專題08 易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解的問題壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題08易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解的問題壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】 1【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 4【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 9【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 14【典型例題】【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：（2023春·江西萍鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知等腰三角形的一邊長為4、另一邊長為8，則這個(gè)等腰三角形的周長為．【答案】20【分析】先分類討論，然后利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：①若三角形的三邊長為：所以不能構(gòu)成三角形②若三角形的三邊長為：此時(shí)能構(gòu)成三角形故：等腰三角形的周長為：故答案為：20【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．考查學(xué)生分類討論思想以及驗(yàn)證能力．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）等腰三角形的兩邊長分別是3和6，則它的周長為．【答案】15【分析】分兩種情況：當(dāng)3是腰長時(shí)，當(dāng)6是腰長時(shí)，利用三角形的三邊關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形，再根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)3是腰長時(shí)，三角形的三邊長分別為3，3，6，，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)6是腰長時(shí)，三角形的三邊長分別為3，6，6，，能構(gòu)成三角形，周長為：，綜上所述，三角形的周長為：15，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)，采用分類討論的思想解題，是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┮阎妊切蝺蛇叺拈L為，，且滿足．則這個(gè)等腰三角形的腰長為．【答案】22【分析】首先依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得，的值，然后得到三角形的三邊長，接下來，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，最后求得三角形的周長即可．【詳解】解：．，，解得，，①是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為、、，，不能組成三角形，②是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為、、，能組成三角形，周長，所以，三角形的周長為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·陜西寶雞·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若等腰三角形的一邊長為12，且腰長是底邊長的，則這個(gè)三角形的周長為【答案】42或28/28或42【分析】分為等腰三角形的腰長和底邊長兩種情況計(jì)算即可．【詳解】解：∵等腰三角形一邊長為，且腰長是底邊長的，①如果腰長為，則底邊為：，∴等腰三角形的三邊為12、12、18，能構(gòu)成三角形，∴這個(gè)三角形的周長為：；②如果底長為，則腰長為：，∴等腰三角形的三邊為12、8、8，能構(gòu)成三角形，∴這個(gè)三角形的周長為：．故答案為：42或28．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的條件，利用分類討論思想求解是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知、是等腰的邊且滿足，則等腰的周長是．【答案】【分析】先變形得出，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的定義以及三角形三邊關(guān)系分類討論即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴∴，∵、是等腰的邊，當(dāng)是腰時(shí)，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)是腰時(shí)，能構(gòu)成三角形，則等腰的周長是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形，三角形三邊關(guān)系，因式分解的應(yīng)用，注意分類討論，把等式變形化為兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做倍長三角形．若等腰是倍長三角形，腰的長為10，則底邊的長為．【答案】5【分析】分兩種情況討論：當(dāng)?shù)走厼檠L的2倍，當(dāng)腰長為底邊長的2倍，再由三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證即可．【詳解】解：是等腰三角形，腰的長為10，∴，是倍長三角形，當(dāng)時(shí)，底邊為，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，底邊為，此時(shí)不符合題意，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，利用分類討論思想，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：（2023春·陜西寶雞·七年級(jí)統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是，則它的底角的度數(shù)是．【答案】或【分析】分的角是是底角和頂角的情況分析，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r(shí)，則底角為，當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r(shí)，則底角為，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·上海閔行·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為，那么其余的兩個(gè)角的度數(shù)是______．【答案】，或，【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，分類討論即可得到答案．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)頂角時(shí)，其余兩個(gè)角是底角且相等，則有：；②當(dāng)時(shí)底角時(shí)，則有：頂角；故答案為：，或，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)：兩個(gè)底角相等，還考查了分類討論的思想．2．（2022春·黑龍江黑河·八年級(jí)?？计谀┑妊切蔚囊粋€(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是_____．【答案】或或【分析】設(shè)另一個(gè)角是，表示出一個(gè)角是，然后分①是頂角，是底角，②是底角，是頂角，③與都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)另一個(gè)角是，表示出一個(gè)角是，①是頂角，是底角時(shí)，，解得，所以，頂角是；②是底角，是頂角時(shí)，，解得，所以，頂角是；③與都是底角時(shí)，，解得，所以，頂角是；綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于分情況討論，特別是這兩個(gè)角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯(cuò)．3．（2022春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)P在的三邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是________．【答案】或或【分析】作出圖形，然后分點(diǎn)P在上與上兩種情況討論求解．【詳解】解：①如圖1，點(diǎn)P在上時(shí)，，頂角為，②∵，，∴，如圖2，點(diǎn)P在上時(shí)，若，頂角為，如圖3，若，則頂角為，綜上所述，頂角為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，注意要分情況討論求解．4．（2023春·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，線段的端點(diǎn)A在直線l上，與l的夾角為，點(diǎn)C在直線l上，若是等腰三角形．則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)是．

【答案】或或．【分析】分情況討論：如圖，當(dāng)時(shí)，C在A的右邊，如圖，當(dāng)時(shí)，C在A的左邊，當(dāng)時(shí)，再分別畫出圖形求解即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，C在A的右邊，則頂角，

，如圖，當(dāng)時(shí)，C在A的左邊，則頂角，

如圖，當(dāng)時(shí)，則，

∴頂角；如圖，當(dāng)時(shí)，則，

此時(shí)頂角，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記等腰三角形的頂角的含義與等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)C在x軸上，且在點(diǎn)B的左側(cè)，若是等腰三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．【答案】或或．【分析】分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)和③當(dāng)時(shí)，畫出圖形，結(jié)合等腰三角形的定義和性質(zhì)，勾股定理求解即可．【詳解】解：分類討論：①當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)為，∵，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)為，∵，，∴，∴，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)為，設(shè)，則，∴．在中，，∴，解得：，∴．綜上可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)是或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的定義和性質(zhì)，勾股定理．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，如果射線上的點(diǎn)滿足是等腰三角形，的度數(shù)為______．【答案】或或【分析】求出，根據(jù)等腰得出三種情況，，，，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】∵平分，∴，分三種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴，∴，綜上，的度數(shù)為：或或，故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，用了分類討論思想．2．（2023春·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知中，，，若沿射線方向平移m個(gè)單位得到，頂點(diǎn)A，B，C分別與頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)對應(yīng)，若以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則m的值是．【答案】或或【分析】分，，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵，，∴，沿射線方向平移m個(gè)單位得到，∴，，點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況①當(dāng)時(shí)：如圖，此時(shí)；

②當(dāng)時(shí)：如圖，

則：，在中，，即：，解得：；③當(dāng)時(shí)，如圖：

此時(shí)，∵，∴，∴；綜上：，或；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意，準(zhǔn)確的畫圖，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江西新余·統(tǒng)考一模）在中，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)將沿直線翻折，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上若是等腰三角形，則的長是．【答案】或或【分析】分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到的值．【詳解】解：，，，，，分三種情況討論：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

，，，，即是等腰三角形，此時(shí)，；如圖所示，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，

，由折疊可得，，，又，是等腰直角三角形，設(shè)，則，中，，解得，舍去，；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

，，即是等腰三角形，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值是或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)是等腰三角形，畫出圖形進(jìn)行分類討論，解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：（2023秋·山東泰安·七年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┑妊切我谎系闹芯€把三角形周長分為和兩部分,則此三角形的底邊長為(

)A． B． C．或 D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)，然后分兩種情況列出方程組求解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可求解．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)等腰三角形的定義和三角形中線的性質(zhì)得：．可設(shè)，∴．由題意得：或，解得：或．當(dāng)時(shí)，即此時(shí)等腰三角形的三邊為，，，，符合三角形的三邊關(guān)系，此情況成立；當(dāng)時(shí)，即此時(shí)等腰三角形的三邊為，，，，符合三角形的三邊關(guān)系，此情況成立．綜上可知這個(gè)等腰三角形的底邊長是或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì)．利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為．【答案】或【分析】分兩種情況：等腰三角形的頂角是鈍角或者等腰三角形的頂角是銳角，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得頂角是；②如圖2，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部，故頂角是．

故答案為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，注靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，是邊上的高，，則．【答案】或/或【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)然后再求出的度數(shù)；【詳解】如圖，當(dāng)在內(nèi)時(shí)

如圖當(dāng)在外時(shí)

故答案為或【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的角平分線、中線和高；三角形內(nèi)角和定理及推論此題難度不大，屬于中等題；3．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，上的中線把三角形的周長分成和兩部分，則底邊的長為______．【答案】或【分析】分兩種情況：；，可得的長，再由另一部周長即可求得底邊的長．【詳解】解：由題意得：；當(dāng)時(shí)，即，，，；當(dāng)時(shí)，即，，，；綜上，底邊的長為或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線的含義，涉及分類討論．4．（2022·陜西·交大附中分校七年級(jí)期末）已知中，，在AB邊上有一點(diǎn)D，若CD將分為兩個(gè)等腰三角形，則________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三種情況討論即可求解．【詳解】第一種請況：BD=CD時(shí)，如圖，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）當(dāng)DA=DC時(shí)，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）當(dāng)DA=AC時(shí)，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）當(dāng)CD=CA時(shí)，∠A=∠ADC=40°；第二種請況：BC=CD時(shí)，如圖，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=1