2024年3月七年級下學(xué)期月考數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練題

2024年03月七年級下學(xué)期月考數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練題

一.選擇題（共7小題）

1.（2024秋?長春期末）如圖，a〃b,點(diǎn)B在直線b上，且ABLBC,若Nl=34。,

則N2的大小為（）

A.34°B.54°C.56°D.66°

2.（2024秋?鞍山期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O,ZDOF=90°,OF平分

NAOE,若NBOD=32。，則NEOF的度數(shù)為（）

A.32°B.48°C.58°D.64°

3.（2024秋?雞西期末）如圖，假如AB〃CD,CD〃EF,那么NBCE等于（）

A.Z1+Z2B.Z2-Z1C.180°-Z2+Z1D.180°-Z1+Z2

4.（2024秋?赫章縣期末）如圖所示，AB〃CD〃EF,BC〃AD.AC平分NBAD,

則圖中與NAGE相等的角有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

5.（2024秋?錫山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P是直線a外的一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C在直線a

上，且PB，a,垂足是B,PA±PC,則下列不正確的語句是（)

A.線段PB的長是點(diǎn)P到直線a的距離

B.PA、PB、PC三條線段中，PB最短

C.線段AC的長是點(diǎn)A到直線PC的距離

D.線段PC的長是點(diǎn)C到直線PA的距離

6.（2024秋?滕州市期末）下列圖形中，已知N1=N2,則可得到AB/7CD的是

A2/EfEB

C/2

B./尸

D.DC

7.（2024秋?順德區(qū)期末）如圖，將一塊含有30。角的直角三角板的兩個頂點(diǎn)放

在長方形直尺的一組對邊上，假如Nl=30。，那么N2的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

二.填空題（共5小題）

8.（2024秋?長春期末）如圖，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)0,CD±EF,OG平分

ZBOF.若NFOG=29。，則NBOD的大小為度.

E

9.（2024秋?興化市期末）如圖，將4ABE向右平移2cm得到ADCF,AE、DC交

于點(diǎn)G.假如4ABE的周長是16cm,那么^ADG與^CEG的周長之和是

cm.

10.（2024秋?雞西期末）一個小區(qū)大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于A,

CD平行于地面AE,那么NABC+NBCD=度.

11.（2024?興慶區(qū)校級二模）如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個沿

點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到4DEF的位置，AB=10,DH=4,平移距離為6,則陰影

部分的面積.

12.（2024秋?東營區(qū)期末）某景點(diǎn)擬在如圖的矩形荷塘上架設(shè)小橋，若荷塘中

小橋的總長為100米，則荷塘周長為

三.解答題（共14小題）

13.（2024秋?宜陽縣期末）如圖，已知點(diǎn)D、F、E、G都在aABC的邊上，EF//

AD,Z1=Z2,ZBAC=70°,求NAGD的度數(shù).（請在下面的空格處填寫理由或數(shù)

學(xué)式）

解：?.?EF〃AD,（已知）

Z2=（）

,.'Z1=Z2,（已知）

.-.Zl=（）

//,（）

/.ZAGD+=180°,（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

,（已知）

AZAGD=（等式性質(zhì)）

14.（2024秋?岐山縣期末）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OA平分NEOC.

(1)若NEOC=70°,求NBOD的度數(shù)；

(2)若NEOC：ZEOD=2：3,求NBOD的度數(shù).

15.（2024秋?榆樹市期末）在數(shù)學(xué)實踐課上，老師在黑板上畫出如下的圖形（其

中點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上），并寫出四個條件：①AB=DE,②N1=N2.③

BF=EC,④NB=NE,溝通中老師讓同學(xué)們從這四個條件中選出三個作為題設(shè)，另

一個作為結(jié)論，組成一個真命題.

（1）寫出全部的真命題.（用序號表示題設(shè)、結(jié)論）

（2）請選擇一個賜予證明.

16.(2024秋?南關(guān)區(qū)校級期末)探究：如圖①，直線AB、BC、AC兩兩相交，交

點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B、C,點(diǎn)D在線段AB上，過點(diǎn)D作DE〃BC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)

E作EF〃AB交BC于點(diǎn)F.若NABC=40。，求NDEF的度數(shù).

請將下面的解答過程補(bǔ)充完整，并填空(理由或數(shù)學(xué)式)

解：VDE/7BC,

AZDEF=.()

VEF/7AB,

=ZABC.()

，NDEF=NABC.(等量代換)

VZABC=40°,

AZDEF=°.

應(yīng)用：如圖②，直線AB、BC、AC兩兩相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B、C,點(diǎn)D在線

段AB的延長線上，過點(diǎn)D作DE〃BC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF〃AB交BC于點(diǎn)

17.(2024秋?農(nóng)安縣期末)如圖①，已知AD〃BC,ZB=ZD=120°.

(1)請問：AB與CD平行嗎？為什么？

(2)若點(diǎn)E、F在線段CD上，且滿意AC平分NBAE,AF平分NDAE,如圖②，

求NFAC的度數(shù).

(3)若點(diǎn)E在直線CD上，且滿意NEAC=L/BAC,求NACD：ZAED的值(請

2

自己畫出正確圖形，并解答).

D

18.（2024秋?長春期末）如圖，兩條射線AM〃BN,線段CD的兩個端點(diǎn)C、D

分別在射線BN、AM上，且NA=NBCD=108。.E是線段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、

D重合），且BD平分NEBC.

（1）求NABC的度數(shù).

（2）請在圖中找出與NABC相等的角，并說明理由.

（3）若平行移動CD,且AD>CD,則NADB與NAEB的度數(shù)之比是否隨著CD位

置的改變而發(fā)生改變？若改變，找出改變規(guī)律；若不變，求出這個比值.

19.（2024秋?河口區(qū)期末）如圖1,E是直線AB,CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB〃CD,連接

EA,ED.

（1）探究猜想：①NA=30。，ZD=40°,則NAED等于多少度？

②若NA=20。，ND=60。，則NAED等于多少度？

③猜想圖1中NAED、NEAB、NEDC的關(guān)系并說明理由.

（2）拓展應(yīng)用，如圖2,線段FE與長方形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E,與邊CD交

于點(diǎn)F.圖2中①②分別是被線段FE隔開的2個區(qū)域（不含邊界），P是位于以

上兩個區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，猜想NPEB,ZPFC,NEPF的關(guān)系（不要求說明理由）

20.（2024秋?臨河區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O,OP是NBOC的平

分線，OE，AB,OFXCD.

（1）圖中除直角外，還有相等的角嗎？請寫出兩對：

①;②.

（2）假如NAOD=40。.

①那么依據(jù),可得NBOC=度.

②因為OP是NBOC的平分線，所以NCOP=LN=度.

③求NBOF的度數(shù).

21.(2024秋?市中區(qū)期末)問題情景：如圖1,AB〃CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°,

求NAPC的度數(shù).

(1)每天同學(xué)看過圖形后馬上口答出：ZAPC=110°,請你補(bǔ)全他的推理依據(jù).

如圖2,過點(diǎn)P作PE〃AB,

：AB〃CD,

，PE〃AB〃CD.()

AZA+ZAPE=180°.

ZC+ZCPE=180°.()

ZPAB=130",ZPCD=120°,

NAPE=50°,ZCPE=60°

NAPC=NAPE+NCPE=110°.()

問題遷移：

（2）如圖3,AD〃BC,當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，ZADP=Za,ZBCP=

求NCPD與/a、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（3）在（2）的條件下，假如點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、0

三點(diǎn)不重合）,請你干脆寫出NCPD與Na、之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

22.（2024春?永新縣期末）如圖，已知AM〃BN,NA=60。，點(diǎn)P是射線AM上

一動點(diǎn)（與A不重合），BC、BD分別平分NABP和NPBN,交射線AM于C、D,

（推理時不須要寫出每一步的理由）

（1）求NCBD的度數(shù).

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，那么NAPB：ZADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生改變？若不

變，懇求出這個比值；若改變，請找出改變規(guī)律.

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到使NACB=NABD時，求NABC的度數(shù).

23.（2024春?廬江縣期末）已知：如圖，直線a〃b,直線c與直線a、b分別相

交于C、D兩點(diǎn)，直線d與直線a、b分別相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上

運(yùn)動（不與A、B兩點(diǎn)重合）.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時，總有：ZCPD=ZPCA+ZPDB,請說明

理由；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上運(yùn)動時，NCPD、NPCA、NPDB之

間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長線上運(yùn)動時，NCPD、NPCA、ZPDB之

間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系（只需干脆給出結(jié)論）？

24.（2024春?順義區(qū)期末）已知：如圖，點(diǎn)C在NAOB的一邊OA上，過點(diǎn)C

的直線DE〃OB,CF平分NACD,CGLCF于C.

（1）若NO=40。，求NECF的度數(shù)；

（2）求證：CG平分NOCD；

（3）當(dāng)NO為多少度時，CD平分NOCF,并說明理由.

25.（2024秋?新里予縣期末）問題情境：如圖1,AB〃CD,ZPAB=120°,ZPCD=130°,

求NAPC的度數(shù).小明的思路是：過P作PE〃AB,通過平行線性質(zhì)來求NAPC.

（1）按小明的思路，易求得NAPC的度數(shù)為度；

（2）問題遷移：如圖2,AB〃CD,點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動，記NPAB=a,NPCD邛,

①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動時，問NAPC與a、B之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理

由；

②假如點(diǎn)P在射線BF或射線DE上運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)B、D兩點(diǎn)不重合），請干

脆寫出NAPC與a、0之間的數(shù)量關(guān)系.

26.（2024春?高陽縣期末）課上老師呈現(xiàn)一個問題:

/

己知：如圖，A3#CD,于點(diǎn)。,

尸G交CD于點(diǎn)P,當(dāng)Nl=30°時，求NEFG

的度數(shù).

V_____________________

己知：如圖，AB〃CD,EFLAB于點(diǎn)0,FG交CD于點(diǎn)P,當(dāng)Nl=30。時，求NEFG

的度數(shù).

甲、乙、丙三位同學(xué)用不同的方法添加協(xié)助線解決問題，如圖：

甲同學(xué)協(xié)助線的做法和分析思路如下:

(輔助線：過點(diǎn)尸作瓦

分析思路：

(1)欲求/EFG的度數(shù)，由圖可知只需轉(zhuǎn)化為求N2和N3的度數(shù)；

(2)由輔助線作圖可知，Z2=Z1,又由已知N1的度數(shù)可得/2的度數(shù)；

(3)由MV/CD推出由此可推出/3=/4；

(4)由已知E尸_L4B,可得/4=90°,所以可得/3的度數(shù)；

1(5)從而可求/E尸G的度數(shù).J

(1)請你依據(jù)乙同學(xué)所畫的圖形，描述協(xié)助線的做法，并寫出相應(yīng)的分析思路.

協(xié)助線：;

分析思路：

(2)請你依據(jù)丙同學(xué)所畫的圖形，求NEFG的度數(shù).

參考答案

一.選擇題（共7小題）

1.（2024秋?長春期末）如圖，a〃b,點(diǎn)B在直線b上，且ABLBC,若Nl=34。,

則N2的大小為（）

A.34°B.54°C.56°D.66°

【解答】解：：a〃b,

AZ1=Z3=34°,

XVABXBC,

AZ2=90°-34°=56°,

故選：C.

2.（2024秋?鞍山期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O,NDOF=90。，OF平分

NAOE,若NBOD=32。，則NEOF的度數(shù)為（）

A.32°B.48°C.58°D.64°

【解答】解：VZDOF=90°,ZBOD=32°,

AZAOF=90°-32°=58°,

VOF平分NAOE,

AZAOF=ZEOF=58°.

故選：C.

3.（2024秋?雞西期末）如圖，假如AB〃CD,CD//EF,那么NBCE等于（）

A.Z1+Z2B.Z2-Z1C.180°-Z2+Z1D.180°-Z1+Z2

【解答】解：VAB/7CD,CD/7EF.

AZBCD=Z1,ZECD=180°-Z2.

AZBCE=180°-Z2+Z1.

故選C.

4.（2024秋?赫章縣期末）如圖所示，AB〃CD〃EF,BC〃AD.AC平分NBAD,

則圖中與NAGE相等的角有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【解答】解：依據(jù)對頂角相等得出NCGF=NAGE,

VAC平分NBAD,

，NCAB=NDAC,

：AB〃CD〃EF,BC〃AD,

ZCGF=ZCAB=ZDCA,ZDAC=ZACB,

.,.與NAGE相等的角有NCGF、NCAB、NDAC、ZACB,ZDCA,共5個,

故選C.

5.（2024秋?錫山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P是直線a外的一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C在直線a

上，且PB，a,垂足是B,PA±PC,則下列不正確的語句是（)

AJiC

A.線段PB的長是點(diǎn)P到直線a的距離

B.PA、PB、PC三條線段中，PB最短

C.線段AC的長是點(diǎn)A到直線PC的距離

D.線段PC的長是點(diǎn)C到直線PA的距離

【解答】解:A、依據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義：即點(diǎn)到這始終線的垂線段的長度.故

此選項正確；

B、依據(jù)垂線段最短可知此選項正確；

C、線段AP的長是點(diǎn)A到直線PC的距離，故選項錯誤；

D、依據(jù)點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到這始終線的垂線段的長度.故此選項正確.

故選C.

6.（2024秋?滕州市期末）下列圖形中，已知N1=N2,則可得到AB/7CD的是

D.

【解答】解：A、N1和N2的是對頂角，不能推斷AB〃CD,此選項不正確;

B、N1和N2的對頂角是同位角，又相等，所以AB〃CD,此選項正確;

C、N1和N2的是內(nèi)錯角，又相等，故A（:〃BD,不是AB〃CD,此選項錯誤;

D、N1和N2互為同旁內(nèi)角，同旁內(nèi)角相等兩直線不平行，此選項錯誤.

故選B.

7.（2024秋?順德區(qū)期末）如圖，將一塊含有30。角的直角三角板的兩個頂點(diǎn)放

在長方形直尺的一組對邊上，假如Nl=30。，那么N2的度數(shù)為（)

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：如圖，由三角形的外角性質(zhì)可得:

Z3=30o+Zl=300+30°=60°,

：AB〃CD,

AZ2=Z3=60°.

二.填空題（共5小題）

8.（2024秋?長春期末）如圖，直線AB、CD、EF相交于點(diǎn)0,CD±EF,OG平分

ZBOF.若NFOG=29。，則NBOD的大小為32度.

【解答】解：:NFOG=29。,0G平分NBOF,

AZBOF=2ZFOG=58°,

AZCOE=ZBOF=58°.

又CDLEF,

AZCOE=90°,

.,.ZBOD=90°-58°=32°.

故答案是：32.

E

9.（2024秋?興化市期末）如圖，將4ABE向右平移2cm得到△DCF,AE、DC交

于點(diǎn)G.假如4ABE的周長是16cm，那么4ADG與4CEG的周長之和是16cm.

【解答】解：'.'△ABE向右平移2cm得到△DCF,

.\DF=AE,

AAADG與ACEG的周長之和=AD+CE+CD+AE=BE+AB+AE=16,

故答案為：16；

10.（2024秋?雞西期末）一個小區(qū)大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于A,

CD平行于地面AE,那么NABC+NBCD=270度.

【解答】解：作CHLAE于H,如圖,

VAB±AE,CH±AE,

，AB〃(:H,

AZABC+ZBCH=180",

：CD〃AE,

AZDCH+ZCHE=180°,

而NCHE=90°,

，NDCH=90°,

ZABC+ZBCD=180°+90°=270°.

故答案為270.

11.（2024?興慶區(qū)校級二模）如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個沿

點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到4DEF的位置，AB=10,DH=4,平移距離為6,則陰影

【解答】解：依據(jù)題意得，DE=AB=10；BE=CF=6；CH//DF.

.*.EH=10-4=6；

EH：HD=EC：CF,

即6：4=EC：6,

AEC=9.

.,.SAEFD=—X10X(9+6)=75；

2

SAECH=1X6X9=27.

2

S陰影部分=75-27=48.

故答案為48.

12.（2024秋?東營區(qū)期末）某景點(diǎn)擬在如圖的矩形荷塘上架設(shè)小橋，若荷塘中

小橋的總長為100米，則荷塘周長為200m.

【解答】解：荷塘中小橋的總長為100米,

，荷塘周長為:2X100=200（m）

故答案為：200m.

三.解答題（共14小題）

13.（2024秋?宜陽縣期末）如圖，已知點(diǎn)D、F、E、G都在^ABC的邊上，EF//

AD,Z1=Z2,ZBAC=70°,求NAGD的度數(shù).（請在下面的空格處填寫理由或數(shù)

學(xué)式）

解：VEF/7AD,（已知）

???N2=N3（兩直線平行同位角相等）

VZ1=Z2,（已知）

.-.Zl=Z3（等量代換）

DG〃BA,（內(nèi)錯角相等兩直線平行）

AZAGD+ZCAB=180°>（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

VZCAB=70°>（已知）

AZAGD=110°（等式性質(zhì)）

【解答】解：：EF〃AD,（已知）

/.Z2=Z3（兩直線平行同位角相等）

VZ1-Z2,（已知）

.*.Z1=Z3（等量代換）

.??DG〃BA,（內(nèi)錯角相等兩直線平行）

/.ZAGD+ZCAB=180°,（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

VZCAB=70°,（已知）

I.NAGD=110。（等式性質(zhì)）.

故答案為：Z3；兩直線平行同位角相等；Z3；等量代換；DG；BA；內(nèi)錯角相

等兩直線平行；ZCAB；ZCAB；70°；110°

14.（2024秋?岐山縣期末）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OA平分NEOC.

（1）若NEOC=70。，求NBOD的度數(shù)；

（2）若NEOC：ZEOD=2：3,求NBOD的度數(shù).

ZAOC=1ZEOC=1X70°=35°,

22

ZBOD=180°-ZBOC=35°；

（2）設(shè)NEOC=2x,NEOD=3x,依據(jù)題意得：

2x+3x=180°,

解得：x=36。，

AZEOC=2x=72°,

ZAOC=1ZEOC=1X72°=36°,

22

AZBOD=180°-ZBOC=36°.

15.（2024秋?榆樹市期末）在數(shù)學(xué)實踐課上，老師在黑板上畫出如下的圖形（其

中點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上），并寫出四個條件：①AB=DE,②N1=N2.③

BF=EC,④NB=NE,溝通中老師讓同學(xué)們從這四個條件中選出三個作為題設(shè)，另

一個作為結(jié)論，組成一個真命題.

（1）寫出全部的真命題.（用序號表示題設(shè)、結(jié)論）

（2）請選擇一個賜予證明.

【解答】解：（1）狀況一：題設(shè)：①②④；結(jié)論：③;

狀況二：題設(shè)①③④；結(jié)論：②；

狀況三：題設(shè)②③④；結(jié)論：①.

(2)選擇的題設(shè)：①③④；結(jié)論：②;

理由：：VBF=EC,

.?.BF+CF=EC+CF,即BC=EF,

在^ABC和ADEF中，

'AB=DE

<NB=NE，

BC=EF

.,.△ABC^ADEF(SAS),

/.Z1=Z2；

16.（2024秋?南關(guān)區(qū)校級期末）探究：如圖①，直線AB、BC、AC兩兩相交，交

點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B、C,點(diǎn)D在線段AB上，過點(diǎn)D作DE〃BC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)

E作EF〃AB交BC于點(diǎn)F.若NABC=40。，求NDEF的度數(shù).

請將下面的解答過程補(bǔ)充完整，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）

解：VDE//BC,

.?.NDEF=NEFC.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

；EF〃AB,

?，?NEFC=NABC.（兩直線平行，同位角相等）

I.NDEF=NABC.（等量代換）

VZABC=40°,

AZDEF=40°.

應(yīng)用：如圖②，直線AB、BC、AC兩兩相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B、C,點(diǎn)D在線

段AB的延長線上，過點(diǎn)D作DE〃BC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF〃AB交BC于點(diǎn)

F.若NABC=60°,則NDEF=\20

【解答】解：（1）..,DE〃BC,

??.NDEF=NEFC.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

；EF〃AB,

...NEFC=NABC.（兩直線平行，同位角相等）

AZDEF=ZABC.（等量代換）

VZABC=40°,

AZDEF=40°.

故答案為：ZEFC,兩直線平行，內(nèi)錯角相等，ZEFC,兩直線平行，同位角相等,

40；

（2）：DE〃BC,

...NABC=NEADE=60。.（兩直線平行，內(nèi)同位角相等）

；EF〃AB,

...NADE+NDEF=180。.（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

AZDEF=180°-60°=120°.

故答案為：120.

17.（2024秋?農(nóng)安縣期末）如圖①，已知AD〃BC,ZB=ZD=120°.

（1）請問：AB與CD平行嗎？為什么？

（2）若點(diǎn)E、F在線段CD上，且滿意AC平分NBAE,AF平分NDAE,如圖②，

求NFAC的度數(shù).

（3）若點(diǎn)E在直線CD上，且滿意NEAC=1>NBAC,求NACD：ZAED的值（請

自己畫出正確圖形，并解答）.

D

【解答】解：(1)平行.

如圖①，VAD/7BC,

AZA+ZB=180°,

又?.,NB=ND=120°,

AZD+ZA=180°,

，AB〃CD；

(2)如圖②，?.,AD〃BC,ZB=ZD=120°,

AZDAB=60°,

：AC平分NBAE,AF平分NDAE,

ZEAC=1ZBAE,ZEAF=1ZDAE,

22

ZFAC=ZEAC+ZEAF=1(ZBAE+ZDAE)=1ZDAB=3O"；

22

(3)①如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時，

由(1)可得AB〃CD,

AZACD=ZBAC,NAED=NBAE,

又：NEAC」NBAC,

2

AZACD：ZAED=2：3；

②如圖4,當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長線上時，

由(1)可得AB〃CD,

AZACD=ZBAC,NAED=/BAE,

又?.,NEACJNBAC,

2

AZACD：ZAED=2：1.

18.(2024秋?長春期末)如圖，兩條射線AM〃BN,線段CD的兩個端點(diǎn)C、D

分別在射線BN、AM上，且NA=NBCD=108。.E是線段AD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、

D重合)，且BD平分NEBC.

(1)求NABC的度數(shù).

(2)請在圖中找出與NABC相等的角，并說明理由.

(3)若平行移動CD,且AD>CD,則NADB與NAEB的度數(shù)之比是否隨著CD位

置的改變而發(fā)生改變？若改變，找出改變規(guī)律；若不變，求出這個比值.

(1)：AM〃BN,.*.ZA+ZABC=180°.

ZABC=180°-ZA=180°-108°=72°.

(2)與NABC相等的角是NADC、ZDCN.

VAM/7BN,

AZADC=ZDCN,ZADC+ZBCD=180°.

ZADC=180°-ZBCD=180°-108°=72°.

AZDCN=72°.

ZADC=ZDCN=ZABC.

(3)不發(fā)生改變.

：AM〃BN,

，NAEB=NEBC,ZADB=ZDBC.

?；BD平分NEBC,

AZDBC=1ZEBC,

2

NADBJNAEB,

2

yZADB=1

?…NAEBT

19.（2024秋?河口區(qū)期末）如圖1,E是直線AB,CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB〃CD,連接

EA,ED.

（1）探究猜想：①NA=30。，ZD=40°,則NAED等于多少度？

②若NA=20°,ND=60°,則NAED等于多少度？

③猜想圖1中NAED、NEAB、NEDC的關(guān)系并說明理由.

（2）拓展應(yīng)用，如圖2,線段FE與長方形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E,與邊CD交

于點(diǎn)F.圖2中①②分別是被線段FE隔開的2個區(qū)域（不含邊界），P是位于以

上兩個區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，猜想NPEB,NPFC,NEPF的關(guān)系（不要求說明理由）

【解答】解：（1）①過點(diǎn)E作EF〃AB,

：AB〃CD,

；.AB〃CD〃EF,

VZA=30°,ZD=40°,

AZ1=ZA=3O°,Z2=ZD=40",

AZAED=Z1+Z2=7O°；

②過點(diǎn)E作EF〃AB,

：AB〃CD,

；.AB〃CD〃EF,

VZA=20°,ZD=60°,

AZ1=ZA=2O°,Z2=ZD=60",

AZAED=Z1+Z2=8O°；

③猜想：ZAED=ZEAB+ZEDC.

理由：過點(diǎn)E作EF〃CD,

,.,AB〃DC.,.EF〃AB(平行于同一條直線的兩直線平行)，

/.Z1=ZEAB,Z2=ZEDC(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，

AZAED=Z1+Z2=ZEAB+ZEDC(等量代換).

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在①區(qū)域時，

：AB〃CD,

AZBEF+ZCFE=180°,

NPEF+NPFE=(NPEB+NPFC)-180°.

VZPEF+ZPFE+ZEPF=180°,

AZEPF=180°-(ZPEF+ZPFE)=180°-(ZPEB+ZPFC)+180°=360°-(ZPEB+

ZPFC)；

當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域②時，如圖3所示，

：AB〃CD,

AZBEF+ZCFE=180°,

VZEPF+ZFEP+ZPFE=180o,

AZEPF=ZPEB+ZPFC.

20.（2024秋?臨河區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O,OP是NBOC的平

分線，OELAB,OFXCD.

（1）圖中除直角外，還有相等的角嗎？請寫出兩對：

①/COE=/BOF；②NCOP=NBOP.

（2）假如NAOD=40。.

①那么依據(jù)對頂角相等，可得NBOC=40度.

②因為OP是NBOC的平分線，所以NCOP=LNBOC=20度.

③求NBOF的度數(shù).

【解答】解：（1）ZCOE=ZBOF>ZCOP=ZBOP>ZCOB=ZAOD（寫出隨意兩個

即可）；

（2）①對頂角相等，40度；

(2)ZCOP=1ZBOC=20°；

2

③?.?NAOD=40。，

AZBOF=90°-40°=50°.

21.（2024秋?市中區(qū)期末）問題情景：如圖1,AB〃CD,ZPAB=130",ZPCD=120°,

求NAPC的度數(shù).

（1）每天同學(xué)看過圖形后馬上口答出：ZAPC=1100,請你補(bǔ)全他的推理依據(jù).

如圖2,過點(diǎn)P作PE〃AB,

：AB〃CD,

???PE〃AB〃CD.（平行于同一條直線的兩條直線平行）

AZA+ZAPE=180°.

ZC+ZCPE=180°.（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

ZPAB=130",ZPCD=120°,

NAPE=50°,ZCPE=60°

NAPC=NAPE+NCPE=110°.（等量代換）

問題遷移：

（2）如圖3,AD〃BC,當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，ZADP=Za,ZBCP=

ZP，求NCPD與Na、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（3）在（2）的條件下，假如點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、0

三點(diǎn)不重合），請你干脆寫出NCPD與Na、N|3之間的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PE〃AB,

：AB〃CD,

??.PE〃AB〃CD.（平行于同一條直線的兩條直線平行）

AZA+ZAPE=180".

ZC+ZCPE=180°.（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

VZPAB=130°,ZPCD=120",

，NAPE=50°,ZCPE=60°

AZAPC=ZAPE+ZCPE=110o.（等量代換）

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量

代換.

（2）ZCPD=Za+Zp,

理由是：如圖3,過P作PE〃AD交CD于E,

：AD〃BC,

.?.AD〃PE〃BC,

，Na=NDPE,Zp=ZCPE,

ZCPD=ZDPE+ZCPE=Za+Zp；

(3)當(dāng)P在BA延長線時，

過P作PE〃AD交CD于E,

同（2）可知：Na=NDPE,Ng/CPE,

AZCPD=Zp-Na；

當(dāng)P在AB延長線時，

M

NDaCE

/圖5

同(2)可知：Na=NDPE,Zp=ZCPE,

AZCPD=Za-Zp.

22.(2024春?永新縣期末)如圖，已知AM〃BN,NA=60。，點(diǎn)P是射線AM上

一動點(diǎn)(與A不重合)，BC、BD分別平分NABP和NPBN,交射線AM于C、D,

(推理時不須要寫出每一步的理由)

(1)求NCBD的度數(shù).

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，那么NAPB：ZADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生改變？若不

變，懇求出這個比值；若改變，請找出改變規(guī)律.

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到使NACB=NABD時，求NABC的度數(shù).

【解答】解：

(1)VAM/7BN,

AZABN+ZA=180°,

ZABN=180°-60°=120°,

AZABP+ZPBN=120°,

：BC平分NABP,BD平分NPBN,

ZABP=2ZCBP,ZPBN=2ZDBP,

.,.2ZCBP+2ZDBP=120°,

ZCBD=ZCBP+ZDBP=60°；

(2)不變，ZAPB：ZADB=2：1.

：AM〃BN,

NAPB=NPBN,ZADB=ZDBN,

：BD平分NPBN,

NPBN=2NDBN,

ZAPB：ZADB=2：1；

(3)：AM〃BN,

NACB=NCBN,

當(dāng)NACB=NABD時，則有NCBN=NABD,

ZABC+ZCBD=ZCBD+ZDBN,

AZABC=ZDBN,

由(1)可知NABN=120°,ZCBD=60",

AZABC+ZDBN=60°,

AZABC=30°.

23.(2024春?廬江縣期末)已知：如圖，直線a〃b,直線c與直線a、b分別相

交于C、D兩點(diǎn)，直線d與直線a、b分別相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上

運(yùn)動(不與A、B兩點(diǎn)重合).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時，總有：ZCPD=ZPCA+ZPDB,請說明

理由；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上運(yùn)動時，NCPD、NPCA、NPDB之

間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長線上運(yùn)動時，NCPD、NPCA、NPDB之

間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系(只需干脆給出結(jié)論)？

,；a〃b,PE//a,

，PE〃b,

N2=NDPE,

AZ3=Z1+Z2,

即NCPD=NPCA+NPDB；

(2)ZCPD=ZPCA-ZPDB.

理由：如圖2,過點(diǎn)P作PE〃b,則N2=NEPD,

,直線a〃b,

.t.a//PE,

AZ1=ZEPC,

VZ3=ZEPC-NEPD,

AZ3=Z1-Z2,

即NCPD=NPCA-ZPDB；

(3)ZCPD=ZPDB-ZPCA.

證明：如圖3,設(shè)直線AC與DP交于點(diǎn)F,

[NPFA是4PCF的外角，

AZPFA=Z1+Z3,

'：a//b,

N2=NPFA,

AZ2=Z1+Z3,

AZ3=Z2-Zl,

即NCPD=NPDB-ZPCA.

%Jp

b

圖3

c.

24.(2024春?順義區(qū)期末)已知：如圖，點(diǎn)C在NAOB的一邊OA上，過點(diǎn)C

的直線DE〃OB,CF平分NACD,CGLCF于C.

(1)若NO=40。，求NECF的度數(shù)；

(2)求證：CG平分NOCD；

(3)當(dāng)NO為多少度時，CD平分NOCF,并說明理由.

【解答】解：(1)VDE//OB,

AZO=ZACE,(兩直線平行，同位角相等)

VZO=40°,

AZACE=40°,

VZACD+ZACE=180",（平角定義）

AZACD=140°,

又：CF平分NACD,

??.NACF=70。，（角平分線定義）

AZECF=70°+40°=110°；

(2)證明：VCG±CF,

，NFCG=90°,

AZDCG+ZDCF=90",

又,.?NAOC=180。，(平角定義)

AZGCO+ZFCA=90",

VZACF=ZDCF,

.*.ZGCO=ZGCD,(等角的余角相等)

即CG平分NOCD.

(3)結(jié)論：當(dāng)NO=60。時，CD平分NOCF.

當(dāng)NO=60°時，

?.?DE〃OB,

AZDCO=ZO=60".

AZACD=120°.

又：CF平分NACD,

AZDCF=60°,

AZDCO=ZDCF,

即CD平分NOCF.

25.（2024秋?新里予縣期末）問題情境：如圖1,AB〃CD,ZPAB=120°,ZPCD=130°,

求NAPC的度數(shù).小明的思路是：過P作PE〃AB,通過平行線性質(zhì)來求NAPC.

（1）按小明的思路，易求得NAPC的度數(shù)為110度;

（2）問題遷移：如圖2,AB〃CD,點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動，記NPAB=a,N