng)時(shí)間不足25h時(shí)，選擇A方式最省錢，結(jié)論A正確；

B、觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)每月上網(wǎng)費(fèi)用"0元時(shí)，B方式可上網(wǎng)的時(shí)間比A方式多，結(jié)論B正確；

C、設(shè)當(dāng)它25時(shí)，yA=kx+b,

將(25,30)、(55,120)代入yA=kx+b,得：

「25左+6=30[k=3

55左+Z?=l20.=-45

yA=3x-45(x>25),

當(dāng)x=35時(shí),yA=3x-45=60>50,

??,每月上網(wǎng)時(shí)間為35h時(shí)，選擇B方式最省錢，結(jié)論C正確;

D、設(shè)當(dāng)它50時(shí)，yB=mx+n,

將(50,50)、(55,65)代入yB=mx+n,得：

50m+n=50

V9

55/71+"=65

m=3

解得：

H=-100

/.yB=3x-100(x>50)?

當(dāng)x=70時(shí)，yB=3x-100=110<120,

二結(jié)論D錯(cuò)誤.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的圖象、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，觀察函數(shù)圖象，利用一次

函數(shù)的有關(guān)知識(shí)逐一分析四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵.

10、B

【分析】把x和y都擴(kuò)大10倍,根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，可得答案.

【詳解】解：分式上2中的X和y都擴(kuò)大10倍可得:10x+2xl0j_10(x+2y)_x+2y

x-ylOx-lOy_10(x-y)-x-y

.?.分式的值不變，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的性質(zhì)，分式的分子分母都乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)或者整式，分式的值不變.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.-

a

【分析】由題意根據(jù)運(yùn)算順序，先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算即可得出答案.

【詳解】解：?2X^

21

=ax—

a

a2

=滔

a

故答案為：-.

a

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分式的乘除法，解題時(shí)注意分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一

般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分.

12、4G-2或46-4

【分析】根據(jù)四邊形有兩組對(duì)角，分別討論每一組對(duì)角相等的情況，再解直角三角形即可求解.

【詳解】解：分兩種情況：

情況一：ADC=/ABC=90。時(shí)，延長(zhǎng)AD,BC相交于點(diǎn)E,如圖所示：

E

VZABC=90°,NDAB=60°,AB=4

，NE=30。，AE=2AB=8,

MDE=73CD=273.AD=AE-DE=8-26，

連接AC,在RtAACD中，ACZAD?+CD2="（8-2石.+22,64-326+16,

在RtAABC中，BC2=AC--AB2=64-32百=（4百-4）2

?*.BC=4A/3-4；

情況二：NBCD=NDAB=60。時(shí)，

過(guò)點(diǎn)D作DMLAB于點(diǎn)M,DNLBC于點(diǎn)N,如圖所示：

則NAMD=/DNB=90。，/.四邊形BNDM是矩形，

J3DNDN

ZBCD=60°,：.sin?BCD2="=也，

2CD2

r-1

:.DN=5CN=-CD=l,

2

；NDAB=60°,ZDMA=90°,且AM=AB-BM=AB-DN=4-6，

/.tan?DABtan60=""=出,

AM

:.DM=?AM=46-3，

；?BN=DM=4A/3-3，

BC=CN+BN=l+4y/3-3=4y/3-2,

綜上所述，3c=4百-2或5c=46-4,

故答案為：Beus-2或3。=46-4.

【點(diǎn)睛】

本題借助“等對(duì)角四邊形”這個(gè)新定義考查了解直角三角形及勾股定理，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)及求值是解決本

題的關(guān)鍵.

13、1

【分析】如圖，作ANLBC,交PO于G點(diǎn)，延長(zhǎng)GO,交DE于H,交D，F(xiàn)于M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NC

的長(zhǎng)，故得到cosNABN的值，根據(jù)題意知GO〃BC,DO〃AB,可得到cos/DOH=cos/ABN,根據(jù)8=10即可

AN

得到OH的長(zhǎng)，又OD'LAC,可得ND，OM=NOAG,再求出cosNOAG=——即可求出OM,故可得到EF的長(zhǎng).

AC

【詳解】如圖，作ANJ_BC,交PO于G點(diǎn)，延長(zhǎng)GO,交DE于H,交D，F(xiàn)于M,

*：AB=AC=10,BC=12,

；.BN=CN=6,AN=7102-62=8

BN63

cosZABN=-----=—=—,

AB105

根據(jù)題意得GO〃BC,DO〃AB,

：.ZDOH=ZAPG=ZABG

/.cosZDOH=cosZABN

OH3

?*.cosZDOH=------=—

OD5

/.OH=6,

由ODUAC,

ZAOG+ZD,OM=90°,XZAOG+ZOAG=90°

ZD,OM=ZOAG,

AN4

VcosZOAG=——=-

AC5

OM4

cos/D'OM=------=—

OD'5

.\OM=8

貝!IEF=1,

故答案為：1.

此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.

14、225-x>150(l+10%)

【解析】首先由題意得出不等關(guān)系為利潤(rùn)》等于10%,然后列出不等式為225-xN150(l+10%)即可.

【詳解】設(shè)商店降價(jià)x元出售，由題意得

225-x>150(l+10%).

故答案為：225-x>150(l+10%).

【點(diǎn)睛】

本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來(lái)，讀懂題列出不等式關(guān)系式即可求解.

15、1

【解析】本題首先由等邊三角形的性質(zhì)及垂直定義得到NDBE=60。，ZBEC=90°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得出

ZEBC=ZABC-60°=ZC-60°,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出關(guān)系式NC60o+NC=90。解出NC,推出AD=DE,于是

得到結(jié)論.

【詳解】???△BDE是正三角形，

:.ZDBE=60°；

?.?在AABC中，NC=NABC,BE±AC,

AZC=ZABC=ZABE+ZEBC,貝?。軳EBC=NABC-6(T=NC-60。，ZBEC=90°；

...NEBC+NC=90°,即NC60°+NC=90°,

解得NC=75。，

:.ZABC=75°,

ZA=30°,

■:NAED=90°-NDEB=30°,

.\ZA=ZAED,

/.DE=AD=1,

.*.BE=DE=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及垂直定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出符合題意

的簡(jiǎn)易方程，從而求出結(jié)果.

16、3

【解析】分析：過(guò)點(diǎn)P作PELBC于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，可得PA=PE,PD=PE,那么

PE=PA=PD,又AD=6,進(jìn)而求出PE=3.

詳解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PELBC于E,

/.PD1CD,

；BP和CP分另1］平分NABC和NDCB,

，PA=PE,PD=PE,

，PE=PA=PD,

；PA+PD=AD=6,

；.PA=PD=3,

.\PE=3.

故答案為3.

點(diǎn)睛：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵.

17、x>-2

【分析】根據(jù)二次根式中被開方數(shù)大于等于0得到6+3x20,再解不等式即可求解.

【詳解】解：由二次根式中被開方數(shù)大于等于0可知：6+3x20

解得：x>-l,

故答案為：X>-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式有意義的條件及一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握不等式解法是解決本題的關(guān)鍵.

18、1<%<2

【詳解】解：由于直線：=8■c過(guò)點(diǎn)A(0,2),P(1,m),

k+b=mk=m-2

則,c，解得

b=2b=2

yx=(m-2)x+2,

故所求不等式組可化為：

mx>(m-2)x+2>mx-2,

0>-2x+2>-2,

解得：l<x<2,

三、解答題(共66分)

19、(1)(3,0)；(2)120°；(3)不變化，9.

【分析】(1)先將分式方程去分母化為整式方程，再求解整式方程，最后檢驗(yàn)解是原分式方程的解，即得；

(2)先證明進(jìn)而可得出=再利用三角形內(nèi)角和推出NC4O=NCEB=60°,

最后利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即得ZBEO；

(3)先證明AASGgAOBb,進(jìn)而得出GH—=以及/5。尸=/區(qū)46=60°,再根據(jù)以上結(jié)論以及

鄰補(bǔ)角對(duì)頂角的性質(zhì)推出NO"4=30°,最后根據(jù)30。所對(duì)直角邊是斜邊的一半推出AH=2AO,即得

切―AF=3AO為定值.

3122

【詳解】(1)?:---------

23%—16%-2

???方程兩邊同時(shí)乘以6%-2得：

3(31)-2=22

解得：x=3

檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，6x—2=16/0

原分式方程的解為x=3

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0).

(2)???AQ4B、AACD都為等邊三角形

AAB=AO,AD=AC,ZDAC=ZBAO=60°

：.ZCAO^ZDAB

...在AABZ)與AAOC中

AD=AC

<ZDAB=ZCAO

AB=AO

:.AABD^AAOC(SAS)

：.ZADE=ZACO

,在AGED中，ZECD+NCDE+NCED=180。

：.ZACO+ZACD+ZCDE+ZCED=180°

,在AACD中，ZADC+ZACD+ZCAD=iSQ°

/.ZADE+ZCDE+ZACD+ZCAD=180°

ZACO+ZACD+ZCDE+ZCED=ZADE+ZCDE+ZACD+ZCAD

：.ZCED=ZCAD^60°

VZCED+ZBEO=180°

ZBEO=120°.

(3)不變化，理由如下：

VAOAB,AFBG都為等邊三角形

:.BA=BO,BG=BF,ZGBF=ZABO=ZBOA=ZBAO=60°

/.ZGBA=ZFBO

.,.在AABG與AQBR中

BA=BO

<ZGBA=ZFBO

BG=BF

：.AABG^AOBF(SAS)

：.AG=OF,ZBAG=ZBOA=60°

：.GH-AF=AG+AH-AF^OF+AH-AF=AO+AH

■:ZBAO+ZBAG+ZGAF=180°

:.ZGAF^60°

：.ZOAH^ZGAF=60°

?:AO±HO

：.ZAOH^9Q°

.?.在H/AQ4H中，ZOHA=900-ZOAH^30°

：.AH=2AO

???4點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）

:.AO=3

：.GH-AF=AO+AH=3AO=9

.?.GH-AF為定值9,不變化.

【點(diǎn)睛】

本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、含30。的直角三角形的性質(zhì)和“手拉手模型”，兩個(gè)共頂點(diǎn)的頂角

相等的等腰三角形構(gòu)成的圖形視作“手拉手模型”，熟練掌握“手拉手模型”及“手拉手模型”的常用結(jié)論是解題關(guān)

鍵.

20、（1）15°；（2）++的大小不變，是105，證明見解析.

【分析】（1）由AB//CD得到NB4C=NC=30°，即可求出

（2）“邱/+NC4M+NBDC的大小不變，是105°,由NFEM=NC4"+NC,ZC=30°,

ZEFM=ZBDC+ZDBM,ZM=45°,即可利用三角形內(nèi)角和求出答案.

【詳解】（1）當(dāng)。為15時(shí)，AB//CD,

理由：由圖（2）,若AB//CD,則NR4C=NC=30°，

a=ZCAM=ZBAM-ABAC=45—300=15。，

所以，當(dāng)。為15時(shí)，AB//CD.

注意：學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)兩種解法：

第一種：把AB//CD當(dāng)做條件求出。為15，

第二種：把。為15當(dāng)做條件證出AB//CD,

這兩種解法都是正確的.

（2）+NC4M+NHDC的大小不變，是105。

證明：ZFEM=ZCAM+ZC,ZC=30°,

:.ZFEM=ZCAM+30°,

ZEFM=ZBDC+ZDBM,

：.ZDBM+ZCAM+ZBDCZEFM+ZCAM,

ZEFM+ZFEM+NM=180,ZM=45°,

ZBDC+ZDBM+ZCAM+300+45°=180°,

ZDBM+ZCAM+ZBDC=180°-30-45=105°,

所以，++的大小不變，是105.

【點(diǎn)睛】

此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角定理，三角形的內(nèi)角和，(2)中將角度和表示為三角形的外角是

解題的關(guān)鍵.

21、(1)作圖見解析，4(6,6),51(3,2),Ci(6,1)；(2)作圖見解析，4(4,6),B2(l,2),C2(4,1)；(3)/\ABC

和△A282C2關(guān)于y軸對(duì)稱，△A3C的面積=7.1.

【分析】(1)根據(jù)題意分別作出三頂點(diǎn)關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可得；

(2)由題意將△AiBiG的三個(gè)頂點(diǎn)分別向左平移，再順次連接即可得；

(3)由題意觀察圖形即可得，再利用三角形的面積公式求解可得.

【詳解】解：⑴如圖所示，AAiBiCi即為所求,Ai(6,6),Bi(3,2),Ci(6,1).

-5-4-3-2-1123456x

(2)如上圖所示，AA2B2c2即為所求,A2(4,6),B2(l,2),C2(4,1)；

(3)△ABC和△A2B2c2關(guān)于y軸對(duì)稱，△ABC的面積為:xlx3=7.L

【點(diǎn)睛】

本題考查的是作圖-軸對(duì)稱變換，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

22、(1)證明見解析；(2)5；(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NB=NC=60。，AB^BC=CA,=BE=CF,進(jìn)一步證得=EC,

即可證得DEB-EFC；

(2)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)，得出線段長(zhǎng)之間關(guān)系，列出方程即可解答；

(3)延長(zhǎng)BD到M,使BM=AD,連接ME,延長(zhǎng)EC到N,使CN=BE,連接FN,可得AMBEMAFCN(5AS),再證

NDME=\ENFkSAS},從而得出NEDB=NFEC,再由三角形外角性質(zhì)即可證得結(jié)論.

【詳解】證明：(1)如圖1中，

AABC是等邊三角形，

.-.ZB=ZC=60°,AB=BC,

AD=BE,

BD-CE)

在ADEB和A￡FC中

BE=CF

<ZB=ZC,

BD=CE

:._DEBKEFC,

(2)如圖2中，AABC是等邊三角形，

.-.ZB=60°,

■,ED±AB,

:.NBDE=90。,

:.ZBED=30。,

BE=2BD,

同理可得：AD=2AF,CF=2CE,

"：AB=BC^CA,即：BD+AD=BE+CE=CF+AF

:.BD+2AF=2BD+CE=2CE+AF=15

解得：CE=BD=AF=5

(3)如圖3,延長(zhǎng)BD到M,使BM=AD,連接ME,延長(zhǎng)EC到N,使CN=BE,連接FN,

圖3

；AD=CF,

/.BM=CF,

AABC是等邊三角形，

.-.ZB=ZC=60°,AB=BC,

ZMBE=ZFCN=120°,

在AMBE和AFQV中，

BM=CF

<ZMBE=ZFCN,

BE=CN

NMBE=AFCN(SAS),

ZM=ZN,ME=NF>

又,：AD+DB=BM+