專(zhuān)題6.3等比數(shù)列-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)寶典（新高考專(zhuān)用）

第六章數(shù)列專(zhuān)題6.3等比數(shù)列1.理解等比數(shù)列的概念.n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)知識(shí)梳理1．等比數(shù)列有關(guān)的概念(1)定義：一般地，如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個(gè)常數(shù)q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，則稱(chēng){an}為等比數(shù)列，其中q稱(chēng)為等比數(shù)列的公比.(2)等比中項(xiàng)：如果x，G，y是等比數(shù)列，那么稱(chēng)G為x與y的等比中項(xiàng)，即G2＝xy.2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1.(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比數(shù)列性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N+.特別地，若2w＝m＋n，則aman＝aeq\o\al(2,w)，其中m，n，w∈N+.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N+)．(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))也是等比數(shù)列(b，p，q≠0)．(4)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(n為偶數(shù)且q＝－1除外)(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))則等比數(shù)列{an}遞增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))則等比數(shù)列{an}遞減．第一部分核心典例題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算1．若為實(shí)數(shù)，數(shù)列﹣1，，﹣25是等比數(shù)列，則的值為（

）A．5 B．﹣5 C． D．﹣10【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列的公比為q，則有，聯(lián)立可得：.故選：B．2．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，，則（

）A． B． C．27 D．【答案】D【詳解】設(shè)的公比為，則，，．因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕裕驗(yàn)榈母黜?xiàng)均為正數(shù)，所以．因?yàn)?，所以．故選：D3．在等比數(shù)列中，，則其公比q的值為（

）A． B． C．1或 D．﹣1或【答案】C【詳解】∵在等比數(shù)列中，，∴當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)q≠1時(shí)，，整理得，解得或（舍），其公比的值為1或故選：C.4．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以由，因此，故選：A5．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列，則（

）A．126 B．128 C．254 D．256【答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意可得，即，整理得，則，解得，所以.故選：A.題型二等比數(shù)列的判定與證明滿(mǎn)足，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得，，成等差數(shù)列；②存在，使得，，成等比數(shù)列；③存在常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，，成等差數(shù)列；④存在正整數(shù)，且，使得.其中所有正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】對(duì)于①，由題意得，故成等差數(shù)列，故①正確，對(duì)于②，由遞推公式可知，，中有兩個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)，不可能成等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤，對(duì)于③，，故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，，成等差數(shù)列；故③正確，對(duì)于④，依次寫(xiě)出數(shù)列中的項(xiàng)為，可得，故④正確，故選：C7．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列也是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，檢驗(yàn)：將代入上式，則，則數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，，即，則數(shù)列不是等比數(shù)列；由，，即，則數(shù)列不是等差數(shù)列.故選：D.8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列是（

）A．以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 B．以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列C．以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 D．以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.故選：A9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（，，q為非零常數(shù)），則數(shù)列為（）A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列C．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列 D．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以（，q為非零常數(shù)），又由，可得，解之得，則，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為所以數(shù)列從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，，，則，故以數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列故選：C10．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列一定是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列可能是常數(shù)數(shù)列【答案】B【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，選項(xiàng)A，數(shù)列是等差數(shù)列，那么為常數(shù)，又，則數(shù)列一定是等比數(shù)列，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，數(shù)列是等差數(shù)列，可設(shè)（A、B為常數(shù)），此時(shí)，，則為常數(shù)，故數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列，故該選項(xiàng)正確.故選：B.題型三等比數(shù)列的性質(zhì)11．已知等比數(shù)列中，，則（

）A．4 B．±4 C．8 D．±8【答案】C【詳解】依題意.故選：C12．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則（

）A．有最小值12 B．有最大值12 C．有最大值6 D．有最小值6【答案】A【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以有最小值12，無(wú)最大值.故選：A.13．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以，所以，，成等比數(shù)列，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，成等差數(shù)列，又，，成等差數(shù)列，所以，，是等比數(shù)列也是等差數(shù)列，所以，，是常數(shù)列，即，所以，因此.故選：C14．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列是等差數(shù)列，則（

）A．1或 B．1或 C．2或 D．或【答案】B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列可得，，即，化簡(jiǎn)得，解得或.又，所以，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：B．15．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，，則（

）A．90 B．135 C．150 D．180【答案】C【詳解】由題意，在等比數(shù)列中，，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，，成等比數(shù)列，∴有，即，整理可得，解得（舍）或，∵，∴有，解得，故選：C.第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．在等比數(shù)列中，，，則首項(xiàng)等于（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【詳解】，，，.故選：C2．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】C【詳解】在等比數(shù)列中，設(shè)公比為，∵，，∴，∴，故選：C.3．設(shè)為公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B．2 C．或 D．或2【答案】D【詳解】由題意得：，因?yàn)?，所以，所以，解得或．故選：D4．已知等比數(shù)列的公比為2，前項(xiàng)和為.若，則（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】A【詳解】依題意，所以.故選：A5．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，則，因?yàn)?，可得，解得或，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，.故或.故選：D.6．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】解：設(shè)公比為，由題意可得，且，∴，解得或，∴，故或.故選：C.7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．8 B．9 C．16 D．17【答案】A【詳解】設(shè)，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以仍成等比數(shù)列.易知，所以,故.故選:A.8．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，且滿(mǎn)足上式，故，所以等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，又，則、、、…、構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為16的等比數(shù)列，故．故選：C二、多選題9．在數(shù)列中，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】因?yàn)?，所以，所以為等差?shù)列，且首項(xiàng)為，公差為1，所以，所以，所以，兩邊同乘以2，得，兩式相減，得，所以.故選：AD.10．已知為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，，.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的公比為2 B．C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ABC【詳解】對(duì)于A：已知數(shù)列為各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，解得；故A正確；對(duì)于B：由條件得：，所以，故也為等比數(shù)列，且公比為4，故，，所以，故B正確；對(duì)于C：由于（常數(shù)），故C正確；對(duì)于D:，故，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題11．在數(shù)列中，，若成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則.【答案】32【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，成等比數(shù)列，所以成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，所以可得的前8項(xiàng)為0，2，4，8，12，18，24，32.故答案為：3212．已知數(shù)列滿(mǎn)足以下規(guī)律：，，，，，，…，，…，，，，…，，…，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則．【答案】/【詳解】根據(jù)題意，各分母相同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)分別為，所以項(xiàng)數(shù)之和為，令，解得，數(shù)列，所以．故答案為：.四、解答題13．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，試求的公比．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，，整理可得，即.14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，由，得，又，得，與聯(lián)立，解得（舍去）或d=?1q=2，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，得，解得或，當(dāng)時(shí)，由得，則，當(dāng)時(shí)，由得，則，綜上，或.15．已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)任意，有（為常數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，求、的值；(2)試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．【詳解