第3章 實數(shù)（單元測試）（解析版）

第3章實數(shù)注意事項：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共24題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2023秋·浙江·七年級專題練習）的平方根是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方根的定義，即可求解．【詳解】解：．故選：B．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的平方根，熟練掌握平方公式的定義是解題的關鍵．2．（2023秋·浙江·七年級專題練習）面積為9的正方形，其邊長等于（）A．9的平方根 B．9的算術平方根C．9的立方根 D．的算術平方根【答案】B【分析】根據(jù)算術平方根的定義解答即可．【詳解】解：正方形的面積為9，其邊長．故選：B．【點睛】本題考查的是算術平方根，解題的關鍵在于熟練掌握算術平方根的定義，算術平方根：一般地，如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)叫做的算術平方根．3．（2023秋·浙江·七年級專題練習）若，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a和b的值，然后代入所給代數(shù)式計算即可．【詳解】解：∵，而，，∴，，解得，，∴，故選：A．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，以及求代數(shù)式的值，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a和b的值是解答本題的關鍵．4．（2023秋·浙江·七年級專題練習）下列說法正確的是（

）A．正數(shù)的平方根是它本身 B．100的平方根是10C．是100的一個平方根 D．的平方根是【答案】C【分析】根據(jù)平方根的定義逐項分析即可．【詳解】解：A、正數(shù)的平方根有2個，它們是互為相反數(shù)，故錯誤；B、100的平方根是，故錯誤；C、∵，∴是100的一個平方根，正確；D、沒有平方根，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解答本題的關鍵，如果一個數(shù)的平方等于a，則這個數(shù)叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，記作．0的平方根是0；正數(shù)有兩個不同的平方根，它們是互為相反數(shù)，0的平方根是0，負數(shù)沒有平方根．5．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，正方形的面積為7，A是數(shù)軸上表示的點，以A為圓心，為半徑畫弧，與數(shù)軸正半軸交于點E，則點E所表示的數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求出正方形的邊長再確定點所表示的數(shù)即可．【詳解】解：正方形的面積為7，正方形的邊長為，，是數(shù)軸上表示的點，點表示的數(shù)是．故選：C．【點睛】本題考查正方形面積，實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)題意得出正方形的邊長是解題的關鍵．6．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為，點B關于點A的對稱點為C，則C所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解，證明，設點C表示的數(shù)為x，再建立方程求解即可．【詳解】解：∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為，∴，∵點B關于點A的對稱點為點C，∴，設點C表示的數(shù)為x，則，∴；∴點C的坐標為：．故選：C．【點睛】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上兩點之間的距離，一元一次方程的應用，熟練的建立方程求解是解本題的關鍵．7．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）問題：在一塊面積為的正方形紙片上，沿著邊的方向裁出一塊面積為，且長寬之比為：的長方形紙片不拼接，能裁出嗎？對于上述問題的解決，嘉嘉和琪琪進行如下對話：嘉嘉：真急人，我怎么也裁不出①琪琪：別著急，一定能在一塊大紙片上裁出一塊面積小的紙片②嘉嘉：你是如何計算裁出的長寬分別是多少呢？說說思路．琪琪：設長是，寬是，則：，，，，舍去長是，寬是③嘉嘉：可是不符合實際情況啊正方形紙片的面積為，則邊長為，即邊長為．，，，又不能拼接，所以裁不出④對于嘉嘉和琪琪的對話，你認為下面哪個選項是正確的()A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】A【分析】由題意求出要裁出的長方形紙片的長與寬，比較長方形的長與正方形的邊長的大小，即可得到答案．【詳解】解：由于嘉嘉和琪琪的對話知正方形紙片的面積為，則邊長為，即邊長為，而要裁出的長方形紙片的長與寬分別是，．，，，所以裁不出符合要求的長方形．正確的是．故選：A．【點睛】本題考查算術平方根，關鍵是列出方程由算術平方根的定義求出長方形的長與寬．8．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）對代數(shù)式定義新運算：．在代數(shù)式中任意加新運算，然后按給出的運算順序重新運算，稱此為“新運算操作”．實數(shù)，，在數(shù)軸上的位置如圖所示．例如：，，．下列說法正確的個數(shù)是（

）①；②；③至少存在一種“新運算操作”，使運算結果與原代數(shù)式之和為0；④至少存在一種“新運算操作”，使運算結果為．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸上的位置可得即可判斷①；分別求出和的結果即可判斷②；根據(jù)即可判斷③；推出不論怎么操作，都不可能出現(xiàn)這種情況即可判斷④．【詳解】解：由題意得，，∴，，①，故①正確；②，，∴，故②正確；③∵原代數(shù)式為，∴要想新操作的結果與原代數(shù)式之和為0，那么新操作的結果為，∵，∴至少存在一種“新運算操作”，使運算結果與原代數(shù)式之和為0，故③正確；④∵，，∴不論怎么操作，都不可能出現(xiàn)這種情況，故④錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的性質(zhì)，新定義，正確理解題意是解題的關鍵．9．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）已知為實數(shù)﹐規(guī)定運算：，，，，……，．按上述方法計算：當時，的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】當時，計算出，會發(fā)現(xiàn)呈周期性出現(xiàn)，即可得到的值．【詳解】解：當時，計算出，會發(fā)現(xiàn)是以：，循環(huán)出現(xiàn)的規(guī)律，，，故選：D．【點睛】本題考查了實數(shù)運算規(guī)律的問題，解題的關鍵是：通過條件，先計算出部分數(shù)的值，從中找到相應的規(guī)律，利用其規(guī)律來解答．10．（2023春·重慶彭水·七年級校聯(lián)考期末）對實數(shù)，定義一種新運算，規(guī)定：（其中為非零常數(shù)）；例如：；已知，給出下列結論：①；②若，則；③若，則；④有最小值，最小值為3；以上結論正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)新定義運算法則，一元一次不等式的解法，平方根的定義判斷即可．【詳解】解：，，解得：，故①正確；若，，則，故②正確；，解得：，故③錯誤；，當時，有最小值，故④錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了新定義運算，一元一次不等式的解法，平方根的定義，理解新定義運算法則是本題的關鍵．二、填空題（6小題，每小題4分，共24分）11．（2023秋·浙江·七年級專題練習）計算：．【答案】【分析】根據(jù)絕對值的意義和算術平方根的定義進行計算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數(shù)混合運算，解題的關鍵是熟練掌握絕對值的意義和算術平方根的定義，準確計算．12．（2023秋·浙江·七年級專題練習）已知的平方根是，則的立方根是．【答案】【分析】根據(jù)的平方根是，得出的值，然后計算的立方根即可．【詳解】解：∵的平方根是，∴，解得，∴，即，故答案為：．【點睛】本題主要考查平方根和立方根的知識，熟練掌握平方根和立方根的計算方法是解題的關鍵．13．（2023春·浙江杭州·八年級?？茧A段練習）設的小數(shù)部分為，則的值是．【答案】3【分析】根據(jù)夾逼法得到，代入求解即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為3.【點睛】本題考查根數(shù)的估算，解題的關鍵是根據(jù)夾逼法得到根數(shù)與相鄰整數(shù)的大?。?4．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）規(guī)定一種運算：，其中，為實數(shù)．例如：，則的值為．【答案】【分析】讀懂新定義，利用新定義計算．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查新定義實數(shù)的運算，解題的關鍵是理解新定義的運算方法．15．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）觀察上表中的數(shù)據(jù)信息：則下列結論：①；②；③只有3個正整數(shù)滿足；④．其中正確的是．（填寫序號）a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…【答案】①②③【分析】由表格中的信息：①利用被開方數(shù)的小數(shù)點與其算術平方根的小數(shù)點之間的變化規(guī)律解答即可；②利用被開方數(shù)的小數(shù)點與其算術平方根的小數(shù)點之間的變化規(guī)律，分別確定被減數(shù)和減數(shù)的值，再相減即可；③先確定的范圍，再判斷的范圍判斷；④先估計的值，再判斷即可．【詳解】解：①∵，∴，故①正確；②∵，，∴，故②正確；③∵，∴，其中整數(shù)有：，，共3個，故③正確；④由①知：，∴，故④錯誤．綜上，正確的是：①②③，故答案為：①②③．【點睛】本題考查無理數(shù)的估計，解答時需要從表格中獲取信息，運用到無理數(shù)大小比較，有理數(shù)的運算，整數(shù)的概念等，熟練掌握被開方數(shù)的小數(shù)點與其算術平方根的小數(shù)點之間的變化規(guī)律是解題的關鍵．16．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）若，其中a，b均為整數(shù)，則．【答案】0，2，4【分析】先根據(jù)絕對值和算術平方根的非負性分三種情況進行討論得出a，b的值，再代入進行計算即可求解【詳解】解：∵，其中a，b均為整數(shù)，又∵，①當，時，∴，∴②當，時，∴或，∴或③當，時，∴或，∴或故答案為：4或2或0【點睛】本題考查了絕對值和算術平方根的非負性，得出a、b可能的取值是解決此題的關鍵，注意分類討論的數(shù)學思想．三、解答題（8小題，共66分）17．（2023秋·浙江·七年級專題練習）計算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方，求一個數(shù)的立方根與算術平方根進行計算即可求解；（2）先化簡絕對值，再根據(jù)實數(shù)的加減法法則進行計算即可求解．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，算術平方根和立方根，熟記運算法則是關鍵．18．（2023秋·浙江·七年級專題練習）一個正數(shù)的的平方根是與，求和的值．【答案】；【分析】根據(jù)平方根的定義，與互為相反，列方程求解即可得到答案．【詳解】解：∵一個正數(shù)的的平方根是與，∴，解得，∴．【點睛】本題考查平方根定義，熟記一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)是解決問題的關鍵．19．（2023秋·浙江·七年級專題練習）為了豐富學生的課余生活，霖霖同學計劃在活動室舉行才藝展示活動，由于場地等條件的限制，霖霖同學準備在長的正方形規(guī)定區(qū)域鋪設一塊面積是的長方形地毯，且地毯的長與寬之比為，霖霖同學能否完成地毯的鋪設工作呢？請說明理由．【答案】霖霖同學不能完成地毯的鋪設工作，理由見解析．【分析】設長方形地毯的長與寬分別為，，得到，于是求出長方形地毯的長，即可得到答案．【詳解】解：霖霖同學不能完成地毯的鋪設工作，理由如下：設長方形地毯的長與寬分別為，，由題意得：，∴，∴，∴長方形地毯的長是，∵，∴霖霖同學不能完成地毯的鋪設工作．【點睛】本題考查算術平方根的應用，關鍵是求出長方形地毯的長．20．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）（1）請用“”、“”、“”填空：①______；

②______③______；

④______（2）觀察以上各式，它們有什么規(guī)律嗎？請用含a，b的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（3）運用你所學的知識說明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性．【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）見解析【分析】（1）①通過計算可比較兩個算式的大小；②通過計算可比較兩個算式的大??；③通過計算可比較兩個算式的大?。虎芡ㄟ^計算可比較兩個算式的大?。唬?）由于，所以；（3）證明結論時根據(jù)完全平方的計算結果是非負數(shù)證明即可．【詳解】解：①∵，∴；故答案為：，②．故答案為：．③，，∴，故答案為：，④，，故答案為：．（2）觀察以上各式，任意兩個數(shù)的平方和大于或等于這兩個數(shù)乘積的2倍，即它們的規(guī)律為；（3）∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的大小的比較，數(shù)字的變化規(guī)律，通過閱讀題目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律實質(zhì)上是完全平方公式的變形：因為，所以．21．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）閱讀下面的文字，解答問題∶大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來．將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，得到的差就是小數(shù)部分，因為的整數(shù)部分是1，于是用來表示的小數(shù)部分．又例如：∵，即，∴的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分為．根據(jù)上述材料，回答下列問題：(1)的整數(shù)部分是___，小數(shù)部分是___．(2)也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為，求的值；(3)若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，求的平方根．【答案】(1)4，(2)(3)的平方根為【分析】（1）根據(jù)無理數(shù)的估算求解即可；（2）根據(jù)無理數(shù)的估算求解即可；（3）首先根據(jù)無理數(shù)的估算求出x和y的值，然后代入求解即可．【詳解】（1）∵∴∴的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是，故答案為：4，；（2）∵，∴，，∴．（3）∵∴∴，，∴，．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算和實數(shù)的運算，平方根，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題關鍵．22．（2023秋·浙江·七年級專題練習）綜合與實踐【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，把兩個面積都為的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼成一個大正方形，則該大正方形的邊長為cm．【知識遷移】若一個圓與一個正方形的面積都是，設這個圓的周長為，這個正方形的周長為，則（填“＝”或“”或“”）．【拓展延伸】李明想用一塊面積為的正方形紙片（如圖2所示），沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長寬之比為．李明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請說明理由．

【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】；【知識遷移】；【拓展延伸】能，理由見解析【分析】【問題發(fā)現(xiàn)】根據(jù)大正方形的面積為，由算術平方根即可求得正方形的邊長；【知識遷移】分別求出圓的半徑、正方形的邊長，即可求出它們的周長，比較即可；【拓展延伸】設長方形的長、寬分別為，由面積關系建立方程即可求得x的值，再把長方形的長與正方形的邊長比較即可作出判斷．【詳解】解：【問題發(fā)現(xiàn)】由題意得大正方形的面積為，則其邊長為；故答案為：；【知識遷移】設圓的半徑為r，則有，解得：，則；設正方形的邊長為a，則，解得：，則；∵，∴，故答案為：；【拓展延伸】能，理由如下：設長方形的長、寬分別為，則，解得：，∵，，∴李明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．【點睛】本題考查了算術平方根的應用，用代數(shù)式表示長方形的長、寬及正方形的邊長是關鍵．23．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）閱讀下列材料，并完成問題解答：（一）小明閱讀7年級數(shù)學第二學期課本44-46頁關于平方根的定義：如果，那么x叫做a的平方根，記作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，請你根據(jù)以上定義解答下列問題：(1)解方程：(2)選擇題：式子中的a的取值可以是（

）A．1

B．

C．

D．（二）仿照以上平方根的定義，我們發(fā)現(xiàn)：如果，那么x叫做a的立方根．記作，其中a可以是任意實數(shù)，例如：，那么，即，請你根據(jù)以上信息解答下列問題：(3)解方程：如果，那么x叫做a的4次方根，記作，其中，例如：如果．那么，即，請你根據(jù)以上信息解答下列問題：(4)填空題：若，則x的值是________．【答案】(1)(2)D(3)(4)或【分析】（1）利用平方根解方程即可；（